Explicación de la cinemática del punto

1. CINEMÁTICA DEL PUNTO
ETSID curso 2015-16
1

2. o Tema 1: Introducción
o Tema 2: Cinemática
o Tema 3: Dinámica del punto y de los sistemas
o Tema 4: Dinámica del sólido y estática
o Tema 5: Elasticidad
o Tema 6: Oscilaciones
o Tema 7: Ondas
Bibliografía
o A. Vidaurre et al., “Fundamentos físicos de la ingeniería II” (Cap. 4), UPV, 2008.
o P.A. Tipler y G. Mosca “Física para la Ciencia y la Tecnología”, Reverté, 2005.
o W.E. Gettys, et al. “Física Clásica y Moderna” (Cap. 1), McGraw Hill, 1991
o R.A. Serway, “Física” (Cap. 1), McGraw-Hill, 1997.
Cinemática del punto
2

3. OBJETIVOS:
Cinemática del punto
o Conocer las variables cinemáticas de traslación:
vector posición, velocidad y aceleración.
o Determinar las componentes intrínsecas de la
aceleración.
o Describir el MRU y MRUA.
o Conocer las variables cinemáticas de rotación.
o Describir el MCU y MCUA.
o Analizar la composición de movimientos.
o Introducir el movimiento relativo.
3

4. • Introducción
• Vector de posición
• Trayectoria y desplazamiento
• Velocidad
4
Cinemática del punto
• Aceleración y sus componentes intrínsecas:
– Movimiento rectilíneo uniforme
– Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
– Movimiento circular
– Vector velocidad angular
– Vector aceleración angular
• Composición de movimientos
• Cambio de sistema de referencia
ÍNDICE:

5. 5
 Espacio
 Sistema de referencia ortonormal.
 Tiempo
 Parámetro t que puede tomar cualquier valor real.
 Cinemática
 Rama de la Mecánica que estudia el movimiento
de los cuerpos sin atender a las razones que lo
producen. Es el estudio del movimiento de los
cuerpos en función del tiempo.
Introducción

6. 6
       k
t
z
j
t
y
i
t
x
t
r







       
 
t
z
t
y
t
x
t
r ,
,


Vector de posición
 Vector de posición de un punto:
 Vector función del tiempo
 Une el origen y el lugar que ocupa el punto

7. 7
     
t
z
t
y
t
x ;
;
 Desplazamiento entre dos instantes:
 Vector que une las posiciones del punto
Vector de posición
 Trayectoria :
 Línea que describe el punto
 Ecuaciones paramétricas (horarias)

8. 8
dt
r
d
t
t
r
t
t
r
lím
v
t












)
(
)
(
0
 Celeridad:
 Módulo del vector velocidad
Vector velocidad
 Velocidad :
 Límite del cociente entre el desplazamiento que describe
el punto en un intervalo ∆t y dicho ∆t cuando el intervalo
de tiempo tiende a cero.
 Es un vector tangente a la trayectoria.

9. 9
dt
v
d
t
t
v
t
t
v
lím
a
t












)
(
)
(
0
v (t)
r (t)
a (t)
X
Y
Z
O
Vector aceleración
 Aceleración :
 Límite del cociente entre el incremento del vector
velocidad al transcurrir un intervalo ∆t y dicho ∆t cuando el
intervalo de tiempo tiende a cero.
 Es un vector.

