3. Cinemática: Rama de la Mecánica
que se dedica a la descripción del
movimiento mecánico sin interesarse
por las causas que lo provocan.
Dinámica: Rama de la Mecánica
que se dedica a investigar las causas
que provocan el movimiento
mecánico.
4. Movimiento Mecánico: Cambio de
posición de un cuerpo respecto a otros,
tomados como referencia.
Carácter: Relativo
Definir sistema
bajo estudio
Definir
Sistema de
Referencia
(SR)
5. Bases para el estudio del
movimiento mecánico
• Definición del Sistema de Referencia (SR)
• Utilización de magnitudes físicas apropiadas y
relaciones entre ellas.
• Empleo de modelos para el sistema físico:
Modelo de cuerpo rígido y Modelo de partícula.
• Utilización del principio de independencia de
los movimientos de Galileo así como del
principio de superposición.
6. SR: Cuerpos que se toman como referencia para
describir el movimiento del sistema bajo estudio.
Bases para el estudio del
movimiento mecánico
x(t)
y(t)
z(t)
Se le asocia
• Observador
• Sistema de
Coordenadas
y
x
z
• Reloj
7. Bases para el estudio del
movimiento mecánico
SRI: Es aquel para el cual el
sistema bajo estudio en
ausencia de la acción de otros
cuerpos, se mueve con MRU.
8. Bases para el estudio del
movimiento mecánico
Magnitudes Físicas
Cinemáticas
Posición,
Velocidad,
Aceleración
Dinámicas
Fuerza, Torque
9. Bases para el estudio del
movimiento mecánico
Modelos
de Partícula: el cuerpo puede ser
considerado como un objeto puntual.
de Cuerpo Rígido: Las distancias
entre los diferentes puntos del
cuerpo no varían.
11. Rotación pura de cuerpo
sólido
Es aplicable el modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula
12. Objetivo
Determinación de las Leyes del
Movimiento
Posición (t), Velocidad (t), Aceleración (t)
Describir el
Movimiento
mecánico
13. Métodos
•Vectorial (conciso, elegante)
•de Coordenadas Mayor número de
ecuaciones
•Natural Coordenadas curvilíneas
Problemas de
la cinemática
Posición (t)
Velocidad (t)
Aceleración (t)
P.Directo
P.Inverso
Cond.Iniciales
14. ttr
tr
)(: trposición
ttV
tV
dt
dr
t
r
tVvelocidad
t
lim0
)(:
dt
dV
tanaceleració )(:
mV r
t
r
Vmediavelocidad m
:
r
)()(: trttrrentodesplazami
t
tVttV
anaceleració m
:
media
Vectorialdr
16. ,)(: V
dt
ds
tVvelocidad
dt
dV
taT )(
Ta
a
22
TN
aaa
n
0s0s
n
V
dt
d
Vtanaceleració N
2
)(:
Na
Natural
)()(: V
dt
d
dt
dV
tanaceleració
n
)(: tsposición
0s
17. Metodología
• Identificar sistema físico
• Selección del SRI (Ubicación del Observador)
• Selección del método o métodos (vectorial, de
coordenadas o natural)
• Resolver el problema directo (derivando) o el
indirecto (integrando) o ambos: Hallar
analíticamente la dependencia temporal de la
posición, la velocidad y la aceleración; y
Dibujar las gráficas
20. Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] esta dado por:
¿Es importante conocer la trayectoria
del móvil para hallar el vector
desplazamiento?
)t()t( 12
rrr
21. B
t1
t2
No es necesario conocer la trayectoria para determinar el
vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo
es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de
tiempo
A
r
22. Vector velocidad media
Se define el vector velocidad media
en el intervalo de tiempo [t1 , t2]
como:
s
m
tt
rr
t
r
V
12
tt
m
12
25. Rapidez media
La rapidez media es igual a la
distancia total recorrida entre
el tiempo total empleado
t
l
empleadotiempo
recorridadistancia
v~
m
• La rapidez media no es un vector
• la rapidez media no es igual al modulo
del vector velocidad media (para el mismo
intervalo de tiempo)
mm Vv
29. La velocidad instantánea es la
derivada del vector posición
respecto del tiempo
Velocidad instantánea
dt
dr
t
r
limv(t) 0t
30. Esta expresión podemos
expresarla en función de sus
componente rectangulares
dt
dx(t)
vx
dt
dy(t)
vy
dt
dz(t)
vz
dt
dr
t
r
limv(t) 0t
32. Rapidez instantánea
La rapidez instantánea es igual al
modulo de la velocidad instantánea
dt
dr
t
r
limv~
0t(t)
)t((t) vv~
Al modulo de la velocidad
instantánea se le conoce como
rapidez instantánea
35. Aceleración media
Se define la aceleración media como la
rapidez de cambio de la velocidad
instantánea en un determinado intervalo
de tiempo
2
12
12
m
s
m
tt
)V(t)V(t
a
36.
