Logica matematica

1. LOGICA MATEMATICA
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que
codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos
como conjuntos, números, demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje formal.
La lógica matemática se suele dividir en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de
la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica
matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las
matemáticas.
EJEMPLOS
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PROPOSISIONES
Proposición es un concepto con diferentes usos. Puede tratarse de la manifestación de
algo para que otros individuos conozcan una intención, de la concreción de una propuesta
o de un enunciado que puede resultar falso o verdadero.
La matemática, por otra parte, es la ciencia dedicada al análisis de las entidades
abstractas, como números, figuras geométricas y símbolos, y de sus propiedades. Como
adjetivo, el término refiere a todo lo vinculado con esta disciplina deductiva.
Después de estas aclaraciones, podemos centrarnos en las proposiciones matemáticas.
Una proposición matemática es una expresión algebraica que puede acarrear
dos valores: ser verdadera o ser falsa, aunque nunca ambas a la vez.
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5. CONECTIVOS LOGICOS
 Negación (no): ¬, ~
 Conjunción lógica (y): ∧, y, ∙
 Disyunción lógica (o): ∨
 Condicional material (Si.. entonces): →, ⇒, ⊃
 Bicondicional (si y solo si): ↔, ≡, =
*Implicación Opuesta ←
*Disyunción Opuesta ↓
*Condicional material →
*Implicación Opuesta ←

6. PROPOCICIONES CONDICIONALES
El condicional material, conocido como condicional, condicional funcional de verdad, o
imprecisamente como implicación material, es una conectiva lógica que conecta
dos proposiciones. En lógica proposicional, el condicional material es una función de
verdad binaria, que se vuelve falso cuando B es falsa siendo A verdadera, y se
vuelve verdadero en cualquier otro caso.
PROPOCICIONES BICONDICIONALES
En matemáticas y lógica, un bicondicional, (también llamado equivalencia o doble
implicación, en ocasiones abreviado en español como ssi), es una proposición de la
forma «P si y solo si Q» y se admite el bicondicional es verdadero en el caso de que
ambos componentes tengan el mismo valor vertitativo. En otras palabras, que si P ocurre
entonces también ocurre Q; y viceversa: si Q ocurre entonces también ocurre P.

7. TAUTOLOGIA
es una fórmula bien formada que resulta verdadera para cualquier interpretación; es decir,
para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a sus fórmulas
atómicas.1 2
La construcción de una tabla de verdad es un método efectivo para
determinar si una fórmula cualquiera es una tautología o no.2

8. EQUIVALENCIA
En lógica, las declaraciones p y q son lógicamente equivalentes si tienen el mismo
contenido lógico. Este es un concepto semántico, dos afirmaciones son equivalentes si
tienen el mismo valor de verdad en todos los modelos (Mendelson 1979:56). La
equivalencia lógica de p y q algunas veces se expresa como P=Q, Epq, o P↔Q. Sin
embargo, estos símbolos también se usan para la equivalencia material; su apropiada
interpretación depende del contexto. La equivalencia lógica es diferente a la equivalencia
material, aunque ambos conceptos estén estrechamente relacionados.
CONTRADICION
una contradicción se define como una fórmula que resulta falsa para cualquier
interpretación, es decir para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a
sus fórmulas atómicas. Por ejemplo, la siguiente tabla demuestra una contradicción

9. LEYES NOTABLES EN LOGICA
Ley de doble negación: Dentro de un sistema de lógica clásica, la doble negación,
esto es, la negación de la negación de una proposición p, eslógicamente equivalente a p.
Expresado simbólicamente, ¬(¬p) ⇔ p. En lógica intuicionista, una proposición implica su
doble negación, pero no al revés. Esto marca una importante diferencia entre la negación
clásica e intuicionista. Algebraicamente, la negación clásica es llamada una involución de
periodo dos.
Leyes de idempotencia: En matemática y lógica, la idempotencia es la propiedad para
realizar una acción determinada varias veces y aun así conseguir el mismo resultado que
se obtendría si se realizase una sola vez. Un elemento que cumple esta propiedad es
un elemento idempotente, o un idempotente. De esta manera, si un elemento al
multiplicarse por sí mismo sucesivas veces da él mismo, este elemento es idempotente.
Por ejemplo, los dos únicos números reales que son idempotentes, para la operación
producto (·), son 0 y 1. (0·0=0,1·1=1).
Leyes asociativas: Las "Leyes asociativas" quieren decir que no importa cómo agrupes
los números (o sea, qué calculas primero) cuando sumas o cuando multiplicas.
Leyes conmutativas:Las "leyes conmutativas" sólo quieren decir que puedes
intercambiar los números cuando sumas o cuando multiplicas y la respuesta va a ser la
misma.
Leyes distributivas:La "ley distributiva" es la MEJOR de todas, pero hay que usarla con
mucho cuidado Quiere decir que la respuesta es la misma cuando:
 sumas varios números y el resultado lo multiplicas por algo, o
 haces cada multiplicación por separado y luego sumas los resultados
Leyes de De Morgan: En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De
Morgan son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de
inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de
las conjunciones y disyunciones puramente en términos de sí vía negación.
Las reglas se pueden expresar en español como:
La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.
La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.

