Capitulo 2 (deformacion)

Al aplicar cargas a un sólido, éste se deforma.
Vamos a suponer que, las deformaciones que se producen dentro
del sólido son “pequeñas”de manera tal que, la geometría del sólido
antes y después de deformarse es, a efectos prácticos, la misma.
Sólido deformadoSólido sin deformar

DEFORMACION LONGITUDINAL
0
L
l
l∆
=ε

( )
PQ
PQQP
limP
x
x
−
=
∗∗
→∆ 0
ε
( )[ ] ( )[ ]PuxQuxxOPOQQP +−+∆+=−= ∗∗∗∗
( ) ( ) uPuQuPQQP ∆=−=−∗∗
( )
P
0x
x
dx
du
x
u
limP ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
==
→ ∆
∆
ε
∆
∆x
Configuración
sin deformar
Configuración
deformada
x = posición geométrica
u = desplazamiento experimentado

s
ss
AB ∆
∆−∆
=
→
*
lim
nalong
ε
( )
1
1
−
∆
∆
≈
∆+≈∆
s
s
ss
*
*
ε
ε
a lo largo de n
Sólido
no deformado
Sólido
deformado
A
B
n
∆s
A*
B*
∆s*

DEFORMACION ANGULAR, TANGENCIAL,
DE CORTE O DE CIZALLADURA
h
tg yzyz
δ
γγ =≈
δ
τ
γyz
yx
z
yz
h

[ ]∗∗∗
→
→
−= RPQánguloQPRánguloγ
PR
PQ
P lim
[ ]∗∗∗
→
→
−= RPQánguloπγ
PR
PQ
P 2
lim
Configuración
sin deformar
Configuración
deformada

Las tensiones tangenciales actuando en un punto elástico
son la causa de aparición de las deformaciones angulares.
Estas deformaciones no llevan aparejadas alargamientos
o acortamientos del punto elástico sino que, simplemente,
distorsionan su geometría.
τyx
x
y
τxy
τyx
x
y
τxy
2
γ
2
γ
γ
π
−
2
γ
π
+
2

Considerando un punto elástico (dimensiones infinitesimales), podemos
determinar sus dimensiones finales así como los ángulos girados por sus lados
xyγ
π
−
2
yzγ
π
−
2
zxγ
π
−
2
(1+εx)dx (1+εy)dy (1+εz)dz
Punto elástico
antes de deformarse:
Punto elástico
deformado
y
x
z
dx
dy
dz
εydy
εzdz
2/yzγ

CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS (u,v,w)
DENTRO DE UN SÓLIDO
z
y
x
j
i
k P
Q
P*
Q*δQ
δP
d r d r*
0
P P*
Q Q*
Vector desplazamiento en P = PP* = δP
Vector desplazamiento en Q = QQ* = δQ
kwjviuP
rrrr
++=δ
kwjviuQ
rrrr
''' ++=δ
u=u(x,y,z)
v=v(x,y,z)
w=w(x,y,z)
Funciones
continuas de
x,y,z

Relación entre (u’,y’,z’) y (u,v,w):
u' = u +
∂u
∂x
dx +
∂u
∂y
dy +
∂u
∂z
dz
v' = v +
∂v
∂x
dx +
∂v
∂y
dy +
∂v
∂z
dz
w' = w +
∂w
∂x
dx +
∂w
∂y
dy +
∂w
∂z
dz
⎫
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
[ ] rdMPQ
rrr
+δ=δ
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
z
w
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
M
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
z
w
y
w
x
w
z
v
y
v
x
v
z
u
y
u
x
u
M
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
[ ] [ ]
44444444 344444444 2144444444 344444444 21
simétricaDicahemisimétrW
z
w
z
v
y
w
z
u
x
w
y
w
z
v
y
v
y
u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u
z
v
y
w
z
u
x
w
y
w
z
v
y
u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
=
Descomposición de la matriz [M]
P
Q
P*
Q*δQ
δP
d r d r*
[ ] rdMPQ
rrr
+δ=δ
[ ] [ ]( ) rdDWPQ
rrr
++δ=δ
d
r
r∗
= d
r
r +
r
δQ −
r
δP
[ ] [ ] rdDrdWrdrd
rrrr
++=∗
[ ] [ ]( ) [ ] rdDrdWIrd
rrr
++=∗

