Analizar las fuerzas y la geometría de cables que soportan cargas.

1. Ing. Nelson Alfredo Aragón Funes 1 Secuencia didáctica VI: Cables
Unidad IV
CABLES
Bloque 1
UNIDAD DIDÁCTICA VI: FUERZAS INTERNAS
SECUENCIA DIDÁCTICA IV: EQUILIBRIO DE UN CUERPO RIGIDO
Objetivo
1. Analizar las fuerzas y la geometría de cables que soportan cargas.
Contenido
1. Cables
2. Cables sujetos a cargas concentradas
3. Cables sujetos a cargas distribuidas
Unidad 4-3
Cables: Características y Aplicaciones.
Tema 1.
4.3.1. Características
Los cables y las cadenas flexibles combinan
resistencia con ligereza. Cuando se utilizan para
sostener puentes colgantes, líneas de transmisión,
teleféricos, etc., los cables constituyen el elemento
principal de carga de la estructura.
Cuando los cables se usan como líneas de
transmisión y retenidas contravientos para torres
altas o tensores para antenas de radio y grúas, el
peso del cable puede llegar a ser importante y debe
incluirse en el análisis estructural.
• La longitud permanece constante antes y después de la carga
4.3.2. Aplicaciones
• Cables y cadenas y se usan con frecuencia en las estructuras para soportar y transmitir cargas de
un elemento a otro (torres, postes, etc.).
• En el análisis de fuerzas, el peso de los cables se desprecia.
• Se asume que el cable es perfectamente flexible e inextensible
• Debido a su flexibilidad, los cables no ofrecen ninguna resistencia a las flexiones:

2. Ing. Nelson Alfredo Aragón Funes 2 Secuencia didáctica VI: Cables
V= M = 0, N = Tensión = T
• Como resultado, una vez aplicada la carga, la geometría del cable permanece fija, y el cable o
segmento de este pueden tratarse como un cuerpo rígido.
Los cables pueden dividirse en dos categorías de acuerdo con las cargas actúan sobre ellos:
1. Cables que soportan cargas concentradas y
2. Cables que soportan cargas distribuidas
3. Cable sujeto a su propio peso
4.3.2.1. Cable sometido a cargas concentradas
Para un cable de peso despreciable, estará sometido a fuerzas de tensión constantes.
El cable toma la forma de varios segmentos de línea recta, cada uno de los cuales está sometido a una
fuerza de tensión constante.
Por ejemplo en la figura
• Incógnitas:
- 4 reacciones en A y B,
- 3 tensiones, yC, yD
• Conocidas:
- h, L1, L2, L3 y
- Las cargas P1 y P2
• Para su solución se deberá aplicar:
- Las 2 ecuaciones de equilibrio en A, B, C y D.
- Utilizar relaciones geométricas: si L es conocida, se podrían relacionar h, L1, L2, L3, yC, yD,
- Aplicar el teorema de Pitágoras, para relacionar cada una de las tres longitudes de segmento
4.3.2.2. Ejemplos problemas de aplicación
Ejemplo 1. Determine la tensión en cada segmento del
cable
Solución
Considere el diagrama de cuerpo libre para todo el cable.
Se puede aplicar el método de las uniones en A, B, C, D, E.
Entonces,
→+∑Fx = 0; -Ax + Ex = 0

