DOCUMENTO

1. INTRODUCCIÓN A LA
PROBABILIDAD
LIC. EDWIN SALAZAR

2. FENÓMENOS ALEATORIOS Y
FENÓMENOS DETERMINISTICOS.
Fenómeno Aleatorio:
Aquel que no se puede predecir con
anterioridad, está relacionado con el
azar o probabilidad.
Fenómeno Determinista:
Fenómeno en el cual de antemano se
sabe cual será el resultado.

3. Experimento Aleatorio
Ejemplos:
• Lanzar una moneda
• Tirar un dado.
• Extraer una balota de una urna.
• Elegir una carta de una baraja
de naipes

4. ESPACIO MUESTRAL
Es el conjunto de resultados posibles de un
experimento Aleatorio.
Ejemplos:
• Si el experimento consiste en arrojar un
dado y observar el número que sale, el
espacio muestral es: E =
{1,2,3,4,5,6}
Observamos que el espacio muestral se
denota con la letra E.

5. EJEMPLOS
• Si el experimento consiste en tomar un libro
al azar de la biblioteca y ver cuál es la
primera letra con la cual empieza el título, el
espacio muestral es:
E = {A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, Ñ, O, P,
Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z}
Vemos que los resultados posibles del
experimento, es decir, los elementos del
espacio muestral, no tienen necesariamente
por qué ser números. En este caso son letras.

6. Experimento “Lanzar dos monedas
iguales SIMULTANEAMENTE”
{ }, ,E CC SS SC=

7. Experimento “Lanzar dos monedas
iguales NO SIMULTANEAMENTE”
{ }, , ,E CC SS SC CS=

8. SUCESO O EVENTO
Es un subconjunto del espacio muestral.
Ejemplo: En el experimento de arrojar un dado y ver
qué sale, el espacio muestral es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• Cualquier subconjunto de E es un suceso, por lo
tanto ejemplos de sucesos de este experimento
pueden ser:
• {1}
• {6}
• {3, 4}
• {4, 5, 6}
• {1, 3, 5}
• {2, 4, 6}

9. SUCESO NULO Y SUCESO CIERTO
• "suceso nulo", "suceso falso" o "suceso
imposible". Se expresa {} o se puede usar
la alternativa ∅.
• "suceso verdadero", "suceso forzoso" o
"suceso cierto“ o suceso E: {1, 2, 3, 4, 5,
6}, Este subconjunto del espacio muestral
es exactamente el espacio muestral
(recordemos que un conjunto siempre es
subconjunto de sí mismo).

10. SUCESOS COMPATIBLES
• Dados dos sucesos A y B, estos son compatibles
(A ∩ B ) es el suceso que ocurre cuando ocurren
simultáneamente A y B. Se puede llamar "A
intersección B" o bien "A y B".
• Ejemplo: Se lanza un dado, y se definen los
sucesos:
• A: que salga menos de 4; B: que salga más de 2
• Con lo cual queda:
A = {1, 2, 3}
B = {3, 4, 5, 6}
A ∩ B = {3}

11. SUCESOS INCOMPATIBLES O
DISJUNTOS• También se conocen con el nombre de “mutuamente
excluyentes”.
• Ejemplo, Se lanza un dado, y se definen los sucesos:
• A: que salga menor que 3; B: que salga más de 4
• Con lo cual queda:
• A = {1, 2}
• B = {5, 6}
• A ∩ B = ∅
• Como A y B tienen intersección nula, no pueden suceder
simultáneamente.
Dados los sucesos A y B, son disjuntos A B .⇔ ∩ = ∅

12. SUCESOS ELEMENTALES
En el experimento del dado,
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, 1, 2, 3, 4, 5
y 6 son sucesos elementales, y N(S)
=6
A = Que caiga un uno = { 1 }
B = Que caiga un dos = { 2 }
: : :
: : :
F = Que caiga un seis = { 6 }

13. SUCESO COMPUESTO Y CONTRARIO
Evento o suceso Compuesto: Es el evento E que
contiene más de un punto muestral de S, por
tanto
N(E) > 1
Evento contrario o complemento a un evento A:
es el evento que se verifica si, como resultado
del experimento aleatorio, no se verifica el
suceso A.
Ya que los eventos son conjuntos, este evento se
denota con el símbolo Ac o bien Ā, y se define
como:
{ }s tal quec
A s A= ∈Ω ∉

