trabajo logica

1. INSTITUCION EDUCATIVA ALBERTO SANTOFIMIO CAICEDO
LOGICA MATEMATICA
Presentado por:
ADRIANA OLIVERA DIAZ
Presentado por:
FRANCISCO GONGORA TAFUR
GRADO: 10-03
AÑO: 2017

2. 1. ¿CONCEPTO DE LOGICA MATEMATICA?
1. Parte de la filosofía que estudia las formas y principios generales que rigen el conocimiento
y el pensamiento humano, considerado puramente en sí mismo, sin referencia a los objetos.
2. Método o razonamiento en el que las ideas o la sucesión de los hechos se manifiestan o se
desarrollan de forma coherente y sin que haya contradicciones entre ellas.
3. Modo o manera particular de pensar, de ver, de razonar o de actuar que se considera
coherente, racional o de sentido común.
2. DEFINICION Y CLASES DE PROPOSICIONES
Es toda oración o enunciado al que se le puede asignar un cierto valor (v o f). Si no puede
concluir que es verdadero o falso no es proposición. Es cualquier agrupación de palabras
o símbolos que tengan sentido y de la que en un momento determinado se pueda asegurar si
es verdadera o falsa. La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor
lógico o valor de verdad. Las proposiciones se denotan con letras minúsculas. Ejemplo: p,
q, r, a, b.
Ejemplo:
Hoy es lunes. (si es proposición ya que se puede verificar).
Hablo y no hablo.
Viene o no viene.
Carlos Fuentes es un escritor. (Simple)
Sen (x) no es un número mayor que 1. (Compuesta)
El 14 y el 7 son factores del 42. (Simple)
El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42. (Compuesta)
El 2 o el 3 son divisores de 48. (Simple)
El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. (Compuesta)
Si x es número primo, entonces x impar. (Compuesta)
Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16. (Compuesta)
No todos los números primos son impares. (Compuesta)
Existen dos clases de proposiciones:
PROPOSICIONES SIMPLES: también denominadas proposiciones atómicas. Son aquellas
proposiciones que no se pueden dividir.
Ejemplos:
El cielo es azul.
PROPOSICIONES COMPUESTAS: también denominadas moleculares. Son aquellas que
están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos.
Ejemplos:
Fui al banco, pero el banco estaba cerrado.
Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios.
Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalare un auto.

3. 3. CONECTIVOS LOGICOS EN PROPOSICIONES COMPUESTAS
Son aquellos que sirven para formar proposiciones más complejas (compuestas o
moleculares).
TIPOS DE CONECTIVOS Y EJEMPLOS
Conectivo Props. Compuesta
NOT ¬ Negación
AND ^ Conjunción
OR v Disyunción inclusiva
OR
exclusivo
v Disyunción exclusiva
Condicional
Bicondicional
A) NEGACION:
EJEMPLO: Juan conversa.
Juan no conversa.
B) CONJUNCION:
EJEMPLO: P: La casa está sucia.
Q: La empleada la limpia mañana.
PQ: La casa está sucia y la empleada la limpia mañana.
C) DISYUNCION:
D) DISYUNCION EXCLUSIVA:
EJEMPLO: P: Pedro juega básquet.
Q: María juega futbol.
PVQ: Pedro juega básquet o María juega futbol.
E) CONDICIONAL:
EJEMPLO: P: Si me saco la lotería.
Q: Te regalare un carro.
PQ: Si me saco la lotería entonces te regalare un carro.
F) BICONDICIONAL:
EJEMPLO: P: Simón bolívar vive.
Q: Montalvo está muerto.
PQ: Simón bolívar vive si y solo si Montalvo está muerto.
4. PROPOSICIONES CONDICIONALES
Las Proposiciones Condicionales expresan la condición necesaria para que tenga efecto lo
que indica la oración principal; ésta indica la causa o efecto de tal condición.
La condicional, expresada por la frase "si, entonces", se simboliza mediante el
signo "→" colocado entre las dos proposiciones. La primera proposición lleva el nombre

