Lógica proposicional: conectivos, tablas de verdad y formas derivadas del condicional

LOGO
CICLO 2011 – II
LOGICA PROPOSICIONAL

LOGO
LOGICA PROPOSICIONAL
CICLO 2011 – II

Universidad Metropolitana
Enseñando el camino
Es un enunciado al cual
se le puede asociar el
concepto de verdadero o
falso, pero no ambos.
PROPOSICION

Enseñando el caminoProposición
Ejemplos:
Si son proposiciones
 La luna es cuadrada
 7 es un número primo
 Las arañas son
mamíferos
 La raíz de √2 es 1.41
 Los gatos tienen 7
vidas
no Son proposiciones
 ¿Qué hora es?
 Por favor, cierre la
puerta
 El 6 de abril de 1876 fue
sábado
 Dice el Presidente:
“Todos en este país son
unos mentirosos y esto
es verdad”

Proposiciones compuestas
Conectivos
 Conocido el valor de verdad de ciertas
proposiciones, la lógica establece el valor
de verdad de otras relacionadas con
éstas.
 A éstas últimas se les conoce como
proposiciones compuestas

Enseñando el caminoNegación
 Si p es una
proposición, entonces
“no p” es la negación
de p y se denota por:
~ p
Ejemplo:
p: Hoy es martes
~ p: Hoy no es martes
 ¿Qué sucede con la
negación de p,
siendo p verdadero?
 ¿Qué sucede con la
negación de p,
siendo p falso?

Enseñando el caminoNegación
 Esto lo podemos
escribir de una
manera
“compacta”,
utilizando una tabla
 A esta tabla se le
llama “tabla de
certeza de la
negación”
p ~ p
V F
F V
Posibilidades para la proposición p

Enseñando el caminoConjunción
 Si p y q son
proposiciones, se
llama conjunción de p
y q a la proposición
compuesta “p y q “ y
se denota por:
p ∧ q
 Ejemplos:
p: Hoy es martes
q: La luna es cuadrada
r: mañana es miércoles
p ∧ q :Hoy es martes y
la luna es cuadrada
p ∧ r :Hoy es martes y
mañana es miércoles

 En la conjunción es
verdadera solo si
ambas son
verdaderas en los
demas casos es
FALSO
 Se lee p y q
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F

Se toman como “sinónimos” de la conjunción:
 Además
 Pero
 Sin embargo
 Aunque
 También
 Aún
 A la vez
 No obstante

Conjunción: p ^ q
 Luís estudia ,además de trabajar
 Luís estudió pero no aprobó
 Luís canta, sin embargo no baila
 Luís jugó futbol aunque estaba lesionado
 Luís juega futbol , también José
 Luís salió, aún no llega
 Luís cocina a la vez que canta
 Luís viajará no obstante esté sin visa
 Luís canta , no baila.

Enseñando el caminoConjunción: p ^ q
No siempre “y” denota una conjunción ………
Ejemplo:
 Silvia y Nelly son hermanas
Esta es una proposición (simple), en donde el “y”
permite establecer la relación entre los
sujetos.

Enseñando el caminoDisyunción
 Si p 0 q son
proposiciones,
se llama
disyunción de p
0 q a la
proposición
compuesta y
es verdadera
basta que una
de ellas sea
verdadera
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F

Enseñando el caminoDisyunción
 Seré cantante o futbolista
 p: Seré cantante
 q: Seré futbolista
Simbolización:
p ∨ q
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F

Enseñando el caminoCondicional
 Si p y q son
proposiciones, se
llama condicional de p
y q a la proposición
compuesta “si p,
entonces q” y se
denota por:
p → q
 Ejemplos:
 Si no llueve
(entonces) iremos a la
playa
 Si me gano la lotería
(entonces) me voy de
viaje
 Si no estudio
(entonces) no
aprobaré Lógica

Enseñando el caminoCondicional
 Veamos la tabla
del condicional:
p → q
 Conviene pensar en
una “promesa” ..... Si
no llueve (entonces)
iremos a la playa
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V

Enseñando el caminoBI CONDICIONAL
Este caso de denota por
la doble fecha y significa
si solo si .
Es verdadera si ambos
son iguales
En los demás casos es
falso
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V

Ejemplo con 3 proposiciones
simples
 ¿Cuántas
posibilidades
tendremos?
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F