10. METODOS DE DEMOSTRACION
1. 1. Métodos de Demostración en Matemáticas Lic. Renzo Hubert Osorio Ccoya
2. 2. En matemáticas no se acepta unaproposición como verdadera hasta que
seconstruye su demostración formal,aunque la proposición sea válida para
unnúmero finito de casos no significa quesea válida para todo el universo,
porejemplo la conjetura de Goldbach(todo número par mayor que 2
puedeescribirse como suma de dos númerosprimos) se ha verificado
utilizandocomputadoras para millones de casospero a pesar de ello no se acepta
comoverdadera.
3. 3. Veamos el siguiente razonamiento:Si x=y
entonces:3x=3y2y=2xluego:3x+2y=3y+2x3x-3y=2x-2y3(x-y)=2(x-y)3=2¿qué paso?
4. 4. Aquí consideraremos los siguientesmétodos de demostración:a) Método directo
de demostraciónb) Métodos indirectos de demostración por contrapositiva por
reducción al absurdoc) Método de Inducción matemáticad) Método por
contraejemplo
5. 5. A) MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN DIRECTA Aquí se tiene como hipótesis
verdaderas las proposiciones P1, P2,…,Pn procediendo a la deducción de que la
conclusión Q es verdadera a través de un proceso lógico deductivo, es decir como
una cadena de implicaciones lógicas. El esquema de demostración en el método
directo es de la forma: P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q
6. 6. El método de demostración directo tienecomo fundamento lógico la regla
deinferencia clásica o esquemaargumentativo válido llamado ModusPonens: [ P∧

11. (P→Q) ] →Qque significa: si la hipótesis P esverdadera y la hipótesis P implica
laconclusión Q entonces la conclusión Q esverdadera.
7. 7. B) MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN INDIRECTOS Método de demostración
por contrapositiva Tiene como fundamento la equivalencia lógica entre las
proposiciones P→Q y ~Q→~P) Para realizar una demostración por contrapositiva
se toma como hipótesis la negación de la conclusión escrita como
8. 8. ~Q para obtener como conclusión lanegación de la hipótesis escrita como
~P,ello se puede generalizar para el caso quese tengan varias premisas.
9. 9. Método de demostración por reducciónal absurdoSe atribuye al filósofo griego
Zenón deElea, alrededor del siglo V a.C., lainvención del método de reducción
alabsurdo que utilizaba en sus argumentosy en sus famosas paradojas,
desdeentonces es un método ampliamenteaplicado en matemáticas.
10. 10. El procedimiento general para demostrarindirectamente por reducción al
absurdouna proposición de la forma (P1∧P2∧…∧Pn ) → Q consiste en:1)
Asumimos que la condicional es falsaluego las proposiciones P1, P2,…, Pn y~Q
son verdaderas2) De lo anterior debemos llegar a unacontradicción, por lo que la
condicionaltiene que ser verdadera.
11. 11. Aristóteles fundamento lógicamente lademostración por reducción al absurdo
endos principios: principio de nocontradicción ~(p∧~p) considerada leysuprema de
la lógica según Kant yAristóteles, que significa que unaproposición no es
verdadera y falsasimultáneamente y el principio del terceroexcluido (p∨~p) que
significa que unaproposición es verdadera o falsa.
12. 12. Si no son aceptados los principiosanteriores, el método de reducción alabsurdo
carece de fundamento lógico.
13. 13. C) MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN POR EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN
MATEMÁTICA El principio de inducción matemática es un principio universalmente
válido en matemáticas y es fundamentalmente uno de los axiomas de los números
naturales construidos por el matemático italiano Giuseppe Peano a finales del siglo
XIX.
14. 14. Las demostraciones por el principio deinducción matemática se
consideranindirectas. El principio de inducciónmatemática es utilizado para
demostrar laveracidad de proposiciones p(n) donde nes un número natural mayor
o igual queun valor inicial no, el principio de inducciónmatemática consiste en:1)
Inicialmente se verifica que laproposición p(n) es verdadera para n=no,es decir p
(no) es verdadera.
15. 15. ii) Se enuncia la hipótesis de inducción:p(k) es verdadera para el número
naturalk.iii) Usando la hipótesis de inducciónenunciada en (ii) y otras
proposicionesverdaderas demostradas anteriormente sedemuestra que p (k+1) es
verdadera.iv) La conclusión consiste en que p(n) esverdadera para todo n≥no
16. 16. D) MÉTODO POR CONTRAEJEMPLO Este método se aplica de manera muy
particular para demostrar la falsedad de proposiciones cuya hipótesis está
construida mediante un "cuantificador universal". Esto es, se aplica para demostrar
la falsedad de una proposición que tenga una conclusión referida para "todos los
elementos de un cierto conjunto".
17. 17. “Una demostración consiste en unasucesión de formulas que, o bien
sonaxiomas, o bien son teoremas, o se hanobtenido de éstas mediante
inferenciasadmisibles”. Hilbert“Los encantos de esta ciencia sublime,
lasmatemáticas, sólo se le revelan a aquellosque tienen el valor de profundizar en
ella”. Carl Friedrich Gauss
18. 18. Un axioma es una proposición que seconsidera «evidente» y se acepta
sinrequerir demostración previa. Un postulado es una proposición noevidente por

12. sí misma, ni demostrada,pero que se acepta ya que no existe otroprincipio al que
pueda ser referida.
19. 19. Un lema esuna proposición demostrada, utilizadapara establecer un teorema
menor o unapremisa auxiliar que forma parte de unteorema más general Un
teorema es una afirmación quepuede ser demostrada dentro deun sistema formal.
Demostrar teoremas esun asunto central en la lógica y lamatemática.
20. 20. Un corolario es una conclusión obviao inevitable que se desprende de
ciertosantecedentes
TABLA DE VERDAD
Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de
verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de verdad que se pueda asign