3. Ing. Nelson Alfredo Aragón Funes 3 Secuencia didáctica VI: Cables
↶+∑ME = 0; -Ay(18 m) + 4 kN (15 m) + 15 kN (10 m) + 3 kN (2 m) = 0
Ay = 12 kN
↑+∑Fy = 0; 12 kN - 4 kN - 15 kN - 3 kN + Ey = 0
Ey = 10 kN
Como se conoce la flecha yC = 12 m, consideraremos ahora la sección ubicada más a la
izquierda, la cual corta el cable BC.
↶+ MC = 0; Ax (12 m) - 12 kN (8 m) + 4 kN (5 m) = 0
Ax = Ex = 6.33 kN
→+∑Fx = 0; TBC cos θBC - 6.33 kN = 0
TBC cos θBC = 6.33 kN
↑+∑Fy = 0; 12 kN - 4 kN - TBC sen θBC = 0
TBC sen θBC = 8 kN
θBC = 51.6°
TBC = 10.2 kN
Al proceder ahora al análisis del equilibrio de los puntos A, C y E en secuencia, tenemos:
Punto A.
→+∑Fx = 0; TAB cos θAB - 6.33 kN = 0
TAB cos θAB = 6.33 kN
↑+∑Fy = 0; -TAB sen θAB + 12 kN = 0
TAB sen θAB = 12 kN
θAB = 62.2°
TAB = 13.6 kN
Punto C.
→+∑Fx = 0; TCD cos θCD - 10.2 cos 51.6° kN = 0
TCD cos θCD = 6.3 kN
↑+∑Fy = 0; TCD senθCD + 10.2 sen51.6° kN - 15 kN = 0

4. Ing. Nelson Alfredo Aragón Funes 4 Secuencia didáctica VI: Cables
TCD senθCD = 7.0 kN
θCD = 47.9°
TCD = 9.44 kN
Punto E.
→+∑Fx = 0; 6.33 kN - TED cos θED = 0
TED cos θED = 6.33 kN
↑+∑Fy = 0; 10 kN - TED senθED = 0
TED senθED = 10 kN
θED = 57.7°
TED = 11.8 kN
Vemos que la tensión máxima en el cable está en el segmento AB, ya que este segmento tiene la
pendiente (θ) más grande.
Ejemplo 2. Determine la tensión en cada segmentos del y la longitud total del cable.
Solución:
Aplicando el método de los nudos:
Ecuaciones de equilibrio:
Punto B
→ +∑𝐹𝑥 = 0; 𝐹𝐵𝐶 cos 𝜃 − 𝐹𝐴𝐵 (
4
√65
) = 0 𝑒𝑐. (1)
↑ +∑𝐹𝑦 = 0; 𝐹𝐵𝐴 (
7
√65
) − 𝐹𝐵𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 50 = 0 𝑒𝑐. (2)
Punto C
→ +∑𝐹𝑥 = 0; 𝐹𝐶𝐷 cos ∅ − 𝐹𝐵𝐶 cos 𝜃 = 0 𝑒𝑐. (3)

5. Ing. Nelson Alfredo Aragón Funes 5 Secuencia didáctica VI: Cables
↑ +∑𝐹𝑦 = 0; 𝐹𝐵𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 𝐹𝐶𝐷 𝑠𝑒𝑛 ∅ − 100 = 0 𝑒𝑐. (4)
Por geometría:
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑦
√𝑦2 + 25
cos 𝜃 =
5
√𝑦2 + 25
𝑠𝑒𝑛 ∅ =
3 + 𝑦
√𝑦2 + 6𝑦 + 18
cos 𝜃∅ =
3
√𝑦2 + 6𝑦 + 18
Sustituyendo los resultados en ecuaciones (1), (2), (3) y (4) y
resolviendo tenemos:
𝐹𝐵𝐶 = 46.7 𝑙𝑏; 𝐹𝐵𝐴 = 83.0 𝑙𝑏; 𝐹𝐶𝐷 = 88.1 𝑙𝑏
𝑦 = 2.679 𝑓𝑡
La longitud del cable se determina Pitágoras
𝑙 = √72 + 42 + √52 + 2.6792 + 32
+ √(2.679 + 3)2
𝑙 = 20.2 𝑓𝑡
4.3.2.3. Cable sometido a una carga distribuida
Considere un cable de peso despreciable sujeto a una carga distribuida w = w(x) medida en la
dirección x.
• Para el DCL de una sección de longitud Δs
• Ya que la fuerza tensil cambia de manera continua, denotaremos por ΔT este cambio.