4. de antecedente y la segunda proposición la de consecuente. Algunos lógicos la denominan
"proposición hipotética" o "proposición implicativa". La importancia de esta clase de
proposiciones es la de que la utiliza frecuentemente en el lenguaje de las ciencias,
particularmente en la ciencia de la física y en la matemática. El condicional, según
veremos, es una conectiva para la cual importa el orden de las cláusulas, esto es, se trata de
un conector no conmutativo. En este caso el antecedente es una condición suficiente
respecto del consecuente y el consecuente es una condición necesaria respecto del
antecedente.
La regla de la tabla de verdad para esta conectiva lógica es la siguiente:
La condicional será falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es
falso, en los demás casos será verdadera.
La tabla de verdad del enunciado anterior es como sigue:
p q p →
q
V V V
V F F
F V V
F F V
EJEMPLO:
Si se tiene lo proposición "Si un cuerpo se calienta, entonces se dilata", se observa que
estamos diciendo es que la primera proposición "si el cuerpo se calienta" implica a la
segunda proposición " entonces se dilata", pero no se afirma que el antecedente es
verdadero, ni el consecuente es verdadero, puede ser que el cuerpo no se calentó y el cuerpo
se dilato por causa de otros factores ajenos a la temperatura, un golpe
5. PROPOSICION BICONDICIONAL
Es una proposición de la forma «P si y solo si Q» y se admite el bicondicional Sergio es
verdadero en el caso de que ambos componentes tengan el mismo valor entitativo. En otras
palabras, que si P ocurre entonces también ocurre Q; y viceversa: si Q ocurre entonces
también ocurre P.
La conectiva bicondicional será verdadera solamente si y solo si las dos sentencias que
la componen son a la vez verdaderas o si son ambas falsas. Expresado anteriormente se
resumen simbólicamente de la siguiente manera:
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V

5. EJEMPLOS:
La primera proposición es correcta, puesto que es imposible tener el carnet de conducir
siendo menor de 18 años. Por tanto, si se tiene el carnet, se tiene que ser obligatoriamente
mayor de edad.
La segunda es incorrecta, puesto que la relación entre "tener el carnet de conducir" y "ser
mayor de edad" no es bicondicional. Dicho de otro modo: se puede ser mayor de edad sin
tener el carnet de conducir.
6. TAUTOLOGIA, EQUIVALENCIA Y CONTRADICCION
TAUTOLOGÍA: Una proposición compuesta es una tautología si es verdadera para todas
las asignaciones de valores de verdad para sus proposiciones componentes. Dicho de otra
forma, su valor V no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la forman,
sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras.
EQUIVALENCIA: Es la igualdad en el valor, estimación, potencia o eficacia de dos o más
cosas o bien la igualdad de áreas en figuras planas de distintas formas, o de áreas o volúmenes
en sólidos diferentes.
CONTRADICCIÓN: Se entiende por proposición contradictoria, o contradicción, aquella
proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es F.Dicho
de otra forma, su valor F no depende de los valores de verdad de las proposiciones que la
forman, sino de la forma en que están establecidas las relaciones sintácticas de unas con otras.
7. LEYES NOTABLES EN LOGICA
1.Ley de doble negación: Dentro de un sistema de lógica clásica, la doble negación, esto es,
la negación de la negación de una proposición p, es lógicamente equivalente a p. Expresado
simbólicamente, ¬(¬p) ⇔ p. En lógica intuicionista, una proposición implica su doble
negación, pero no al revés. Esto marca una importante diferencia entre la negación clásica e
intuicionista. Algebraicamente, la negación clásica es llamada una involución de periodo dos.
2. Leyes de idempotencia: En matemática y lógica, la idempotencia es la propiedad para
realizar una acción determinada varias veces y aun así conseguir el mismo resultado que se
obtendría si se realizase una sola vez. Un elemento que cumple esta propiedad es un elemento
idempotente, o un idempotente. De esta manera, si un elemento al multiplicarse por sí mismo
sucesivas veces da él mismo, este elemento es idempotente.
8. METODOS DE DEMOSTRACION

