PID control

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de Educación Superior
Universidad Simón Bolívar
Sitemas de control 2
PS - 2311
PRESENTADO A:
Prof William Colmenares
PRESENTADO POR:
Ronald Sousa #: 05-38968

2. Supongamos el siguiente sistema de control:
1
G(s)=
( s + 1)( s + 0.1)
Dada la función de transferencia y una entrada escalón unitaria en dicho en sistema
podemos ver su respuesta temporal a lazo abierto:
mod Vs T
10
9
8
7
6
mod
5
4
3
2
Respuesta temporal
1
0
0 10 20 30 40 50 60
T (seg) (sec)
Figura 1 – Respuesta temporal a lazo abierto
En este practica vamos analizar varios tipos de controladores PID los cuales serán
obtenidos a partir de parámetros obtenidos de la curva de la respuesta temporal a lazo
abierto, para ello utilizaremos la técnica del 28% y 63%, la cual consiste en hallar estos
porcentajes a la ganancia k del sistema.
Como podemos observar la ganancia K de este sistema es de magnitud igual 10,
aplicando la técnica mencionada anteriormente obtenemos:
Para 28% → mod = 2.8
Para 36% → mod = 6.3
Tranzando dos rectas verticales desde los módulos mencionados en la curva hasta el eje
de las abcisas obtenemos los tiempos requeridos (t1,t2) los cuales servirán para hallar θ
(teta) y τ (tao).
t1 = 5 seg
3
t2 = 12 seg → τ = (t 2 − t1) θ = t2-T
2

3. Una vez obtenido T y Ǿ obtenemos el modelo del sistema mas común que el cual se
representa de la siguiente manera:
ke −θ
G(s)= → A partir de este sistema de control obtenemos los controladores PID
τs + 1
pedidos en esta quiz.
Controlador PI IMC:
Para obtener el controlador Imc necesitamos otro parámetro que dependerá de el tiempo
de establecimiento tss, como queremos que el sistema responda a los 20 segundos tss =
tss 20
20 seg, por consiguiente τ m = =
4 4
τs + 1 10.5s + 1 10.5s + 1
C_Imc= = =
k (τm + θ ) s 10(5 + 1.5) s 65s
Controlador PI ITSE:
Para determinar este otro controlador tenemos que hallar las siguientes formulas
mencionadas a continacion:
θ  1   1 
Tn= =0.1429 → C_Itse = Kc * 1 +  = 0.8044 * 1 + 
τ  Tis   61.3743s 
1.279(Tn) -0.945 49.37 s + 0.8044
Kc= = 0.8044 C_Itse=
k 61.37 s
τ (Tn) −0.586
Ti= = 61.3743
0.535
Controlador PID Ziegler Nichols:
1.2τ
Kp = =0.84 Ti = 2θ =3 Td = 0.5θ =0.75
kθ
 1   Tds + 1   1   0.75s + 1 
C_Zn= Kp * 1 + *  = 0.84 * 1 +  *  =
 Tis   0.1Tds + 1   3s   0.1 * 0.75s + 1 
1.89 s 2 + 3.15s + 0.84
0.225s 2 + 3s
Controlador PID con LGR:
En analogía con los controladores PID calculados anteriormente, podemos deducir que
necesitaremos parámetros nuevos para la obtención de este nuevo controlador PID, los
cuales son los siguientes:

4. 4 4 2 2
a= = =0.2 Tf= = =2.3256
tss 20 a (4 + aθ ) 0.2 * (4 + (0.2 * 1.5))
tf * a 2 2.3256 * 0.2 2
Kc = = = 0.0093
K 10
Kc * (τs + 1)(θs + 1) 0.0093 * (10.5s + 1)(1.5s + 1)
C_Lgr = = =
s(Tfs + 1) s (2.3256 s + 1)
0.1465s 2 + 0.1116 s + 0.0093
2.3256s 2 + s
Finalmente procedemos a multiplicar nuestro modelo del sistema con los PID
calculados anteriormente. El tiempo de retardo lo incluimos en el simulink para ver
mejor la respuesta del sistema con los PI y PID correspondientes, por ende al
multiplicar G x C ( sistema, controlador) no incluimos el tiempo de retardo.
k 10
Siendo G(s) = =
τs + 1 10.5s + 1
105s + 10
l1 = G(s)*C_Imc =
682.5s + 1
493.7 s + 8.044
l2 = G(s)*C_Itse =
644.4 s 2 + 61.37 s
1.465s 2 + 1.116 s + 0.093
l3 = G(s)*C_Lgr =
24.42 s 3 + 12.83s 2 + s
18.9 s 2 + 31.5s + 8.4
l4 = G(s)*C_Zn =
2.363s 3 + 31.73s 2 + 3s
Una vez obtenido la multiplicación del modelo del sistema con los PID
correspondientes, procedemos a utilizar simulink para obtener la respuesta temporal del
sistema a lazo cerrado ante una entrada escalón, tal como se muestra en el siguiente
diagrama de conexión:

5. l1
S te p L T I S yste m T ra n sp o rt
Delay S co p e
m l1
p i d im c
m l2
l2 p id i tse
L T I S yste m 1 T ra n sp o rt
m l3
De la y1
p id lg r
t
C lo ck1 T ie m p o
l3 m l4
L T I S yste m 2 T ra n sp o rt p id zn
De la y2
l4
L T I S yste m 3 T ra n sp o rt
De la y3
Figura 2 - Diagrama de conexión de PID a lazo cerrado
En la gráfica de conexión de PID, en Lti Systems se introdujo el sistema con sus
respectivos PID, en transport delay se coloco el tiempo de retraso del modelo del
sistema calculado anteriormente, luego se se hizo realimentación unitaria a cada uno de
los LTI y por ultimo procedimos a graficar la respuesta temporal del sistema con cada
PID tal como se aprecia en la figura 3
mod Vs T
2.5
2
1.5
mod
1
0.5
Imc
Itse
Lgr
Z n
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
T (seg)
Figura 3 – Respuesta temporal a lazo cerrado con PID

6. En la anterior grafica mostrada podemos observar que el mejor controlador PID para
este sistema se tuvo con el IMC , el cual tuvo un tiempo de respuesta muy rápido y sin
oscilación en comparación con los otro controladores, como podemos ver el tiempo de
respuesta no es el deseado debido a las estimaciones echas en los parámetros obtenidos
a partir de la figura 1, pero a pesar de ello podemos decir que este es uno de los mejores
PID echos para manipular un sistema. Por otro lado también se observa que el Lgr fue
también uno de los sistema con mayor eficiencia, dado que no oscila y presenta un tss
muy pequeño, no tan pequeño como el IMC pero cercano al deseado.