6. Ing. Nelson Alfredo Aragón Funes 6 Secuencia didáctica VI: Cables
• La forma del cable se obtiene a partir del
DCL de la sección e integrando dos
veces (siendo FH la tensión horizontal)
-Tcos θ + (T+ΔT)cos(θ+Δ θ) = 0
-T sen θ -w(x)Δx+ (T+ΔT)sen(θ +Δ θ)=0
w(x)Δx kΔx - Tcos θ Δy + T sen θ Δx = 0
T cosθ = cosnt = FH
T senθ = ∫w(x)dx
𝑦 =
1
𝐹 𝐻
∫ (∫ 𝑤(𝑥)𝑑𝑥)𝑑𝑥
Ejemplo 2. El cable se somete a una carga uniforme de w = 250 lb/ft. Determine las tensiones máxima
y mínima en el cable.
Solución:
𝐹 𝐻 =
𝑤0 𝐿2
8 ℎ
=
250(50)2
8(6)
= 13021 𝑙𝑏
𝜃 𝑚á𝑥 = 𝑡𝑎𝑛−1
(
𝑤0 𝐿
2𝐹 𝐻
) = 𝑡𝑎𝑛−1
(
250(50)
2(13021)
) = 25.64°
𝑇 𝑚á𝑥 =
𝐹 𝐻
cos 𝜃 𝑚á𝑥
=
13021
cos 25.64°
= 14.4 𝑘𝑖𝑝
La miínima tensión occurre cuano 𝜃 = 0°
𝑇 𝑚í𝑛 = 𝐹 𝐻 = 13.0 𝑘𝑖𝑝𝑠=

7. Ing. Nelson Alfredo Aragón Funes 7 Secuencia didáctica VI: Cables
Ejemplo 4. El cable AB se somete a una carga uniforme de 200 N/m. Si no se toma en cuenta el peso
del cable, y los ángulos de la pendiente en los puntos A y B son de 30° y 60°, respectivamente,
determine la curva que define la forma del cable y la tensión máxima desarrollada en el cable.
𝑦 =
1
𝐹 𝐻
∫ (∫ 𝑤(𝑥)𝑑𝑥)𝑑𝑥 ⇒ 𝑦 =
1
𝐹 𝐻
∫ (∫ 200 𝑑𝑥)𝑑𝑥
𝑦 =
1
𝐹 𝐻
(100𝑥2
+ 𝐶1 + 𝐶2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝐹 𝐻
(200𝑥 + 𝐶1)
𝐴𝑡𝑥 = 0; 𝑦 = 0; 𝐶2 = 0
𝐴𝑡𝑥 = 0;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑡𝑎𝑛30°; 𝐶1 = 𝐹 𝐻 tan 30°
𝑦 =
1
𝐹 𝐻
(100𝑥2
+ 𝐹 𝐻 𝑡𝑎𝑛30°𝑥
𝐴𝑡𝑥 = 15 𝑚;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑡𝑎𝑛60°; 𝐹 𝐻 = 2598 𝑁
Respuesta:
𝑦 = (385𝑥2
+ 577𝑥)(10−3)𝑚
𝜃 𝑚á𝑥 = 60°

8. Ing. Nelson Alfredo Aragón Funes 8 Secuencia didáctica VI: Cables
𝑇 𝑚á𝑥 =
𝐹 𝐻
𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑚á𝑥
=
2598
𝑐𝑜𝑠60°
= 5196 𝑁
Respuesta:
𝑇 𝑚á𝑥 = 5.20𝑘𝑁
4.3.2.4. Cable sujeto a su propio peso
Las torres de transmisión eléctrica deben estar diseñadas para soportar los pesos de los cables
suspendidos. El peso y la longitud de los cables de electricidad se pueden determinar ya que cada uno
forma una curva catenaria.
• Cuando se considera el peso del cable, la función de carga llega a ser una función de la
longitud de arco s más que de x
• DCL de un segmento del cable
Aplique las ecuaciones de equilibrio al sistema
Tcos θ=FH
Tsin θ=∫w(s)ds
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝐹 𝐻
∫ 𝑤(𝑠)𝑑𝑠
Remplace
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑝𝑜𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑥
para poder integrar