14. PROBABILIDAD
Ejemplo:
Experimento: Se lanza una moneda tres veces.
Espacio Muestral:
= { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S), (A,A,S), (A,S,A),
(S,A,A), (A,A,A) },
N( ) = 8, S es el evento seguro.
Evento simple:
B:Que salgan tres soles; B ={ (S,S,S) } , N(B) = 1
Evento compuesto:
E: Que salgan al menos dos soles;
E = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S) }, N(E) = 4
Evento imposible: φ (conjunto vacio). N(φ) = 0

15. PROBABILIDAD
• La probabilidad mide la frecuencia con la
que se obtiene un resultado (o conjunto
de resultados) al llevar a cabo un
experimento aleatorio, del que se conocen
todos los resultados posibles, bajo
condiciones suficientemente estables.
• Tomado de:
http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

16. CARACTERISTICAS
qLa probabilidad expresa el grado de
certeza de que ocurrirá un determinado
suceso al hacer un experimento aleatorio.
qCuanto más alta es la probabilidad de un
suceso de un experimento aleatorio,
mayor es el grado de certeza de su
ocurrencia.
qDado un suceso A, escribimos su
probabilidad como P(A)

17. DEFINICIÓN DE LAPLACE
• P(A) es el cociente entre la cantidad de
casos favorables a A y la cantidad de
casos totales.
Es decir:

18. PROBABILIDAD EMPIRICA
• Consiste en asociar las probabilidades de
los resultados con sus frecuencias
relativas luego de repetir el experimento
una determinada cantidad de veces.
• Es decir:
donde fi(A) es la cantidad de veces que
ocurrió A en las n veces que se llevó a
cabo el experimento; Cuanto más grande
sea n, mejor será la aproximación de P(A)
por fr(A).
( )
( ) ( ) i
r
f A
P A f A
n
≈ =

19. DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE
PROBABILIDAD
Axioma 1: P(A) ≥ 0
• "La probabilidad no puede ser negativa"
Axioma 2: P(E) = 1
• "La probabilidad del espacio muestral es uno"
Axioma 3:
"Dos sucesos son disjuntos si y sólo si la
probabilidad de su unión es la suma de sus
probabilidades".
( ) ( ) ( )Si A B P A B P A P B∩ = ∅⇔ ∪ = +

20. CONSECUENCIAS DE LOS
AXIOMASPROBABILIDAD
1. P(A) ≤ 1; "La probabilidad tampoco puede ser mayor
que uno“.
2. P(A) + P( A ) = 1; "Las probabilidades de dos sucesos
complementarios suman uno“.
3. Consecuencia 3: P(∅) = 0; "La probabilidad de un
suceso imposible es cero“.
4. A ⊂ B => P(A) ≤ P(B); "Si un suceso está incluido en
otro, su probabilidad es a lo sumo la de éste“.
5. Consecuencia 5: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de
sus probabilidades menos la probabilidad de la
intersección

21. EJEMPLO
• En una población, el 60% de las personas son mujeres, el
35% de la gente tiene ojos claros y el 25% de la gente es
rubia. El 20% de la población son mujeres de ojos claros.
El 10% de la población son mujeres rubias. El 15% de la
población son personas rubias y de ojos claros. El 5% de
la población son mujeres rubias de ojos claros. Calcule
las probabilidades de que al elegir una persona al azar,
esta:
a. Sea mujer, sea rubia o tenga ojos claros (es decir, que
tenga por lo menos una de esas 3 características).
b. Sea rubio, pero no mujer.

22. REPRESENTACIÓN
M=60%
C=35%
R=25%
POBLACIÓN
M y C=20%
M y R=10%
R y C=15%
M,R y C=5%

23. Solución literal “a”
• a) sea mujer, sea rubia o tenga ojos claros (es decir, que
tenga por lo menos una de esas 3 características).
• Lo que quiere decir que sumamos las probabilidades de
ser mujer, ser rubio y de ojos claros, pero descontamos
las probabilidades en las que estas características se den
de manera conjunta; es decir :
• Expresando estas probabilidades en forma de decimal,
tenemos: P(M ∪ C ∪ R) = 0.6 + 0.35 + 0.25 - 0.2 - 0.1 -
0.15 + 0.05 = 0.8
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )•P M C R =P M +P C P R P M C P M R P(C R) P(M C R).∪ ∪ + − ∩ − ∩ − ∩ + ∩ ∩
M y R=10% M y C=20%
M,R y C=5%
R y C=15%

24. SOLUCIÓN LITERAL “b”
• Para este caso tenemos que tener en
cuenta la probabilidad de ser rubio,
P(R)=0.25 menos la probabilidad de ser
mujer y ser rubio
• Lo cual corresponde a 0.25-0.10=0.15
( )P M R 0.10∩ =