El documento explica cómo encontrar máximos, mínimos y puntos de inflexión de una función. Se define que un punto es de máximo o mínimo si la primera derivada es 0 y la segunda derivada es negativa o positiva, respectivamente. Un punto es de inflexión si la primera derivada existe y la segunda derivada es 0. Como ejemplo, se analiza la función f(x)=x3-4x+3 y se encuentran sus extremos en (-2√3/3, 6.08) y (2√3/3, -0.08), y su punto de inflexión en (0,

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación
Universitaria
IUP Santiago Mariño

2. Existe un máximo relativo en un punto a si
f′(a)=0
f′′(a)<0
Véase que la segunda derivada evaluada
en el punto a debe ser estrictamente
menor que cero.

3.  Existe un mínimo relativo en un punto a si
 f′(a)=0
 f′′(a)>0
 Véase en este caso, en cambio, que la
segunda derivada de la función f evaluada en
el punto 'a' debe se estrictamente positiva.
 La existencia, pues, de un extremo relativo
(máximo o mínimo) queda determinada por el
valor nulo de la primera derivada y un valor
no nulo de la segunda.

4. Existe un punto de inflexión en un
punto a si
∃f′(a) (léase: "existe f′(a)" o lo que es lo
mismo, f(x) es derivable en el punto a)
f′′(a)=0

5. Sea la función f(x):f(x)=x3−4x+3
El análisis de la función obliga a calcular
los posibles extremos y puntos de inflexión
de dicha función. Deben seguirse los
siguientes pasos.

6.  Se deriva la función f′(x)=3x2−4
 Las raíces de la derivada nos dan los valores
de x dónde se hallarán los extremos de la
función

f′(x)=3x2−4=0⇒x= (2/√3)=2√3/3
-2√3/3
 Se calcula la segunda derivada y se evalúa
en los punto encontrados:

7.  f′′(x)=6x⇒ f′′(2√3/3)=4√3>0⇒Minimo
f′′(−2√3/3)=4√3<0⇒maximo
 Se dan las coordenadas de los puntos que son
extremos. Para ello debe encontrarse el valor
de f(x) en los extremos. En el presente caso,
f(x)=x3−4x+3⇒ f(2√3/3) ≈−0.08
f(−2√3/3) ≈6.08
Por lo tanto los extremos de la función son:
Mínimo (2√3/3,−0.08) Máximo (−2√3/3,6.08)

8. Se aprovecha el cálculo previo de la
segunda derivada: f′′(x)=6x
Se buscan las raíces de la segunda
derivada. En este caso, f′′(x)=6x=0⇒x=0
Se sustituye dicho valor en la
función f(x) para hallar las coordenadas
del punto de inflexión o punto de
silla: f(0)=3
Y se concluye que el punto de inflexión
es: (0,3)