Medidas de dispersión y de tendencia central. Ejemplos.

1. Estadística
(3ª parte)
Prof. Jeannine Maufinet

2. Medidas de tendencia central
Definición: valor que se encuentra en el
centro o a la mitad de un conjunto de datos.
Nos proporcionan una idea de en torno a qué
valor (centro) se distribuyen los datos en
función de sus frecuencias.
Entre las medidas de tendencia central
estudiaremos la moda, la mediana y la media
aritmética.

3. Moda
Denominamos moda de un conjunto de datos al valor
que ocurre con mayor frecuencia.
Algunas observaciones:
 Cuando dos valores ocurren con la misma frecuencia y
ésta es la más alta, ambos valores son modas, por lo
que el conjunto de datos es bimodal.
 Cuando más de dos valores ocurren con la misma
frecuencia y ésta es la más alta, todos los valores son
modas, por lo que el conjunto de datos es multimodal.
 Cuando ningún valor se repite, se dice que no hay
moda.
 Cuando los datos viene agrupados en intervalos, en
lugar de moda, hablamos de intervalo modal.

4. Mediana
• Llamamos mediana de un conjunto de datos al valor que
está en medio de los valores originales de los datos, luego
de ordenarlos en forma creciente (o decreciente).
• Si el número de datos es par, se calcula promediando los
dos datos centrales.
• En el caso de distribuciones con datos agrupados, se puede
obtener la mediana observando las frecuencias
acumuladas.
• Ejemplo: Las edades de un grupo de amigos son:
17, 19, 18, 20, 19 y 17.
Ordenamos los datos: 17, 17, 18, 19, 19, 20.
Como el número de datos es par, promediamos:
(18+19):2=18,5.

5. Media aritmética
Llamamos media aritmética de un conjunto de puntajes
al valor que se obtiene sumando dichos puntajes y
dividendo el resultado entre el número de puntajes. Es lo
que normalmente llamamos “promedio”. La
denotaremos .
 Para calcular la media en distribuciones con datos
agrupados, multiplicamos cada puntaje por su frecuencia
y luego sumamos estos productos. Finalmente dividimos
el resultado obtenido entre la suma de las frecuencias.
 Para calcular la media en distribuciones con datos
agrupados en intervalos asignamos a cada intervalo su
valor central (marca de clase). Por ejemplo, si el
intervalo tiene extremos 140 y 145, la marca de clase
sería el resultado de (140+145):2.

6. Ejemplo con datos agrupados:
Se considera el número de integrantes del núcleo familiar de 40
personas:
Vamos a hallar la media, la moda y la mediana. Para ello
elaboraremos la siguiente tabla:
N° de
integrantes
Frecuencia
1 4
2 20
3 9
4 6
5 0
6 1

7. N° personas Frecuencia Frecuencia
acumulada
1 4 4 4
2 20 24 40
3 9 33 27
4 6 39 24
5 0 39 0
6 1 40 6
40 101
• La moda es 2, ya que es el valor con mayor frecuencia.
• La media se obtiene con la fórmula:
En este caso:
• Para hallar la mediana, como tenemos 40 datos tendríamos que buscar en la
columna el valor mayor a 20, que es 24 y corresponde a 2. Por lo tanto M=2.

8. Medidas de dispersión
• Nos indican cómo se alejan los datos respecto de la media
aritmética.
• El rango (llamado también recorrido) de un conjunto de
datos es la diferencia entre el valor máximo y el valor
mínimo.
• La desviación estándar de una muestra (llamada también
desviación típica) nos proporciona información acerca de la
dispersión de los datos respecto del valor de la media.
• Cuanto mayor es la desviación estándar, más dispersos
están los datos con respecto a la media.
• Se calcula con la fórmula .
A continuación mostraremos el procedimiento para
calcular la desviación estándar.

9. Procedimiento para el cálculo de la
desviación estándar:
1. Calcular la media .
2. Restar la media de cada valor individual obteniendo una lista de
desviaciones de la forma .
3. Elevar al cuadrado los valores anteriores:
4. Sumar los valores del paso 3. Obtenemos .
5. Dividir el resultado obtenido en el paso anterior entre el número
total de valores menos 1, es decir .
6. Calculamos la raíz cuadrada del resultado anterior y obtenemos
así
Observación:
El valor obtenido en el paso 5 se llama varianza.

10. Ejemplo:
Se considera el conjunto de datos: 5, 7, 4, 5
Paso 1:
Pasos 2-3:
Paso 4:
Paso 5:
Paso 6:

11. Coeficiente de variación
• El coeficiente de variación (CV) de un
conjunto de datos muestrales, describe la
desviación estándar relativa a la media. Se
calcula con la fórmula:

12. Sesgo
• Una distribución de datos se dice que es simétrica si hay
una simetría axial entre las mitades izquierda y derecha del
histograma. En este caso coinciden la moda, la media y la
mediana.
• Una distribución de datos está sesgada si no es simétrica.
• Las posiciones de la media, la moda y la mediana pueden
proporcionarnos información acerca del sesgo de una
distribución.

13. Desviación estándar en una distribución “aproximadamente
normal”:
• Aproximadamente el 68% de
los datos están dentro de
una desviación estándar de
la media.
• Aproximadamente el 95% de
todos los valores están
dentro de dos desviaciones
estándar de la media.
• Aproximadamente el 99,7%
de los valores están dentro
de tres desviaciones
estándar de la media.
Esta regla es denominada con frecuencia “regla empírica”.

14. Trabajando con GeoGebra
• Volvamos al ejemplo de los integrantes del
núcleo familiar:
• Vamos a graficar y hallar la media, la mediana y la
desviación estándar empleando GeoGebra.
N° de
integrantes
Frecuencia
1 4
2 20
3 9
4 6
5 0
6 1

15. • Abre la “Hoja de cálculo” e inserta los datos de la tabla:
• Selecciona una columna y el ícono “Análisis una variable” y luego elige
“Datos con frecuencias”

16. • Va a aparecer una nueva columna en la que vas a insertar las frecuencias.
Para ello selecciona la columna en la tabla y luego presiona la “manito”
para cargar dicha columna.
• Después presiona “Analiza” y obtendrás el gráfico.

17. • Ahora selecciona “Muestra estadísticas”
• Puedes cambiar el tipo de gráfico.
• Para trabajar con datos no agrupados, procede del mismo modo,
usando solo la columna de los datos. También se puede trabajar
con datos agrupados en intervalos.