6. Métodos de demostración: Designamos en esta forma los modelos o esquemas más
generales que encontramos en los procesos deductivos. Estos modelos, como veremos en el
transcurso de su desarrollo, están fundamentados lógicamente en teoremas o reglas de
inferencia ya establecidos.
Método directo o Método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional: "Dado
un conjunto de premisas en una teoría, si bajo el supuesto de que una proposición P es
verdadera y utilizando las premisas disponibles se puede hacer una demostración de que
una proposición Q es verdadera, entonces en esa teoría puede concluirse que es verdadero”.
EJEMPLO: Demostrar utilizando el método directo que la siguiente proposición es
teorema: La suma de dos números pares es un número par. Observación En el lenguaje
ordinario encontramos los textos de los enunciados tal como está presentado el ejemplo. Es
necesario, en consecuencia, que podamos identificar en él la implicación implícita con sus
correspondientes antecedente y consecuente; de lo contrario no sería posible abordar su
demostración. El enunciado anterior lo podemos presentar así: "Si a, b son números pares,
entonces a + b es un número par".
Método del contra recíproco: El teorema del contra recíproco da lugar a una variante del
método directo, que se utiliza mucho en matemáticas y es conocido como método del
contra recíproco. Este método puede resumirse así: Supongamos que se quiere demostrar
que una proposición específica es teorema y al intentar su demostración por el método
directo no logramos obtener la conclusión deseada. Se procede entonces a demostrar por el
método directo su contra recíproca, si se consigue este objetivo entonces queda establecida
la validez de al hacer sustitución por equivalencia.
EJEMPLO: Demostrar el siguiente teorema: Si el cuadrado de un número es impar
entonces el número es impar. Enunciado explícito: Si a 2 es impar entonces a es impar.
Empleando el método directo se tiene: Pero, ¿qué podemos decir de? No podemos decir
que este número es par ni tampoco que es impar. Esta imposibilidad de obtener la
conclusión buscada nos lleva a cambiar la estrategia. Procedamos ahora a demostrar su
contra recíproco por el método directo. El enunciado del contra recíproco corresponde a: Si
a es para entonces es par.
Método de demostración por contradicción o reducción al absurdo Contradicción:
Designamos en esta forma, toda proposición correspondiente a la conjunción entre una
proposición y su negación. Teoría contradictoria o inconsistente: Se dice que una teoría es
contradictoria o inconsistente, cuando en dicha teoría es posible demostrar una
contradicción. En una teoría contradictoria podemos concluir que una proposición es
verdadera y falsa a la vez. El método de demostración por reducción al absurdo se

7. fundamenta en la condición de no contradicción para una teoría, básicamente la estrategia
consiste en suponer explícitamente la negación de la proposición a demostrar, a partir de
esta hipótesis se trata de generar una contradicción, esto es: que la teoría con ese supuesto
es inconsistente y, en consecuencia, tal hipótesis es falsa, o lo que es equivalente, que su
negación es verdadera, quedando validada la proposición inicial.
La estructura lógica de lo que acabamos de expresar, se puede resumir en la siguiente
ilustración.
EJEMPLO: El teorema que acabamos de probar es el soporte lógico de uno de los
métodos de mayor utilización en las matemáticas, designado como método de Método de
casos. (Silogismo disyuntivo). La regla de inferencia de ese nombre da lugar a este método
de demostración, casi de forzosa utilización cuando la hipótesis o una de las hipótesis es
una disyunción de dos o más proposiciones, en cuyo caso procedemos así:
1. Suponemos la hipótesis dada correspondiente a una disyunción.
2. A partir de cada una de las proposiciones que integran la disyunción se obtiene una
conclusión parcial por el método directo.
3. Se concluye finalmente la disyunción de las conclusiones parciales. EJEMPLO:
Demostrar el siguiente teorema: Para a, b números reales, si a = 0 o b = 0 entonces a.b = 0
1. Supongamos a = 0 ó b = 0 Hipótesis auxiliar 1 2. Supongamos: a = 0 Hipótesis auxiliar 2
3. a.b = 0.b Ley uniforme del producto en 2 4. 0.b = 0 Teorema en el conjunto de números
reales 5. a.b = 0 Transitividad en la igualdad de 3. y 4. 6. Método directo 2…5. 7.
Supongamos: b = 0 Hipótesis auxiliar 2 8. a.b = a.0 Ley uniforme del producto en 7 9. a.0 =
0 Teorema en el conjunto de los números reales 10. a.b = 0 Transitividad en la igualdad 8.y
9. 11. Método directo 7…10. 12. a.b = 0 Método de casos de 1., 6. y 11. (Regla de
inferencia) 13. Método di.
9. TABLAS DE VERDAD
Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de
verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda
asignar.
Las tablas nos manifiestan los posibles valores de verdad de cualquier proposición
molecular, así como el análisis de la misma en función de las proposicíones que la integran,
encontrándonos con los siguientes casos:
Verdad Indeterminada o Contingencia

