Nociones fundamentales

1. Prof. Ing. José A. Contreras R.
NOCIONES FUNDAMENTALES. MECÁNICA RACIONAL
UNIDAD / TEMA Nº 1. CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA
A continuación se analizan las magnitudes fundamentales de la cinemática a partir
del sistema de coordenadas cartesiano en dos y tres dimensiones
Terminología a utilizar
Magnitudes Escalares Magnitudes Vectoriales
- Posición ó desplazamiento (s , x , y, z)
- Rapidez (V)
- Aceleración (a)
- Tiempo (t)
- Trayectoria (
)
- Vector Posición
- Velocidad (
)
- Aceleración (
)
Unidades en las que pueden estar expresadas las magnitudes
Magnitud Sistema Internacional Sistema CGS Sistema Ingles
Longitud m cm (centímetro)
pulg (pulgada)
ft (Pie)
Tiempo seg (segundo) seg (segundo) seg (segundo)
Velocidad m/seg cm/seg Pulg/seg ó ft/seg
Aceleración m/seg2
cm/ seg2
Pulg/seg2
ó ft/seg2
Masa Kg g (gramo) Ton. (Tonelada)
Fuerza N (newton)
Kg.m/seg2
D (dina)
g.cm/seg2
Lb (Libra)

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MOVIMIENTO RECTILINEO – MOVIMIENTO CURVILINEO
Sistema de Coordenadas Cartesiano
Sistema de Coordenadas Cartesiano
En 2 dimensiones
Sistema Coordenadas Cartesiano
En 3 dimensiones
• En la grafica del sistema de coordenadas cartesiano puede apreciarse:
a. Los vectores i, j, k son vectores unitarios en la dirección de los ejes x, y, z
respectivamente y son utilizados para expresar magnitudes escalares en magnitudes
vectoriales.
b. La velocidad que experimenta la partícula es tangente a la trayectoria.
Consideraciones:
- El desplazamiento y la posición de una partícula se puede especificar a
través del vector posición o de su trayectoria dada en función del tiempo. Ej:
3
2
2
3
- La magnitud del desplazamiento, rapidez y aceleración promedios se
pueden obtener como:

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∆ ∆ ∆
- La derivada se representa con un punto (•) sobre la letra que designa la
magnitud. Ej:
- Tal como se especificó anteriormente, la derivada de la posición en función
del tiempo se designa como velocidad instantánea v
- La derivada de la velocidad en función del tiempo se designa como
aceleración instantánea
- La integral de la aceleración en función del tiempo
se conoce como
velocidad Instantánea v
- La integral de la velocidad en función del tiempo
, se conoce como posición
En resumen:
Ecuaciones Fundamentales
Aceleración en función del tiempo Aceleración en Función del
Desplazamiento

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-
Consideraciones:
1. El punto donde la pendiente de la curva de velocidad se hace cero ( 0),
ocurre que la magnitud de la aceleración es cero (a=0). Por tanto, la magnitud de la
velocidad (rapidez) es máxima :
2. Como se vio en las ecuaciones, la aceleración y la velocidad también se
pueden expresar en función del desplazamiento que describe la partícula a través de una
trayectoria.
3. Componentes Rectangulares de la Velocidad y la Aceleración
# $% # '
# $% # '
• La Velocidad y la Aceleración en función de la trayectoria serian:

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Si el movimiento es curvilíneo:
- La velocidad es tangente a la Curva
- La Aceleración de la partícula es hacia adentro de la curva (Aceleración
Centrípeta)
- La aceleración tiene dos componentes: La Aceleración Normal o Radial ( (
y la Aceleración Tangencial
, tangente a la trayectoria
(
)
- El radio de curvatura se puede calcular a través de la ecuación:
)
(
Sistema de Coordenadas Tangencial y Normal
) = Radio de Curvatura
*
$ *( son los vectores unitarios
tangencial y normal respectivamente
s = trayectoria

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Consideraciones:
- La velocidad es tangente a la trayectoria y su magnitud será
*
- La aceleración tiene dos componentes:
a) La componente tangencial de magnitud , debida al cambio de magnitud de la
velocidad
b) La componente normal de magnitud
/) hacia el centro de la curvatura
Por tanto:
#
(
,*
# /) *(
E movimiento circular es un caso especial del movimiento curvilíneo:
Un punto se expresa en función
de
y -
= Radio de giro
s = trayectoria s =
. -
*
$ *( siguen siendo son los
vectores unitarios tangencial y normal
respectivamente que se pueden
representar sobre el punto P
/ Velocidad Angular.
0 = Aceleración Angular.

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Para este movimiento se tiene que:
/ - 0 -
. - . - . -
. / *
. 0 *
# . /
*(
La magnitud de la velocidad y la aceleración se pueden expresar en función del
tiempo como:
21
234
41
234
De la siguiente figura se puede extraer
- tan9:
$/
; # $

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Sistema de Coordenadas Radiales y Transversales (Coordenadas Polares)
- La velocidad y la aceleración están dadas en función de r y de θ
2 -
2 -
- # 2-
Sistema de Coordenadas Esféricas
La posición de un punto en el espacio está representada por las siguientes tres
coordenadas: una llamada radial dada por una longitud r, y dos ángulos = y θ como se
muestra en la figura:
El vector de posición del punto P es:
?@
*2
De tal manera que transformando sus coordenadas a cartesianas es
x = r sen θ cos ∅ ; y = r sen∅ sen∅ ; z = r cos -

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Sistemas de Coordenadas Cilíndricas
La posición de un punto se representa por tres coordenadas. Una coordenada
radial en el plano x,y dada por una longitud r, un ángulo θ , y otra lineal paralela al eje z,
como se muestra en la figura siguiente:
El vector de posición del punto P es
?@
*2 # *A
De tal manera que transformando sus coordenadas a cartesianas,
x = r cos = ; y = r sen = ; z = z
La velocidad y la aceleración están dadas en función de r, θ, z
B - A
B -
- # 2- A