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Logica matematica
- 1. INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA ALBERTO SANTOFIMIO CAICEDO JORLEIDY JOHANNA JIMENEZ RODRIGUEZ LÓGICA MATEMÁTICA PROF: FRANCISCO GONGORA 10.1 J.T. 2017
- 2. INDICE INTRODUCCIÓN………………………………………………….3 LÓGICA MATEMÁTICA………………………………………….4 CLASES DE PROPOSICIONES………………………………..5 CONECTIVOS LÓGICOS EN PROPOSICIONES COMPUESTAS…………………………………………..............9 PROPOSICIONES CONDICIONALES………………………..11 PROPOSICION BICONDICIONAL…………………………….13 TAUTOLOGÍA, EQUIVALENCIA Y CONTRADICCIÓN…….14 LEYES NOTABLES EN LÓGICA………………………..........17 MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN…………………………….19 CONCLUSIÓN…………………………………………………...21 BIBLIOGRAFIA…………………………………………………..22
- 3. INTRODUCCIÓN En este documento se hallara diferentes aspectos que comprende la lógica matemática, especificando sus métodos, procesos y conceptos; junto con ejemplos e imágenes sobre el tema a entender. Detenidamente se entenderá el documento y su gran importancia.
- 4. LÓGICA MATEMÁTICA La lógica matemática, también llamada lógica simbólica, lógica teorética, lógica formal, o logística,1 es parte tanto de la lógica y como de la matemática, y consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y con la lógica filosófica. La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje formal. La lógica matemática se suele dividir en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las matemáticas. La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas matemáticamente. La lógica matemática comprende dos áreas de investigación distintas: la primera es la aplicación de las técnicas de la lógica formal a las matemáticas y el razonamiento matemático y la segunda, en la otra dirección, la aplicación de técnicas matemáticas a la representación y el análisis de la lógica formal. Si la teoría de la demostración y la teoría de modelos han sido el fundamento de la lógica matemática, no han sido más que dos de los cuatro pilares del sujeto. La
- 5. teoría de conjuntos se originó en el estudio del infinito por Georg Cantor y ha sido la fuente de muchos de los temas más desafiantes e importantes de la lógica matemática, a partir del teorema de Cantor, a través del estatus del axioma de elección y la cuestión de la independencia de la hipótesis del continuo, al debate moderno sobre grandes axiomas cardinales. La teoría de la recursión captura la idea de la computación en términos lógicos y aritméticos. Sus logros más clásicos son la indecidibilidad del Entscheidungsproblem de Alan Turing y su presentación de la tesis de Church- Turing. Hoy en día, la teoría de la recursión se ocupa principalmente del problema más refinado de las clases de complejidad. PROPOSICIONES MATEMÁTICAS Proposición es un concepto con diferentes usos. Puede tratarse de la manifestación de algo para que otros individuos conozcan una intención, de la concreción de una propuesta o de un enunciado que puede resultar falso o verdadero. La matemática, por otra parte, es la ciencia dedicada al análisis de las entidades abstractas, como números, figuras geométricas y símbolos, y de sus propiedades. Como adjetivo, el término refiere a todo lo vinculado con esta disciplina deductiva. Después de estas aclaraciones, podemos centrarnos en las proposiciones matemáticas. Una proposición matemática es una expresión algebraica que puede acarrear dos valores: ser verdadera o ser falsa, aunque nunca ambas a la vez. Denominadas a través de letras minúsculas, las proposiciones matemáticas tienen un valor de verdad (que será la veracidad o la falsedad de su enunciado). De acuerdo a sus características, es posible distinguir entre proposiciones
- 6. simples (que carecen de conectores lógicos) y proposiciones compuestas (cuentan con más de un conector lógico). Dentro de estos grupos también pueden advertirse otras clasificaciones: proposiciones relacionales, proposiciones predicativas, etc. Las proposiciones matemáticas pueden ser vistas como expresiones de juicio que no pueden resultar verdaderas y falsas de manera simultánea. Por ejemplo: a: 9 es múltiplo de 3 Dicha expresión es una proposición matemática que resulta verdadera, ya que 3 x 3 es igual a 9 y, por lo tanto, 9 es uno de los infinitos múltiplos de 3. Como decíamos líneas arriba, la proposición matemática también puede ser falsa: b: 7 es múltiplo de 3 En este caso, la proposición es falsa ya que 7 no está entre los múltiplos de 3 (3 x 2 = 6, 3 x 3 = 9). PROPOSICIÓN MATEMÁTICA ABIERTA Hay ciertas afirmaciones de las cuales no podemos anticipar su valor de verdad a simple vista, ya que en su contenido existe al menos una variable, cuyo valor se desconoce. Luego de observarla y analizarla, pueden llevarse a cabo los cálculos necesarios para dar con uno de los valores
- 7. capaces de reemplazarla, para finalmente estar en condiciones de asegurar se la proposición es verdadera o falsa. En algunos casos, las variables pueden ser reemplazadas por más de un valor, los cuales forman parte de un conjunto que se denomina dominio de la variable. A su vez, el conjunto que se forma por los elementos de dicho dominio que vuelven la proposición abierta verdadera recibe el nombre de conjunto solución de la proposición abierta. PROPOSICIÓN MATEMÁTICA CONJUNTIVA Cuando se unen dos proposiciones a través del símbolo de conjunción (^), se habla de proposición conjuntiva, la cual debe cumplir la siguiente condición: sólo puede tener un valor de verdad verdadero si sus dos componentes también lo son; en cambio, si al menos una de ellas arroja el valor falso, entonces la proposición conjuntiva es falsa. Dado que se trata de la relación entre dos conjuntos, también es posible determinar aquellos elementos que forman parte de ambos dominios de variables, los cuales pertenecen al conjunto intersección de ambas proposiciones matemáticas.
