14. Dr. Jorge Ramírez Medina
Para entender; Grafiquémoslo
• Tipo de datos
• Numéricos
• Medidas de tendencia central (media)
• Medidas de variabilidad (desviación estándar)
15. Dr. Jorge Ramírez Medina
Primera idea
Nada es verdad, nada es mentira
Todo es según el cristal en que se mira
(Popular)
18. Dr. Jorge Ramírez Medina
Cuarta Idea
Z = (Score - Mean)/SD
Z = (60 - 50) / 10
Z = 1
Z = (Score - Mean)/SD
Z = (84 - 50) / 10
Z = 3.4
Z = (60 - 70) / 10
Z = -1.0
19. Dr. Jorge Ramírez Medina
Z-scores
• Z-score puede ser positivo o negativo
• Positivo es arriba de la media
• Negativo es abajo de la media
• La media de un Z-score es siempre cero
• Si se tiene el promedio, el Z-score =0
• La desviación estándar de una distribución Z =1
21. Dr. Jorge Ramírez Medina
Valores z
• z-Score del valor más pequeño (425)
-1.20 -1.11 -1.11 -1.02 -1.02 -1.02 -1.02 -1.02 -0.93 -0.93
-0.93 -0.93 -0.93 -0.84 -0.84 -0.84 -0.84 -0.84 -0.75 -0.75
-0.75 -0.75 -0.75 -0.75 -0.75 -0.56 -0.56 -0.56 -0.47 -0.47
-0.47 -0.38 -0.38 -0.34 -0.29 -0.29 -0.29 -0.20 -0.20 -0.20
-0.20 -0.11 -0.01 -0.01 -0.01 0.17 0.17 0.17 0.17 0.35
0.35 0.44 0.62 0.62 0.62 0.81 1.06 1.08 1.45 1.45
1.54 1.54 1.63 1.81 1.99 1.99 1.99 1.99 2.27 2.27
Valores estandarizados
20.1
73.54
8.490425
s
xx
z i
i
22. Dr. Jorge Ramírez Medina
Un uso de esto?
Teorema de Chebychev
Cuando menos (1 - 1/z2) de los elementos
en cualquier conjunto de datos debe estar
a menos de z desviaciones estándar
de separación respecto a la media,
siendo z cualquier valor mayor que 1.
23. Dr. Jorge Ramírez Medina
Ejemplo
Tome z = 1.5 con = 490.80 and s = 54.74x
Al menos (1 - 1/(1.5)2) = 1 - 0.44 = 0.56 or 56%
de los valores deben estar entre
x- z(s) = 490.80 - 1.5(54.74) = 409
y
x+ z(s) = 490.80 + 1.5(54.74) = 573
(de hecho, 86% de los valores
están entre 409 y 573.)
24. Dr. Jorge Ramírez Medina
x
m – 3s m – 1s
m – 2s
m + 1s
m + 2s
m + 3sm
68.26%
95.44%
99.72%
Regla Empírica
25. Dr. Jorge Ramírez Medina
s 1
0
z
La letra z es utilizada para designar a la variable
normal aleatoria estandarizada.
Distribución de probabilidad
Normal estandarizada
s
m
x
z
26. Dr. Jorge Ramírez Medina
Distribución de probabilidad
Normal estandarizada
Función de densidad normal estándar
donde:
z = (x – m)/s
= 3.14159
e = 2.71828
2
2
2
1
)(
z
exf
s
27. Dr. Jorge Ramírez Medina
Distribución de probabilidad
Normal estandarizada
Ejemplo: “El tuercas”
• Punto de reorden 20 litros
• La demanda durante el tiempo de resurtido esta
distribuida normalmente
• Media 15 lts, desv. est. 6 lts
El
tuercas
5w-20
Motor Oil
28. Dr. Jorge Ramírez Medina
z = (x - m)/s
= (20 - 15)/6
= .83
Paso 1: Convierta x a la distribución normal estándar
Paso 2: encuentre el área bajo la curva normal
estandarizada a la izquierda de z = .83.
Distribución de probabilidad
Normal estandarizada
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil
30. Dr. Jorge Ramírez Medina
P(z > .83) = 1 – P(z < .83)
= 1- .7967
= .2033
Step 3: Calcule el área bajo la curva normal estandar
a la derecha de z = .83.
Probabilidad de
faltantes P(x > 20)
Distribución de probabilidad
Normal estandarizada
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil
31. Dr. Jorge Ramírez Medina
0 .83
Area = .7967
Area = 1 - .7967
= .2033
z
Distribución de probabilidad
Normal estandarizada
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil
32. Dr. Jorge Ramírez Medina
Si se desea que la probabilidad de faltantes no
sea más de 0.05, cuál deberá ser el punto de
reorden?
Distribución de probabilidad
Normal estandarizada
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil
33. Dr. Jorge Ramírez Medina
0
Area = .9500
Area = .0500
z
z.05
Distribución de probabilidad
Normal estandarizada
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil
34. Dr. Jorge Ramírez Medina
Paso 1: encuentre el valor de z que corta un área de .05
en la cola derecha de la distribución normal
estándar.
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
. . . . . . . . . . .
1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441
1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545
1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633
1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706
1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767
. . . . . . . . . . .Buscamos el complemento del
área en la cola (1 - .05 = .95)
Distribución de probabilidad
Normal estandarizada
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil
35. Dr. Jorge Ramírez Medina
paso 2: Convierta z.05 al correspondiente valor de x.
x = m + z.05s
= 15 + 1.645(6)
= 24.87 o 25
Un punto de reorden de 25 litros llevará la probabilidad
de faltantes durante el reabasto (poco menos de) .05.