10. • Componentes intrínsecas de la aceleración:
– Aceleración tangencial
– Aceleración normal
– Radio de curvatura
10
dt
v
d
t
t
v
t
t
v
lím
a
t












)
(
)
(
0




v
v 
N
a
a
N
v
dt
v
d
dt
d
v
dt
v
d
a n
















 



 
2
v (t)
r (t)
a (t)
X
Y
Z
O
Vector aceleración

11. 11
Vector aceleración

12.  Aceleración nula
 at=0 v = cte
 an=0  = ∞ recta
12
Movimiento rectilíneo uniforme
 Aceleración no nula
 at≠0 v = varía uniformemente
 an=0  = ∞ recta
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Aceleración normal nula

13. 13
Aceleración Velocidad Posición
a = 0
a = cte. v = at + c
v = at + v
t = 0 v = v
dr = vdt
a = dv/dt v = dr/dt
t = 0 r = r
2
2
r =
at
+ v t + c
r = at + v t + r
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

14.  Radio de curvatura constante
 an= cte  = cte círculo de radio  = R
14
unidades: s
rad/s
unidades: s
rad/s
rpm
unidades: rad
Aceleración Velocidad Ángulo
angular angular
= d /dt = d /dt
= .dt = .dt

 


 

 Espacio recorrido: s = θ R
 θ= ángulo en radianes
 Velocidad angular: ω = dθ/dt
 Aceleración angular: α= dω/dt
Movimiento circular
Aceleración normal constante

15. 15
 Espacio recorrido: s = θ R
 θ= ángulo en radianes
Movimiento circular
Aceleración normal constante
 Celeridad: v =
ds
dt
=
d
dt
(θR) =R
dθ
dt
= R ω
 Aceleración tangencial: at =
dv
dt
=
d
dt
(Rω) = R α
 Aceleración normal: an =
v2
ρ
=
(Rω)2
R
= ω2R
P
s

R

16. 16
Giro alrededor de un eje
Relación variables angulares y lineales
A
B
v

r
P
dS

R

17. 17
PRINCIPIO DE GALILEO DE INDEPENDENCIA DE
MOVIMIENTOS:
“Cuando un cuerpo está dotado, por dos causas distintas,
de dos movimientos simultáneos, su cambio de posición
es independiente de que los movimientos se realicen de
forma sucesiva o simultanea”
Composición de movimientos

18. LANZAMIENTO DE PROYECTILES
18
Composición de movimientos

19. 19
 Ecuación de transformación de coordenadas:
' '
O
r
r
r





' a
r
r
r





posición absoluta: la que tiene para un observador ligado a un
sistema de referencia fijo.
posición relativa: la que tiene para un observador ligado a un sistema
de referencia móvil.
Cambio de sistema de referencia

20. 20
 Relación entre velocidades:
 Velocidad absoluta = velocidad relativa + velocidad de arrastre
CAMBIO DE SISTEMA DE REFERENCIA
 Ecuación de transformación de coordenadas de Galileo:
r = r ´+ r0´
 Velocidad absoluta= velocidad relativa + velocidad de arrastre
v = v´ + va
va = v0´ +   r´ (suma de velocidades de traslación y giro de ejes
móviles)
 Aceleración absoluta= aceleración relativa + aceleración de arrastre +
aceleración complemetaria
a = a´ + aa + ac
aa = a0´ +   r´ +   (  r´) (suma de aceleración de traslación y
aceleraciones tangencial y normal por
giro de ejes móviles)
ac = 2· (  v´) (aceleración de Coriolis)
Cambio de sistema de referencia

21. 21
 Relación entre aceleraciones:
 aceleración absoluta = aceleración relativa + aceleración de
arrastre + aceleración complementaria
v = v´ + va
va = v0´ +   r´ (suma de velocidades de traslación y giro de ejes
móviles)
 Aceleración absoluta= aceleración relativa + aceleración de arrastre +
aceleración complemetaria
a = a´ + aa + ac
aa = a0´ +   r´ +   (  r´) (suma de aceleración de traslación y
aceleraciones tangencial y normal por
giro de ejes móviles)
ac = 2· (  v´) (aceleración de Coriolis)
Cambio de sistema de referencia

22. 22
Sistemas inerciales
 Sistemas inerciales:
 Traslación uniforme:
0
0
0
α
ω
aO'









´
´
´
'
'
a
a
v
v
v
r
r
r
O
O













 por tanto,