MATEMATICA FINANCIERA (Nivel 2) V22 uagrm

U.A.G.R.M GESTION
TEXTO MATEMÁTICAS FINANCIERAS MAT 300
Elaborado por: Ing. José Morón Rossel; Docente titular “C” Fac. Auditoria y Ciencias Económicas UAGRM (PAG 1 )

U.A.G.R.M GESTION
PRESENTACION:
Con el beneplácito de mantener una continuidad destacable, por más de 20 años, lanzamos la versión
V22 de esta “GUIA DE TRABAJOS PRACTICOS” para las materias de MATEMATICAS
FINANCIERAS Nivel I y Nivel II.
El propósito de esta Guía es que sirva como material de apoyo bibliográfico a los estudiantes de las
Facultades de Contaduría Pública y Ciencias Económicas, y del mismo modo a los estimados Colegas
que vean en este medio una herramienta más para el desempeño eficiente en la parte práctica del
proceso de enseñanza a impartir.
Esta Guía como todos los años se actualiza con las numerosas ideas y propuestas de los profesores de
la que dictan materias afines o relacionadas con las finanzas. Esto con el propósito de lograr un mejor
nivel de contenido para el mejoramiento continuo de la misma,
A los estimados alumnos respetuosamente se les pide:
✓ Ser tolerantes es sus observaciones
✓ Colaborar en el proceso de mejoramiento de la presente guía.
Contactos: Correo: josemoron@uagrm.edu.bo
Web.: https://jmoronr.wordpress.com
Canal en telegram.org para estudiantes uagrm: https://t.me/Estudiantes_uagrm
ALUMNO: GRUPO:
SANTA CRUZ - MARZO - 2022

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UNIVERSIDAD AUTONOMA: “GABRIEL RENÉ MORENO”
FACULTAD: “CONTADURÍA PUBLICA”
FACULTAD DE “CIENCIAS ECONOMICAS”
PROGRAMA ANALITICO
GESTION 2022:
IDENTIFICACIÓN:
CARRERA : Contaduría y Auditoria
NOMBRE DE LA ASIGNATURA : Ingeniería Económica II
SIGLA : MAT - 300
PRE - REQUISITO : MAT - 250
No DE HORAS SEMANALES : 4 HT. 2 HP.
No DE CRÉDITOS : 5 (Cinco)
ALUMNO: GRUPO:
SANTA CRUZ - BOLIVIA

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PROGRAMA ANALÍTICO
CONTENIDO MINIMO:
Tasas nominales y efectivas, extinción de deudas y formación de capitales con pagos y cobros únicos,
parciales y en series uniformes: Estudio de alternativas económicas mediante los métodos del Valor
Presente, del valor Anual, mediante la tasa interna de retorno y mediante el método de Beneficio costo.
1 OBJETIVOS:
- Proporcionar los criterios y las técnicas para analizar el valor del dinero en el tiempo.
- Proporcionar técnicas y formulas financieras, que permitan una evaluación óptima para una
adecuada toma de decisión de inversión.
- Destreza en el manejo de los medios para el cálculo financiero.
2 OBJETIVOS ESPECIFICOS: Al finalizar el curso el estudiante deberá:
- Saber solucionar problemas de tipo económico financiero, con pensamiento reflexivo.
- Saber tomar decisiones con criterio reflexivo para implementación de una inversión.
- Identificar fortalezas y debilidades en el diagnóstico de la potencialidad de ejecutar a una
empresa.
3 METODOLOGÍA Y MEDIOS DE ENSEÑANZA:
Se empleará la clase magistral y prácticas grupales.
Los medios a emplear serán la pizarra, el marcador y la vos hojas de cálculo e internet.
4 JUSTIFICACIÓN DE LA MATERIA:
La materia forma constituye de las herramientas básicas para el desarrollo y formación de los
estudiantes en la carrera de ciencias Económicas, estas herramientas fundamentales son
aplicaciones financieras.
5 EVALUACIÓN:
PARTE “PRACTICA”. - Evaluación por asistencia y trabajos prácticos resueltos del texto Guía.
PARTE “EXAMENES PARCIALES”. - Comprende la evaluación calificativa ya sea mediante
sistema virtual p presencial.
6 PONDERACIÓN:
7 CRONOGRAMA TENTATIVO PARA UNA GESTION TIPO: (16 Semanas Académicas)
MES MES 1 MES 2 MES 3 MES 4
TEMA/SEMANA S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S9 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17
1 Anualidades
2 EAE con Valor presente
3 EAE con Valor Anual
4 EAE con la TIR
Exámenes % Obs.
Asistencia 10 Control virtual
Exámenes prácticos 20 Pacticos digitales
Exámenes parciales 50 Unid. 1, 2
Exámenes Final 20 Unid. 2 (Tir)

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UND. No 1
“ CONOCIMIENTOS PREVIOS ” TIEMPO 30 Horas - aula
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
• Introducción a las operaciones básicas a interés compuesto.
• Recordar y relacionar los conocimientos adquiridos en el nivel anterior
• Comprender el valor del dinero en el tiempo
• Saber calcular la equivalencia entre una tasa Efectiva y nominal y/o viceversa
• Saber calcular y hacer aplicaciones de operaciones financieras a interés compuesto
• Saber calcular todo tipo de operaciones de pagos únicos y parciales no periódicos a interés
compuesto
CONTENIDO:
1.0.0 Introducción
1. Objetivos
2. conceptos generales
1.1.0 Tasa a interés compuesto
1. Tasas efectivas
2. Tasas nominales
3. Tasas equivalentes
1.2.0 Operaciones a interés compuesto de pagos únicos.
1. Extinción de deudas (Prestamos)
2. Formación de capitales (Ahorros)
1.3.0 Operaciones a interés compuesto de pagos parciales.
1. Extinción de deudas (Prestamos)
2. Formación de capitales (Ahorros)
Web. https://www.slideshare.net/j1434
Web. https://www.slideshare.net/j1434/mat250u4-210228-texto-anualidades-gestion-2021-210228
BIBLIOGRAFÍA:
1 AYRES, FRANZ : Teoría y Problemas de Matemáticas Financieras.
2 MOORE, JUSTRIN H. : Manual de Matemáticas Financieras.
3 OSVALDO N. DIVINCIENZO : Matemática Financiera, Edit. Kapelusz; Bs. Aires.
4 CTLAUN : Matemática Financiera - Problemas.
5 LINCOYAN : Matemáticas Financieras.
6 ANTHONY J. TARQUIN : Ingeniería Económica .Mc Graw Hill
S1 S2 S3
U1
U2
Tasas a interés
Compuesto
Pagos y cobros
únicos a IC
Pagos y cobros
parciales a IC
OPERACIONES A
INTERES
COMPUESTO

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DESARROLLO DE LA UNIDAD
(S0-U1) Sección de seguimiento Conceptos teórico-prácticos
https://www.finanzasenlinea.net/2014/02/que-son-las-matematicas-financieras.html
¿Qué son las Matemáticas Financieras?
"En pocas palabras, la matemática financiera es la aplicación de métodos matemáticos para la
resolución de problemas financieros."
1. Definición de Matemáticas Financieras
Las matemáticas financieras, también llamadas finanzas cuantitativas o ingeniería financiera, se
pueden definir como una rama de las finanzas que tiene como objetivo principal el estudio del valor
del dinero en el tiempo, siendo usada tradicionalmente por los bancos de inversión, bancos
comerciales, compañías de seguros y agencias regulatorias pues son de vital importancia para la toma
de decisiones de inversión, valuación de empresas, estructuración de portafolios y administración del
riesgo.
En el mundo financiero y empresarial las matemáticas financieras se usan principalmente para la
valoración de activos e instrumentos financieros así como la asignación de recursos a proyectos de
inversión, mientras que en las finanzas personales su uso es más común en lo relativo al análisis de
créditos y oportunidades de inversión, teniendo como principal herramienta las tasas de interés.
El Valor del Dinero en el Tiempo
De manera resumida, el valor del dinero en el tiempo tiene como premisa que el valor de una cantidad
de dinero hoy es mayor que el valor de la misma cantidad de dinero en el futuro, por lo que para
obtener el valor presente de un dinero que recibiremos en el futuro tenemos que aplicar una tasa de
descuento.
Una explicación de lo anterior puede verse en el siguiente ejemplo:
Si hoy tenemos una cantidad de dinero y la dejamos quieta durante un año, por efectos de la inflación
no tendremos el mismo poder adquisitivo que antes. Dicho de otra forma, podemos comprar menos con
la misma cantidad de dinero.
Sin embargo, si invertimos el dinero obtendremos rendimientos futuros de este conservando o
aumentando nuestro poder adquisitivo.
No obstante, la extensión de las aplicaciones de las matemáticas financieras tiene un alcance muy
complejo pues está integrada en los mercados bursátiles y financieros del mundo, por lo que mi
enfoque será simple pero efectivo para que puedas aplicar estos conceptos a tus finanzas personales.

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2. ¿Por qué son importantes las matemáticas financieras?
"Empezaré diciendo esto: Tu dinero es importante así que debes protegerlo ferozmente y educarte bien
si tu intención es generar mucho más."
Mi especialización es en finanzas y aun así la mayor parte de las matemáticas financieras importantes
que manejo se reducen a temas básicos de:
Tasas de interés
- Administración del riesgo
- Llevar a cabo una buena investigación de propuestas de inversión
- Saber manejar tus emociones
- Regirse por presupuestos y reglas auto impuestas.
Y con absoluta certeza, las últimas dos son las dos más importantes. Una de las principales razones
por las cuales las personas toman malas decisiones de inversión es porque la emoción del momento los
hizo tomar una decisión que sabían que no podían tomar, o simplemente porque establecen
presupuestos y reglas de finanzas personales que no cumplen.
En pocas palabras, la importancia de las matemáticas financieras radica en el hecho de que te
permiten tomar consciencia sobre la toma de decisiones de inversión, gasto personal y el
comportamiento en general que debes tener con tu dinero para que tu enfoque sea siempre
en protegerlo y multiplicarlo y nunca en dejarte llevar por el miedo o la avaricia.
3. Ventajas de las Matemáticas Financieras
Las matemáticas financieras te permiten:
- Tomar mejores decisiones de inversión
- Diseñar presupuestos mensuales basado en tu nivel de ingreso y gasto
- Evaluar qué entidad financiera te ofrece mejores tasas y condiciones
- Saber si debes tomar un crédito o no, si te conviene o no
- A qué plazo deberías tomar un crédito 3,5,7 años.
4. ¿Cuál es la Base de Estudio de las Matemáticas Financieras?
- El capital
- Las tasas de interés
- El tiempo
El capital
Para efectos de inversión vamos a entender al capital como dinero disponible (capital financiero y
liquido).
No obstante, el capital puede llegar a ser un concepto un poco abstracto, pero lo podemos definir
como todo recurso que pueda ser utilizado para la creación de riqueza o para el apropiado
funcionamiento de un sistema.

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Para una empresa el capital sería todos aquellos activos involucrados en la cadena de valor para
la transformación de un producto o la prestación de un servicio.
- Dinero (Capital Financiero)
- Bonos, opciones, inversión a la vista (Capital Liquido)
- Personal (Capital Humano)
- Know how (Capital Intelectual)
- Good Will (Capital Social)
- Inversiones de renta (Capital de corto y largo plazo)
Interés y Tasas de Interés
Cuando buscas por una inversión, la tasa de interés sería la tasa esperada de retorno sobre
una inversión y debes tenerla en cuenta para comparar diferentes propuestas de inversión de
puedas llegar a tener.
Cómo regla general el retorno de una inversión siempre va a estar expresada por una tasa
variable anual o mensual. Una inversión con una tasa fija de retorno suele ser ofrecidas
únicamente por el gobierno a través de entidades bancarias en bonos del tesoro o en CDT
(Certificado de Depósito a Término).
Si en algún momento encuentras una inversión con una tasa fija de retorno, analízala
profundamente, pues lo más probable es que se trate de una estafa o de un esquema de
inversión muy poco fiable.
El Tiempo
Esta es la parte más obvia y fácil de entender porque se se sobreentiende cuando llevas acabo
un análisis financiero de propuestas de inversión.
Por esta razón es que es tan importante dominar mínimamente los diferentes tipos de tasas de
interés y tipos de interés, para que tengas certeza de que puedas expresar los rendimientos que
te ofrecen las diferentes alternativas de inversión en el mismo periodo de tiempo.
¿Cuál ha sido el rendimiento de esta inversión en el último año?
¿Cuál es la expectativa de retorno para este mes?
¿Qué alternativa me ofrece mejores rendimientos mensuales o anuales?
5. Formulas Importantes de las Matemáticas Financieras
Te recomiendo leer estos artículos para que entiendas mejor las tasas de interés y como puedes
calcularlas y compararlas, no solo para inversiones sino para préstamos y créditos:
1. Interés simple y compuesto
2. Valor presente y valor futuro
3. Valor presente neto
4. Interés fijo y variable
5. Tasa de interés efectiva
6. Tasa de interés nominal
7. Tasa de interés vencida y Anticipada

