INGENIEROA

1. ANÁLISIS DE MARKOV
15.1 Introducción
15.2 Estados y probabilidades de estado
15.3 Matriz de probabilidades de transición
15.4 Predicción de la participación futura en el mercado
15.5 Análisis de Markov en la operación de maquinaria
15.6 Condiciones de equilibrio
15.7 Estados absorbentes y la matriz fundamental: Aplicación a cuentas
por cobrar

2. 15.1 INTRODUCCIÓN
ANALISIS DE MARKOV
Es una técnica que maneja las probabilidades de
ocurrencias futuras mediante el análisis de las
probabilidad conocidas en el presente.
1. Existe un
número
limitado o finito
de estados
posibles.
2. La
probabilidad
de cambiar de
estados
permanece
igual con el
paso del
tiempo.
3. Podemos
predecir
cualquier
estado futuro a
partir de los
estados
anteriores y de
la matriz de
probabilidades
de transición.
4. El tamaño y la
composición
del sistema (es
decir, el
número total
de fabricantes
y clientes) no
cambia
durante el
análisis.
Hay cuatro suposiciones en el análisis de Markov.

3. 15.2 ESTADOS Y PROBABILIDADES
DE LOS ESTADOS
Los estados sirven para identificar todas las condiciones posibles de un proceso
o sistema.
Por ejemplo,
Si hay solamente tres tiendas de abarrotes en un
pueblo pequeño, un residente puede ser cliente de
cualquiera de las tres tiendas en cierto momento.
Por lo tanto, hay tres estados correspondientes a
las tres tiendas.

4. Dos suposiciones adicionales del análisis de Markov son
que los estados son colectivamente exhaustivos y
mutuamente excluyentes.
COLECTIVAMENTE
EXHAUSTIVOS
 Significa que podemos
numerar todos los
estados posibles de un
sistema o proceso.
MUTUAMENTE
EXCLUYENTES
 Significa que un sistema
puede estar tan solo en
un estado en cualquier
momento.
POR EJEMPLO:
Nuestro estudio del análisis
de Markov supone que hay
un número finito de estados
para cualquier sistema.
POR EJEMPLO:
significa que una persona
únicamente puede ser cliente
de una de las tres tiendas de
abarrotes en un punto en el
tiempo.

5. Después de identificar los estados, el siguiente paso consiste en determinar la
probabilidad de que el sistema esté en dicho estado, cuya información se coloca
entonces en un vector de probabilidades de estado.

6. Vector de probabilidades de estado para el
ejemplo de las tres tiendas de abarrotes
Veamos el vector de estados para los clientes en el pequeño pueblo
con tres tiendas de abarrotes.
Puede haber un total de 100,000 personas que compran en las tres
tiendas durante un mes dado. Unas 40,000 personas compran en
American Food Store, que se llamará estado 1. Por otro lado,
30,000 pueden compraren Food Mart, que se llamará estado 2; y
30,000 pueden comprar en Atlas Foods, que será el estado 3. La
probabilidad de que una persona compre en una de las tres tiendas
es la siguiente:
PROBLEMA
El vector de
probabilidades de
estado representa la
participación
en el mercado.

7. También debería observarse que las probabilidades en el vector de estado
para las tres tiendas de abarrotes representan la participación en el
mercado para las mismas en el primer periodo. Así, en el periodo 1
Amercan Food tiene 40% el mercado; Food Mart, 30%; y Atlas Foods, 30%.
Cuando se trata de participación en el mercado, estos se pueden utilizar en
vez de los valores de probabilidad.

8. En este ejemplo, se realizó un estudio para determinar la lealtad de los clientes.
Se determinó que 80% de los clientes que compran en American Food un mes regresarán a esa tienda el
siguiente.
Del otro 20% de sus clientes, 10% cambia a Food Mart y 10% a Atlas Foods en su siguiente compra
Multiplicando el porcentaje en decimal del estudio por el porcentaje inicial.

9. Multiplicando:
0.3 (0.1) = 0.03
0.3 (0.7) = 0.21
0.3 (0.2) = 0.06
En Food Mart, 70% regresan, 10% cambia a American Food y 20% a Atlas
Foods.

10. De los clientes que compran este mes en Atlas Foods, 60% regresan, pero 20%
cambiará a American Food y 20% a Food Mart.
Multiplicando:
0.3 (0.2) = 0.06
0.3 (0.2) = 0.06
0.3 (0.6) = 0.18

11. CONCLUYENDO
la participación de mercado de 40% para American Food este mes, 32%
regresa, 4% compra en Food Mart y 4% compra en Atlas Foods.
Para encontrar la participación de mercado de
American el siguiente mes, sumamos este 32% de clientes que regresan
mas el 3% de quienes vienen de Food Mart mas el 6% de quienes vienen
de Atlas Foods.
Entonces, American Food tendrá 41% del mercado el próximo mes.

