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DOCENTE: Víctor de Jesús Osorio Rodríguez
ÁREA: Matemáticas
TEMA: Geometría Analítica: La Recta
Logro: Encuentra la ecuación de una recta conociendo dos puntos.
Identifica Cuando dos rectas son paralelas y cuando son perpendiculares
Tópico Generativo
1. Comprendo que las rectas se representan por ecuaciones de primer grado.
2. Identifico la pendiente y el intercepto y en la ecuación de la recta y=mx+b.
3. Grafico la recta en el plano cartesiano, a partir de la ecuación dada.
4. Determino cuando dos rectas son paralelas de acuerdo a su pendiente.
5. Demuestro si dos rectas son perpendiculares, hallando su pendiente.
Desempeños de comprensión
1. Identificar la pendiente, el intercepto y en cualquier ecuación de la recta.
2. Graficar cualquier recta correctamente en el plano cartesiano.
3. Determinar las características de las ecuaciones de primer grado.
4. Hallar la ecuación de la recta dados la pendiente y un punto o dos puntos.
Lee comprensivamente.
LA RECTA
Uno de los propósitos de Rene Descartes, cuando introdujo la Geometría Analítica,
era representar los objetos geométricos por entes algebraicos. Un punto fue así
representado por un par de números (x, y) y una línea (curva o recta) por una
ecuación en las variables x e y. Lo esencial es que la ecuación se satisface
únicamente con las coordenadas de los puntos sobre la curva que ella representa.
Un problema básico en Geometría Analítica es describir la ecuación que representa
un tipo de curva específico. En esta sección veremos que una recta está
representada por una ecuación de primer grado.
Por ejemplo, en una recta vertical, paralela al eje y, todos sus puntos están a una
misma distancia, digamos a, del eje y. Esto significa que todos los puntos en ella
tienen una misma abscisa x - a. El signo de a depende de si la recta está a la derecha
o a la izquierda del eje y. Así, la ecuación x = a representa una recta vertical (paralela
al eje y)
Análogamente, si una recta es paralela al eje x, todos sus puntos tienen una misma
ordenada y=b, con lo cual, la ecuación y = b representa dicha recta.
Como vemos, las rectas paralelas a los ejes se representan por ecuaciones de primer
grado, muy simples, de la forma x = a o, y = b.
Para rectas no paralelas a ninguno de los ejes, consideraremos dos casos, los cuales
llevan a dos formas de ecuaciones. Se conocen como la forma pendiente-punto y la
forma punto-punto.

2. La idea que aplicaremos en cada caso es la siguiente: Buscamos una propiedad
geométrica de la recta, que se pueda traducir al lenguaje de coordenadas, y
derivamos de ella una ecuación.
FORMA PENDIENTE-PUNTO
De Geometría Euclidiana sabemos que hay una única recta que pasa por un punto
dado y tiene una dirección específica. En la sección anterior discutimos el concepto de
ángulo de inclinación de una recta. Dicho ángulo marca justamente la dirección en la
cual están los puntos de la recta. Toda vez que la pendiente determina la inclinación,
una recta puede describirse por su pendiente y un punto sobre ella.
Supongamos que una recta tiene pendiente m y contiene el punto (x0,y0) como se
muestra en la figura 2. Un punto (x,y) , distinto de (x0,y0), está sobre la recta si y sólo
y  y0
si, m  De aquí obtenerlos la ecuación de la recta en términos de su
x  x0
pendiente y un punto:
y  y0  m( x  x0 ) (1)
La ecuación (1) se llama la forma pendiente-punto de la ecuación de la recta que tiene
pendiente m y pasa por el punto (x0,y0). De modo que, si tenemos las coordenadas de
un punto y el valor de la pendiente, la ecuación de la recta con estos parámetros se
obtiene directamente sustituyendo esos valores en la fórmula (1).
Figura 2
Ejemplo1
Hallemos la ecuación de la recta que pasa por el punto (-2,5) y tiene pendiente 4/3.
Solución
4
y 5  ( x  (2))
Sustituyendo en la fórmula (1) obtenemos 3 , esto es, 3 y  4 x  23
La forma pendiente-punto tiene un caso especial en el cual el punto es la intersección
de la recta con el eje y. Si la recta intercepta el eje y en b y tiene pendiente m,
entonces, (0, b) es un punto de la recta y de acuerdo con (1), su ecuación es: y  mx  b
Esta es la forma pendiente-intercepto, en la cual el coeficiente de x es la pendiente de
la recta y el término constante es el intercepto y. Bajo este contexto, si la ecuación de
una recta tiene la forma general: Ax  By  C  0 despejando y, podemos conocer su
pendiente y el intercepto y. Usualmente, a esta ecuación se le llama la ecuación
general de la recta.