Distribución de probabilidad
Normal estandarizada
El
Tuercas
5w-20
Motor Oil
36. Dr. Jorge Ramírez Medina
Distribución de muestreo de la
media muestral
• Es la distribución de probabilidad de la población de todas las
posibles medias muestrales que pueden ser obtenidas de todas las
posibles muestras del mismo tamaño.
38. Dr. Jorge Ramírez Medina
Si se usa una muestra aleatoria simple grande
(n > 30) el teorema del límite central nos permite
concluir que la distribución de puede ser
aproximada como una distribución normal.
Cuando la muestra aleatoria simple es pequeña
(n < 30), la distribución de muestreo de puede ser
considerada normal sólo si asumimos que la
población tiene una distribución normal.
Forma de distribución
muestral de x
x
x
39. Dr. Jorge Ramírez Medina
Una estimación del intervalo se puede calcular
por sumar y restar un margen de error del estimador
puntual:
Estimador puntual +/- Margen de Error
Margen de Error y
estimación de intervalos
Por ejemplo la forma general de una estimación del
intervalo para una media poblacional es:
Margen de Errorx
42. Dr. Jorge Ramírez Medina
• Estimación de intervalo de m
donde: es la media muestral
1 - es el coeficiente de confidencia
z/2 es el valor z que provee un área de
/2 en la cola superior de la distribución
de probabilidad normal estandarizada
s es la desviación estándar de la población
n es el tamaño de la muestra
Estimación de intervalo de la media
de una Población : s conocida
x
n
zx
s
2/
43. Dr. Jorge Ramírez Medina
Una estimación del intervalo se puede calcular
por sumar y restar un margen de error del estimador
puntual:
Estimador puntual +/- Margen de Error
Margen de Error y
estimación de intervalos
Por ejemplo la forma general de una estimación del
intervalo para una media poblacional es:
Margen de Errorx
44. Dr. Jorge Ramírez Medina
• Estimación de intervalo de m
donde: es la media muestral
1 - es el coeficiente de confidencia
z/2 es el valor z que provee un área de
/2 en la cola superior de la distribución
de probabilidad normal estandarizada
s es la desviación estándar de la población
n es el tamaño de la muestra
Estimación de intervalo de la media
de una Población : s conocida
x
n
zx
s
2/
46. Dr. Jorge Ramírez Medina
Caso de s conocida
s raramente se conoce con exactitud, se pueden
obtener estimados de datos históricos.
El margen de error puede ser calculado con:
• La desviación estándar de la población s , o
• La desviación estándar de la muestra s
49. Dr. Jorge Ramírez Medina
Estimación de intervalo de la media
de una Población : s conocida
• Ejemplo: DiscoSuena
n=36
U= $31,100
S= $4,500
Intervalo de confianza del 95%
x
s
50. Dr. Jorge Ramírez Medina
Estimación de intervalo de la media
de una Población : s conocida
95% de las medias muestrales, están dentro de
un + 1.96 de la media poblacional m.sx
El margen de error es:
La estimación del intervalo para m es:
$31,100 + $1,470
o
$29,630 to $32,570
470,1
36
500,4
96.12/
n
z
s
51. Dr. Jorge Ramírez Medina
• Selección del tamaño de la muestra
en la mayoría de las aplicaciones, un tamaño de
muestra de n = 30 es adecuado.
Si la distribución de la población es de un alto sesgo
o contiene outliers, se recomienda un tamaño de
muestra de 50 ó más.
Estimación de intervalo de la media
de una Población : s conocida
52. Dr. Jorge Ramírez Medina
• Selección del tamaño de la muestra
si la población no está normalmente distribuida pero
es simétrica (+/-) un tamaño de muestra pequeño
de 15 es suficiente.
Si se cree que la distribución de la población es
aproximadamente normal, se puede utilizar un
tamaño de muestra de menos de 15.
Estimación de intervalo de la media
de una Población : s conocida
53. Dr. Jorge Ramírez Medina
Estimación de intervalo de la media
de una Población : s desconocida
Si no se puede tener un estimado de la desviación
estándar de la población s, se utiliza la
desviación estándar s de la muestra para estimar s .
En este caso, la estimación del intervalo para m
está basada en la distribución t.
54. Dr. Jorge Ramírez Medina
La distribución t es una familia de distribuciones de
probabilidad similares.
Una distribución t específica depende de un
parámetro conocido como grados de libertad.
Los grados de libertad se refieren a el número de
piezas independientes de información que se usan
en el cálculo de s.
Distribución t
55. Dr. Jorge Ramírez Medina
Conforme la distribución t tiene más grados de
libertad, ésta tiene menos dispersión.
Conforme se incrementan los grados de libertad,
la diferencia entre la distribución t y la distribución
de probabilidad normal estandarizada se hace más
pequeña.
Distribución t
William Sealy Gosset
56. Dr. Jorge Ramírez Medina
Distribución t
distribución
normal
estándar
Distribución t
(20 grados
de libertad)
Distribución t
(10 grados
de libertad)
0
z, t
58. Dr. Jorge Ramírez Medina
Para más de 100 grados de libertad, el valor de z
normal estandarizado, da una buena aproximación
del valor t.
Los valores z normal estandarizados, se pueden
encontrar en la tabla t, con infinito grados de libertad.
Distribución t
59. Dr. Jorge Ramírez Medina
Degrees Area in Upper Tail
of Freedom .20 .10 .05 .025 .01 .005
. . . . . . .
50 .849 1.299 1.676 2.009 2.403 2.678
60 .848 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660
80 .846 1.292 1.664 1.990 2.374 2.639
100 .845 1.290 1.660 1.984 2.364 2.626
.842 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576
Valores z
normal estandarizados
Distribución t