1. Algebra abstracta
Semestre 4
Fascículo No. 2
Tabla de contenido
Contenido
Lógica proposicional (segunda parte)
Proposición condicional
Tabla de verdad
Proposición bicondicional
Tabla de verdad
Negación
Tabla de verdad
Proposiciones compuestas
Reglas de prioridad
Equivalencia lógica
Resumen
Bibliografía recomendada
Párrafo nexo
Autoevaluación formativa

2. Lógica proposicional (segunda parte)
En este fascículo, continuarás con el estudio de los razonamientos que conlleva la
lógica proposicional, es decir, analizarás las proposiciones condicionales,
bicondicionales y compuestas, negación y las tablas de verdad, aspectos claves e
importantes para la mayoría de conceptos que se desarrollarán a lo largo del
curso.
Indicadores de logro
Al terminar el estudio del presente fascículo, el estudiante:
Diferencia las proposiciones condicionales y bicondicionales e identifica sus
•
tablas de verdad.
Identifica y expresa negaciones de proposiciones.
•
Establece y entiende las negaciones de proposiciones compuestas.
•
Realiza operaciones entre proposiciones utilizando las proposiciones
•
compuestas.
Reconoce y da ejemplos de proposiciones compuestas.
•
Proposición condicional
Cada vez que se realicen argumentos lógicos, la construcción quot;Si...entoncesquot; será
muy importante; esta construcción expresa la condicional.
Si p y q son proposiciones, la proposición compuesta Si p, entonces q se llama
proposición condicional y será:
p→q

3. La proposición p se denomina hipótesis (o antecedente) y la proposición q,
conclusión (o consecuente).
• Una condición necesaria es otro nombre para la conclusión.
• Una condición suficiente es otro nombre para la hipótesis.
Sean p y q dos proposiciones. Entonces, p → q es falso si p es verdadero y q es
falso, y p → q es verdadero en otro caso; p → q se denomina la condicional de p y
q. La condicional de p → q se puede traducir utilizando la construcción
quot;Si...entoncesquot;, como en quot;Si p, entonces qquot;. En otras palabras, p → q significa que
siempre que p sea correcta, q lo es.
Ejemplo
Sea:
p: quot;la demanda crecequot; y q: quot;las compañías se expandenquot;
La condicional de p y q es p → q, se traduce a: quot;Si la demanda crece, las
compañías se expandenquot;.
Tabla de verdad
p→ q
p q
V V V
V F F
F V V
F F V

4. Si el antecedente es verdadero, entonces el valor de verdad de una condicional
es igual al valor de verdad de la consecuente. Teniendo en cuenta el ejemplo
anterior, si es verdad que la demanda crece, entonces la afirmación: quot;Si la
demanda crece, las compañías se expandenquot; es verdadera si y sólo si las
compañías se expanden.
Si el antecedente es falso, entonces la condicional es trivialmente verdadera. Por
ejemplo, si la demanda no crece, entonces la afirmación quot;si la demanda crece, las
compañías se expandenquot; es trivialmente verdadera.
Otro ejemplo será: suponga que Jaime cenó bien. En este caso la afirmación quot;Si
Jaime cenó bien, entonces 4 + 4 = 9quot; sería normalmente considerado como falso
para los hispanoparlantes, aún cuando para un lógico esta afirmación sería
considerada trivialmente como verdadera. Para un lógico, toda condicional en la
cual el antecedente es falso se considera trivialmente verdadera. La lógica tiene
que ver, generalmente, con la consistencia de las afirmaciones y los valores de
verdad para la condicional, dados en la tabla de verdad, son consistentes con la
condicional del idioma español.
Ejemplo
Afirmación que puede aparecer en la pared de unos laboratorios: quot;Si una botella
contiene ácido, lleva una etiqueta de advertenciaquot;.
La afirmación claramente es un condicional, y puede expresarse como p → q,
donde p representa quot;la botella contiene ácidoquot; y q quot;la botella lleva una etiqueta de
advertenciaquot;. No existe contradicción alguna en la afirmación de la pared si la
botella no contiene ácido. De hecho, si la botella no contiene ácido, sino, por
ejemplo, un fuerte veneno, entonces también llevaría una etiqueta de advertencia.

