Este documento describe las medidas de dispersión, que miden la desviación de los datos respecto al valor central. Los más importantes son el rango y la desviación estándar. El rango es la diferencia entre el valor máximo y mínimo, mientras que la desviación estándar mide la dispersión promedio de los valores alrededor de la media usando la raíz cuadrada de la suma de las desviaciones al cuadrado.

1. MEDIDAS DE DISPERSIONMEDIDAS DE DISPERSION
Son estadígrafos que permiten medir laSon estadígrafos que permiten medir la
dispersión o desviación de los datos condispersión o desviación de los datos con
respecto del valor centralrespecto del valor central
Los estadígrafos de dispersión másLos estadígrafos de dispersión más
importantes son:importantes son:
1.- RANGO:1.- RANGO:
Método de cálculo:Método de cálculo:
Para el cálculo del Rango se distinguenPara el cálculo del Rango se distinguen
dos casos:dos casos:

2. A.- Rango para datos no agrupados:A.- Rango para datos no agrupados:
Viene a ser la diferencia entre elViene a ser la diferencia entre el
dato mayor y el dato menor.dato mayor y el dato menor.
Se expresa mediante la siguienteSe expresa mediante la siguiente
fórmula:fórmula:
R = Xmax - XminR = Xmax - Xmin
en donde:en donde:
R = RangoR = Rango
Xmax = Dato mayorXmax = Dato mayor
Xmin = Dato mínimoXmin = Dato mínimo

3. Ejemplo:Ejemplo:
El tiempo en minutos que utilizanEl tiempo en minutos que utilizan
5 niños de igual edad para5 niños de igual edad para
desarrollar una misma tarea fuedesarrollar una misma tarea fue
la siguiente: 15, 11, 14, 17 y 12.la siguiente: 15, 11, 14, 17 y 12.
El rango será:El rango será:
R = 17 - 11 = 6R = 17 - 11 = 6
R = 6 minutosR = 6 minutos

4.  B.- Rango para datos agrupados:B.- Rango para datos agrupados:
El rango viene a ser la diferencia entreEl rango viene a ser la diferencia entre
el límite superior de la última clase yel límite superior de la última clase y
el límite inferior de la primera clase,el límite inferior de la primera clase,
así:así:
Los datos agrupados con intervalosLos datos agrupados con intervalos
abiertos en los extremos, no tienenabiertos en los extremos, no tienen
rango.rango.
Ejemplo:Ejemplo:

5. EDAD fi
0 - 2 5
3 - 5 12
6 - 8 20
9 - 11 10

6.  El rango será
 R = Lsup - Linf
 R = 11 - 0 = 11 años
 El rango es un estadígrafo de cálculo
fácil, pero de uso limitado, por estar
fuertemente influenciado por los
valores de los datos extremos

7. 2.- DESVIACION STANDARD2.- DESVIACION STANDARD
Nos muestra la dispersión de los valoresNos muestra la dispersión de los valores
individuales alrededor de la media de unaindividuales alrededor de la media de una
distribución de frecuencias es usadadistribución de frecuencias es usada
especialmente en el caso de lasespecialmente en el caso de las
distribuciones normales.distribuciones normales.
Método de cálculo:Método de cálculo:
Para el cálculo de la desviación standardPara el cálculo de la desviación standard
se distinguen dos casos:se distinguen dos casos:

8. A.- Desviación Standard para datos noA.- Desviación Standard para datos no
agrupados:agrupados:
Viene a ser la raíz cuadrada delViene a ser la raíz cuadrada del
promedio de la suma de laspromedio de la suma de las
desviaciones de las observacionesdesviaciones de las observaciones
alrededor de la media.alrededor de la media.
Se expresa mediante la siguienteSe expresa mediante la siguiente
fórmula:fórmula:
__
∑∑ (Xi - X )(Xi - X )22
σσ == ----------------------------------
NN

9.  En donde:En donde:
σσ = Desviación Standard= Desviación Standard
__
∑∑ (Xi - X )(Xi - X )22
= Suma de los Cuadrados= Suma de los Cuadrados
de las diferenciasde las diferencias
 NN = Número de elementos= Número de elementos