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6. Conclusión Matemáticas Financieras
Recuerda estos dos objetivos primarios: Proteger tu capital y multiplicarlo.
La matemática financiera te da las fórmulas y herramientas para tomar siempre las mejores
decisiones, pero no van a hacer el trabajo por ti. El dinero juega un rol muy importante en tu vida y si
no tienes un set de reglas y conocimientos básicos para manejarlo lo perderás con facilidad.
La disciplina es una de las piedras angulares para que el conocimiento que adquiriste pueda
materializarse en tus objetivos financieros.
https://www.finanzasenlinea.net/2014/02/que-son-las-matematicas-financieras.html
La tasa de interés efectiva es una de las tasas más populares de la matemática financiera y de las más
usadas en el mercado ya que nos permite entender rápidamente el interés que estamos pagando o que
nos pagando a nosotros, permitiéndonos comparar entre alternativas de inversión o propuestas de
crédito en diferentes entidades bancarias.
Como pudimos observar en los ejemplos anteriores, usamos tasas efectivas bastante similares a las
tasas del mercado tanto para préstamos como para inversión.
¿Por qué suele ser más alta la tasa de interés para un préstamo con respecto a la de un CDT?
1. "Técnicamente" cuando invertimos en un CDT o en instrumentos de renta fija, estos
acarrean cero riesgos, lo que significa que es altamente probable que las entidades financieras
cumplan con la obligación de pagar los intereses que te prometieron sin falta.
2. En el caso de los préstamos, las entidades financieras cobran un interés más alto puesto
que tienen que protegerse ante la probabilidad de no pago por parte de los deudores, en este
caso si existe un riesgo por lo que aumenta el costo financiero de usar el dinero.
Dicho lo anterior es por esto que a medida que vas construyendo una imagen positiva en las entidades
financieras puedes empezar a obtener préstamos con tasas de interés mucho más bajas, ya que según
tu comportamiento eres una inversión de menor riesgo para los bancos.
https://www.finanzasenlinea.net/2015/01/tasa-efectiva.html

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S1-U1 TASAS DE INTERES
1.1.0.- TASAS DE RENDIMIENTO. - Es un valor o coeficiente numérico porcentual que mide ó
determina el rendimiento del dinero por cada 100 unidades, y por unidad de tiempo (capitalizable por
periodo)
Este razonamiento es fácilmente comprensible cuando se consideran los ahorros: los intereses se
capitalizan todos los meses y cada mes el ahorrista genera intereses sobre los intereses del período
anterior.
TIPOS DE TASAS DE RENDIMIENTO:
De varios tipos de tasas solo no referiremos a dos tipos de tasas y de acuerdo a su aplicación: Una
Efectiva y otra nominal.
Terminología adoptada para marcar diferencia entre una y otra tasa.
Periodo referencial: plazo al cual esta impuesto el dinero
Periodo Capitalización: es un sub periodo del periodo referencial.
Periodo Convencional: Su acción es igual al referencial y a un año, en consideración a los plazos
del sistema financiero, y además para el cálculo de las tasas equivalentes mediante tablas que
son parte de este trabajo.
P/ejemplo.
Si: 𝑗 = 14% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑐/ 𝑐. 𝑚𝑒𝑠 Es igual a: 𝑗 = 14% 𝑐 𝑐
⁄ 𝑚𝑒𝑠.
El periodo de referencia es Año y además convencional
El periodo de capitalización es mes, sub periodo de un año
1.1 TASA EFECTIVA (i):
- La tasa efectiva es la tasa de interés que realmente se gana o se paga en una inversión,
préstamo
- Son coeficientes que generalmente se aplican a las fórmulas algebraicas de cálculo financiero.
En estas tasas los periodos referenciales son iguales al de capitalización.
P/ej.
a) 𝑖 = 15% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 Es igual a: 𝑖 = 15% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑐 𝑐
⁄ 𝑎ñ𝑜.
Se lee: 15% anual capitalizable cada año
b) 𝑖 = 3% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 Es igual a: 𝑖 = 3% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 𝑐 𝑐
⁄ 𝑚𝑒𝑠
Se lee: 3% mensual capitalizable cada mes
1.2 TASA NOMINAL (j):
- Son valores que generalmente se aplican en los documentos mercantiles y su unidad de medida
referencial y convencional es el año y convertible en sub periodos.
En estas tasas los periodos referenciales son iguales al de capitalización.
P/ej.
a) 𝑗 = 14% 𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 𝑐/ 𝑐. 𝑚𝑒𝑠 Es igual a: 𝑗 = 14% 𝑐 𝑐
⁄ 𝑚𝑒𝑠.
Se lee: 15% anual capitalizable cada mes
Se lee: 15% anual convertible cada mes
b) 𝑗 = 7% 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑐/ 𝑐. 𝑚𝑒𝑠 Es igual a: 𝑗 = 7% 𝑐 𝑐
⁄ 𝑚𝑒𝑠.
Se lee: 7% semestral capitalizable cada mes
Se lee: 7% anual convertible cada mes

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S1>RELACION DE EQUIVALENCIA ENTRE TASAS:
Aun que pueden plantearse una infinidad de relaciones de tiempo entre tasas, en esta guía solo se hará
énfasis a las nominales, referenciales o convencionales (anuales) y las efectivas referidas a un periodo
de capitalización.
Tiempo en Finanzas: Convencionalmente en el texto, se aplicará las siguientes unidades y
equivalencia básica de tiempo o plazo en un estudio de caso; así como los sub periodos de un año de
respecto a un año, como sigue:
En un año existe un periodo anual (A), de un año
En un año existe Dos periodos semestrales (S), de seis meses
En un año existe tres periodos cuatrimestrales (N), de cuatro meses
En un año existe cuatro periodos trimestrales (T), s de tres meses
En un año existe seis periodos bimestrales (B), de dos meses
En un año existe doce periodos mensuales (M), de un mese
En un año existe 360 periodos Diarios (D),
• Notara usted que los periodos o sub periodos de tiempo, tienen una letra inicial distinta, lo que
nos permitirá en muchas, aplicaciones utilizar esta nomenclatura equivalente.
La relación de equivalencia Algebraica entre la tasa nominal y efectiva se determina mediante:
NOMINAL A EFECTIVA
Efectiva periódica en función a una nominal o referencial y (m) 𝑖𝑚 =
𝑗
𝑚
× 100
Efectiva anual en función a una nominal o referencial y (m) 𝑖𝐴 = [(1 +
𝑗
𝑚
)
𝑚
− 1] ∗ 100
DE EFECTIVA A NOMINAL
Nominal en función de una efectiva periódica y (m) 𝑗𝑚 = 𝑖 × 𝑚 × 100
Nominal en función a una efectiva anual y (m) 𝑗𝑚 = 𝑚[ √1 + 𝑖𝐴
𝑚
− 1] ∗ 100
Es todas las relaciones se debe aplicar tasas unitarias
- Nótese que las tasas nominales todas son anuales, pudiéndose en casos especiales aplicar a otro periodo
referencial (desde un punto de vista más practico en equivalencias)
TABLAS DE FACTORES FINANCIEROS (TFF): en este anexo del texto guia usted dispone de una serie de tablas
para calcular:
• Equivalencia de tasas
- Efectiva periódica (i), en función a una nominal (j), o referencial anual, Pag. (6)
- Efectiva anual (i), en función a una nominal (j), o referencial anual), Pag. (7)
- Efectiva periódica (i) en función a una efectiva (anual), Pag. (8)
- Nominal (J), en función de una efectiva (i), periódica y (m), Pag. (¿?)
- Nominal (J), en función a una efectiva anual (m), Pag. (9)
• Factores de equivalencia en función de la tasa (i), y el número (n), de periodos:
- Estas aplicaciones se las verá en el proceso de aprendizaje, estén atentos. Pag. (10>25)

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T1>(S1-U1) Lección Tasas Equivalentes.
Tasa efectiva periódica (i), en función de una tasa nominal (j):
Formula Básica: 𝑖𝑛 =
𝑗
𝑚
∗ 100; {
𝑱 = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜
𝒎 = 𝑁𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑏 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑎ñ𝑜
Datos:
J = tasa nominal unitaria, respecto a un año y capitalizable cada sub periodo de un
año;
m = Numero de sub periodos en un año.
• La tasa, debe ingresar a la formula en forma unitaria, es decir que previamente se la
debe dividir entre 100, como se acostumbrara en adelante
NOTA: A manera de facilitar el cálculo de tasas, se presenta un método alternativo,
aplicando tablas estándar (adjunto al texto guía). (solamente en caso de que la tasa y el
número de periodos sean enteros, o medios)
E(1)-T1>(S1-U1) Ejemplos de seguimiento
Un documento hace referencia a una tasa nominal de 18% c/c mes; ¿calcular la tasa efectiva
sobre el periodo de capitalización?
Solución:
DATOS: j=18% c/c mes (unitaria): m=12 meses en un año
Tasa Efectiva: 𝑖 =
𝑗
𝑚
× 100 =
0.18
12
× 100 𝑖 = 1.50% 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙
Solución:2 (Aplicando tablas de tasas equivalentes): Ver texto:
Tasa efectiva =; pag-8: (Fila-18%,Columna-mes)=1.5% mensual
Un documento hace referencia a una tasa nominal de 18% c/c bimestral; ¿calcular la tasa
efectiva sobre el periodo de capitalización?
Solución:
DATOS: j=18% c/c Bimestre: (unitaria) m=6 Bimestres en un año
𝑗
𝑚
× 100 =
0.18
6
× 100 𝒊 = 𝟑% 𝒃𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍
Solución:2 (Aplicando tablas de tasas equivqlentes, de la seccion 2 de la Guia):
Tasa efectiva =; pag-8: (Fila-18%,Columna-bimestre)= 3.0% bimestral

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Un documento hace referencia a una tasa nominal de 9% Semestral c/c mes; ¿calcular la tasa
efectiva sobre el periodo de capitalización?
Solución: (1)
DATOS para la solución:
j =9% semestral c/c mes; o (tasa nominal), m=6 mes; en un semestre
𝑗
𝑚
× 100 =
0.09
6
× 100 𝒊 = 𝟏. 𝟓% 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍
DATOS para la solución alternativa:
j =9% semestral c/c mes; = 9x2=18% c/c mes, o (tasa nominal); m=12 meses; en un año
𝑗
𝑚
× 100 =
0.18
12
× 100 𝒊 = 𝟏. 𝟓% 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍
Solución:2 (Aplicando tablas de tasas equivqlentes):
DATOS: j =9% semestral c/c mes; = 9x2=18% o (tasa nominal), m=18 mes, por año.
Tasa efectiva =; pag-8: (Fila-18%,Columna-mes)= 1.5% mensual

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Tasa efectiva anual (i), en función de una tasa nominal (j):
La relación para determinar la tasa equivalente es:
Formula Básica: 𝑖𝐴 = [(1 +
𝑗
𝑚
)
𝑚
− 1] ∗ 100
Donde:
J = tasa nominal (anual capitalizable en subperiodos de un año, y unitaria)
m = Numero de subperiodos en un año.
NOTA. - Es este curso se descartan otros periodos de referencia distintos a un año.
Un documento hace referencia a una tasa nominal de 18% c/c mes; ¿calcular la tasa efectiva
anual o sobre el periodo de referencia?
Solución:2 (Aplicando formula algebraica):
DATOS para la solución:
j =18% c/c mes; o (tasa nominal), (J=0.18, unitaria), m=12 meses; en un año
Tasa Efectiva:
𝑖𝐴 = [(1 +
𝑗
𝑚
)
𝑚
− 1] ∗ 100 = [(1 +
0.18
12
)
12
− 1] ∗ 100; 𝒊𝑨 = 𝟏𝟗. 𝟓𝟔 % 𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍
(Anual capitalizable cada año)
Solución:2 (Aplicando tablas estandar):
Tasa Efectiva: i =; pag-7: (Fila-18%,Columna-mes)=19.56% anual
Solución: (3) c/ planillas excel (Efectiva anual en función de una Nominal)
Dele un doble clip y tendrá la formula
a)
A B C D
1 Tasa Nomina No de periodos Tasa efectiva (A) Formula
2 18% 12 19.56% INT.EFECTIVO(A2;B2)
Un documento hace referencia a una tasa nominal de 24% c/c trimestre; ¿calcular la tasa efectiva
anual respecto al periodo referencial, o anual
Solución: (1) c/ formula algebraica Efectiva respecto al periodo de referencia (año):
Datos:
J= 24% c/c mes; (Debe entrar unitaria) Tasa nominal Anual
m=4 trimestres No de periodos en un año.
Tasa efectiva: 𝒊𝑨 = [(𝟏 +
𝒋
𝒎
)
𝒎
− 𝟏] ∗ 𝟏𝟎𝟎 = [(𝟏 +
𝟎.𝟐𝟒
𝟒
)
𝟒
− 𝟏] ∗ 𝟏𝟎𝟎
𝒊𝑨 = 𝟐𝟔. 𝟐𝟓 % 𝒂𝒏𝒖𝒂𝒍

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i =; pag-7: (Fila-24%,Columna-Trimestre)=26.25% anual
Solución: (3)  c/ planillas excel (Efectiva anual en función de una Nominal)
A B C D
2 24% 4 26.25% INT.EFECTIVO(A2;B2)
EXCEPCIÓN:
TASA EFECTIVA ANUAL en función a una nominal que se CAPITALIZA CONTINUA O
INSTANTANEAMENTE:
Si el periodo de capitalización fuera menor a una hora y mucho menos a un minuto, entonces se dice que es
(instantánea), continua, es decir si: n→ ∞; tiende a infinito. Entonces
Dado que: 𝑖𝐴 = lim
𝑥→∞
[(1 +
𝑗
𝑚
)
𝑚
− 1] = 𝑒𝑗
− 1
Tasa efectiva (i): 𝒊𝑨 = 𝒆𝒋
− 𝟏
Dónde: j= tasa nominal; e= 2.7182 (base del log natural.
Si la tasa nominal es del 18% capitalizable continuamente; ¿Calcular la tasa de interés efectiva
anual equivalente?
Solución (1): Aplicando formula estándar
Datos:
J= 18% c/c instante; (Debe entrar unitaria)Tasa nominal Anual
m=1000 trimestres No de periodos en un año.
Si: 𝒊𝑨 = [(𝟐. 𝟕𝟏𝟖𝟐)𝟎.𝟏𝟖
− 𝟏] × 𝟏𝟎𝟎.  𝒊𝑨 = 𝟏𝟗. 𝟕𝟐% 𝑨𝒏𝒖𝒂𝒍
Solución: (2)  c/ planillas excel (Efectiva anual en función de una Nominal)
A B C D
2 18% 10000 19.72% INT.EFECTIVO(A2;B2)
Note que en Excel el número es, n= 1000 para tener una aproximación adecuada