Ejemplo con 3 proposiciones
simples
p q r
V V V
V V F
V F V
V F F
F V V
F V F
F F V
F F F
r∨p q∨p ~(q∨p)
V V F
V V F
V V F
V V F
V V F
F V F
V F V
F F V
(r ∨ p) ∧ ~(q∨p)
F
F
F
F
F
F
V
F
Hacer la tabla de certeza para: (r∨p) ∧ ~(q∨p)

Enseñando el caminoEn resumen
 Una tabla de verdad para proposiciones
compuestas que contienen:
 1 proposición simple… tendrá 2 filas
 2 proposiciones simples
……razonando inductivamente……..
 n proposiciones simples
4 = 22
filas
8 = 23
filas
16= 24
filas
2n
filas

Formas de expresarun
condicional…….
 Si es Chiclayano, es Peruano (p →q)
 Es Peruano, siempre que sea Chiclayano
 Es Peruano si es Chiclayano
 Es suficiente que sea Chiclayano para que sea
Peruano
 Siempre y cuando sea Chiclayano, será
Peruano.
 Es necesario que sea Peruano para ser
Cliclayano
TODAS ESTAS EXPRESIONES SE SIMBOLIZAN
COMO: p → q

Partes de un condicional
p →q
antecedente
Condición
suficiente
consecuente
Condición
necesaria

Formas derivadas del condicional
 Dado el condicional directo: p →q, el condicional
~ p → ~q se llama contrario y lo expresaríamos:
“ si no p, entonces no q”
 Directo: p →q
Si repruebo el examen, entonces me enojaré
bastante
 Contrario: ~ p → ~q
Si no repruebo el examen, entonces no me
enojaré bastante

q → p se llama recíproco y lo expresaríamos:
“ si q, entonces p”
 Directo: p →q
bastante
 Recíproco: q → p
Si me enojo bastante , entonces reprobaré el
examen

~ q → ~p se llama contrarrecíproco y lo
expresaríamos: “ si no q, entonces no p”
 Directo: p →q
bastante
 Contrarrecíproco: ~ q → ~p
Si no me enojo bastante, entonces no repruebo el
examen

Enseñando el caminoFormas derivadas
p q q p
~ p ~ q ~ q ~ p
Directo Recíproco
Contrario Contrarrecíproco
recíprocos contrarios
contrarrecíprocos

Enseñando el caminoEjemplo
 Hallar las formas derivadas del siguiente
condicional:
 Si un número es par, entonces es múltiplo
de 4. ……………………………………. ¿V
o F?
Falso (contraejemplo: 2)
Recíproco:
 Si un número es múltiplo de 4 entonces es
par. …………………………………..¿V o F?
Verdadero!

 Directo: p →q
Si un número es par, entonces es múltiplo
de 4.
Contrario: ~ p → ~ q
 Si un número no es par, entonces no es
múltiplo de 4
Verdadero!

 Directo: p →q
Si un número es par, entonces es múltiplo
de 4.
Contrarrecíproco: ~ q → ~ p
 Si un número no es múltiplo de 4,
entonces no es par
 Falso….. 2 no es múltiplo de cuatro y es
par (ante ce de nte ve rdade ro , co nse cue nte falso )

Enseñando el caminoEjercicios
1. Escribir las formas derivadas para:
a) (r ∨ ~q ) → p.
b)Si yo dig o sí, e lla dice no .
2. Co nstruye una pro po sició n ve rdade ra
q ue incluya un co ndicio nal, una
co njunció n, una disyunció n y una
ne g ació n (no ne ce sariam e nte e n e se
o rde n), q ue co nste de las co m po ne nte s
p, q y r co n to das e llas falsas.

Enseñando el caminoEjercicios
 Escribe e l re cípro co , e l inve rso y e l
co ntrarre cípro co de cada una de las
pro po sicio ne s sig uie nte s:
 Si q , e nto nce s r
 ~ p  (~ q )
 ~ p~ (r ∧ q )
 Elso lbrilla si e stás fe liz.
 Si tu auto m ó vilno tie ne aire aco ndicio nado ,
no te ndrás am ig o s.

Lógica proposicional: conectivos, tablas de verdad y formas derivadas del condicional

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (20)

Similar a Lógica proposicional: conectivos, tablas de verdad y formas derivadas del condicional

Similar a Lógica proposicional: conectivos, tablas de verdad y formas derivadas del condicional (20)

Último

Último (20)

Lógica proposicional: conectivos, tablas de verdad y formas derivadas del condicional