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- 1. Paso 3 Profundizar y contextualizar el conocimiento de la Unidad 1 Presentado por: Francisco Javier Balero Braca Olver Enrique González Sánchez Presentado a: Julián Ricardo Gómez Grupo: 37 Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela de Ciencias de la Educación – ECEDU Licenciatura en Matemáticas CEAD Puerto Carreño Abril 2022
- 2. Introducción Esta presentación tiene como fin dar a conocer los temas más relevantes que han sido aplicados y utilizados en la realización de los ejercicios de la actividad del paso 2, en la cual se está trabajando con las funciones trigonométricas e identidades.
- 3. Funciones Trigonométricas Relaciones trigonométrica Para comenzar, recordemos que las relaciones son interacciones entre dos conjuntos, en el caso de la trigonometría la relación es el cociente entre dos longitudes. Tomando como referencia el triangulo rectángulo, se puede determinar las relaciones trigonométricas conocidas. A partir de las longitudes de un triangulo, sea 𝑎, 𝑏, 𝑐 se definen 6 relaciones trigonométricas, las cuales veremos a continuación.
- 4. Aplicación de las funciones trigonométricas
- 5. Tomamos como guía el siguiente triangulo 𝜷 𝒂 𝒄 𝒃 Relaciones principales Relaciones complementarias 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 𝑏 𝑐 𝑐𝑠𝑐 𝛽 = 𝑐 𝑏 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = 𝑎 𝑐 𝑠𝑒𝑐 𝛽 = ℎ 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝛽 = 𝑏 𝑎 𝑐𝑜𝑡 𝛽 = 𝑎 𝑏
- 6. Ley del seno y ley del coseno Teorema del seno Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos A, B, C. respectivamente, se cumple que: 𝑠𝑒𝑛 𝐴 𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 𝐵 𝑏 = 𝑠𝑒𝑚 𝐶 𝑐 Teorema del coseno En algunos casos el teorema del seno no puede ser aplicado de manera directa, como en los casos de tener dos lados y el ángulo entre ellos o tener los tres lados. Para estos casos se aplica el teorema del coseno. Para un triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos A, B, C. respectivamente, se cumple: 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐cosA 𝑐2 = 𝑏2 + 𝑎2 − 2𝑎𝑏cos𝐶 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐cos𝐵
- 7. Identidades trigonométricas Se le llama identidades trigonométricas a dichas ecuaciones que tienen la particularidad que se satisfacen para cualquier ángulo. Dentro de este contexto se analizarán varias clases de identidades, las básicas, las de suma y diferencia, las de ángulo doble y las de ángulo mitad. Identidades trigonométricas Reciprocas Pitagóricas 𝑠𝑒𝑛𝐴 = 1 𝑐𝑠𝑐𝐴 𝑆𝑒𝑛2 𝐴 + 𝐶𝑜𝑠2 𝐴 = 1 𝑐𝑜𝑠𝐴 = 1 𝑠𝑒𝑐𝐴 𝑆𝑒𝑛2 𝐴 = 1 − 𝐶𝑜𝑠2 𝐴 𝑡𝑎𝑛𝐴 = 1 𝑐𝑜𝑡𝐴 𝐶𝑜𝑠2 𝐴 = 1 − 𝑆𝑒𝑛2 𝐴 𝑐𝑜𝑡𝐴 = 1 𝑡𝑎𝑛𝐴 𝑆𝑒𝑐2 𝐴 = 𝑇𝑎𝑛2 𝐴 + 1 𝑠𝑒𝑐𝐴 = 1 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑇𝑎𝑛2 𝐴 = 𝑆𝑒𝑐2 𝐴 − 1 𝑐𝑠𝑐𝐴 = 1 𝑠𝑒𝑛𝐴 𝐶𝑠𝑐2 𝐴 = 𝐶𝑜𝑡2 𝐴 + 1 𝐶𝑜𝑡2 𝐴 = 𝐶𝑠𝑐2 𝐴 − 1
- 8. Identidades de Cociente: Estas se obtienen por la definición de las relaciones trigonométricas Demostración: se sabe que: sin 𝐴 = 𝑦 ℎ y cos 𝐴 = 𝑥 ℎ si dividivos sin(A) en cos(A) se obtiene: 𝑦 ℎ 𝑥 ℎ = 𝑦 𝑥 por definición 𝑦 𝑥 = tan 𝐴 𝑎𝑠𝑖 sin(𝐴) cos(𝐴) = 𝑇𝑎𝑛(𝐴). Demostración: Con los mismos argumentos utilizados para la tangente, solo que en este caso el cociente es coseno sobre seno. : 𝑥 ℎ 𝑦 ℎ = 𝑥 𝑦 por definición 𝑥 𝑦 = cot 𝐴 𝑎𝑠𝑖 cos(𝐴) sin(𝐴) = 𝑐𝑜𝑡(𝐴).
- 9. Ecuaciones Trigonométricas Anteriormente se decía que las identidades trigonométricas son igualdades que se cumple para cualquier ángulo. Existen ciertas identidades que se cumplen para ángulos específicos, a dichas identidades se les llama ecuaciones trigonométricas. Las ecuaciones trigonométricas, son identidades que satisfacen ángulos específicos, cuya solución se expresa en medidas de ángulos, puede ser en grados o radianes. La resolución de ecuaciones trigonométricas requiere de un buen manejo de las funciones trigonométricas inversas; además, de los principios de álgebra y trigonometría. Para que la ecuación sea más fácil de desarrollar, es pertinente reducir toda la expresión a una sola función, generalmente seno o coseno, de tal manera que se pueda obtener el ángulo o los ángulos solución. Es importante aclarar que si no se dice otra cosa, la solución para nuestro caso se dará solo para la circunferencia unidad: 0 ≤ x ≤ 2π. Algunos autores acostumbrar a dar al solución general, recordemos que las funciones trigonométricas son periódicas, ya que se repiten cada p intervalo. Ejemplo: sin 𝑥 = 1 2 Solución: El proceso en general consiste en despejar el ángulo. Para el caso que nos proponen, aplicando la función inversa del seno queda resuelto el problema. sin 𝑥 = 1 2 → 𝑠𝑖𝑛−1 sin 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1 1 2 → 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛−1 1 2 El siguiente paso es identificar en donde el seno vale ½, para los cuadrantes positivos, ya que el valor es positivo. Se sabe que el seno vale ½ en 30° para el primer cuadrante y 150° para el segundo cuadrante. Recordemos que el seno es positivo en I y II cuadrantes. Solución: x = 30° y 150°
- 10. Ejemplos
- 13. Referencias bibliográficas Castañeda, H. S. (2014). Matemáticas fundamentales para estudiantes de ciencias. Bogotá, CO: Universidad del Norte. Páginas 153 – 171. https://elibro-net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69943?page=159 Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 - 265. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583 OVI Unidad 2 – Funciones Trigonométricas con la herramienta Geogebra Henao, A. (2012). Funciones Trigonométricas Geogebra. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7691
- 14. ¡GRACIAS!