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Tasa efectiva periódica (i), en función de una efectiva anual (i):
Formula Básica: 𝑖 =
𝑗𝑚
𝑚
= [ √1 + 𝑖𝐴
𝑚
− 1] ∗ 100
Donde:
iA = tasa efectiva anual. (referencia de un año)
Un documento hace referencia a una tasa efectiva de 18%anual; ¿calcular la tasa efectiva
mensual?
Solución:
Datos:
iA= 18% A; (Debe entrar unitaria) Tasa efectiva Anual
m=12 No de periodos en un año.
𝒊 = [ √𝟏 + 𝒊𝑨
𝒎
− 𝟏] ∗ 𝟏𝟎𝟎 = [ √𝟏 + 𝟎. 𝟏𝟖
𝟏𝟐
− 𝟏] ∗ 𝟏𝟎𝟎: 𝒊 = 𝟏. 𝟑𝟗 % 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍
Tasa Nominal: i =; pag-(6): (Fila-18%,Columna-mes)=1.39% mensual
Solución: (3) Aplicando EXCEL Dele un doble clip y tendrá la formula editable.
A B C D
1 Tasa Anual Periodos en 1año Tasa Efectiva (m) Formula
2 18.00% 12 1.39% TASA.NOMINAL(B2,C2)/C2
Un documento hace referencia a una tasa efectiva de 13%anual; ¿calcular la tasa efectiva
equivalente trimestral?
Solución: /1) (aplicando una tasa efectiva anual)
Datos: iA= 13% A; (Debe entrar unitaria) Tasa efectiva Anual
m= 4 Trimestres No de periodos en un año.
𝒊 = [ √𝟏 + 𝒊𝑨
𝒎
− 𝟏] ∗ 𝟏𝟎𝟎 = [√𝟏 + 𝟎. 𝟏𝟑
𝟒
− 𝟏] ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝒊 = 𝟑. 𝟏𝟎 % 𝒕𝒓𝒊𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
Tasa efectiva: i =; pag-(6): (Fila=13%,Columna=trimestre)= 3.10% trimestral

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Un documento hace referencia a una tasa efectiva de 17% anual; ¿calcular la tasa efectiva semestral
equivalente?
Solución:1 (Aplicando formula algebraica):
Datos, para la solución
iA= 17% Anual; (Debe entrar unitaria) Tasa efectiva Anual
m= 2 semestres No de periodos en un año.
𝒊 =
𝒋𝒎
𝒎
= [ √𝟏 + 𝒊𝑨
𝒎
− 𝟏] ∗ 𝟏𝟎𝟎 = [√𝟏 + 𝟎. 𝟏𝟕
𝟐
− 𝟏] ∗ 𝟏𝟎𝟎 𝒊 = 𝟖. 𝟏𝟕 % 𝒔𝒆𝒎𝒆𝒔𝒕𝒓𝒂𝒍
DATOS: j =17% anual c/c mes; (tasa nominal), m=2 semestre, por año.
Tasa efectiva =; pag(6); (Fila-17%,Columna= semestre)= 8.17% semestral
Tasa nominal periódica (j), en función de una tasa efectiva periódica (i):
Formula Básica: 𝒋𝒎 = (𝒊 × 𝒎) × 𝟏𝟎𝟎
Donde:
im = tasa efectiva periódica, unitaria (referencia de un año)
Para insertar la tasa nominal convencional en un documento se tiene que hallar la equivalencia
de una efectiva i=1.5% mensual. ¿Cuál es dicha tasa?
Solución: Aplicando formula algebraica
𝒋𝒎 = 𝒊 × 𝒎 × 𝟏𝟎𝟎 = 0.015 × 12 × 100  𝑗 = 18% 𝑐/𝑐 . 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙
Solución: (3) c/ planillas excel (Efectiva anual en función de una Nominal)
Dele un doble clip y tendrá la formula editable.
A B C D
1 Tasa "i" Periodos en 1 año Tasa "J" (m) Formula
2 1.50% 12 18.00% TASA.NOMINAL (s/F)

U.A.G.R.M GESTION
Calcular la tasa (j), nominal (anual), y capitalizable Bimensual de una tasa efectiva del 2.5%
Bimensual.
Datos:
im= 2.5% Bimensual; (Debe entrar unitaria) Tasa efectiva bimensual
m= 6 Bimestres No de periodos en un año.
𝑗𝑚 = 𝑖 × 𝑚 × 100 = 0.025 × 6 × 100 𝑗 = 15% 𝑐/𝑐 . 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
15% anual capitalizable cada bimestre
Calcular la tasa nominal semestral y capitalizable semestral de una tasa efectiva 3.5% semestral.
Datos: para la solución.
im= 3.5% semestral; (Debe entrar unitaria) Tasa efectiva semestral
m= 2 semestres No de periodos en un año.
𝑗𝑚 = 𝑖 × 𝑚 × 100 = 0.035 × 2 × 100 𝑗 = 7% 𝑐/𝑐 . 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
15% anual capitalizable cada bimestre
Tasa nominal periódica (jm), en función de una tasa efectiva anual (ia):
Formula Básica: 𝒋𝑚 = 𝑚[ √1 + 𝑖𝐴
𝑚
− 1] ∗ 100
Donde:
Ia = tasa efectiva anual. (referencia de un año)
m = Numero de sub periodos en un año.
Dada una tasa efectiva de 18% anual; ¿calcular la tasa nominal capitalizable mensual, es?
Datos:
ia = 18% tasa efectiva anual.; (Debe entrar unitaria)
m= 12 meses No de periodos en un año.
Tasa Nominal: 𝑱𝑚 = 12[ √1 + 0.18
12
− 1] ∗ 100 ➔ 𝒋𝒎 = 16.67% 𝑐/𝑐 . 𝑚𝑒𝑠
16.67% anual capitalizable c/mes
J =; pag-(9): (Fila=18%,Columna=mes)= 16.67% c/c mes

U.A.G.R.M GESTION
Solución: (3) Aplicando EXCEL Dele un doble clip y tendrá la formula editable.
A B C D
1 Tasa Anual Periodos en 1 año Tasa Efectiva (m) Formula
2 18.00% 12 16.67% TASA.NOMINAL(B2,C2)
Dada una tasa efectiva de 15.5% anual; ¿calcular la tasa nominal capitalizable bimensual, es?
ia = 15.5% tasa efectiva anual.; (Debe entrar unitaria)
m= 6 bimestres No de periodos en un año.
Tasa Nominal: 𝒊𝑚 = 6[√1 + 0.155
6
− 1] ∗ 100 ➔ 𝒋𝒎 = 𝟏𝟒. 𝟓𝟖% 𝒄/𝑐 . 𝑏𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒
14.58% anual capitalizable c/bimestre
Tasa nominal: J =; pag-(9): (Fila=15.5%,Columna=bimestre)= 14.58% c/c bimestre
Dada una tasa efectiva de 20% anual; ¿calcular la tasa nominal capitalizable mensual, es?
ia = 20% tasa efectiva anual.; (Debe entrar unitaria)
m= 12 Meses No de periodos en un año.
Tasa Nominal: 𝒊𝑚 = 𝑚[ √1 + 𝑖𝐴
𝑚
− 1] ∗ 100 = 12[ √1 + 0.20
12
− 1] ∗ 100
𝒋𝒎 = 18.37% 𝑐/𝑐 . 𝑚𝑒𝑠 18.37% anual capitalizable c/mes
Tasa nominal: J =; pag-(9): (Fila=20%,Columna=mes)= 18.37% c/c mes

U.A.G.R.M GESTION
E (*)-T2 Ejemplo de un estudio de caso. Didáctico para tomarlo en cuenta
Por ejemplo: Si la inversión A paga el 10%, capitalizándola mensualmente, y la inversión B paga el
10,1%, capitalizado semestralmente, se puede usar la tasa efectiva para determinar qué inversión
realmente pagará más en el transcurso del año.
a) Si la tasa es del 10% c/c mes; entonces su efectiva es:
𝑖𝐴 = [(1 +
0.1
12
)
12
− 1] ∗ 100 = 10.47% 𝐴
b) Si la tasa es del 10.1 % S c/c M
𝑖𝐴 = [(1 +
0.101
2
)
2
− 1] ∗ 100 = 10.36% 𝐴
Conclusión:
Aunque la inversión B tiene una tasa nominal más alta, su tasa efectiva es más baja que la de la
inversión A.
Es importante calcular la tasa efectiva, porque si se invirtiera $5.000.000 en una de estas inversiones,
la decisión equivocada costaría más de $5.800 por año.
A medida que aumenta el número de períodos de capitalización, también aumenta la tasa efectiva. Los
resultados de diferentes períodos capitalizados, con una tasa nominal de 10% serían:
– Semestral = 10,250%
– Trimestral = 10,381%
– Mensual = 10,471%
– Diario = 10,516%
– Continua = 10,517% ; (𝑖 = (𝑒𝑗
− 1)100
Hay un límite para el fenómeno de la capitalización. Incluso si la capitalización ocurriera una
cantidad infinita de veces, se alcanzaría el límite de capitalización. Con 10%, la tasa efectiva
capitalizada continuamente sería 10,517%.
Esta tasa se calcula elevando el número «e» (aproximadamente igual a 2,71828) a la potencia de la

U.A.G.R.M GESTION
(S2-U1) Sección de seguimiento Equivalencia del dinero en el tiempo
1.1.- Introducción y conceptos.
En esta sección conoceremos el concepto del valor del dinero en el tiempo; dicho de otro modo,
haremos énfasis en el criterio que se debe remarcar en matemáticas financieras, como ser que: “un
monto de dinero hoy no nos sirve transcurrido un cierto tiempo, considerando su valor adquisitivo”;
por otro lado “una institución financiera no nos prestará un monto hoy para que, al cabo de un
determinado plazo, se le devuelva el mismo monto”.
1.2.0.- Equivalencia del dinero en el tiempo. –
Significa que financieramente dos montos diferentes son equivalentes en distintos momentos si
se considera que el dinero debe conservar su valor económico en tiempos distintos.
P/ej. 1000bs hoy a una tasa del 2% anual son equivalentes a 1200bs dentro de 1 año
1.3.0.- Flujo de efectivo o Flujo de caja neto. –
Se le denomina al conjunto de las entradas y salidas de dinero en un determinado número de
periodos de tiempo, que son representadas en una tabla de cálculo.
En general el flujo de caja neto por cada periodo es el resultado de la diferencia entre las
entradas menos las salidas o desembolsos, al final de cada periodo.
P/ej. Un emprendimiento económico tiene el siguiente movimiento de ingresos e salidas
FLUJO DE EFECTIVO NETO
Periodo 2020 2021 2022 2023 2024 2025
Inversión -180,000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00
Retornos 0.00 38,500.00 35,000.00 35,000.00 35,000.00 35,000.00
Valor residual 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 55,000.00
SUMA -180,000.00 38,500.00 35,000.00 35,000.00 35,000.00 90,000.00
1.4.0.- Diagrama de Flujo de Caja. - Es una representación gráfica y convencional del dinero en el
tiempo, en el plano o eje de las coordenadas x., además de las variables de Valor presente, valor
futuro, y tasa de interés (Desde el punto de vista personal)
Terminología. -
• Tasa. - Es el tanto por ciento que rinde el dinero en forma compuesta
• Periodo. - Es el tiempo transcurrido entre uno u otro periodo
• Plazo. - Es el tiempo desde el inicio hasta el final del último periodo.
• Capitalización. - Proceso en el cual el presente se transforma en futuro.
• Actualización. - Proceso en el cual el futuro se transforma en presente.
Convención gráfica.
0
2 n=?
P=Inversión $
M
1
=?
$
1 4
3 n
5
Ingresos
Entradas
Egresos
Salidas
M
2
=?
$
M
3
=?
$
M
4
=?
$
M
5
=?
$
• Los egresos pueden ser o no periódicos y/o uniformes
• Los Ingresos pueden ser o no periódicos y/o uniformes

U.A.G.R.M GESTION
Ejemplos 1: Hacer una representación del siguiente flujo de efectivo visto en el anterior
ejemplo para un plazo de 5años.
Flujo
Periodo 2020 2021 2022 2023 2024 2025
Monto -180,000.00 38,500.00 35,000.00 35,000.00 35,000.00 90,000.00
Diagrama
Ejemplos 2: Hacer una representación del flujo que muestre una inversión al inicio, un pago
fijo en el periodo 2, una anualidad a partir del periodo 4, un valor residual al final del plazo o
vida útil, de 12 periodos.
Operaciones Financieras para pagos y cobros únicos
El objetivo en esta sección, consiste en calcular las variables de: Valor presente, Valor futuro
en función de los factores que dependen del tiempo y la tasa de rendimiento
S2>1 Operaciones financieras mediante pagos o cobros Únicos
Tipos de aplicaciones o estudios de casos:
a) Extinguir deudas. – mediante un solo pago o
amortización al final del plazo que contiene el
monto inicial más los intereses adicionales,
que se tienen que pagar al final del plazo por
el uso del dinero.
Note usted que el futuro es igual al presente más los intereses pagados
b) Formar capitales. - mediante un pago hecho o
impuesto al inicio del plazo, para recibir un
monto futuro que contiene el monto inicial más
los intereses ganados en el plazo indicado.
Note usted que el futuro es igual al presente
más los intereses ganados:
0
r
2 n=5A
P=180,000
$
38,500
$
2022
2023
2024
2025
1 4
3 n
2021
35,000
$
2020
35,000
$
35,000
$
90,000
$
5
A= ($/M)
0
r r+1
n
P
F
2
0 n
P
F= P+I
i
(%)
0 n
P
F=P+I
i