9. Ing. Nelson Alfredo Aragón Funes 9 Secuencia didáctica VI: Cables
𝑑𝑠 = √𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= √(
𝑑𝑠
𝑑𝑥
)
2
− 1
Resulta
𝑑𝑠
𝑑𝑥
= [1 +
1
𝐹 𝐻
2 (∫ 𝑤(𝑑𝑠)𝑑𝑠)
2
]
1
2⁄
Separando las variables e integrando
𝑥 = ∫
𝑑𝑠
[1 +
1
𝐹 𝐻
2 (∫ 𝑤(𝑑𝑠)𝑑𝑠)
2
]
1
2⁄
Ejemplo 5. Determine la deflexión de la curva, la longitud, y la máxima tensión en el cable uniforme.
El cable pesa wo = 5N/m.
Solución
Por simetría, se elige el origen en el centro del
cable.
La curva de deflexión se expresa como y = f(x).
Aplicando la ecuación donde w(s) = w0.
𝑥 = ∫
𝑑𝑠
[1 +
1
𝐹 𝐻
2 (∫ 𝑤0 𝑑𝑠)2]
1
2⁄
Al integrar el término bajo el signo de integral en el denominador, tenemos
𝑥 = ∫
𝑑𝑠
[1 +
1
𝐹 𝐻
2 (∫ 𝑤0 𝑠 + 𝐶1)2]
1
2⁄
Sustituimos: 𝑢 = (
1
𝐹 𝐻
) (𝑤0 𝑠 + 𝐶1), de manera que: 𝑑𝑢 = (
𝑤0
𝐹 𝐻
) 𝑑𝑠

10. Ing. Nelson Alfredo Aragón Funes 10 Secuencia didáctica VI: Cables
Resulta una segunda integración: 𝑥 =
𝐹 𝐻
𝑤0
(𝑠𝑒𝑛ℎ−1
𝑢 + 𝐶2)
o bien: 𝑥 =
𝐹 𝐻
𝑤0
{𝑠𝑒𝑛ℎ−1
[
1
𝐹 𝐻
(𝑤0 𝑠 + 𝐶1)] + 𝐶2}
Evaluando las constantes:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝐹 𝐻
∫ 𝑤0 𝑑𝑠 o
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝐹 𝐻
(𝑤0 𝑠 + 𝐶1)
Como
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 0 en 𝑠 = 0, entonces 𝐶1 = 0. 𝐴𝑠í,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑤0 𝑠
𝐹 𝐻
La constante C2, para la condición s = 0 en x = 0, da C2 = 0
Para obtener la curva de deflexión, se resuelve para 𝑠 =
𝐹 𝐻
𝑤0
𝑠𝑒𝑛 ℎ (
𝑤0
𝐹 𝐻
𝑥)
Sustituyendo en la ecuación
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑤0 𝑠
𝐹 𝐻
Tenemos
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑛 ℎ (
𝑤0
𝐹 𝐻
𝑥) , por conciguiente 𝑦 =
𝐹 𝐻
𝑤0
cos ℎ (
𝑤0
𝐹 𝐻
𝑥) + 𝐶2
Aplicando la condición de frontera 𝑦 = 0 en 𝑥 = 0, la constante 𝐶3 =
𝐹 𝐻
𝑤0
entonces la curva de deflexión se convierte en: 𝑦 =
𝐹 𝐻
𝑤0
[ 𝐜𝐨𝐬 ℎ (
𝑤0
𝐹 𝐻
𝑥) − 1]
Esta ecuación define la forma de una curva catenaria. La constante FH se obtiene por la condición de
frontera y = h en x = L/2, en cuyo caso
ℎ =
𝐹 𝐻
𝑤0
[ 𝐜𝐨𝐬 ℎ (
𝑤0 𝐿
2𝐹 𝐻
) − 1]
Como w0 = 5 N/m, h = 6 m y L = 20 m, aplicando las ecuaciones:
𝑦 =
𝐹 𝐻
5𝑁/𝑚
[cos ℎ (
5𝑁/𝑚
𝐹 𝐻
𝑥) − 1]
6 𝑚 =
𝐹 𝐻
5𝑁/𝑚
[𝑐𝑜𝑠 ℎ (
50𝑁/𝑚
𝐹 𝐻
𝑥) − 1]
Por ensayo y error (numéricamente), FH = 45.9N