- 8. PROPOSICIÓN MATEMÁTICA DISYUNTIVA En este caso, también se conectan dos proposiciones, pero se utiliza el símbolo opuesto al anterior, que se puede leer como la palabra “o”, dado que propone una relación caracterizada por el siguiente requisito: la proposición disyuntiva sólo podrá tener un valor verdadero si sus dos componentes resultan falsas, mientras que basta con que una de ellas sea verdadera para que la primera también lo sea. IMPLICACIÓN Este tipo de proposición matemática también se denomina condicional y consiste en una conexión que tiene lugar si se cumple lo siguiente: es falsa sólo cuando la primera proposición (denominada antecedente) es verdadera y la segunda (el consecuente) es falsa; cualquier otro caso dará como resultado un valor verdadero.
- 9. - CONECTIVOS LÓGICOS EN PROPOSICIONES COMPUESTAS Los conectivos lógicos son símbolos usados para combinar proposiciones simples dadas, produciendo así otras llamadas proposiciones compuestas. Los conectivos lógicos que usaremos son negación disyunción conjunción Definimos una tabla de verdad como un arreglo que nos permite tener los posibles valores de verdad de una proposición compuesta a partir de los valores de verdad de las proposiciones simples. Las tablas de verdad para los conectivos lógicos listados arriba son las siguientes: NEGACIÓN La negación de una proposición es una nueva proposiciónque tiene un valor de verdad opuesto a la proposición original. Es decir, si el valor de verdad de una proposición p es verdadero, entonces el valor de verdad de ~p es falso. La tabla de verdad para el conectivo ~ está dada por p ~p V F F V
- 10. DISYUNCIÓN La disyunción es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo . Esta proposición compuesta de denota por y se lee p o q. La tabla de verdad para el conectivo está dada por p q V V V V F V F V V F F F Se puede ver que para que una proposición compuesta tenga valor de verdad verdadero, basta con una de las proposiciones simples tenga valor de verdad verdadero. CONJUNCIÓN La conjunción es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo . Esta proposición compuesta de denota por y se lee p y q. La tabla de verdad para el conectivo está dada por p q
- 11. V V V V F F F V F F F F Se puede ver que para que una proposición compuesta tenga valor de verdad verdadero, ambas proposiciones simples deben tener valor de verdad verdadero. - PROPOSICIONES CONDICIONALES La condicional es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo . Esta proposición compuesta de denota por y se lee p implica q. En esta proposición compuesta, la proposición simple p se llama antecedente, mientras que la proposición simple q se llama consecuente. La tabla de verdad para el conectivo está dada por p q V V V V F F F V V F F V
- 12. Se puede ver que una proposición compuesta tiene valor de verdad falso solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En cualquier otro caso, el valor de verdad de la proposición compuesta es verdadero. Las proposiciones condicionales llevan la conjunción condicional compuesta ‘si... entonces...’, o sus expresiones equivalentes como ‘si’, ‘siempre que’, ‘con tal que’, ‘puesto que’, ‘ya que’, ‘porque’, ‘cuando’, ‘de’, ‘a menos que’, ‘a no ser que’, ‘salvo que’, ‘sólo si‘, ‘solamente si’. Ejemplos: a) Si es joven, entonces es rebelde. b) Es herbívoro si se alimenta de plantas. Toda proposición condicional consta de dos elementos: antecedente y consecuente. La proposición que sigue a la palabra ‘si ‘se llama antecedente y la que sigue a la palabra ‘entonces’ se denomina consecuente. Finalmente, en toda proposición condicional el consecuente es condición necesaria del antecedente y el antecedente es condición suficiente del consecuente. Por ejemplo, en la proposición condicional ‘si los cuerpos se calientan, entonces se dilatan’, el consecuente ‘se dilatan’ es condición necesaria del antecedente ‘se calientan’ y el antecedente ‘se calientan’ es condición suficiente del consecuente ‘se dilatan’.