U.A.G.R.M GESTION
S2>2 Tipos de soluciones o métodos para:
a) Extinguir deudas. – Métodos aplicados el estudio de casos
- Aplicando las fórmulas algebraicas para toda situación
- Aplicando Formulas estándar o Tablas de cálculo de factores, (en caso de que las
unidades que dependen tiempo como lo son las tasa y periodos sean números
enteros)
- Aplicando planillas digitales EXCEL, para toda situación
b) Formar capitales. – Métodos aplicados el estudio de casos
- Aplicando las fórmulas algebraicas para toda situación
- Aplicando Formulas estándar o Tablas de cálculo de factores(en caso de que las
unidades que dependen tiempo como lo son las tasa y periodos sean números
enteros)
- Aplicando planillas digitales EXCEL, para toda situación
S2>3 Interés compuesto:  I 
Dado que el interés es un concepto equivalente a la utilidad, en este caso lo definimos
como: I=F-P; Interés=Valor futuro menos valor presente
S2>4 FORMULAS PARA APLICAR:
Formar Capitales
DESCRIPCION Valor Futuro  F Valor presente  P Tasa  i No de periodos  n
FORMULA 𝑭 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑷 = 𝑭 (
𝟏
𝟏 + 𝒊
)
𝒏
𝒊 = [√
𝑭
𝑷
𝒏
− 𝟏] 𝟏𝟎𝟎
𝒏 =
𝒍𝒏(𝑭/𝑷)
𝒍𝒏(𝟏 + 𝒊)
Notación
Estándar
𝑭 = 𝑷[𝑭 𝑷; 𝒊%; 𝒏
⁄ ] 𝑭 = 𝑷[𝑷 𝑭; 𝒊%; 𝒏
⁄ ] * *
Importante:
- Las tasas siempre ingresan unitariamente
- En todos los casos las unidades de periodos y tasa deben tener una sola medida
Nota Las fórmulas de VP, y/o VF se aplican indistintamente, de acuerdo al enunciado.
Notación estándar: 𝑭 = 𝑷[𝑭 𝑷; 𝒊%; 𝒏
⁄ ], adecuada para simplificar las fórmulas tradicionales. En el presente
curso. además, se aplicará el uso de calculadoras financieras, científicas y las hojas de cálculo EXCEL.
En todos los casos se recomienda que el alumno edite los ejercicios en un cuaderno exclusivo,
donde además respete el procedimiento de los ejemplos planteados, así como también las
preguntas de seguimiento.

U.A.G.R.M GESTION
n=0
P= (12,000) $
J=18%c/c M
1 n=24M
DIAGRAMA
3 6 9
Fa= (¿?) $
T6>(S2-U1) Lección Extinción de deudas pagos únicos a I.C.
Teoría y conceptos. - Las personas cuando tienen necesidades reciben préstamos, con el compromiso
de pagar montos a Interés compuesto, por el uso del dinero, en los siguientes casos;
Es este tipo de aplicación pueden darse los casos de Capitalización o de actualización.
Los estudios de caso se dan cuando una persona tiene la necesidad de disponer de un cierto
monto de dinero (P) para invertir y/o aprovechar una oportunidad económica.
Es esta situación es posible hacerse las siguientes preguntas:
• Si me presto hoy un monto (P), cuanto tengo que devolver (F), en un plazo de (n)
periodos y una tasa (i)
• En qué plazo (n) puedo extinguir un préstamo o deuda de (P), a una tasa del (i), tal que
el monto final sea de (F). o el interés a pagar sea de (I)
• Cuál es la tasa mínima para cancelar un préstamo de (P), en un plazo de (n) periodos
tal que el monto final sea (F).
• Cuál será el interés (I), que se ganara el un plazo (n) periodos, si hoy se hace un
préstamo (P), a una tasa (i) de rendimiento, periódica
FORMULAS PARA APLICAR:
Ver Sección (S1-U1) y anexo de tablas de factores de cálculo Financiero.
Importante:
- Las tasas siempre ingresan efectivas y en formato unitario.
- En todos los casos las unidades de periodos y tasa deben tener una sola unidad de medida
- En todos los casos se recomienda que el alumno edite los ejercicios en un cuaderno
exclusivo, donde además respete el procedimiento de los ejemplos planteados, así como
también las preguntas de seguimiento.
Calcular el monto futuro que se tiene que
pagar por un préstamo de 12,000$ en un
plazo de dos años y una tasa de interés del
18% c/c mes.
Solución (1): (c/ Capitalización mensual)
Memoria de cálculo:
DATOS: i=1.50% mensual; (*) n=24M; (*) de la tabla pág.
(*) =Tasa: ver tablas; pag: 8: (Fila-18%,Columna-mes)=1.5% mes
Futuro: 𝑭 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏
= 𝟏𝟐, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟓)𝟐𝟒
𝑭 = 𝟏𝟕, 𝟏𝟓𝟒 $ Son: Diez y seis mil setecientos trece; 00/100 $
Solución (2) (c/ Capitalización anual)
DATOS: i=19.56% anual; (*) n=2A; (*) de la tabla pág.
Tasa: ver tablas; pag: 7: (Fila-18%,Columna-mes)=19.56% anual
= 𝟏𝟐, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟏𝟗𝟓𝟔)𝟐
𝑭 = 𝟏𝟕, 𝟏𝟓𝟒 $ Son: Diez y seis mil setecientos trece; 00/100 $

U.A.G.R.M GESTION
n=0
P= (10,000) $
i=18% A
1 n=24M
DIAGRAMA
3 6 9
Fa= (¿?) $
n=0
P= (9,000) $
J=17% c/c M
1
n= ??M
DIAGRAMA
3 6 9
Fa= (¿?) $
Solución (3) APLICANDO EXCEL
E(1)-T1> S2-U1 Valor Futuro Tasa = 1.50%
EJ 1 l= 0.00% Dato = 12000 Dato +l = 12,000.00
No MAMORIA DE CALCULO
Factor tasa Plazo Dato Resultado
Futuro de P F/P 1.50% 24 12,000.00 -17,154.03
SON: -17,154
Si hoy se recibe un monto de 10,000$,
en calidad de préstamo ¿Cuál será el
monto a cancelar en un plazo de dos
años y a una tasa del 18% anual.?
Solución:
i) Diagrama:
ii) Memoria de cálculo:
Tasa efectiva: (*) =Tasa: ver tablas; pag: 6: (Fila-18%,Columna-mes)=1.39% mes
= 𝟏𝟎, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟗)𝟐𝟒
𝑭 = 𝟏𝟑, 𝟗𝟐𝟖. $ Son: trece mil novecientos veinte y ocho; 00/100 $
En qué plazo (mes), se deberá extinguir una
deuda de 9.000$, con el propósito de que el
monto por concepto de intereses sea de
2,500$, a una tasa de rendimiento del, 17%
c/c mes.
Solución:
i) Diagrama:
ii) Memoria de cálculo: (**) =Tasa: ver tablas; pag: 8 (Fila-17%, Columna-mes) =1.42% mensual.
DATOS: i=1.42% mensual; (**) n=? Mes; F=P+I=9,000+1,800=10,800$.
Plazo: 𝒏 =
𝒍𝒏(𝑭)−𝒍𝒏(𝑷)
𝒍𝒏(𝟏+𝒊)
=
𝒍𝒏(𝟏𝟏,𝟓𝟎𝟎)−𝒍𝒏(𝟗,𝟎𝟎𝟎)
𝒍𝒏(𝟏+𝟎.𝟎𝟏𝟒𝟏)
𝒏 = 𝟏𝟕. 𝟒 𝑴𝒆𝒔𝒆𝒔 Son: un año y medio.
Solución (2): aplicando EXCEL
E(3)-T1> S2-U1 Plazo para extinguir Tasa = 1.42%
c) EJ: l= 0.00% Dato = 9000 Dato +l = 9,000.00
Factor Tasa Presente Futuro Resultado
Plazo de P,F s/f 1.42% 9000 -11,500.00 17.38
SON: Meses 17.4

U.A.G.R.M GESTION
n=0
P= (18,000) $
i=??% M
1
n= 1.5A
DIAGRAMA
3 6 9
Fa= (¿?) $
n=0
P= (12,000) $
i=2% M
1
n=18M
DIAGRAMA
3 9 12
Fa= (¿?) $
Cual deberá ser la tasa de interés mensual
que se deberá pagar por un préstamo de
18,000$ en un plazo de año y medio, con la
condición de pagar por concepto de intereses
un monto de 6,900$. Al final del plazo.
Solución: (1) (Aplicando un plazo mensual)
i) Diagrama, y Memoria de cálculo:
DATOS: i = X% mensual; n=18 Meses; F=P+I=18,000+6,900=21,900$.
Tasa: 𝒊 = [√
𝑭
𝑷
𝒏
− 𝟏] 𝟏𝟎𝟎 = [ √
𝟐𝟒,𝟗𝟎𝟎
𝟏𝟖,𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟖
− 𝟏] 𝟏𝟎𝟎
𝒊 = 𝟏. 𝟖𝟐%. 𝒎𝒆𝒏𝒔𝒖𝒂𝒍  Son: 1.82 por cada cien.
Solución (2): aplicando EXCEL
E(4)-T2→ S2-U1 TASA en funcion de P y F Tasa = 1.50%
c) EJ: l= 0.00% Dato = 5000 Dato +l = 5,000.00
Factor plazo Presente Futuro Resultado
Tasa de P,F s/f 18.00 18,000.00 -24,900.00 1.82%
SON: % mensual 1.82%
E5 Calcular el interés que se tiene que cancelar
por un préstamo de 12,000 $ al cabo de un año y
medio y una tasa del 24% c/c mes-
Solución: 1 (Aplicando una tasa mensual)
DATOS: i=2% M; (*) n=18 M; .
Tasa efectiva: (**) =Tasa: ver tablas; pag: (8); (Fila-24%, Columna-mes) =2 % mensual.
Importante:
Aplicaremos la solución con fórmulas estándar, aprovechando el hecho de que las tasa y el
número de periodos son números enteros
Futuro: 𝑭 = 𝑷[𝑭 𝑷; 𝒊%; 𝒏
⁄ ] = 𝟏𝟐, 𝟎𝟎𝟎[𝑭 𝑷; 𝟐%; 𝟏𝟖
⁄ ] = 𝟏𝟐, 𝟎𝟎𝟎[𝟏. 𝟒𝟐𝟖𝟐]
𝑭 = 𝟏𝟕, 𝟏𝟑𝟗. $
Interés: 𝑰 = 𝑭 − 𝑷 = 𝟏𝟕, 𝟏𝟑𝟗 − 𝟏𝟐, 𝟎𝟎𝟎
𝑰 ≈ 𝟓, 𝟏𝟑𝟗 $ Son: Literal; 00/100 $
Solución: 2 Aplicando tasa ANUAL
Memoria de cálculo: DATOS: i=26.82% A; (**) n=1.5 A; (**) tasa efectiva.
Tasa efectiva: (**) =Tasa: ver tablas; pag: 7 (Fila-24%, Columna-mes) =26.82 % mensual.
= 𝟏𝟐, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟐𝟔𝟖𝟐)𝟏.𝟓
𝑭 = 𝟏𝟕, 𝟏𝟑𝟖 $
Interés: 𝑰 = 𝑭 − 𝑷 = 𝟏𝟕, 𝟏𝟑𝟖 − 𝟏𝟐, 𝟎𝟎𝟎 =?
𝑰 ≈ 𝟓, 𝟏𝟑𝟖 Son: Literal; 00/100 $

U.A.G.R.M GESTION
n=0
P= (15,000) $
i=18%c/c M
1 n=24M
DIAGRAMA
3 6 9
Fa= (¿?) $
T7>(S2-U1) Lección Formación de Capitales c/ pagos únicos a I.C .
Teoría y conceptos. – los saldos mensuales de
familias, generalmente se utilizan para ahorrar y
tener montos al final de un determinado plazo; en
otros casos.
El objetivo es planificar la formación de montos
finales, para los cuales es necesario imponer
montos en un determinado plazo.
En este tipo de casos, los intereses son ganados o a favor de los ahorristas, que indudablemente son
más bajos que los de amortizaciones.
Es esta situación es posible hacerse las siguientes preguntas, respecto a los pagos parciales
- Cuál sería el monto ahorrad al final del plazo
- Cuál sería el monto del primer pago para formar un capital.
- Cuanto se tendría que imponer el último pago en un cierto periodo.
- También se presentan casos para preguntarse por plazos (n) y tasas (i), para el mismo
propósito, solo que se requiere de un mayor practica y nuevas habilidades.
- ¿Cuál será el interés (I), que se pagará, por el préstamo durante el plazo? I=F-P
Importante:
- En todos los casos las unidades de periodos y tasa deben tener una sola unidad de
medida
Calcular cuánto será el monto
acumulado en un plazo de dos años si
hoy se hace un depósito a plazo fijo de
15,000$ a una tasa del 18% c/c mes
Solución: (1) Aplicando tasa mensual
i) Diagrama:
ii) Memoria de cálculo: (Aplicando tasa Mensual, plazo en mes)
DATOS: i=1.50% mensual; (*) n=24M; (*) de la tabla pag.
(*) =Tasa: ver tablas; pag: (8) (Fila-(18%), Columna-mes) =1.50 % mensual.
= 𝟏𝟓, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟓)𝟐𝟒
𝑭 = 𝟐𝟏, 𝟒𝟒𝟐. 𝟓 $
Son: literal ………; 00/100 $ 
0 n
P
F= P+I=X
i (%)
DIAGRAMA