12. 15.3 MATRIZ DE PROBABILIDADES
DE TRANSICIÓN
La matriz de probabilidades de
transición nos permite ir de un
estado a actual a un estado futuro.
Sea Pij = Probabilidad condicional de estar en el estado j en el futuro, dado que el
estado actual es i
Por ejemplo, P12 es la probabilidad de estar en el estado 2 en el futuro, dado que el
evento estaba en el estado 1 en el periodo anterior.
Definimos P = matriz de probabilidades de transición

13. Probabilidades de transición para
las tres tiendas de abarrotes
Usamos los datos históricos de las tres tiendas para determinar qué porcentaje
de clientes cambiaría cada mes. Ponemos estas probabilidades de transición en
la siguiente matriz:
Estado 1, American Foods
Food Mart es el estado 2
Atlas Foods es el estado 3

14. El significado de sus probabilidades se expresa en términos de los diferentes
estados, como sigue:
Los valores de probabilidad para
cualquier renglón deben sumar 1.

15. 15.4 Predicción de la participación
futura en el mercado
 Uno de los propósitos del análisis de Markov es predecir el
futuro. Dado el vector de probabilidades de estado y la matriz
de probabilidades de transición, no es muy difícil determinar
las probabilidades de estado en una fecha futura.
Con ese tipo de análisis, podemos comparar la probabilidad
de que un individuo compre en una de las tiendas en el
futuro.

16. Como tal probabilidad es equivalente a la participación en el
mercado, es posible determinar participación futura en el mercado
para American Food, Food Mart y Atlas Foods. Cuando el periodo
actual es 0, calcular las probabilidades de estado para el siguiente
periodo (periodo 1) se hace como sigue:

17. Como se observa, la participación de mercado para American
Food y Food Mart aumenta, en tanto que la de Atlas Food
disminuye. ¿Continuará esta tendencia en el siguiente periodo y
en el que le sigue? De la ecuación 15-4, derivamos un modelo
que nos dirá cuáles serán las probabilidades en cualquier
periodo futuro. Considere dos periodos a partir de ahora:

18. Entonces, las probabilidades de estado n periodos en el futuro
se obtienen de las probabilidades de estado actuales y la
matriz de probabilidades de transición.

19.  Paul Tolsky, dueño de Tolsky Works, registró durante varios años la
operación de sus fresadoras. En los dos últimos años, 80% de las
veces la fresadora funcionaba correctamente en el mes actual, si
había funcionado correctamente el mes anterior. Esto también
significa que tan solo 20% del tiempo el funcionamiento de la
máquina era incorrecto para cualquier mes, cuando estaba
funcionando correctamente el mes anterior.
15.5 Análisis de Markov en operación
de maquinaria
En otras palabras, esta máquina puede corregirse cuando no
ha funcionado bien en el pasado y esto ocurre 10% de las
veces. Estos valores ahora se utilizan para construir la matriz
de probabilidades de transición. De nuevo, el estado 1 es una
situación donde la máquina funciona correctamente; y el estado
2, donde la máquina no lo hace.

20. Las dos probabilidades del renglón superior son las
probabilidades de funcionamiento correcto y funcionamiento
incorrecto, dado que la máquina funcionaba correctamente el
periodo anterior.

21. • ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina de Tolsky
funcione correctamente dentro de un mes?
• ¿Cuál es la probabilidad d que la máquina funcione
correctamente dentro de dos meses?
La probabilidad de que la máquina funcione
correctamente dentro de un mes es de 0.80. La
probabilidad de que no funcione correctamente en un
mes es de 0.20.

22. Ahora utilizamos estos resultados para determinar la
probabilidad de que la máquina funcione correctamente
dentro de dos meses. El análisis es exactamente el
mismo.
• Significa que dentro de dos meses hay una probabilidad
de 0.66 de que la máquina todavía funcione
correctamente.
• La probabilidad de que la máquina no funcione
correctamente es de 0.34. Desde luego,

23. 15.6 Condiciones de Equilibrio
Al considerar el ejemplo de la máquina de Tolsky, es fácil pensar que
con el paso del tiempo todas las participaciones de mercado o las
probabilidades de estado serán 0 o 1. En general no ocurre así. Es
normal encontrar el porcentaje de equilibrio de los valores o las
probabilidades de mercado. Las probabilidades se llaman
probabilidades de estado estable o probabilidades de equilibrio.