- 13. - PROPOSICIÓN BICONDICIONAL La bicondicional es la proposición compuesta que resulta de conectar dos proposiciones, p y q, mediante el conectivo . Esta proposición compuesta se denota por y se lee p si y solo si q. La tabla de verdad para el conectivo está dada por p q V V V V F F F V F F F V Se puede ver que la proposición compuesta tiene valor de verdad verdadero siempre que las proposiciones simples tienen el mismo valor de verdad. Es cualquier otro caso, la proposición compuesta tiene valor de verdad falso. Las proposiciones compuestas pueden combinarse o conectarse para formar proposiciones aún más complejas. Es claro que el valor de verdad de una proposición, por compleja que sea, depende de los valores de verdad de las proposiciones que las componen en sus formas más simples. Para hacer la tabla de verdad de una proposiciónle asignamos una columna a cada proposición que interviene, sea ésta simple o compuesta, normalmente comenzando con las más simples y progresando en el orden de complejidad de las proposiciones componentes. El número de filas de la tabla viene dado por la potencia , donde es el número de proposiciones en la forma más simple que forman la proposición compuesta dada. Para asignar los valores de verdad a dichas proposiciones simples, se procede de la forma siguiente:
- 14. la primera columna se llena asignando valores V a la mitas de las filas y valores F a la mitad siguiente. la segunda columna se llena asignando valores V a un cuarto de las filas, valores F al segundo cuarto, valores V al tercer cuarto y valores F al último cuarto de filas de esa columna. la tercera columna se llena asignando valores V a un octavo de las filas, valores F al segundo octavo, valores V al tercer octavo, etc. Así, se continúa hasta que terminen las columnas de las proposiciones simples. Las columnas de las otras proposiciones se llenan a partir de las columnas de las proposiciones simples, usando las tablas de verdad definidas antes. - TAUTOLOGÍA, EQUIVALENCIA Y CONTRADICCIÓN TAUTOLOGÍA:
- 15. En lógica proposicional, una tautología (del griego ταυτολογία, "decir lo mismo") es una fórmula bien formada que resulta verdadera para cualquier interpretación; es decir, para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas.1 2 La construcción de una tabla de verdad es un método efectivo para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología o no. Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas las asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones componentes. Dicho de otra forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: EQUIVALENCIA: Equivalencia Nombre p∧T≡p p∨F≡p Leyes de identidad p∨T≡T p∧F≡F Leyes de dominación p∨p≡p p∧p≡p Leyes de idempotencia ﹁(﹁p)≡p Leyes de doble negación En lógica, las declaraciones p y q son lógicamen te equivalentes si tienen el mismo contenido lógico. Este es un concepto semántico, dos afirmaciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos (Mendelson 1979:56). La equivalencia lógica de p y q algunas veces se expresa como , Epq, o . Sin embargo, estos símbolos también se usan para la equivalencia material; su apropiada interpretación depende del contexto. La equivalencia lógica es diferente a la equivalencia material, aunque ambos conceptos estén estrechamente relacionados.