U.A.G.R.M GESTION
n=0
P= (X) $
i=2 M
1 n=3A
DIAGRAMA
12 24
Fa= (15,000) $
Solución: (2) Aplicando tasa anual
Memoria de cálculo: (Aplicando tasa anual, plzo en año)
DATOS: i=19.56% anual; (*) n=2M; (*) de la tabla pág.
= 𝟏𝟓, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟏𝟗𝟓𝟔)𝟐
𝑭 = 𝟐𝟏, 𝟒𝟒𝟐. 𝟓 $
Son: literal………; 00/100 $ 
Solución: (3) Aplicando EXCEL
EJ 1 l= 0.00% Dato = 12000 Dato +l = 12,000.00
Futuro de P F/P 1.50% 24 15,000.00 -21,442.54
SON: -21,442.54
Si se quiere disponer de 15,000$, en un
plazo de tres años; cuanto debo imponer
hoy si la tasa de rendimiento es del 2%
mensual
Solución: (1) Aplicando tasa mensual
i) Diagrama:
ii) Memoria de cálculo:
DATOS: i=2% mensual; (*) n=24M; (*) de la tabla pag.
Futuro: 𝑷 = 𝑭 (
𝟏
𝟏+𝒊
)
𝒏
= 𝟏𝟓, 𝟎𝟎𝟎 (
𝟏
𝟏+𝟎.𝟎𝟐
)
𝟑𝟔
𝑷 = 𝟕, 𝟑𝟓𝟑 $ Son: literal ………; 00/100 $ 
Solución: (2) Aplicando formula estándar
Memoria de cálculo: (Aplicando tasa anual, plzo en año)
Datos: i=2% mensual n=24M; (*) de la tabla pag.
Se aplica formula estándar porque la tasa esta en mes y el plazo lo podemos hacer en meses)
Futuro: 𝑷 = 𝑭[𝑷 𝑭
⁄ ; 𝟐%; 𝟐𝟒] = 𝟏𝟓, 𝟎𝟎𝟎[𝟎. 𝟒𝟗𝟐]
𝑭 = 𝟕, 𝟑𝟓𝟑 $ Son: literal ………; 00/100 $ 
EJ 1 l= 0.00% Dato = 12000 Dato +l = 12,000.00
Presente de F P/F 2.00% 36 -15,000.00 7,353.35
SON: 7,353

U.A.G.R.M GESTION
n=0
P= (10,000) $
i=18%c/c M
1 n=?M
DIAGRAMA
3 6 9
Fa= (15,0000) $
n=0
P= (8,000) $
i=???%c/c M
1
n=24M
DIAGRAMA
3 6 9
Fa= (10,500)
$,5
n=0
P= (9,000) $
i=16%c/c M
1
n=1.5A
DIAGRAMA
3 6 9
Fa= (¿?) $
Calcular el plazo en meses, para formar
un capital de 15,000 si se hace un
depósito de 10,000$ a una tasa de
interés del 18% anual.
Solución: Aplicando tasa mensual
DATOS: i=1.39% mensual; (*) n=???M; (*) de la tabla pág.
Futuro: 𝒏 =
𝒍𝒏(
𝑭
𝑷
)
𝒍𝒏(𝟏+𝒊)
=
𝒍𝒏(
𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎
)
𝒍𝒏(𝟏+.𝟎𝟏𝟑𝟗)
= 𝟐𝟗. 𝟑𝟕
𝒏 = 𝟐𝟗. 𝟑𝟕 𝒎𝒆𝒔𝒆𝒔 Son: literal ………; 00/100 $
E(3)-T7> S2-U1 Plazo Tasa = 2.00%
EJ 1 l= 0.00% Dato = 15000 Dato +l = 15,000.00
Factor tasa Presente Futuro Resultado
No. de periodos s/f 1.39% -10000 15,000.00 29.37
SON: 29
Calcular la tasa efectiva mensual, para formar
un capital de 10,500 si se hace un depósito de
8,000$ en un plazo de dos años
Solución: Aplicando periodo mensual
DATOS: ¿i= ???% mensual; n=24M; (*) (*) dato necesario.
Tasa: 𝒊 = (√
𝑭
𝑷
𝒏
− 𝟏) × 𝟏𝟎𝟎 = ( √
𝟏𝟎,𝟓𝟎𝟎
𝟖,𝟎𝟎𝟎
𝟐𝟒
− 𝟏) × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏. 𝟏𝟒
𝒊 = 𝟏. 𝟏𝟒% 𝒎𝒆𝒔𝒖𝒂𝒍 Son: bla bla ………; 00/100 $
Calcular el monto que se gana por concepto de
intereses, en un plazo de año y medio, si hoy se
deposita 9,000$, a una tasa de interés del 16.5%
anual
Solución: Aplicando tasa mensual
Tasa efectiva: (*) =Tasa: ver tablas; pag: (6) (Fila-(16.5%), Columna-mes) =1.28 % mensual.
= 𝟗, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟖)𝟏𝟖
𝑭 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟏𝟓. $ Son: bla bla ………; 00/100 $
INTERES: 𝑰 = 𝑭 − 𝑷 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟏𝟓 − 𝟗, 𝟎𝟎𝟎 =? $ 𝑰 = 𝟐, 𝟑𝟏𝟓 $

U.A.G.R.M GESTION
(S3-U1) Sección operaciones Financieras para pagos y cobros PARCIALES
Conceptos: En la vida cotidiana las personas acostumbran a prestarse dinero y pagarlo en una
serie no periódica ni uniforme de pagos PARCIALES; de manera similar puede suceder que las
mismas hacen pagos o impongan montos de dinero en forma parcial para formar un capital en
un determinado plazo.
Tipos de aplicaciones o estudios de casos:
a) Extinguir deudas. – Mediante uno o más pagos parciales o
amortizaciones no periódicas ni uniformes hasta liquidar la deuda
al final del pazo, sumando los parciales.
Los intereses a pagar, también son acumulados de cada pago
parcial.
b) Formar capitales (imposiciones) . - Mediante uno o más pagos
parciales o imposiciones no periódicas ni uniformes hasta formar
el capital deseado al final del plazo sumando los parciales.
Los intereses a recibir, también son acumulados de cada pago
parcial.
c) Distribución de capitales. - Cuando en una inversión los
retornos se dan mediante cobros, o cuando un monto ahorrado
es liquidad en pagos parciales. (Se lo vera en anualidades)
Métodos de Cálculo:
Método de la Ecuación de Valor Equivalente (EVE)
Haciendo las consideraciones de que: En un flujo, las entradas (ingresos), deben ser igual a las
Salidas (egresos), en cualquier espacio de tiempo (fecha focal); se plantea una EVE en una
fecha focal, sabiendo de antemano que debe existir el respectico equilibrio de montos de
entradas y salidas.
Procedimiento:
- Se determina la fecha focal, (n=k), De preferencia donde este la incógnita.
- Se plantea la EVE, de entradas y salidas en la fecha focal, tal que: ∑I=∑S
- Se procede a calcular las respectivas capitalizaciones o actualizaciones de cada monto
individual en la fecha focal.
- Una vez calculados los montos en la fecha focal se resuelve la ecuación que tiene como
única incógnita el monto solicitado
Formar Capitales
DESCRIPCION Valor Futuro  F Valor presente  P Tasa  i No de periodos  n
FORMULA 𝑭 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏 𝑷 = 𝑭 (
𝟏
𝟏 + 𝒊
)
𝒏
𝒊 = [√
𝑭
𝑷
𝒏
− 𝟏] 𝟏𝟎𝟎
𝒏 =
𝒍𝒏(𝑭/𝑷)
𝒍𝒏(𝟏 + 𝒊)
Notación Estándar 𝑭 = 𝑷[𝑭 𝑷; 𝒊%; 𝒏
⁄ ] 𝑭 = 𝑷[𝑷 𝑭; 𝒊%; 𝒏
⁄ ] * *
- Las tasas siempre ingresan unitariamente
- En todos los casos las unidades de periodos y tasa deben tener una sola medida
P
M1
n
M2 M3
i=?
F
M1
n
M2 M3
0
P
M1
n
M2 M3
0
i=
?

U.A.G.R.M GESTION
T8>(S3-U3) Lección Extinción de deudas c/ pagos y cobros parciales (amortizaciones)
Teoría y conceptos. - Las personas cuando tienen necesidad
(costo de oportunidad), de dinero, se prestan, y hacen
consideraciones respecto a los pagos.
En esta sección se considerará el hecho de que sus pagos serán
de manera parcial, no periódica y no constante.
Es esta situación es posible hacerse las siguientes preguntas, respecto a los pagos parciales:
- Cual sería lo que se tiene que pagar en la última cuota.
- Cuál sería la primera cuota para de los pagos
- Cuanto seria a el monto del préstamo, al cual se puede acceder, si se tiene planificado los
montos y fechas de los pagos parciales.
- También se presentan casos para preguntarse por plazos (n) y tasas (i), para el mismo
- ¿Cuál será el interés (I), que se pagará, por el préstamo durante el plazo? I=F-P
Importante:
P
M1
n
M2 M3

U.A.G.R.M GESTION
Hoy se recibe un préstamo por 12,500$
con el propósito de extinguirlo con tres
pagos parciales de 5,000$, 4,000$
durante los meses 9,15, y el ultimo al
final del plazo de un año y medio.
¿Calcular cuánto será el monto del
último pago?, si la tasa de rendimiento
es del 15% c/mes.
Solución: Aplicando el método de la ecuación Equivalente (EVE).
i) Diagrama: y Memoria de cálculo:
Tasa efectiva: (*) =Tasa: ver tablas; pag: (8) (Fila-(15%), Columna-mes) =1.25 % mensual.
Planteando la ecuación de entradas y salidas, en (n=18): tal que: ∑I=∑S
𝑭
𝑷 = 𝟏𝟐, 𝟓𝟎𝟎
𝒏 = 𝟏𝟖
⁄ = 𝑭
𝑷 = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟗
⁄ + 𝑭
𝑷 = 𝟒, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟑
⁄ + 𝑭
𝑷 = 𝑿
𝒏 = 𝟎
⁄
Ingresos Egresos
Calculo individual de los pagos parciales. 𝑭 = 𝑴𝒊 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏
El monto M0, se capitaliza n=18 meses; 𝑭 = 𝑴𝟎 = 𝟏𝟐, 𝟓𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓)𝟏𝟖
= 𝟏𝟓, 𝟔𝟑𝟐. 𝟐𝟐 $
El monto M9, se capitaliza n=9 meses; 𝑭 = 𝑴𝟗 = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓)𝟗
= 𝟓, 𝟓𝟗𝟏. 𝟒𝟔 $
El monto M15; se capitaliza n=15meses; 𝑭 = 𝑴𝟏𝟓 = 𝟒, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓)𝟑
= 𝟒, 𝟏𝟓𝟏. 𝟖𝟖 $
El monto M18; se capitaliza n=0meses; Quiere decir que se capitaliza en cero tiempos
𝑭 = 𝑴𝟏𝟖 = 𝑿(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓)𝟎
= 𝑿(𝟏) $
Entonces la EVE, queda: (entradas igual a las salidas)
𝟏𝟓, 𝟔𝟑𝟐, 𝟐𝟐 = 𝟓, 𝟓𝟗𝟏. 𝟒𝟔 + 𝟒, 𝟏𝟓𝟏. 𝟖𝟖 + 𝑿
𝑿 = 𝑴𝟏𝟖 = 𝟏𝟓, 𝟔𝟑𝟐. 𝟐𝟐 − 𝟓, 𝟓𝟗𝟏. 𝟒𝟔 − 𝟒, 𝟏𝟓𝟏. 𝟖𝟖 = 𝟓, 𝟖𝟖𝟖. 𝟖𝟕 $
Despejando X, se tiene: X=5,888.87 $ Valor del último pago
Son: Cinco mil ochocientos ochenta y ocho; 87/100 $
SOLUCION: Aplicando EXCEL
EJ 1 l= 0.00% Dato = 12000 Dato +l = 12,000.00
No MAMORIA DE CALCULOFactor tasa Plazo Dato Resultado
Futuro de P M0 F/P 1.25% 0 1.00 -1.00
Futuro de P M0 F/P 1.25% 18 12,500.00 -15,632.22
Futuro de P M9 F/P 1.25% 9 -5,000.00 5,591.46
Futuro de P M15 F/P 1.25% 3 -4,000.00 4,151.88
SON: -5,888.87
P= (12,500) $
M9= (5,000) $
n=1.5 A
j=15% c/c mes
6
M15=4,000 $ M18=X $
0
12
4
DIAGRAMA
Donde: 𝑭
𝑷 = 𝟏𝟐, 𝟓𝟎𝟎
𝒏 = 𝟏𝟖
⁄
El primer término: significa; El futuro
de un presente de 12,500, a 18 meses