10. Ejemplo:Ejemplo:
Se tiene los pesos de 8 pacientes de la salaSe tiene los pesos de 8 pacientes de la sala
de traumatología de una clínica local, conde traumatología de una clínica local, con
esta información, se pide averiguar el gradoesta información, se pide averiguar el grado
de dispersión en promedio con respecto ade dispersión en promedio con respecto a
la media aritmética.la media aritmética.
PACIENTE PESO
1 60,8
2 53,5
3 48,2
4 44,8
5 66,2
6 68,0
7 50,0
8 54,5

11. Para calcular la desviación standard
seguimos los siguientes pasos:
a.- Se halla la media aritmética
_ 60,8 + 53,5 + 48,2 + 44,8 + 66,2 + 68,0 + 50,0 + 54,5
X=-----------------------------------------------------------------------
8
_ 446
X = -------- = 55,8
8

12.  b.- Cada dato se resta de la mediab.- Cada dato se resta de la media
aritmética, elevando al cuadrado dichasaritmética, elevando al cuadrado dichas
diferencias, luego sumamos los resultados,diferencias, luego sumamos los resultados,
tal como se aprecia en el siguiente cuadro:tal como se aprecia en el siguiente cuadro:
PESO
_
X
_
( Xi - X )
_
∑ (Xi - X )2
60,8 55,8 5,0 25,0
53,5 55,8 -2,3 5,3
48,2 55,8 -7,6 57,8
44,8 55,8 -11,0 121,0
66,2 55,8 10,4 108,2
68,0 55,8 12,2 148,8
50,0 55,8 -5,8 33,6
54,5 55,8 -1,3 1,7
∑ 501,4

13. c.- Se aplica la fórmula:
_
∑ (Xi - X )2
σ = ------------------
N
501,4
σ = --------- = 7,9
8
El peso de los pacientes se dispersa en
promedio, 7,9 Kgs.

14. B.- Desviación Standard: datos agrupados:B.- Desviación Standard: datos agrupados:
Cuando los datos están agrupados enCuando los datos están agrupados en
clases formando tablas de distribución declases formando tablas de distribución de
frecuencias el promedio puede serfrecuencias el promedio puede ser
calculado a través de dos métodos: elcalculado a través de dos métodos: el
directo y el abreviado.directo y el abreviado.
a.- Método directo:a.- Método directo:
La desviación standard es la raíz cuadradaLa desviación standard es la raíz cuadrada
del promedio de la suma de lasdel promedio de la suma de las
desviaciones de cada punto medio condesviaciones de cada punto medio con
respecto a su media aritmética,respecto a su media aritmética,
multiplicado por la frecuencia respectiva.multiplicado por la frecuencia respectiva.

15. Para su cálculo utilizamos la siguientePara su cálculo utilizamos la siguiente
fórmulafórmula
__
∑∑ fi (Pm - X )fi (Pm - X )22
σσ == ------------------------------------------------------------
NN
En donde:En donde:
σσ = Desviación Standard= Desviación Standard
__
(Pm - X )(Pm - X )22
= Cuadrado de las diferencias= Cuadrado de las diferencias
fifi = Frecuencias= Frecuencias
NN = Número de elementos= Número de elementos

16. Ejemplo:Ejemplo:
Se tiene la siguiente distribución deSe tiene la siguiente distribución de
pacientes de acuerdo al número depacientes de acuerdo al número de
pulsaciones por minuto en reposo:pulsaciones por minuto en reposo:
PULSACIONES POR
MINUTO
fi Pm
40 - 49 3 44,5
50 - 59 22 54,5
60 - 69 52 64,5
70 - 79 86 74,5
80 - 89 65 84,5
90 - 99 30 94,5
100 - 109 12 104,5

17. Para calcular la desviación standard por elPara calcular la desviación standard por el
método directo seguimos los siguientesmétodo directo seguimos los siguientes
pasos:pasos:
a.- Se halla la media aritméticaa.- Se halla la media aritmética
PULSACIONES POR
MINUTO
fi Pm fi . Pm
40 - 49 3 44,5 133,5
50 - 59 22 54,5 1 199,0
60 - 69 52 64,5 3 354,0
70 - 79 86 74,5 6 407,0
80 - 89 65 84,5 5 492,5
90 - 99 30 94,5 2 835,0
100 - 109 12 104,5 1 254,0
∑ 270 ∑ 20 675,0