a) Traslación de definida por
b) Giro definido por la matriz hemisimétrica
c) Deformación definida por la matriz
→
∗
→
→ 1QPPQ
→
∗
→
∗
→ 21 QPQP
→
∗∗
→
∗
→ QPQP 2
Descomposición de movimientos

Los pasos a) y b) son comunes (traslación + giro) para
todos los puntos del entorno del punto P, por lo que no
producen variación relativa alguna (deformación) de las
distancias entre el punto P y dichos puntos. Sólo el paso
c) es el que produce deformaciones en el entorno del
punto P y el tensor correspondiente, que admite una
representación a través de la matriz [D] respecto al
sistema de coordenadas que estamos empleando,
se denomina Tensor de Deformaciones

INTERPRETACION FISICA DE LAS COMPONENTES DEL
TENSOR DE DEFORMACIONES
εx =
∂u
∂x
, εy =
∂v
∂y
, εz =
∂w
∂z
,
γ xy =
∂u
∂y
+
∂v
∂x
, γ xz =
∂u
∂z
+
∂w
∂x
, γyz =
∂v
∂z
+
∂w
∂y
D[ ]=
εx
γ xy
2
γ xz
2
γ xy
2
εy
γ yz
2
γ xz
2
γyz
2
εz
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥

tgα = α =
∂v
∂x
tgβ = β =
∂u
∂y
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
⇒ γ xy = α +β =
∂u
∂y
+
∂v
∂x
x
y
P A
B
P* A*
B*
v
udy
dx
dx
x
v
∂
∂
xd
x
u
u
∂
∂
+
dy
y
u
∂
∂
dy
y
v
v
∂
∂
+
α
β

DEFORMACIONES EN UNA DIRECCION CUALQUIERA
Vector deformación unitaria: ε
r
[ ] [ ] [ ] [ ]uD
dr
rd
D
r
r
limD
r
rD
lim 0r0r
v
rrr
r
==== →→
∆
∆
∆
∆
ε ∆∆
π

Deformación longitudinal unitaria, εn, definida como:
Componentes intrínsecas de :
[ ]( )
lnmnlmnml
uuD=u=usobre.proy
xzyzxy
2
z
2
y
2
xn
n
γ+γ+γ+ε+ε+ε=ε
⋅⋅⋅εε=ε
rrrrrr
Deformación angular unitaria:
n /2γ
2
n
2
n
2
4
1
γεε +=
ε
r
Relación:
[ ]uD
vr
=ε

DIRECCIONES PRINCIPALES E INVARIANTES
¿Para qué direcciones el vector deformación es perpendicular al plano correspondiente?
⇓
=− TICACARACTERISECUACION0ID ε
032
2
1
3
=−+− III εεε
u
yxxyyxxy γγεε
2
1
2
1
===
[ ]
[ ] 0
rr
rr
=−
=
uID
uuD
ε
ε
γxy//2
γxy//2
γxy//2
γxy//2
x
x
yy
Dirección 1
Dirección 2

2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
I
zyz
xzx
zyz
yzy
yxy
xyx
2
εγ
γε
+
εγ
γε
+
εγ
γε
=
I zyx1 ε+ε+ε=
DI3 =
032
2
1
3
=−+− III εεε
(Invariante lineal)
(Invariante cuadrático)
(Invariante cúbico)

⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
3
2
1
00
00
00
ε
ε
ε
TENSOR DE DEFORMACIONES EXPRESADO
EN EJES PRINCIPALES
3213
3132212
3211
εεε
εεεεεε
εεε
=
++=
++=
I
I
I
Invariantes:

RELACIÓN ENTRE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES DE TENSIÓN
Y DEFORMACIÓN:
Para un sólido con comportamiento isótropo elástico lineal:
Si τ es cero, γ es también nula: Las direcciones principales de tensión
Coinciden con las de deformación.
G
τ
γ =
σmax, εmax
σmin, εmin
σint, εint

DEFORMACIONES VOLUMETRICA Y DESVIADORA
inicialVol.
inicialVol.-finalVol.
eV =
Volumen inicial= dx.dy.dz
Volumen final= dx ⋅ dy ⋅dz ⋅ 1 + εx( )1 + εy( )1+ εz( )=
dx ⋅ dy ⋅dz ⋅ 1 + εx + εy + εz + εx εy +.......[ ]( )
zyxV εεεe ++= = I1
=

4444 34444 21
44 344 21
4444 34444 21
desviadoraComp
zyzxz
yzyxy
xzxyx
avolumetricComp
V
V
V
ndeformaciodeTensor
zyzxz
yzyxy
xzxyx
εγγ
γεγ
γγε
e
e
e
εγγ
γεγ
γγε
.
.
'
2
1
2
1
2
1
'
2
1
2
1
2
1
'
00
00
00
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
VzzVyyVxx
zyxV
eee
e
−=−=−=
++=
εεεεεε
εεε
';';'

ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD
( ) k)z,y,x(wj)z,y,x(vi)z,y,x(uz.y.x
rrrr
++=δ
Las tres funciones u,v,w (campo de desplazamientos) no pueden expresarse
arbitrariamente en función de x, y, z, sino que tendrán que verificar unas
determinadas relaciones para que los campos de desplazamientos y de
deformaciones que experimenta el sólido sean físicamente posibles.
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂⋅∂
∂
⋅
∂⋅∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
−
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂⋅∂
∂
⋅
∂⋅∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
−⋅
∂
∂
=
∂⋅∂
∂
⋅
∂⋅∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
zyxzyxzxxz
zyxyxzzyyz
zyxxzyyxxy
xyxzyzzxzzx
xyxzyzyyzzy
xyxzyzxxyyx
γγγεγεε
γγγεγεε
γγγεγεε
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
;
;
;

CAMBIO DEL SISTEMA DE REFERENCIA (2D)
Conocidas las componentes del tensor de deformaciones
(εx,εy,γxy/2) en un punto referidas a un sistema cartesiano
de referencia x,y, veamos cuales son las componentes de
dicho tensor respecto de otro sistema cartesiano x’,y’
tal que, el su eje x’, forma un ángulo θ. Llamemos (εx’,εy’,γx’y’/2)
a las componentes respecto del nuevo sistema de referencia.
x
σx’
σy’
τx’y’
σx
σy
τxy
y
x’y’
θ

( ) θγθεεγ
θ
γ
θ
εεεε
ε
θ
γ
θ
εεεε
ε
2cos2sen
2sen
2
2cos
22
2sen
2
2cos
22
''
'
'
xyyxyx
xyyxyx
y
xyyxyx
x
+−−=
−
−
−
+
=
+
−
+
+
=
γx’y’ / 2
γx’y’ / 2
γy’x’ / 2
γy’x’ / 2
x
x’
y
y’

CIRCULO DE MOHR EN DEFORMACIONES
ε
γ/2
ε
γ/2
2
4
2
''
2
2
' R
yxyx
x =+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ +
−
γεε
ε
42
R
2
xy
2
yx γεε
+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
=
τyx
x
y
τxy
2
γ
2
γ
τxy
τxy
CRITERIO DE SIGNOS:

εx
εy
γxy
x
y
ε
γ/2
Dirección y
Dirección x
ε1
ε2

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