U.A.G.R.M GESTION
Solucion 2 Aplicanodo una EVE; en (n=12)
𝑭
𝑷 = 𝟏𝟐, 𝟓𝟎𝟎
𝒏 = 𝟏𝟐
⁄ = 𝑭
𝑷 = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟑
⁄ + 𝑷
𝑭 = 𝟒, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟑
⁄ + 𝑷
𝑭 = 𝑿
𝒏 = 𝟔
⁄
Ingresos Egresos
Aplicanodo formato II solo demostrativo
Calculo individual de los pagos parciales, en (n=12) con nueva disposición para el cálculo.
𝟏𝟐, 𝟓𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓)𝟏𝟐
= 𝟓, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓)𝟑
+ 𝟒𝟎𝟎𝟎 (
𝟏
𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓
)
𝟑
+ 𝑿 (
𝟏
𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓
)
𝟔
𝟏𝟐, 𝟓𝟎𝟎[𝟏. 𝟎𝟏𝟔𝟎𝟖] = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎[𝟏. 𝟎𝟑𝟖𝟎] + 𝟒, 𝟎𝟎𝟎[𝟎. 𝟗𝟔𝟑𝟒] + 𝑿[𝟎. 𝟗𝟐𝟖𝟐]
Entonces la ecuación queda:
𝟏𝟒, 𝟓𝟎𝟗. 𝟒𝟑 = 𝟓, 𝟏𝟖𝟗. 𝟖𝟓 + 𝟑, 𝟖𝟓𝟑. 𝟔𝟕 + 𝟎. 𝟗𝟐𝟖𝟐𝑿
𝑿 = 𝑴𝟏𝟐 =
𝟏𝟒, 𝟓𝟎𝟗. 𝟒𝟑 − 𝟓, 𝟏𝟖𝟗. 𝟖𝟔 − 𝟑, 𝟖𝟓𝟑. 𝟔𝟕
𝟎. 𝟎𝟗𝟐𝟖𝟐
= 𝟓, 𝟖𝟖𝟖. 𝟖𝟕 $
Despejando X, se tiene: X≈5,888.87 $ Valor del último pago
Son: Cinco mil ochocientos ochenta y ocho; 87/100 $
SOLUCION: Aplicando EXCEL
E(1)-T1> S3-U1 Valor Futuro Solucion 3 Tasa = 1.50%
l= 0.00% Dato = 12000 Dato +l = 12,000.00
Futuro de P M0 F/P 1.25% 12 12,500.00 -14,509.43
Futuro de P M9 F/P 1.25% 3 -5,000.00 5,189.85
Presente de F M15 P/F 1.25% 3 -4,000.00 3,853.67
Presente de F M18 P/F 1.25% 6 1.00 -0.9282
SON: 5,888.87
Donde: 𝑷
𝑭 = 𝑿
𝒏 = 𝟔
⁄
Este término significa; El presente de
un futuro que no se conoce a 6 meses

U.A.G.R.M GESTION
Se quiere acceder a un crédito bajo
las siguientes condiciones: el
propósito es cancelar en tres pagos
parciales de 5,000$ el mes 12;
7,000$ el mes 18, y el último al final
del plazo de dos años, por un valor
de 6,200$, Cual será el monto del
préstamo, si la tasa de rendimiento es de 24% anual c/c mes.
Proceso:
DATOS: i=2% mensual; (*) n=? M; (*) de la tabla pág.
(*) =Tasa: ver tablas; pag: (8) (Fila-(24%), Columna-mes) =2 % mensual.
Solución 1.- Planteando la ecuación de entradas y salidas, en (n=12): tal que: ∑I=∑S
𝑷
𝑭 = 𝑿
𝒏 = 𝟎
⁄ = 𝑷
𝑭 = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟏𝟐
⁄ + 𝑷
𝑭 = 𝟕, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟏𝟖
⁄ + 𝑷
𝑭 = 𝟔, 𝟐𝟎𝟎
𝒏 = 𝟐𝟒
⁄
Ingresos Egresos
Calculo individual de los pagos parciales. En (n=0)
El monto M0=X; se actualiza n=0 meses; 𝑷 = 𝑭 (
𝟏
𝟏+𝒊
)
𝒏
= 𝑿 (
𝟏
𝟏+𝟎.𝟎𝟐
)
𝟎
= 𝑿(𝟏) $
El monto M12; se actualiza n=12 meses; 𝑷 = 𝑭 (
𝟏
𝟏+𝒊
)
𝒏
= 𝟓, 𝟎𝟎𝟎 (
𝟏
𝟏+𝟎.𝟎𝟐
)
𝟏𝟐
= 𝟑, 𝟗𝟒𝟐. 𝟒𝟕 $
𝟏
𝟏+𝒊
)
𝒏
= 𝟕, 𝟎𝟎𝟎 (
𝟏
𝟏+𝟎.𝟎𝟐
)
𝟏𝟖
= 𝟒, 𝟗𝟎𝟏. 𝟏𝟐 $
𝟏
𝟏+𝒊
)
𝒏
= 𝟔, 𝟐𝟎𝟎 (
𝟏
𝟏+𝟎.𝟎𝟐
)
𝟐𝟒
= 𝟑, 𝟖𝟓𝟒. 𝟔𝟕 $
Entonces remplazando en la ecuación queda:
𝟏. 𝑿 = 𝟑, 𝟗𝟒𝟐. 𝟒𝟕 + 𝟒, 𝟗𝟎𝟏. 𝟏𝟐 + 𝟑, 𝟖𝟓𝟒. 𝟔𝟕
Despejando X, se tiene: X=12,698.25 $ Valor del préstamo pago
Son: Doce mil seiscientos noventa y ocho; 25/100; $
Solución: (2) Formato II y más rápido, en (n=0)
Reemplazando directamente el conjunto de fórmulas, en la EVE
𝑿 (
𝟏
𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐
)
𝟎
= 𝟓, 𝟎𝟎𝟎 (
𝟏
𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐
)
𝟏𝟐
+ 𝟕, 𝟎𝟎𝟎 (
𝟏
𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐
)
𝟏𝟖
+ 𝟔, 𝟐𝟎𝟎 (
𝟏
𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟐
)
𝟐𝟒
𝑿[𝟏] = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎[𝟎. 𝟕𝟖𝟖𝟓] + 𝟕, 𝟎𝟎𝟎[𝟎. 𝟕𝟎𝟎𝟐] + 𝟔, 𝟐𝟎𝟎[𝟎. 𝟔𝟐𝟏𝟕]
Despejando X, se tiene: X=12,698.25 $ Valor del préstamo pago
Son: Doce mil seiscientos noventa y ocho; 25/100; $
SOLUCION 2: Aplicando hojas de calculo
EJ 1 l= 0.00% Dato = 12000 Dato +l = 12,000.00
Presente de F M0 P/F 2.00% 0 -1.00 1.00
Presente de F M06 P/F 2.00% 12 -5,000.00 3,942.47
Presente de F M12 P/F 2.00% 18 -7,000.00 4,901.12
Presente de F M18 P/F 2.00% 24 -6,200.00 3,854.67
SON: 12,698.25
P= (0,0) $
M12= (5,000) $
n=2 A
j=24 % c/c mes
6
M18=7,000 $M24=6,200$
0
12
4
18
DIAGRAMA
Donde: 𝑷
𝑭 = 𝑿
𝒏 = 𝟔
⁄
Este término significa; El presente de
un futuro que no se conoce a 0 meses

U.A.G.R.M GESTION
(CASO ESPECIAL, para aplicar factores de calculo estandar)
(En este ejercicio se hace una demostracion para cuando se trabaje con tasas enteras y
periodos enteros, por ejenplo: si la tasa es 3% mensual y los periodos en meses son enteros).
Notacion Estandar: (Ver seccion 3 de la guia de ejercicios “Tablas de factores financieros”
Futuro que depende un presente: 𝑭 = 𝑷 × [𝑭 𝑷
⁄ ; 𝒊%; 𝒏] = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏
Presente que depende un futuro: 𝑷 = 𝑭 × [𝑷 𝑭
⁄ ; 𝒊%; 𝒏] = 𝑭 (
𝟏
𝟏+𝒊
)
𝒏
Para la determinacion de los respectivos factores de calculo, usted estimado alumno, debera ir
al texto Guia y buscar el tercer cuerpo del mismo con el nombre ”Tablas de factores
financieros”.
Calculo individual de los pagos parciales. En (n=r)
Nota: Para el cálculo individual, deberá ir a la sección “tablas de factores financieros), seguir
el siguiente procedimiento.
a) Buscar la tabla que contenga en la parte superior la tasa del k% (pág. *),
b) Buscar la fila que indica el número de periodos (n=o, p, q, ..) respectivamente.
c) Desplazarse a la la derecha hasta ver el No de la columna F/P, o P/F, respectivamente
Para acceder a un crédito de 12,500$, se tiene planificado la devolución o cancelación en tres
pagos parciales de 3,000el mes 18, el
pago final de 7,000$, el mes 24, o fin
del plazo, y con una tasa del 3%
mensual. ¿Cuánto se deberá cancelar
el primer pago el mes 10?
Solución: Planteando la ecuación de entradas y salidas, en (n=10): tal que: ∑I=∑S
Diagrama y Memoria de cálculo: Solucion 1
DATOS: i=3% mensual; (*) n=? M; (*) de la tabla pág.
Nota: Dado que la tasa viene efectiva, no se calcula equivalencia
𝑭
𝑷 = 𝟏𝟐, 𝟓𝟎𝟎
𝒏 = 𝟏𝟎
⁄ = 𝑭
𝑷 = 𝑿
𝒏 = 𝟎
⁄ + 𝑷
𝑭 = 𝟑, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟖
⁄ + 𝑷
𝑭 = 𝟕, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟏𝟒
⁄
Ingresos Egresos
En notación estándar se presenta como:
𝟏𝟐, 𝟓𝟎𝟎 × [𝑭 𝑷
⁄ ; 𝟑%; 𝟏𝟎] = 𝑿 × [𝑭 𝑷
⁄ ; 𝟑%; 𝟎] + 𝟑, 𝟎𝟎𝟎 × [𝑷 𝑭
⁄ ; 𝟑%; 𝟖] + 𝟕, 𝟎𝟎𝟎 × [𝑷 𝑭
⁄ ; 𝟑%; 𝟏𝟒]
El primer término: F/P, significa; el futuro de un presente de 12,500, a un plazo de 10 meses
El último término: P/F, significa; el presente de un futuro de 7,000, a plazo de 14 meses
Procedimiento para el cálculo de factores en (n=10): Para el cálculo individual, deberá ir
a la sección “tablas de factores financieros), seguir el siguiente procedimiento.
a) Buscar la tabla que contenga en la parte superior la tasa del 3% (pag. 13),
b) Buscar la fila que indica el número de periodos (n=10, 8,14) respectivamente.
c) Desplazarse a la la derecha hasta ver el No de la columna F/P, o P/F, respectivamente
P= (12,500) $
M10= (XX) $
n=2 A
i=3% Mensual
6
M18=3,000 $
M24=7,000$
0
12
4
18
10
4
DIAGRAMA

U.A.G.R.M GESTION
FORMATO 1
El monto M0; se capitaliza: n=10 meses;
(*) =factor P/F: ver tabla: Tasa=3%, pag (13); (Fila (n=10); Columna ((F/P) = 1.3439:
𝑭 = 𝟏𝟐, 𝟓𝟎𝟎 × [𝑭 𝑷
⁄ ; 𝟑%; 𝟏𝟎] = 𝟏𝟐, 𝟓𝟎𝟎 × [𝟏. 𝟑𝟒𝟑𝟗] = 𝟏𝟔, 𝟕𝟗𝟖. 𝟗𝟓 $
El monto M10; se capitaliza: n=0 meses; (Nótese que el factor para n=0 es la unidad.
(*) =factor P/F: ver tabla: Tasa=3%, pag (13); (Fila (n=0); Columna ((F/P) = 1.0000:
𝑭 = 𝑿 × [𝑭 𝑷
⁄ ; 𝟑%; 𝟎] = 𝑿 × [𝟏. 𝟎] = 𝑿 $
El monto M18; se actualiza n=8 meses;
(*) =factor P/F: ver tabla: Tasa=3%, pag (13); (Fila (n=8); Columna ((P/F) = 0.7894:
𝑷 = 𝟑, 𝟎𝟎𝟎 × [𝑷 𝑭
⁄ ; 𝟑%; 𝟖] = 𝟑, 𝟎𝟎𝟎 × [𝟎. 𝟕𝟖𝟗𝟒] = 𝟐, 𝟑𝟔𝟖. 𝟐𝟑 $
El monto M18; se actualiza n=14 meses;
(*) =factor P/F: ver tabla: Tasa=3%, pag (13); (Fila (n=14); Columna ((P/F) = 0.6611:
𝑷 = 𝟕, 𝟎𝟎𝟎 × [𝑷 𝑭
⁄ ; 𝟑%; 𝟏𝟒] = 𝟕, 𝟎𝟎𝟎 × [𝟎. 𝟔𝟔𝟏𝟏] = 𝟒, 𝟔𝟐𝟕. 𝟖𝟐 $
𝟏𝟔, 𝟕𝟗𝟖. 𝟕𝟓 = 𝑿 + 𝟐, 𝟑𝟔𝟖. 𝟐𝟑 + 𝟒, 𝟔𝟐𝟕. 𝟖𝟐
Despejando X, se tiene: X=9,802.90 $ Valor del primer pago
Son: nueve mil ochocientos dos; 90/100 bolivianos.
FORMATO II (Simplificado)
𝟏𝟐, 𝟓𝟎𝟎 × [𝑭 𝑷
⁄ ; 𝟑%; 𝟏𝟎] = 𝑿 × [𝑭 𝑷
⁄ ; 𝟑%; 𝟎] + 𝟑, 𝟎𝟎𝟎 × [𝑷 𝑭
⁄ ; 𝟑%; 𝟖] + 𝟕, 𝟎𝟎𝟎 × [𝑷 𝑭
⁄ ; 𝟑%; 𝟏𝟒]
𝟏𝟐, 𝟓𝟎𝟎 × [𝟏. 𝟑𝟒𝟑𝟗] = 𝑿 × [𝟏. 𝟎] + 𝟑, 𝟎𝟎𝟎 × [𝟎. 𝟕𝟖𝟗𝟒] + 𝟕, 𝟎𝟎𝟎 × [𝟎. 𝟔𝟔𝟏𝟏]
𝟏𝟔, 𝟕𝟗𝟖. 𝟕𝟓 = 𝑿 + 𝟐, 𝟑𝟔𝟖. 𝟐𝟑 + 𝟒, 𝟔𝟐𝟕. 𝟖𝟐
Despejando X, se tiene: X=9,802.90 $ Valor del primer pago
Son: nueve mil ochocientos dos; 90/100 bolivianos.
SOLUCION: DIGITAL y Aplicando EXCEL
EJ 1 l= 0.00% Dato = 12000 Dato +l = 12,000.00
Futuro de P M0 F/P 3.00% 10 12,500.00 -16,798.95
Futuro de P M0 F/P 3.00% 0 -1.00 1.00
Presente de F M12 P/F 3.00% 8 -3,000.00 2,368.23
Presente de F M18 P/F 3.00% 14 -7,000.00 4,627.82
SON: -9,802.90

