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1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN JUAN
FACULTAD DE FILOSOFIA, HUMANIDADES Y ARTES
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
CARRERA:PROFESORADO Y LICENCIATURA EN MATEMATICA
CATERA: CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - ANALISIS MATEM-
ATICO I
AÑO:2016
PRACTICO 4: LIMITE Y CONTINUIDAD.
Ejercicio 1 completar las siguientes tablas y usar el resultado obtenido para
estimar el límite correspondiente, en caso que exista.
1. f (x) = 1
x 2
x 1; 9 1; 99 1; 999
f(x)
x 2; 001 2; 01 2; 1
f(x)
lim
x!2
lim
x!2+
2. 2f(x) = 2x2
4x 6
x 3
x 2; 9 2; 99 2; 999
f(x)
x 3; 001 3; 01 3; 1
f(x)
lim
x!3
lim
x!3+
3. (optativo) f(x) = x 1
x 0; 1 0; 01 0; 001
f(x)
x 0; 1 0; 01 0; 001
f(x)
lim
x!0
lim
x!0+
4. (optativo) f(x) =
x2
+ 1 si x < 1
1 si x > 1
x 0 0; 5 0; 9 0; 99
f(x)
x 2 1; 5 1; 1 1; 001
f(x)
lim
x!1
lim
x!1+
Ejercicio 2 A través de las siguientes grá…cas, encontrar el límite, si existe.
1. para x tendiendo a 1
y = x2
+ 3
2
2. para x tendiendo a 3
f(x) =
2 si x < 3
1 si x > 3
3. para x tendiendo a por derecha, a 0 por izquierda, y a +1
y = sin x
Ejercicio 3 Dadas las siguientes funciones
1

2. (a) f(x) =
x2
3x + 3 si x < 1
2 + x si x 1
(b) g(x) =
8
<
:
x + 2 si x < 0
x2
+ 2 si 0 x < 1
3x 2 si 1 < x
Se pide:
1)graficar f 2) lim
x!1
f(x) 3) lim
x!1+
f(x) 4)¿existe lim
x!1
f(x)?
5)graficar g 6) lim
x!0
g(x) 7) lim
x!0+
f(x) 8) lim
x!1
g(x)
9) lim
x!1+
g(x) 10)¿existe lim
x!0
g(x)? 11)¿existe lim
x!1
g(x)?
Ejercicio 4 Expresar según la de…nición de límite de una función que lim
x!1
(2x
5) = 3
Comprobar, pr de…nición, que el lim
x!4
f(x) es L = 3:
Determinar = (") para " = 1
2 y " = 1:
Sobre la grá…ca de y = f(x) marcar el punto (6; f(6)) y para los valores de
" dados en el apartado 3) marcar los entornos E(f(6); ") y los entornos E(6; )
correspondientes.
Ejercicio 5 Veri…car por de…nición que:
a) lim
x!1
(5x 1) = 4 b) lim
x! 1
(3x2
2x+1) = 6 c) lim
x!1
( 4
4x2 2 ) = 2 d) lim
x!7
( 8
x 3 ) =
2
Ejercicio 6 Calcular los siguientes límites:
a) lim
x!8
jx 1j
x 1 = 1 b) lim
x!3
(x2
6x+9
9 x2 ) = 0 c) lim
x!2
(
p
x+7 3
x 2 ) = 1
6 d) lim
x!3
(x2
x
x+2 ) = 6
5
e) lim
x!4
(x2
16
x 4 ) = 8 f) lim
x!1
(3x2
4x+1
2x 2 ) = 1 g) lim
x!+1
(3x2
2x
x+3 ) = 1 h) lim
x!1
( 3x
x 1
2x
x+1 ) = 1
i) lim
x!0
(
sin( x
2 )
x 4 ) = 0 j) lim
x!0
( 2x
tan(3x) ) = 2
3 k) lim
x!+1
x2
sin( 1
x2 ) = 1 l) lim
x!0
(sin x cos x
x x2 ) = 1
m) lim
x!1
(x+14
2 x )(x+7)
= n) lim
x!1
(2x+1
2x )4x
= e2
o) lim
x!0
(ln(1+x)
x ) = 1 p) lim
x!0
(
1
x+2
1
2
x ) = 1
4
q) lim
x!1
(ln(1+ex
)
x ) = 1 r) lim
x!1
( 2
p
x + 1 ) 2
p
x = s) lim
x!2
(x 1)( x+1
x 2 )
= e3
t) lim
x!3
(tan(x 3)
p
x
p
3
) = 2
p
3
Ejercicio 7 ¿Qué valor debe tomar la constante k para que sea contínua en
x=2?
f(x) =
x2
k si x < 2
kx + 5 si x 2
Ejercicio 8 estudiar análitica y grá…camente la continuidad de las siguientes
funciones:
2

3. a)f(x) = 1
x en x = 2 b)f(x) = 1
x en x = 0
c)f(x) =
8
<
:
3x + 1 si 2 < x < 2
ex
+ 2 si 0 < x < 2
(x 4)3
si x 2
d)f(x) =
8
>><
>>:
1
4 x si x < 2
(x + 2)2
si 2 x 0
ln x si 0 < x < 1
jxj si x > 1
e)f(x) =
(x 1)3
si x 11
jx 1j si x > 1
f)f(x) =
8
<
:
2x + 3 si x < 1
3x 2 si 1 < x < 2
2 + x si x 2
g)f(x) =
8
<
:
jxj + 2 si x > 1
ln(x) + 3 si x 1
2 < 1
2
1
x 1 si x 0
h)
2 sin(x) si x 2 ER(0; 2 )
1 si x = 0
i)f(x)
8
<
:
x + 5 si x < 3p
9 x2 si 3 x < 3
jx 3j si x > 3
f(x)
3