3. Ejemplo2
Hallemos el intercepto- y de la recta pasa por (-1, 4) con pendiente 2.
SOLUCIÓN
Usando (1) encontramos y - 4 = 2x + 2. Despejando y obtenemos y = 2x + 6
Así, el intercepto-y es b = 6.
EJERCICIO 1
Encuentre la ecuación de la recta que tiene las siguientes propiedades:
a) Tiene pendiente 2 y pasa por (-3,5)
b) Pasa por el origen y tiene pendiente 2/3
c) Corta el eje y en el punto 5 y tiene pendiente -7/2
d) Corta el eje x en el punto —4 y tiene pendiente 2 ;
e) Es paralela al eje x y pasa por (1,3)
f) Tiene pendiente -2/3 e intercepto-y 5
g) Tiene pendiente 0 e intercepto-y -2
h) Pasa por (1,3) y es paralela al eje y ;
i) Pasa por (1, -5) y es paralela a la recta x + 3y - 5 = 0
j) Es paralela con 2x - 3y = 1 y pasa por (2,7)
k) Pasa por (2, -1) y es perpendicular a y= (l/3)x + 2
l) Pasa por el punto (5, 3) y es paralela a la recta que une los puntos (2,-l) y (-3,1)
m) Pasa por el origen y es perpendicular a la recta que une. los puntos (1,3) y (-2,7)
EJERCICIO 1
Para cada par de rectas, dadas a continuación, determine si son paralelas. En caso
contrario, encuentre el punto de intersección y trace la Gráfica
a) 2x  y  5  0 , 3 y  6x  4  0
b) x  y 1  0 , x  y 1
c) 3x  y  4  0 , x  3y  4  0
FORMA PUNTO-PUNTO
El hecho que dos puntos determinan una única recta se puede usar para expresarla
por medio de una ecuación en términos de las coordenadas de los dos puntos que la
determinan.
El problema de encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-1,1) y (2,7)
se puede resolver en dos pasos. Primero empleamos la fórmula para la pendiente
7 1 6
estudiada en la sección anterior. Así, obtenemos m    2 , así m  2
2  (1) 3
Después, conociendo la pendiente (m), y tomando uno cualquiera de los dos puntos
dados, usamos la fórmula pendiente – punto. Usando el punto (2, 7) vemos que
y  7  2( x  2) o, y  2 x  3  0 .
Ejemplo3 Hallemos la ecuación de la recta que intercepta el eje x en (a, 0) y el
eje y en (0, b), asumiendo que a  0 y b  0 .

4. Solución
Corno hemos visto, el número b se llama el intercepto-y.
Por su parte, el número a se llama el intercepto x (ver figura 3)
Usando la forma punto-punto con (x1,y1)= (a,0) y (x2, y2) = (0, b)
b0
obtenemos: y  0  ( x  a)
0a
De ahí resulta bx + ay =ab
Ya que a  0 y b  0 , podemos dividir por ab, resultando la siguiente ecuación conocida como
x y
la forma dos interceptos:  1
a b
Ejercicio 2
Encuentre la ecuación de la recta con las siguientes propiedades:
a) Pasa por los puntos (2,-4) y (-5,6)
b) Pasa por (-3, -8) y (1,1)
c) Pasa por los puntos (3,-1) y (-2,5)
d) Pasa por el origen y por ( -3, - 7) ;
e) Intercepta los ejes x e y en 3 y 5, respectivamente;
f) El intercepto-x es -3 y el intercepto-y es – 5
Tomado de Precálculo: Dumar Villa
Luz Elena Zapata
Análisis del texto
Interpretación
1. ¿Quién era René Descartes y cuál era su propósito al introducir la geometría
analítica?
2. ¿Cuál es uno de los problemas básicos de la geometría analítica?
3. ¿Cuál es la característica de las rectas paralelas al eje y?
4. ¿Cuál es la característica de las rectas paralelas al eje x?
5. ¿Cuándo puedo utilizar la forma punto – punto?
6. ¿Cuándo puedo utilizar la forma punto – pendiente?
Argumentación
1. ¿Por qué es importante la geometría analítica?
2. ¿Por qué es necesario tener la pendiente para hallar la ecuación de una recta?
y y
3. ¿Por qué la pendiente se puede expresar mediante la fórmula m 2 1
?
x x
2 1
Proposición
1. ¿Si se necesita representar gráficamente cualquier recta, que pasos debes seguir?
2. ¿Si tenemos dos puntos de una recta, podemos utilizar las dos formas vistas para
hallar su ecuación?
Recuerda:
“Debes vivir un presente lleno de esfuerzo y valentía,
así tendrás un grato pasado para recordar y
un futuro promisorio”
Víctor

5. RESUELVE LAS SIGUIENTES PREGUNTAS
1. ¿Cuáles son las ecuaciones que se denominan de primer grado?
2. ¿A qué se refiere el texto cuando hace referencia a la geometría euclidiana?
3. ¿Hay otro tipo de geometrías?
4. Consulta acerca de rectas paralelas y rectas perpendiculares.