U.A.G.R.M GESTION
T9>(S3-U1) Lección Formación de Capitales c/ pagos parciales a I.C. (amortizaciones)
Teoría y conceptos. – los saldos mensuales de familias,
generalmente se utilizan para ahorrar y tener montos al final de
un determinado plazo; en otros casos.
El objetivo es planificar la formación de montos finales, para los
cuales es necesario imponer montos parciales no periódicos ni
constantes, en un determinado plazo.
En este tipo de casos, los intereses son ganados o a favor de los ahorristas, que indudablemente son
más bajos que los de amortizaciones.
Es esta situación es posible hacerse las siguientes preguntas, respecto a los pagos parciales
• Cuál sería el monto ahorrad al final del plazo
• Cuál sería el monto del primer pago para formar un capital.
• Cuanto se tendría que imponer el último pago en un cierto periodo.
• También se presentan casos para preguntarse por plazos (n) y tasas (i), para el mismo
• ¿Cuál será el interés (I), que se pagará, por el préstamo durante el plazo? I=F-P
FORMULAS PARA APLICAR: Ver Sección (S3-U1)
Importante:
F
M1
n
M2 M3
0

U.A.G.R.M GESTION
E(1)-T9>(S3-U1) Ejemplo de seguimiento (Formación de capitales)
Hoy se inicia la imposición de tres montos para formar un capital en un año y medio. Con
pagos parciales de 5,000$, al inicio
(hoy), 4,000$ el mes sexto, y el último
pago de 5,000 al final del plazo de año
y medio.
Calcular cuánto será el monto
ahorrado en el plazo establecido, si la
tasa de rendimiento es del 15% c/c mes.
i) Solución: (1) Aplicando el método de la ecuación Equivalente
ii) Diagrama: y Memoria de cálculo:
Tasa efectiva; (*) =Tasa: ver tablas; pag: (8) (Fila-(15%), Columna-mes) =1.25 % mensual.
𝑷
𝑭 = 𝑿
𝒏 = 𝟎
⁄ = 𝑭
𝑷 = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟏𝟖
⁄ + 𝑭
𝑷 = 𝟒, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟏𝟐
⁄ + 𝑭
𝑷 = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟑
⁄
Ingresos Egresos
Calculo individual de los pagos parciales. En (n=18) En notación algebraica, se presenta como:
El monto M18, (n=0); 𝑭 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏
= 𝑿(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓)𝟎
= 𝑿(𝟏)
El monto M0, (n=18); 𝑭 = 𝑴𝟎 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏
= 𝟓, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓)𝟏𝟖
= 𝟔, 𝟐𝟓𝟐. . 𝟖𝟗. $
El monto M6, (n=12); 𝑭 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏
= 𝟒, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓)𝟏𝟐
= 𝟒, 𝟔𝟒𝟑. 𝟎𝟐 $
El monto M15, (n=3); 𝑭 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏
= 𝟓, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓)𝟑
= 𝟓, 𝟏𝟖𝟗. 𝟖𝟓 $
Entonces reemplazando la EVE, queda: (entradas igual a las salidas)
𝑿 = 𝑴𝟏𝟖 = 𝟔, 𝟐𝟓𝟐. 𝟖𝟗 + 𝟒, 𝟔𝟒𝟑. 𝟎𝟐 + 𝟓, 𝟏𝟖𝟗. 𝟖𝟓 = 𝟏𝟔, 𝟎𝟖𝟔 $
Despejando X, se tiene: X=16,086 $ Monto del Futuro (Ahorro)
Son: Diez y seis mil ochenta y seis; 00/100 UM (unidades monetarias):
SOLUCION: Aplicando hojas de calculo
EJ 1 l= 0.00% Dato = 12000 Dato +l = 12,000.00
Futuro de P M18 F/P 1.25% 0 -1.00 1.00
Futuro de P M0 F/P 1.25% 18 5,000.00 -6,252.89
Futuro de P M6 F/P 1.25% 12 4,000.00 -4,643.02
Futuro de P M6 F/P 1.25% 3 5,000.00 -5,189.85
SON: -16,085.76
F= (XX) $
M0= (5,000) $
n=1.5 A
j=15% c/mes
6
M6=4,000 $
M15=5,000 $
0 12
4
DIAGRAMA
15

U.A.G.R.M GESTION
SOLUCION 2: Formato II Solución Simplificada
𝑷
𝑭 = 𝑿
𝒏 = 𝟔
⁄ = 𝑭
𝑷 = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟏𝟐
⁄ + 𝑭
𝑷 = 𝟒, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟔
⁄ + 𝑷
𝑭 = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟑
⁄
Ingresos Egresos
Calculo individual de los pagos parciales. En (n=12) Formato II
𝑿 (
𝟏
𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓
)
𝟔
= 𝟓, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓)𝟏𝟐
+ 𝟒, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓)𝟔
+ 𝟓, 𝟎𝟎𝟎 (
𝟏
𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟐𝟓
)
𝟑
𝑿. [𝟎. 𝟗𝟐𝟖𝟐] = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎[𝟏. 𝟏𝟔𝟎𝟖] + 𝟒, 𝟎𝟎𝟎[𝟏. 𝟎𝟕𝟕𝟒] + 𝟓, 𝟎𝟎𝟎. [. 𝟎𝟗𝟔𝟑𝟒]
Entonces reemplazando en la EVE. queda:
𝟎. 𝟗𝟐𝟖𝟐𝑿 = 𝟓, 𝟖𝟎𝟑. 𝟕𝟕 + 𝟒, 𝟑𝟎𝟗. 𝟓𝟑 + 𝟒, 𝟖𝟏𝟕. 𝟎𝟗
𝑿 = 𝑴𝟏𝟐 =
𝟓, 𝟖𝟎𝟑. 𝟕𝟕 + 𝟒, 𝟑𝟎𝟗. 𝟓𝟑 + 𝟒, 𝟖𝟏𝟕. 𝟎𝟗
𝟎. 𝟗𝟐𝟖𝟐
= 𝟏𝟔, 𝟎𝟖𝟔 $
Despejando X, se tiene: X≈ 16,086 $ Monto del Futuro (Ahorro)
Son: Diez y seis mil ochenta y seis; 00/100 UM (unidades monetarias):
SOLUCION 3.2: Aplicando EXCEL
E(1)-T2> S3-U1 (solucion 3)
Valor Futuro Tasa = 1.25%
EJ 1 l= 0.00% Dato = 12000 Dato +l = 12,000.00
Presente de F M18 P/F 1.25% 6 -1.00 0.9282
Futuro de P M0 F/P 1.25% 12 5,000.00 -5,803.77
Futuro de P M6 F/P 1.25% 6 4,000.00 -4,309.53
Presente de F M18 P/F 1.25% 3 5,000.00 -4,817.09
SON: -14,930.40
-16,085.76

U.A.G.R.M GESTION
Calcular el monto del primer pago
parcial (al inicio), para formar un
capital o ahorro de 12,000 $, en un
plazo de dos años y a una tasa del 12%
c/c mes
La condición es que el segundo pago sea
el mes 9, por 5,000, y el tercer pago el
mes 21 por 4,000$.
Solución: (1) Planteando la ecuación de entradas y salidas, en (n=0): tal que: ∑I=∑S
Memoria de cálculo: Solucion 1
DATOS: i=1% mensual; (*) n=? M; (*) de la tabla pag.
Tasa efectiva: (*) =Tasa: ver tablas; pag: (8) (Fila-(12%), Columna-mes) =1 % mensual.
Ampliando notación estándar, se presenta como:
𝑷
𝑭 = 𝟏𝟐, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟐𝟒
⁄ = 𝑷
𝑭 = 𝑿
𝒏 = 𝟎
⁄ + 𝑷
𝑭 = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟗
⁄ + 𝑷
𝑭 = 𝟒, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟐𝟏
⁄
Ingresos Egresos
𝟏𝟐, 𝟎𝟎𝟎[𝑷 𝑭
⁄ ; 𝟏%; 𝟐𝟒] = 𝑿[𝑷 𝑭
⁄ ; 𝟏%; 𝟎] + 𝟓, 𝟎𝟎𝟎[𝑷 𝑭
⁄ ; 𝟏%; 𝟗] + 𝟒, 𝟎𝟎𝟎[𝑷 𝑭
⁄ ; 𝟏%; 𝟐𝟏]
(**) =factores de tablas; pag: (12) (¿Fila- n=?), Columna-P/F) =Distintos valores.
De las “Tablas de factores Financieros” se calculan los respectivos para cada pago parcial.
𝟏𝟐, 𝟎𝟎𝟎[𝟎. 𝟕𝟖𝟕𝟔] = 𝟓, 𝟎𝟎𝟎[𝟎. 𝟗𝟏𝟒𝟑] + 𝟒, 𝟎𝟎𝟎[𝟎. 𝟖𝟏𝟏𝟒] + 𝑿[𝟏]
Entonces si reemplazamos en la EVE; los cálculos parciales son.
𝟗, 𝟒𝟓𝟎. = 𝑿[𝟏] + 𝟒, 𝟓𝟕𝟏. 𝟕𝟎 + 𝟑, 𝟐𝟒𝟓. 𝟕𝟐
Despejando X, se tiene: X=1,634 $ Valor del primer pago
Son: Un mil seiscientos treinta y cuatro; 00/100 $
EJ 1 l= 0.00% Dato = 12000 Dato +l = 12,000.00
Presente de F M24 P/F 1.00% 24 -12,000.00 9,450.79
Presente de F M0 P/F 1.00% 0 1.00 -1.00
Presente de F M9 P/F 1.00% 9 5,000.00 -4,571.70
Presente de F M21 P/F 1.00% 21 4,000.00 -3,245.72
SON: 1,633.37
F= (12,000) $
M9= (5,000) $
n=2 A
j=12 % c/c mes
6
M21=4,000 $
M0=X$
0 12
4
18
DIAGRAMA
21
9

U.A.G.R.M GESTION
Calcular el valor del último pago
parcial el mes 16; para formar un
Capital de 11,000$, al cabo de un
año y medio, y con dos cuotas de
4,000$ al inicio del plan, más una
segunda cuota de 6,000$, el mes 10.
La tasa de rendimiento es del 14%
anual.
Solución: (I) Planteando la ecuación de entradas y salidas, en (n=16): tal que: ∑I=∑S
i) Memoria de cálculo: Solucion 1
Tasa efectiva: (*) =Tasa: ver tablas; pag: (6) (Fila-(14%), Columna-mes) =1.10 % mensual.
𝑷
𝑭 = 𝟏𝟑, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟐
⁄ = 𝑭
𝑷 = 𝟒, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟏𝟔
⁄ + 𝑭
𝑷 = 𝟔, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟖
⁄ + 𝑭
𝑷 = 𝑿
𝒏 = 𝟎
⁄
Ingresos Egresos
Calculo individual de los pagos parciales. En (n=16) Formato I, con capitalizaciones y
actualizaciones.
El monto M18; se Actualiza n=2meses
El monto M18, (n=2); 𝑷 = 𝑭 (
𝟏
𝟏+𝒊
)
𝒏
= 𝟏𝟑, 𝟎𝟎𝟎 (
𝟏
𝟏+𝟎.𝟎𝟏𝟏𝟎
)
𝟐
= 𝟏𝟐, 𝟕𝟏𝟖. 𝟔𝟓 $
El monto M16 (n=0); 𝑭 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏
= 𝑿(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟏𝟎)𝟎
= 𝟏. 𝑿
El monto M10 (n=6); 𝑭 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏
= 𝟔, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟏𝟎)𝟔
= 𝟔, 𝟒𝟎𝟕. 𝟎𝟓. $
El monto M0 (n=16; 𝑭 = 𝑷(𝟏 + 𝒊)𝒏
= 𝟒, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟏𝟎)𝟏𝟔
= 𝟒, 𝟕𝟔𝟓. 𝟏𝟕 $
𝟏𝟐, 𝟕𝟏𝟖. 𝟔𝟓 = 𝑿(𝟏) + 𝟔, 𝟒𝟎𝟕. 𝟎𝟓 + 𝟒, 𝟕𝟔𝟓. 𝟏𝟕 = 𝟏, 𝟓𝟒𝟔. 𝟒𝟑 $
Despejando X, se tiene: X=1,546 $ Valor del pago M16 (Ahorro)
Son: Un mil quinientos cuarenta y seis; 00/100 $
F= (13,000) $
M0= (4,000) $ n=1.5 A
i=14% anual
6
M6=6,000 $
M15=(X) $
0 12
4
DIAGRAMA
16
10