18. __ ∑∑ ( pm . fi )( pm . fi )
X = ---------------------X = ---------------------
NN
_ 20 675_ 20 675
X = --------------X = --------------
270270
__
X = 76,5X = 76,5

19. b.- Restamos de cada marca de clase lab.- Restamos de cada marca de clase la
media; los valores obtenidos losmedia; los valores obtenidos los
elevamos al cuadrado, luego, loselevamos al cuadrado, luego, los
resultados se multiplican por lasresultados se multiplican por las
frecuencias de clase; tal como se indicafrecuencias de clase; tal como se indica
en el siguiente cuadro:en el siguiente cuadro:
PULSACIONES
POR MINUTO
fi Pm fi . Pm _
(Pm - X)
_
(Pm- X)2
_
fi (Pm-X)2
40 - 49 3 44,5 133,5 - 32 1024 3 072
50 - 59 22 54,5 1 199,0 - 22 484 10 648
60 - 69 52 64,5 3 354,0 - 12 144 7 488
70 - 79 86 74,5 6 407,0 - 2 4 344
80 - 89 65 84,5 5 492,5 8 64 4 160
90 - 99 30 94,5 2 835,0 18 324 9 720
100 - 109 12 104,5 1 254,0 28 784 9 408
∑270 ∑ 20 675 ∑ 44 840

20. c.- Se aplica la fórmula:c.- Se aplica la fórmula:
__
∑∑ fi (Pm - X )2fi (Pm - X )2
σσ == ----------------------------------------------------
NN
44 840 _____44 840 _____
σσ == ------------- =------------- = √√ 166166
270270
σσ = 12,9 pulsaciones= 12,9 pulsaciones

21.  b.- Método abreviado:b.- Método abreviado:
En este método se reemplazan losEn este método se reemplazan los
puntos medios por las desviaciones.puntos medios por las desviaciones.
Para su cálculo utilizamos la siguientePara su cálculo utilizamos la siguiente
fórmulafórmula
∑∑ ( fi . d( fi . d22
)) ∑∑ fi . dfi . d 22
 σσ = ---------------- - ------------ ( I )= ---------------- - ------------ ( I )
NN NN
En donde:En donde:
d = Desviacionesd = Desviaciones

22. Ejemplo:Ejemplo:
Con la misma información del ejemploCon la misma información del ejemplo
anterior.anterior.
PULSACIONES POR
MINUTO
fi Pm
40 - 49 3 44,5
50 - 59 22 54,5
60 - 69 52 64,5
70 - 79 86 74,5
80 - 89 65 84,5
a) - 99 30 94,5
100 - 109 12 104,5

23. Para calcular la desviación standard por
el método abreviado seguimos los
siguientes pasos:
a.- Se asignan las desviaciones
PULSACIONES POR
MINUTO
fi d
40 - 49 3 - 3
50 - 59 22 - 2
60 - 69 52 - 1
70 - 79 86 0
80 - 89 65 1
a) - 99 30 2
100 - 109 12 3
∑ 270

24. PULSACIONES
POR MINUTO
fi d fi . d d2
fi . d2
40 - 49 3 -3 -9 9 27
50 - 59 22 -2 -44 4 88
60 - 69 52 -1 -52 1 52
70 - 79 86 0 0 0 0
80 - 89 65 1 65 1 65
a) - 99 30 2 60 4 120
100 - 109 12 3 36 9 108
∑ 270 ∑ 56 ∑ 460
b.- Multiplicamos las frecuencias por las
desviaciones, luego elevamos al cuadrado los
valores de las desviaciones y finalmente
estos cuadrados de las desviaciones, los
multiplicamos por las frecuencias; tal como
se indica en el siguiente cuadro:

25. c.- Se aplica la fórmula:c.- Se aplica la fórmula:
∑∑ ( fi . d( fi . d22
)) ∑∑ fi . dfi . d 22
σσ = --------------- - ----------- ( I )= --------------- - ----------- ( I )
NN NN
460 56460 56 22
σσ = ------------ - --------- ( I )= ------------ - --------- ( I )
270270 270270

26. σσ == 1,70 - 0,0421,70 - 0,042 x 10x 10
σσ == 10 1,65810 1,658
σσ == 10 x 1,2810 x 1,28
σσ == 12,8 pulsaciones12,8 pulsaciones