24. Una manera de calcular el estado estable del mercado es utilizar el
análisis de Markov para un número grande de periodos. Es posible ver
si los valores futuros se acercan a un valor estable. Por ejemplo, es
posible repetir el análisis de Markov para la máquina de Tolsky
durante 15 periodos. No es difícil hacerlo a mano. Los resultados del
cálculo se muestran en la tabla

25. La máquina comienza con un funcionamiento
correcto (en el estado 1) en el primer periodo.
En
el periodo 5, hay una probabilidad de tan solo
0.4934 de que la máquina todavía funcione
correctamente
y, para el periodo 10, esta probabilidad es
solamente de 0.360235. En el periodo 15, la
probabilidad
de que la máquina todavía tenga un
funcionamiento correcto es cercana a 0.34. La
probabilidad de que la máquina todavía funcione
bien en un periodo futuro disminuye, pero lo
hace a
una tasa determinada. ¿Qué se esperaría a la
larga? Si hacemos los cálculos para 100
periodos, ¿qué
pasaría? ¿Habrá un equilibrio en este caso? Si

26. Por definición, una condición de equilibrio existe si las
probabilidades de estado o las participaciones de mercado no
cambian después de muchos periodos. Entonces, el equilibrio, en este
caso las probabilidades de estado para un periodo futuro, debe ser
igual que las probabilidades de estado
para el periodo actual. Este hecho es la clave para obtener las
probabilidades de estado estable, cuya relación se expresa como:
De la ecuación siempre es cierto que
(siguiente periodo) (este periodo)P

27. En el equilibrio, las
probabilidades
de estado para el
siguiente periodo
son iguales a las
probabilidades de
estado para este
periodo.
Esta ecuación establece que, en el equilibrio, las probabilidades de
estado para el siguiente periodo
son las mismas que las probabilidades de estado para el periodo
actual.

28. Para la máquina de Tolsky, esto se expresa como sigue:
Aplicando la multiplicación de matrices

29. Ahora tenemos tres ecuaciones (a, b y c) para la máquina. Sabemos
que debe cumplirse la ecuación c. Entonces, eliminamos la ecuación
a o la b, y resolvemos las dos ecuaciones que quedan para obtener 𝜋1
y 𝜋2. Es necesario eliminar una de las ecuaciones, de manera que
tengamos dos incógnitas y dos ecuaciones. Si estuviéramos buscando
las condiciones de equilibrio que incluyeran tres estados, tendríamos
cuatro ecuaciones. De nuevo, será necesario eliminar una de las
ecuaciones para terminar con tres ecuaciones y tres incógnitas.
El motivo por el cual podemos eliminar una de las ecuaciones es que
están matemáticamente interrelacionadas. En otras palabras, una de
las ecuaciones es redundante al especificar las relaciones entre las
diferentes ecuaciones de
equilibrio.

31. Como se observa, la probabilidad del estado estable para el estado
1 es 0.33333333, y la probabilidad del estado de equilibrio para el
estado 2 es
0.66666667, que son los valores que se esperan al ver los resultados
de la tabla. El análisis indica que tan solo es necesario conocer la
matriz de transición para determinar las participaciones en el mercado
en equilibrio. Los valores iniciales para las probabilidades de estado o
la participación en el
mercado no influyen en las probabilidades del estado en equilibrio. El
análisis para determinar las probabilidades del estado en equilibrio o
las participaciones en el mercado es el mismo cuando hay más de tres
estados.

32. 15.7 Estados absorbentes y matriz
fundamental: Cuentas por cobrar

33.  Igual que en otros procesos de Markov,
establecemos una matriz de probabilidades de
transición para los cuatro estados.
 La probabilidad de estar en la categoría pagada
para cualquier cuenta en un mes futuro, dado que
el cliente está en la categoría de pagada por una
compra este mes, es de 100% o 1.
 Para cualquier estado absorbente, la probabilidad
de que un cliente esté en ese estado en el futuro
es de 1, en tanto que la probabilidad de que un
cliente esté en otro estado es de 0

34.  antes de elaborar esa matriz (a matriz de
probabilidades de transición), necesitamos
conocer las probabilidades para los otros dos
estados: deuda de menos de un mes y deuda
de uno a tres meses de antigüedad.

36. Las condiciones de equilibrio son aún más
interesantes. Desde luego, a la larga,
todos estarán en la categoría de pagada o
deuda incobrable, lo cual se debe a que
las categorías son estados absorbentes.
¿Pero cuántas personas, o cuánto dinero,
estarán en cada categoría? Si
encontramos la cantidad total de dinero
que quedará como pagada o deuda
incobrable, ayudamos a la compañía a
manejar sus deudas incobrables y sus
flujos de efectivo. Un análisis así requiere
lo que se conoce como matriz
fundamental.

39. para una matriz con dos
renglones y dos columnas, los
cálculos son relativamente
sencillos, como se indica aquí:

41. La nueva matriz FA tiene un
significado importante. Indica la
probabilidad de que una cantidad que
está en uno de los estados no
absorbentes termine en uno de ellos.
El renglón superior de esta matriz
indica las probabilidades de que una
cantidad en la categoría de menos de
un mes termine en la categoría de
pagada o deuda incobrable.

42. Si conocemos las cantidades en las
categorías de menos de un mes y de
entre uno y tres meses, determinamos
la cantidad de dinero que se pagará y la
cantidad que se convertirá en deuda
incobrable. Sea la matriz M la cantidad
de dinero que está en cada estado no
absorbente