- 16. CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras. Sea el caso: En lógica, una contradicción es una incompatibilidad entre dos o más proposiciones. Por ejemplo, las oraciones «llueve y no llueve» y «ni llueve ni truena, pero llueve y truena» expresan contradicciones. p∨q≡q∨p p∧q≡q∧p Leyes de conmutación (p∨q)∨r≡p∨(q∨r) (p∧q)∧r≡p∧(q∧r) Leyes de asociación p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r) p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r) Leyes de distribución ﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q ﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q Leyes de De Morgan p∨(p∧q)≡p p∧(p∨q)≡p Leyes de absorción p∨﹁p≡T p∧﹁p≡F Leyes de negación
- 17. En lógica proposicional, una contradicción se define como una fórmula que resulta falsa para cualquier interpretación, es decir para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas atómicas. Dada esta definición, toda contradicción es la negación de una tautología, y toda tautología es la negación de una contradicción. - LEYES NOTABLES EN LÓGICA Entre las reglas de la lógica proposicional clásica algunas de la más notables son listadas a continuación: Ley de doble negación: En lógica y matemática, la negación, también llamada complemento lógico, es una operación sobre proposiciones, valores de verdad, o en general, valores semánticos. Intuitivamente, la negación de una proposición es verdadera cuando dicha proposición es falsa, y viceversa. En lógica clásica la negación está normalmente identificada con la función de verdad que cambia su valor de verdadero a falso y viceversa. En Lógica intuicionista, de acuerdo a la interpretación de Brouwer–Heyting–Kolmogorov, la negación de una proposición p es la proposición cuyas pruebas son las refutaciones de p. Dentro de un sistema de lógica clásica, la doble negación, esto es, la negación de la negación de una proposición p, es lógicamente equivalente a p. Expresado simbólicamente, ¬(¬p) ⇔ p. En lógica intuicionista, una proposición implica su doble negación, pero no al revés. Esto marca una importante diferencia entre la negación clásica e intuicionista. Algebraicamente, la negación clásica es llamada una involución de periodo dos.
- 18. Sin embargo, en lógica intuicionista, sí tenemos la equivalencia entre ¬¬¬p y ¬p. Es más, en el caso proposicional, una oración es demostrable de forma clásica, si su doble negación es demostrable de manera intuicionista. Este resultado es conocido como el teorema de Glivenko. Leyes de idempotencia: Leyes asociativas Leyes conmutativas Leyes distributivas Leyes de De Morgan: En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De Morgan1 2 3 son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de las conjunciones y disyunciones puramente en términos de vía negación. Las reglas se pueden expresar en español como: La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones. La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones. O informalmente como: "no (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)" Y también, "no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)" Las reglas pueden ser expresadas en un lenguaje formal con dos proposiciones P y Q, de esta forma:
- 19. Donde: ¬ es el operador de negación (NO) es el operador de conjunción (Y) es el operador de disyunción (O) ⇔ es un símbolo metalógico que significa "puede ser reemplazado en una prueba lógica" Entre las aplicaciones de las normas se incluyen la simplificación de expresiones lógicas en programas de computación y diseño de circuitos digitales. Las leyes de De Morgan son un ejemplo de concepto más general de dualidad matemática. - MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN Demostraciones directas Demostraciones indirectas. Demostraciones por inducción completa Son los métodos que se usan para demostrar un teorema y que son aplicados en muchos campos de la Matemática. Existe el método de demostración directa y el método de demostración indirecta. EL MÉTODO DIRECTO Consiste en partir de las premisas (datos) del teorema y aplicando las reglas de la lógica y la teoría desarrollada, obtener o llegar a la tesis (conclusión) del teorema después de un número finito de pasos. EL MÉTODO INDIRECTO Consiste en negar la tesis del teorema y a partir de esta proposición y con ayuda de las reglas de la lógica y la teoría desarrollada encontrar una contradicción respecto a las premisas, una proposición verdadera o respecto a la suposición. Aquí se interrumpe el desarrollo práctico de la demostración, puesto que una proposición y su negación no pueden ser verdaderas a un mismo tiempo. Y de aquí se concluye que la tesis del teorema es verdadera.
- 20. Como se puede observar para demostrar un teorema se hace necesario identificar las premisas y la tesis del teorema; luego si se quiere demostrar una proposición si es posible, ya que no siempre se puede, expresar está en la forma de una implicación, lo que permitirá de una manera más fácil obtener las premisas y la tesis de la proposición a demostrar. DEMOSTRACIONES POR INDUCCIÓN COMPLETA Es un método especial de demostración matemática que permite, a base de observaciones particulares, juzgar de las regularidades generales correspondientes. La Inducción (o sea, la sugerencia de una idea o una hipótesis) sin dudas desempeña en las matemáticas un papel importante, pero puramente heurístico: permite adivinar cuál debe ser, según todas las apariencias, la solución. Pero las proposiciones matemáticas se demuestran siempre deductivamente. Ningún resultado matemático puede considerarse justo, válido, si no ha sido deducido de las proposiciones de partida.
- 21. CONCLUSIÓN Hubo un cierto discernimiento de la rama de la matemática y cada etapa que comprende para su comprensión, siendo esta su gran ventaja, es decir, se aclaró lo que más adelante se analizara y estudiara.