5. Este es un ejemplo para el cual el antecedente es falso y el consecuente es
verdadero, pero no convierte a la afirmación pegada en la pared, en falsa.
Comprender el significado del condicional es muy importante. Para obtener una
mayor comprensión, se enumeran las posibilidades que hacen verdadera la
condicional.
p→ q
p q
V V V
F V V
F F V
Se sugiere un cierto número de maneras de expresar la condicional:
1. Si p, entonces q
2. Siempre que p entonces q
3. p es suficiente para q
4. p sólo si q
5. p implica q
Observación
Estas expresiones son todas ellas lógicamente equivalentes en el sentido que
todas expresan la asignación de verdad de la tabla de verdad.
Se puede invertir el orden del antecedente y del consecuente. Por ejemplo en
lugar de decir quot;si p entonces qquot;, se puede decir quot;q si pquot;, como en quot;La botella lleva
una etiqueta de advertencia si contiene ácidoquot;. Por lo cual se puede escribir q ← p

6. en lugar de p → q, donde ← puede traducirse mediante la palabra quot;siquot;; q ← p se
puede expresar como:
1. q si p
2. q siempre que p
3. q es necesario para p
4. q es implicada por p
Ejemplo
La botella lleva una etiqueta de advertencia si contiene ácido.
•
Es necesaria una etiqueta para las botellas que contienen ácido.
•
Observación
Recuerda que la palabra quot;sólo siquot; debe ser traducida como → y la palabra quot;siquot;,
corresponde a ←.
Actividad 2.1
1. Expresar cada proposición en la forma de proposición condicional.
a. María será buena estudiante si estudia mucho.
b. Felipe puede tomar Algebra Abstracta sólo si ha aprobado el primero, el
segundo o el tercer semestre de Ingeniería de Sistemas.
c. Cuando tú cantas me duelen los oídos.
d. Una condición necesaria para que el triángulo t sea equilátero es que tenga
iguales sus tres ángulos.

7. Proposición bicondicional
Sean p y q dos proposiciones. Entonces, p ⇔ q es verdadera siempre que p y q
tengan los mismos valores de verdad. La proposición p ⇔ q se denomina
Bicondicional o equivalencia y se pronuncia quot;p si y sólo si qquot;.
Ladillo
Frecuentemente en inglés quot;siquot; es if, como abreviatura para si y sólo si.
Ejemplo
p: x es par
q: x es divisible por dos
Luego: p ⇔ q: quot;x es par si y sólo si x es divisible por dosquot;.
Tabla de verdad
p⇔ q
p q
V V V
V F F
F V F
F F V

8. Entonces, p ⇔ q es verdadera sólo en los casos en que p y q sean verdaderas o
cuando ambas proposiciones sean falsas.
Ejemplo
Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triángulo T siendo c la longitud
mayor. El enunciado será:
T es un triángulo rectángulo si y sólo si a2 + b2 = c2
Puede expresarse simbólicamente como:
p⇔q
Si se define como:
p: T es un triángulo rectángulo
q: a2 + b2 = c2
El enunciado, afirma que:
Si T es un triángulo rectángulo entonces a2 + b2 = c2
y
2 2 2
Si a + b = c , entonces T es un triángulo rectángulo
Negación
Es la conexión más sencilla. Sea p una proposición compuesta ¬p, que se
pronuncia quot;no pquot;, es la proposición que es verdadera si p es falsa, y que es falsa
en otro caso. ¬p se denomina la negación de p. La conexión ¬ puede traducirse
como quot;no es el caso quequot; o simplemente mediante la palabra quot;noquot;.

9. Tabla de verdad
¬p
p
V F
F V
Ejemplo
Sea:
p: quot;Londres es una ciudad.quot;
Entonces:
¬p: quot;No es el caso que Londres sea una ciudadquot; o quot;Londres no es una ciudadquot;.
Actividad 2.2
1. Identifique todas las proposiciones atómicas en las siguientes oraciones y
abrévielas con símbolos tales como p, q y r. Entonces, convierta las oraciones
al cálculo proposicional.
a. Si Andrea está en el salón, entonces los estudiantes deben estar en el
salón también.
b. El coche que escapó era rojo o marrón.
c. Las notas no son buenas.
d. Llegarás a tiempo sólo si te apuras.
e. Si ella estaba allí, entonces debió haberlo visto.

10. Proposiciones compuestas
El utilizar conectores lógicos, nos permite combinar proposiciones atómicas o
moleculares. Las expresiones que resulten, se pueden interpretar de diversas
maneras, por lo cual es necesario utilizar paréntesis, de tal manera, que las
expresiones pueden dividirse en subexpresiones.
Proposiciones como p∧q y p∨q, que resultan de combinar otras, reciben el
nombre de proposiciones compuestas. Una proposición expresada mediante
una cadena de caracteres se denomina expresión lógica o fórmula. Las
expresiones compuestas contienen al menos una conexión y representan
proposiciones compuestas.
Ejemplo
p: quot;María termina su reportajequot;
q: quot;María será felizquot;
r: quot;María va al cine esta nochequot;
Ahora miremos la expresión: p → q ∧ r, esta expresión puede interpretarse de dos
maneras:
(p → q) ∧ r : quot;Si María termina su reportaje, ella será feliz, pero de cualquier
-
manera ella irá al cinequot;.
p → (q ∧ r) : quot;Si María termina esta noche, ella será feliz e irá al cinequot;
-
Luego p → q ∧ r es ambigua; para evitar esto, se proporcionan reglas que
-
muestren la forma de agrupar las diferentes subexpresiones, para lo cual se
pueden usar paréntesis.