8. Se entiende por verdad contingente, o verdad de hecho, aquella proposición que
puede ser verdadera o falsa, según los valores de las proposiciones que la integran.
Sea el caso: Su tabla de verdad se construye de la siguiente manera:
Ocho filas que responden a los casos posibles que pueden darse según el valor V o F de
cada una de las proposiciones A, B, C. (Columnas 1, 2, 3) .Una columna (Columna 4) en la
que se establecen los valores de aplicando la definición del disyuntor a los valores de
B y de C en cada una de las filas. (Columnas 2,3 → 4)
Una columna (columna 5) en la que se establecen los valores resultantes de aplicar la
definición de la conjunción entre los valores de A (columna 1) y valores de la
columna , (columna 4) que representarán los valores de la proposición completa ,
cuyo valor de verdad es V o F según la fila de los valores de A, B, y C que
consideremos. (Columnas 1,4 → 5)
Donde podemos comprobar cuándo y por qué la proposición es V y cuándo es F.
CONTRADICCION
Se entiende por proposición contradictoria,
o contradicción, aquella proposición que en
todos los casos posibles de su tabla de
verdad su valor siempre es F. Dicho de otra
forma, su valor F no depende de los valores
de verdad de las proposiciones que la
forman, sino de la forma en que están
establecidas las relaciones sintácticas de
unas con otras. Sea el caso:
Procederemos de manera similar al caso
anterior. Partiendo de la variable A y su
contradicción, la conjunción de ambos
siempre es falso, dado que si A es verdad su
contradicción es falsa, y si A es falsa su

9. contradicción es verdad, la conjunción de ambas da falso en todos los casos.
TAUTOLOGIAS:
Se entiende por proposición tautológica, o
tautología, aquella proposición que en todos
los casos posibles de su tabla de verdad su
valor siempre es V. Dicho de otra forma, su
valor V no depende de los valores de verdad
de las proposiciones que la forman, sino de
la forma en que están establecidas
las relaciones sintácticas de unas con otras.
Sea el caso:
Siguiendo la mecánica algorítmica de la
tabla anterior construiremos su tabla de
verdad, tenemos la variable A en disyunción
con su contradicción, si A es verdad, su
negación es falsa y si A es falsa su negación
es verdad, en cualquier caso, una de las dos
alternativas es cierta, y su disyunción es cierta en todos los casos.
Las tablas de verdad es una estrategia de la lógica simple que permite establecer la validez
de varias propuestas en cuanto a cualquier situación, es decir, determina
las condiciones necesarias para que sea verdadero un enunciado propuesto, permitiendo
clasificarlos en tautológicos (resultan verdaderos durante cualquier situación) contradictorias
(son enunciados falsos en la mayoría de los casos) o contingentes (enunciados que no pueden
será tantos verdaderos como falsos no existen tendencia a un solo sentido). Permite
diferentes aspectos del enunciado como las condiciones que lo hacen verdadero y cuáles son
sus conclusiones lógicas, es decir, si el enunciado propuesto es verdadero o falso. Esta tabla
fue ideada por Charles Sanders Peirce aproximadamente en 1880, pero la más utilizada es el
modelo actualizado de Luidwin Wittgenstein en 1921. La construcción de la tabla está
fundamentada en la utilización de una letra para las variables del resultado y las mismas se
cumplen se dicen que son verdaderas, en el caso contrario de que no se cumpla se les asigna
el apelativo de falsas, por ejemplo: Enunciado: “Si nos mudamos, mi perro se muere”.
Variables: A: Si se muda- B: el perro se muere. Si se dice que es verdadero a
ambas variables se les asigna la letra (V) y representa la positividad del enunciado, si alguna
de las variables no se cumple se les asigna la letra (F) esto no representa la falsedad del
enunciado ya que con cumplirse una sola variable se puede designar como verdadero, eso
dependerá del enunciado. Cuando ambos valores resultan verdaderos en todas las ocasiones
se dice que existe una conjugación en el enunciado, en cambio sí se obtiene dos resultados
verdaderos y luego uno verdadero y el otro falso se dice que existe una disyunción.