Actividades de factorización y resolución de ecuaciones

1. Bloque 3
Curso de Introducción al Aprendizaje de Procesos
Matemáticos

2. ¿Recuerdas la fórmula del cuadrado de
un binomio?
2 2 2
( a b) a 2ab b
Cuadrado de un binomio
En muchas ocasiones es útil escribir un
trinomio como el cuadrado de un binomio, si
es que se puede...
A continuación veremos un ejemplo.

3. Vamos a escribir la expresión 4 x 2 20x 25
como el cuadrado de un binomio:
4x2 20 x 25 (2 x) 2 2 2 x ( 5) ( 5) 2 (2 x 5) 2
2 2
a 2ab b
Observación: También podríamos haber escrito
4 x 2 20 x 25 ( 2 x) 2 2 ( 2 x) 5 52 ( 2 x 5) 2

4. Investiga si las siguientes expresiones son
cuadrados de un binomio. En caso afirmativo,
escribir la expresión como cuadrado de un
binomio. En caso de que no lo sea, explicar
porqué.
2
1) 9 x 6x 4
2
2) 16 x 8x 1

5. Frecuentemente es de utilidad escribir una
diferencia como un producto.
Para ello usamos la siguiente fórmula:
2 2
(a b)( a b) a b (producto de binomios conjugados)
Ejemplo:
2
9x 4 (3x 2)(3x 2)

6. Escribir expresiones como producto
(factorizar) es útil en la resolución de
ecuaciones.
Para ello usaremos la propiedad cancelativa (o
hankeliana):
Si a b 0 a 0 b 0
Ejemplo 1:
6x2 4x 0
prop . hankeliana 2
2 x(3x 2) 0 2x 0 3x 2 0 x 0 x
3
2
S 0,
3

7. Ejemplo 2:
4 x 2 25 0
prop . hankeliana 5 5
(2 x 5)(2 x 5) 0 2x 5 0 2x 5 0 x x
2 2
5 5
S ,
2 2
Observación: para resolver esta ecuación,
habitualmente usamos otro procedimiento.

8. Ejemplo 3:
x 2 8 x 16 0 ( x 4) 2 0
prop . hankeliana
( x 4)(x 4) 0 x 4 0 x 4 0 x 4 x 4
S 4
Observa que -4 es una raíz doble.

9. Ahora vamos a ver un ejemplo más general. Observa el
procedimiento:
2 x 2 8 x 25 0
Multiplico ambos miembros por 4 2, es decir por 8.
16 x 2 64 x 200 0
Considerando los 2 primeros términos (16 x 2 64 x), para obtener el
cuadrado de un binomio tendríamos que tener por último término 64.
16 x 2 64 x 64 (4 x 8) 2
Sumo y resto 64 a la ecuación original :
16 x 2 64 x 
   64 200 0
64
( 4 x 8) 2

10. binomios conjugados
(4 x 8) 2 264 0 (4 x 8 264) (4 x 8 264) 0
Usando la propiedad hankeliana :
8 264
4x 8 264 0 4x 8 264 x
4
8 264
4x 8 264 0 4x 8 264 x
4
8 264 8 264
S ,
4 4

11. 1) Utilizando el proceso de los ejemplos anteriores, resuelve
las siguientes ecuaciones indicando en cada paso el
procedimiento o propiedad que empleas:
a) 2 x 2 3x 4 0
b) x 2 2 x 1 0
2) Con el procedimiento del ejemplo anterior , resolver la
ecuación
ax 2 bx c 0
siendo a, b y c números reales y a 0. Explica las distintas
etapas.