11. Reglas de prioridad
Los paréntesis son necesarios utilizarlos cuando se trabaja con expresiones
largas. Nunca se debe olvidar añadir paréntesis detrás cuando la expresión en
cuestión esté compuesta por alguna otra expresión.
Ejemplo
(p ∧ q) → (p∨ q)
Cada conexión tiene dada una prioridad y las conexiones con una prioridad más
alta introducen una unión más fuerte que las conexiones con una prioridad más
baja. La conexión ¬ tiene siempre la prioridad más alta.
Ejemplo
¬p ∨ q debe ser comprendida como: (¬p) ∨ q y no como ¬ (p ∨ q)
En el caso de las otra conexiones, la prioridad más alta está dada por
∧, ∨, → y ⇔ en ese orden.
Casos:
p ∧ q ∨ r, ∧ tiene prioridad sobre ∨ cuando forma subexpresiones:
-
p ∧ q ∨ r debe ser entendida como (p ∧ q) ∨ r.
p → q ∨ r debe ser entendida como p → (q ∨ r) porque ∨ toma prioridad sobre
-
→
La conexión ⇔ recibe la prioridad más baja, lo que implica que
-
p ⇔ p → q debe entenderse como p ⇔ (p → q)

12. Las reglas que involucran prioridad, son conocidas como las expresiones
aritméticas. Por ejemplo, en Pascal, * tiene prioridad sobre +, lo que significa que
a + b * c debe ser entendido como a + (b * c).
Las proposiciones se pueden representar gráficamente, no importa cómo esté
expresada la proposición; se puede distinguir entre negaciones, conjunciones,
disyunciones, entre otras. Todas las proposiciones compuestas tienen
subproposiciones y éstas pueden, a su vez, ser identificadas como conjunciones,
disyunciones, etc.
Ejemplo
Si Micaela gana las Olimpiadas, todos la admirarán, y ella será rica; pero si no
gana, todo su esfuerzo será en vano.
Esta proposición es una conjunción, y los alcances de esta conjunción están
dados por las siguientes proposiciones:
Si Micaela gana en las Olimpiadas, todos la admirarán, y ella será rica
y
Si no gana, todo su esfuerzo será en vano.
Ambos alcances son otra vez compuestos, y pueden por tanto ser analizados de
forma similar. Por ejemplo, el alcance izquierdo puede ser dividido en dos
afirmaciones quot;Micaela gana en las Olimpiadasquot; y quot;todos la admirarán, y ella será
ricaquot;. La primera de estas dos afirmaciones es atómica y no puede dividirse más.
La segunda, sin embargo, es compuesta y puede escribirse como la conjunción de
dos proposiciones atómicas quot;todos admirarán a Micaelaquot; y quot;Micaela será ricaquot;. Un
análisis similar puede hacerse para el alcance derecho de las proposiciones
principales. La separación de una afirmación en sus componentes se llama

13. análisis y el resultado puede expresarse gráficamente en un árbol de análisis
(sintáctico). El árbol de análisis sintáctico se muestra a continuación:
Si Micaela gana en las Olimpiadas, todos la admirarán y ella
será rica; pero si no gana, todo su esfuerzo fue en vano.
Si Micaela gana en las
Si no gana, todo su
Olimpiadas, todos la y esfuerzo fue en vano.
admirarán y ella será rica.
Ella gana Ella es
→ Ella no Su esfuerzo
admirada y →
gana fue en vano
rica
y no
Ella es Ella es rica Ella gana
admirada
Los árboles de análisis están construidos de arriba hacia abajo. Primero, se utiliza
la expresión completa para obtener el nodo superior, y los alcances de esta
expresión se utilizan para encontrar los nodos del próximo nivel. Estos nodos dan
lugar a otro nodos y esto continúa hasta alcanzar las expresiones atómicas que
forman las hojas del árbol de análisis.

14. Una expresión con un árbol de análisis dado puede ser convertida en una
expresión completamente entre paréntesis. Entonces, se definen las
proposiciones:
p: Micaela gana las Olimpiadas.
q: Todos admiran a Micaela.
r: Micaela será rica.
s: El esfuerzo de Micaela fue en vano.
Por lo cual, a partir de las reglas de prioridad, se puede escribir la proposición
acerca de Micaela como:
(p → q ∧ r) ∧ ( ¬p → s)
Observación
Recuerda que los árboles de análisis están construidos de arriba hacia abajo,
empezando por la expresión completa, que parte recursivamente en
subexpresiones hasta que se alcanzan las expresiones atómicas, que forman los
nodos de hojas de un árbol de análisis .
Los valores de verdad de las subexpresiones deben inferirse de sus
subexpresiones inmediatas. De esa manera, la evaluación de los valores de
verdad debe ser desde abajo hacia arriba; el proceso comienza por los valores de
verdad de las expresiones atómicas y culmina con la determinación del valor de
verdad para la expresión completa.