U.A.G.R.M GESTION
Solución: (II) Con otro formato más rápido y simplificado
𝟏𝟑, 𝟎𝟎𝟎 (
𝟏
𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟏𝟎
)
𝟐
= 𝟒, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟏𝟎)𝟏𝟔
+ 𝟔, 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟏𝟎)𝟔
+ 𝑿(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏𝟏𝟎)𝟎
𝟏𝟑, 𝟎𝟎𝟎[𝟎. 𝟗𝟕𝟖𝟒] + 𝟒, 𝟎𝟎𝟎[𝟏. 𝟏𝟗𝟏𝟑] + 𝟔, 𝟎𝟎𝟎[𝟏. 𝟎𝟔𝟕𝟖] + 𝑿[𝟏]
𝟏𝟐, 𝟕𝟏𝟖. 𝟔𝟓 = 𝑿(𝟏) + 𝟔, 𝟒𝟎𝟕. 𝟎𝟓 + 𝟒, 𝟕𝟔𝟓. 𝟏𝟕 = 𝟏, 𝟓𝟒𝟔. 𝟒𝟑 $
Despejando X, se tiene: X ≈1,546 $ Valor del pago M16 (Ahorro)
Son: Un mil quinientos cuarenta y seis; 00/100 $
SOLUCION: Aplicando hojas de calculo
E(3)-T2> S3-U1 Pagos parciales de imposiciones Tasa = 1.10%
EJ 1 l= 0.00% Dato = 12000 Dato +l = 12,000.00
Presente de F M18 P/F 1.10% 2 -13,000.00 12,718.65
Futuro de P M16 F/P 1.10% 0 1.00 -1.00
Futuro de P M10 F/P 1.10% 6 6,000.00 -6,407.05
Futuro de P M0 F/P 1.10% 16 4,000.00 -4,765.17
SON: $us 1,546.43

U.A.G.R.M GESTION
T10>(S3-U1) Lección Distribución de Capitales c/ pagos Parciales (Rentas)
Teoría y conceptos. – Nótese en el diagrama las salidas es
contra los ingresos o cobros parciales.
Como su nombre indica, esta situación financiera se da cuando
al inicio, se invierte o se deja un monto presente, para que este
genere intereses, en el transcurso de ciertos periodos, pero que
durante el plazo se hacen retiros o rentas hasta liquidar la inversión en el plazo establecido y a una
cierta tasa de rendimiento. En esta situación los intereses se ganan, pero van disminuyendo a medida
que se hacen los respectivos retiros.
Interpretación del diagrama. Una inversión de 100,000$ tiene por objetivos generar tres ingresos o
retornos parciales de 30,000 el segundo año y 60,000$ el tercer año; la pregunta es cuánto será el
último cobro más intereses generados al final del plazo de 4 años y con una tasa de retorno de 5%
anual.
Es esta situación es posible hacerse las siguientes preguntas, respecto a los pagos parciales:
• ¿Cuál sería el monto de la inversión, al inicio?
• ¿Cuál sería el monto del primer cobro o renta en una fecha indicada?
• Cuanto se tendría que retirar el último cobro, ¿al final del plazo estipulado?
• También se presentan casos para preguntarse por plazos (n) y tasas (i), para el mismo
• ¿Cuál será el interés (I), que se pagará, por el depósito durante el plazo? I=F-P
Ver Sección (S3-U1)
Importante:
P
M1
n
M2
M3
0
i= ?

U.A.G.R.M GESTION
Ejemplo e Interpretación del
diagrama. Una inversión de
100,000$ tiene por objetivos
generar tres ingresos o retornos
parciales de 30,000 el segundo año
y 60,000$ el tercer año; la pregunta
es cuánto será el último cobro más
intereses generados al final del plazo de 4 años y con una tasa de retorno de 5% anual.
Solución: (1)
i) Memoria de cálculo: Solucion 1
DATOS: i=5% anual; (*) n=4A; (*) de la tabla pág.
Tasa efectiva: (*) = Es una tasa efectiva
𝑭
𝑷 = 𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟒
⁄ = 𝑭
𝑷 = 𝟑𝟎, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟐
⁄ + 𝑭
𝑷 = 𝟔𝟎, 𝟎𝟎𝟎
𝒏 = 𝟏
⁄ + 𝑭
𝑷 = 𝑿
𝒏 = 𝟎
⁄
Ingresos Egresos
Resolviendo con notación estándar (ver tablas de factores
.
𝑴𝟎[𝑭/𝑷; 𝟓%;𝟒] = 𝑴𝟐[𝑭/𝑷;𝟓%; 𝟐] + 𝑴𝟑[𝑭/𝑷; 𝟓%; 𝟏] + 𝑿[𝑷 𝑭
⁄ ; 𝟓%; 𝟎]
𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎[𝑭/𝑷;𝟓%; 𝟒] = 𝟑𝟎, 𝟎𝟎𝟎[𝑭/𝑷;𝟓%; 𝟐] + 𝟔𝟎, 𝟎𝟎𝟎[𝑭/𝑷; 𝟓%;𝟏] + 𝑿[𝑭/𝑷;𝟓%; 𝟎]
(**) =factores de tablas; pag: (14) (¿Fila- n=?), Columna-P/F, ) =Distintos valores.
De las “Tablas de factores Financieros” se calculan los respectivos para cada pago parcial.
𝟏𝟎𝟎, 𝟎𝟎𝟎[𝟏. 𝟐𝟏𝟓𝟓] = 𝟑𝟎, 𝟎𝟎𝟎[𝟏. 𝟏𝟎𝟐𝟓] + 𝟔𝟎, 𝟎𝟎𝟎[𝟏. 𝟎𝟓𝟎𝟎] + 𝑿[𝟏]
Entonces la EVE, queda: 𝟏𝟐𝟏, 𝟓𝟓𝟎. 𝟔𝟑 = 𝟑𝟑, 𝟎𝟕𝟓. 𝟎𝟎 + 𝟔𝟑, 𝟎𝟎𝟎 + 𝑿
Despejando X, se tiene: X=25,475.63 $ Monto del ultimo cobro (renta)
Son: Veinte y cinco mil cuatrocientos setenta y seis; 00/100 UM
(**) =vaya a factores de tablas
EJ 1 l= 0.00% Dato = 12000 Dato +l = 12,000.00
No MAMORIA DE CALCULO Factor tasa Plazo Dato Resultado
Futuro de P M0 F/P 5.00% 4 -100,000.00 121,550.63
Futuro de P M2 F/P 5.00% 2 30,000.00 -33,075.00
Futuro de P M3 F/P 5.00% 1 60,000.00 -63,000.00
Futuro de P M15 F/P 5.00% 0 1.00 1.00
SON: 25,475.63
P= (100,000) $
M2= (30,000) $
n=4 A
i=5% anual
1
M3=60,000 $
M4=(X) $
0
2 3
DIAGRAMA

U.A.G.R.M GESTION
MAT250 HOY:
TRABAJO PRACTICO No: 3-3
ALUMNO: PARA EL TEXTO Registro:
TEMA: Operaciones Financieras a IC, Ejercicios
Factor de trabajo (Lamda) l= 7%
T1>(S1-U3) Lección Tasa efectiva periódica (i), en función de una tasa nominal ( j )
Pt.(1) Un documento hace referencia a una tasa nominal de 15% c/c mes; ¿calcular la tasa efectiva
sobre el periodo de capitalización? (mensual). i=1.25% mensual
Pt.(2) Un documento hace referencia a una tasa nominal de 15% c/c trimestre; ¿calcular la tasa
efectiva sobre el periodo de capitalización? (trimestral). Rp. i=3.75% T; Trimestral)
Pt.(3) Un documento hace referencia a una tasa nominal de 12% c/c Cuatrimestralmente; ¿calcular
la tasa efectiva sobre el periodo de capitalización? (Cuatrimestral).
Rp i =4% C; Cuatrimestral
Pt.(4) Cuál es la tasa equivalente, efectiva mensual de una nominal j=22% c/c mes
Rp. i =1.83% mensual
Pt.(5) Cuál es la tasa equivalente, efectiva trimestral de una nominal j=22% c/c trimestre.
Rp. i =5.50% Trimestral
Pt.(6) Cuál es la tasa equivalente, efectiva trimestral de una nominal j=17.5% c/c Semestre
i =8.75% Semestral
T2>(S1-U3) Lección Tasa efectiva periódica (i), en función de una tasa nominal ( j )
Pt.(7) Un documento hace referencia a una tasa nominal de 15% c/c mes; ¿Indicar cuál es la tasa
efectiva anual o sobre el periodo referencial? i =16.08% anual
Pt.(10)Cuál es la tasa efectiva anual equivalente, de una nominal j=14.5% c/c mes
i =15.50% anual
Pt.(11)Cuál es la tasa equivalente, efectiva anual, de una nominal j=9.5% c/c bimestre
Rp. i =9.88% anual
Pt.(12)Cuál es la tasa equivalente, efectiva anual, de una nominal j=9.2% c/c mes
Rp. i =9.60% anual

U.A.G.R.M GESTION
T3>(S1-U3) Lección Tasa efectiva periódica (i), en función de una tasa efectiva ( j )
Pt.(13)Un documento hace referencia a una tasa efectiva del 15% c/c Anual; ¿Indicar cuál es la tasa
efectiva mensual? Rp=1.17% mensual
Pt.(14)Un documento hace referencia a una tasa efectiva de 12% anual; ¿calcular la tasa efectiva
cuatrimestral equivalente? Rp=3.85% C (Cuatrimestral)
Pt.(15)Un documento hace referencia a una tasa efectiva de 17.2% anual; ¿calcular la tasa efectiva
trimestral (4 trimestres en un año) Rp=4.05 % T (Trimestral)
¿Ojo?, en este caso no se puede por tablas porque la tasa no es entera, ni media)
Pt.(16)Cuál es la tasa efectiva equivalente mensual de una efectiva anual de i=18% anual
Rp=1.39% mensual
Pt.(17)Cuál es la tasa efectiva equivalente semestral de una efectiva anual de i=16.5% anual
Rp=7.94% semestral
Pt.(18)Cuál es la tasa efectiva equivalente trimestral de una efectiva anual de i=23.2% anual
Rp. i =5.35% trimestral
T4>(S1-U3) Lección Tasa nominal periódica (j), en función de una tasa efectiva periódica ( i )
Pt.(19)Cuál es la tasa (j), nominal (anual), y capitalizable c/ bimestral, de una tasa efectiva del 1.25%
bimestral J=7.5% c/c B (anual c/c Bimestre)
Pt.(20)Cuál es la tasa (j), nominal (anual), y capitalizable c/ mes, de una tasa efectiva del 1.25%
mensual. Ji=15% c/c mes (anual c/c mes))
Pt.(21)Cuál es la tasa nominal (j) y capitalizable trimestral de una tasa efectiva 4.5% trimestral.
J=18% c/c T; (anual c/c trimestre)
Pt.(22)Calcular la tasa (j), nominal (anual), y capitalizable mensualmente de una tasa efectiva del
1.2% mensual. (j=i.m) J =14.40% c/c mes
Pt.(23)Calcular la tasa (j), nominal (anual c/c bimestre), de una tasa efectiva del 2.2% Bimensual.
(j=i.m) J=13.20% c/c bimestre
Pt.(24)Calcular la tasa (j), nominal (anual), y capitalizable cada semestre, de una tasa efectiva del
3.6% Semestral. (j=i.m) J =7.20% c/c semestre
T5>(S1-U3) Lección Tasa nominal periódica (j), en función de una tasa efectiva anual ( j )
Pt.(25)Cuál es la tasa nominal (j) (anual c/c trimestre), de una tasa efectiva anual del 13%
J =12.41 c/c T (anual c/c trimestre)

U.A.G.R.M GESTION
Pt.(26)¿Cuál es la tasa nominal c/c mes?, de una efectiva anual, del 10.5%
J=10.03% c/c mes (anual c/c mes)
Pt.(27)Cuál es la tasa Nominal c/c mes de, una tasa efectiva del 24.3% Anual;
J=21.95% c/c mes (anual c/c mes)
Pt.(28)Cuál es la tasa Nominal periódica mensual de una tasa efectiva del 15% Anual;
J =14.06% c/c mes
Pt.(29)Cuál es la tasa Nominal periódica Bimensual de una tasa efectiva del 10% Anual;
J =9.61% c/c bimestre
Pt.(30)Cuál es la tasa Nominal periódica mensual de una tasa efectiva del 20% Anual;
J =18.37% c/c mes
T6>(S2-U3) Lección Extinción de deudas c/ pagos únicos
Pt.(31)Calcular el monto futuro que se tiene que pagar por un préstamo de (10,000+l)$ en un plazo
de un año y medio y una tasa de interés del 15% c/c M. Rp≈12,506 $
de un año y medio y una tasa de interés del 15% anual. Rp≈18,494 $
Pt.(33)Calcular el plazo para extinguir una deuda de (11,000-l)$ si se tiene pagar un interés por un
monto de 1,600$ y a una tasa del 13% c/c mes. Rp≈12.2 meses
Pt.(34)Cual deberá ser la tasa de interés Anual que se deberá pagar por un préstamo de (10,000+l)$
en un plazo de dos años, con la condición de pagar por concepto de intereses un monto de
4,400$. Al final del plazo. Rp≈20 % anual
Pt.(35)Calcular el interés que se tiene que cancelar por un préstamo de (10,000-l)$ al cabo de un año
y medio y una tasa del 16% anual. Rp≈2,484 $
de dos años y una tasa de interés del 15% c/c mes. Rp≈16,168 $
Pt.(37)Si hoy se recibe un monto de (13,000+l)$ , en calidad de préstamo ¿Cuál será el monto a
cancelar en un plazo de dos años y a una tasa del 18% anual.? Rp≈18,106 $
Pt.(38)En qué plazo (mes), se deberá extinguir una deuda de (8,000+l)$ , con el propósito de que el
monto por concepto de intereses sea de 3,500$, a una tasa de rendimiento del, 17% c/c mes.
Rp≈25.8 meses

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