11. Ing. Nelson Alfredo Aragón Funes 11 Secuencia didáctica VI: Cables
La curva de deflexión por tanto resulta, y = 9. 19[cos h (0.109 x)−1]m
Sustituyendo x = 10 m, para la mitad de la longitud del cable s(x)
ℓ
2
=
45.9
5𝑁/𝑚
𝑠𝑒𝑛 ℎ [
5𝑁/𝑚
45.9𝑁
(10 𝑚)] = 12.1 𝑚
Así, ℓ = 24.2 m, la máxima tensión ocurre cuando θ es máximo, s = ℓ/2 = 12.1m
Como 𝑇 =
𝐹 𝐻
cos 𝜃
, la tensión máxima ocurre cundo 𝜃 es máximo, es decir, en s =
ℓ
2
= 12.1𝑚
Con la ecuacion
𝑑𝑦
𝑑𝑥
⎢ 𝑠=12.1 𝑚 = tan 𝜃 =
5
𝑁
𝑚
(12.1 𝑚)
45.9 𝑁
= 1.32
𝜃 𝑚á𝑥 = 52.8°
Entonces, 𝑇 𝑚á𝑥 =
𝐹 𝐻
cos 𝜃 𝑚á𝑥
=
45.9 𝑁
cos 52.8°
= 75.9 𝑁
Ejemplos 6: Un cable tiene un peso de 5 lb / pie. Si puede abarcar 300 pies y tiene una caída de 15
pies, determine la longitud del cable. Los extremos de los cables están soportados en la misma
elevación.
Solución:
𝑤0 = 5𝑙𝑏/𝑓𝑡
𝑦 =
𝐹 𝐻
𝑤0
[cos ℎ (
𝑤0
𝐹 𝐻
𝑥) − 1]
𝐴𝑡𝑥 = 150 𝑓𝑡, 𝑦 = 15 𝐹𝑇
15𝑤0
𝐹 𝐻
= cos ℎ (
150𝑤0
𝐹 𝐻
) − 1
𝐹 𝐻 = 3762 𝑙𝑏
𝑠 =
𝐹 𝐻
𝑤0
𝑠𝑒𝑛 ℎ (
𝑤0
𝐹 𝐻
𝑥)
𝑠 = 151.0 𝑓𝑡
𝐿 = 2𝑠 = 302 𝑓𝑡

12. Ing. Nelson Alfredo Aragón Funes 12 Secuencia didáctica VI: Cables
4.3.2.5. Ecuaciones fundaméntales
Carga puntual
↶+ MC = 0;
→+∑Fx = 0;
↑+∑Fy = 0;
Carga distribuida
𝑦 =
1
𝐹 𝐻
∫ (∫ 𝑤(𝑥)𝑑𝑥)𝑑𝑥
Peso del cable
𝑥 = ∫
𝑑𝑠
[1 +
1
𝐹 𝐻
2 (∫ 𝑤(𝑑𝑠)𝑑𝑠)
2
]
1
2⁄
4.3.2.6. Problemas de aplicación evaluados
1. Determine la tensión en cada segmentos y la longitud total del cable.

13. Ing. Nelson Alfredo Aragón Funes 13 Secuencia didáctica VI: Cables
2. El cable soporta las tres cargas mostradas. Determine la tensión en cada segmento del cable.
Considere que P1 = 400 lb, P2 = 250 lb.
3. El cable se somete a una carga uniforme de w = 300 lb. Determine las tensiones máxima y
mínima en el cable.