15. Ejemplo
Si usted recibe una clase de computadoras y no entiende la recursividad, usted no
aprobará.
Necesitamos saber exactamente cuándo es verdadera esta afirmación y cuándo
es falsa. Entonces, definimos:
p: Usted recibe una clase de computadoras.
q: Usted entiende la recursividad.
r: Usted aprueba.
Utilizando estas definiciones, la afirmación se convierte en:
(p ∧ ¬q) → ¬r
Para establecer el cálculo del valor de verdad, se hace necesario realizar una
tabla de verdad, de tal manera, que denote la asignación que hace a las variables
p, q y r, verdaderas, observando el comportamiento de cada expresión.
p∧¬q (p ∧ ¬ q) → ¬ r
¬q ¬r
p q r
V V V F F F V
V V F F F V V
V F V V V F F
V F F V V V V
F V V F F F V
F V F F F V V
F F V V F F V
F F F V F V V

16. Equivalencia lógica
Las proposiciones compuestas p y q, son lógicamente equivalentes y se escribe:
p≡q
Ejemplo
El programa está bien escrito y bien documentado.
•
El programa está bien documentado y bien escrito
•
Estas dos afirmaciones tienen el mismo valor de verdad, y por tanto son
lógicamente equivalentes. Traduciéndolo a la Lógica, se tiene:
p: quot;El programa está bien escritoquot;
•
q: quot;El programa está bien documentadoquot;
•
entonces, la primera de las dos proposiciones se traduce como: p∧q, mientras que
la segunda se traduce como q∧p, por lo cual la conexión ∧ confirma que estas dos
expresiones tienen los mismos valores de verdad, es decir, (q ∧ p) ⇔ (p ∧ q) es
una tautología; esto demuestra que las dos expresiones son lógicamente
equivalentes. De ello se hablará en el siguiente fascículo. Las afirmaciones que
son lógicamente equivalentes pueden sustituirse una por la otra sin afectar sus
valores de verdad.
Resumen
En este fascículo, se analizaron expresiones condicionales, bicondicionales y
compuestas. Además se identificó la negación de las proposiciones y se dieron

17. ejemplos claves y concretos de tal manera que se interpretara el contexto lógico
de las oraciones. Se introdujo el concepto de equivalencia lógica como un aspecto
fundamental para el análisis del siguiente fascículo.
Bibliografía recomendada
SUPPES, Patrick y HILL, Shirley. Introducción a la lógica matemática. Barcelona:
Editorial Reverté Colombiana, capítulo 1, p. 1 - 37, 1988.
JOHNSONBAUGH, Richard. Matemáticas discretas. México: Grupo Editorial
Iberoamérica, capítulo 1, 1988.
GROSSMAN, Stanley. Matemática discreta y lógica. México: Grupo Editorial
Iberoamérica, capítulo 1, 1988.
Párrafo nexo
En el siguiente fascículo, se ampliará el concepto de equivalencia lógica, a través
de los conceptos de tautologías y contradicciones; se definen las leyes esenciales
para el álgebra declarativa y las reglas de inferencia y demostración.

18. Autoevaluación formativa
1. Analice las siguientes afirmaciones mediante un árbol de análisis sintáctico.
Asegúrese que todas las hojas del árbol son verdaderamente proposiciones
atómicas que no contienen subexpresiones propias:
a. Si la liebre está alerta y es rápida, ni el zorro ni el lince podrán atraparla.
b. Si no estoy equivocado, ella conducía un coche rojo y había un hombre
sentado a su lado.
c. Podemos o bien tratar de obtener la aprobación de la amortización y
comprar la casa o bien esperar a ver si llegamos a un acuerdo mejor.
2. Identifique las proposiciones atómicas de las siguientes oraciones y
reemplácelas por símbolos proposicionales. Después traduzca las oraciones al
cálculo proposicional.
a. Si no viajas, estaré muy feliz.
b. Dos niños tienen los mismos tíos si y sólo si tienen la misma madre y el
mismo padre.
c. María aprobará el curso si y sólo si estudia con juicio.
d. Si las arañas son insectos entonces han de tener seis patas.
3. Construya las tablas de verdad para las siguientes fórmulas:
a. ¬ (¬ p ∨ q)
b. ¬ (¬p ∧ ¬q)
c. p ∧ (p ∨ q)
d. p ∧ (q ∧ p)