37. Y(m)
x(m)
La aceleración en este
pequeño intervalo de tiempo
apunta hacia la concavidad
de la trayectoria
t
)v(t
t1 )v(t1
v
v a
t
V
lima ot(t)
a
38. dt
ˆd
v
dt
dv
ˆa
La aceleración instantánea es igual a
la derivada del vector velocidad
instantánea respecto del tiempo t
(t)a
dt
ˆvd
dt
dV
nˆ
v
v
ˆ
dt
dv
a
nˆaˆaa n
dt
dv
a
2
n
v
a
2
n
2
aaa
39. Na
Ta
Es la aceleración normal , responsable
del cambio de dirección de la velocidad
Es la aceleración tangencial responsable
del cambio del modulo de la velocidad
41. Resumen:
Si se conoce la posición de la partícula con el
tiempo r(t) podemos determinar su velocidad y
aceleración instantánea por simple derivación
dt
dr
v
(t)
(t)
2
(t)
2
(t)
(t)
dt
rd
dt
dv
a naa
Problema directo
42. Así mismo si se conoce la aceleración con el tiempo
es posible encontrar la posición y la velocidad usando
el camino inverso, es decir integrando:
dtadv
dt
dv
a (t)
(t)
(t)
t
t
(t))(t(t)
O
O
dtavv
t
t
(t))(t(t)
O
O
dtavv
dtvdr
dt
dr
v (t)
(t)
(t)
t
t
(t))(t(t)
O
O
dtvrr
Son los vectores posición y velocidad en el instante to
Problema inverso
43. Ejemplo 1:
Si el vector posición de una partícula
esta dada por:
ktj1)2t(ti1)(2tr 423
(t)
ˆˆˆ
Hallar:
1) el vector posición para t= 0 y 2 s
2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s
3) su velocidad media en el intervalo [0,2]s
su velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s
5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s
6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s
45. Podemos aplicar lo discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviendose en una
sola dimensión, por ejemplo
a lo largo del eje x
46. iˆvviˆx(t)r (t)(t)(t)
iˆaa )t()t(
x
)(to
v
(t)v
)(to
r
(t)r
Para el movimiento en el eje X las ecuaciones
se reducen a:
0ta
47. Movimiento rectilíneo variado
va Movimiento rectilíneo acelerado
v y a igual signo
va
)t(a)t(vtx
Movimiento rectilíneo retardado
v y a signos opuestos
50.
tti tf
t
a > 0
a = 0
a < 0
Aceleración instantánea
dt
dv
a
(t)
51.
tti tf
t
En toda gráfica v versus t el área bajo la
curva es igual al desplazamiento del móvil
curvalabajoarea
2
1
t
t
vdtΔx
v
dt
dx
52. Ejemplo 1:
En la gráfica velocidad versus
tiempo, haga un análisis del tipo de
movimiento e indique en que tramos
el movimiento es acelerado o
desacelerado
55. Diremos que un movimiento
rectilíneo es uniforme variado si la
aceleración del móvil permanece
constante en todo momento.
Supongamos que una partícula
parte de la posición xo en el
instante t0=0 , con una velocidad vo
57. Podemos ahora determinar la posición de la
partícula en cualquier instante de tiempo t
t
0
(t)dtvdx
x
xo
t
0
o t)dtvdx a
x
xo
(
tvv o(t) a
2
oo(t) t
2
1
tvxx a
62. Δx2vv 2
0
2
(t)
a
Resumen
0(t) xxΔx
[0 , t]
tvv o(t) a
2
oo(t) t
2
1
tvxx a
2
vv
t
x-x
V o(t)o(t)
m
2
vv
tt
x-x
V )(t)(t
12
)(t)(t
m
1212
[t1 , t2 ]
ctea MRUA
Despejando t en la
1ra y sustituyendo
en la 2da, se
obtiene la 3ra
63. Movimiento Uniformemente Acelerado
tvv o(t) a
0
0
at
O tt
xo
x(t)
t
Pendiente = v0
pendiente = v(t)
2
oo(t) t
2
1
tvxx a
O t
a
a
Pendiente = 0
a
64. Movimiento Rectilíneo Uniforme MRU
datoa:
0
atVV 0
0
2
2
00
at
tVxx
0
a
V
x
t
t
t
x0
V0
Movimiento Parabólico
0xa
xx VV 0
tVxx x00
MRU
Eje x
gay
gtVV yy 0
2
2
00
gt
tVyy y
MRUV
Eje y
69. Problema 7
Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmente
hacia arriba con una rapidez de 100 m/s,
determine:
a) El tiempo que permanece en el aire.
b) Su posición en el instante t = 5 s.
c) La altura máxima alcanzada.
d) Su desplazamiento entre 5 y 15 s
e) El tiempo que demora en cambiar la velocidad
de 60 m/s a -60m/s