Fisica I

1. Universidad Nacional Tecnológica del SurUniversidad Nacional Tecnológica del Sur
UNTECSUNTECS
Ingeniería Electrónica Y TelecomunicacionesIngeniería Electrónica Y Telecomunicaciones
FISICA IFISICA I
CAPITULO-IIICAPITULO-III
CINEMÁTICA DE UNA PARTICULACINEMÁTICA DE UNA PARTICULA

2. CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA:CINEMÁTICA DE UNA PARTICULA:
 Movimiento Mecánico - Bases para su estudioMovimiento Mecánico - Bases para su estudio
 Método VectorialMétodo Vectorial
 Método De Coordenadas CartesianasMétodo De Coordenadas Cartesianas
 Método de Coordenadas Intrínsecas o Natural.Método de Coordenadas Intrínsecas o Natural.
 Movimiento Unidimensional ,MRU,MRUVMovimiento Unidimensional ,MRU,MRUV
 Movimiento Bidimensional ,Caída LibreMovimiento Bidimensional ,Caída Libre
 Movimiento Compuesto ,ParabólicoMovimiento Compuesto ,Parabólico
 Movimiento Circular.Movimiento Circular.
 Aplicaciones .Aplicaciones .

3. Cinemática:Cinemática: Rama de laRama de la MecánicaMecánica
que se dedica a la descripción delque se dedica a la descripción del
movimiento mecánicomovimiento mecánico sin interesarsesin interesarse
por las causaspor las causas que lo provocan.que lo provocan.
Dinámica:Dinámica: Rama de laRama de la MecánicaMecánica
que se dedica aque se dedica a investigar las causasinvestigar las causas
que provocan el movimientoque provocan el movimiento
mecánico.mecánico.

4. Movimiento Mecánico:Movimiento Mecánico: Cambio deCambio de
posición deposición de un cuerpoun cuerpo respectorespecto a otrosa otros,,
tomados como referencia.tomados como referencia.
Carácter:Carácter: RelativoRelativo
Definir sistemaDefinir sistema
bajo estudiobajo estudio
DefinirDefinir
Sistema deSistema de
ReferenciaReferencia
(SR)(SR)

5. SRISRI:: Cuerpos que se toman como referencia paraCuerpos que se toman como referencia para
describir el movimiento del sistema bajo estudio . Que endescribir el movimiento del sistema bajo estudio . Que en
ausencia de otros cuerpos se mueve con MRU.ausencia de otros cuerpos se mueve con MRU.
Bases para el estudio delBases para el estudio del
movimiento mecánicomovimiento mecánico
y(t)y(t)
z(t)z(t)
x(t)x(t)
Se le asociaSe le asocia
• ObservadorObservador
• Sistema deSistema de
CoordenadasCoordenadas
z
y
x
• RelojReloj
)(tr


6. Magnitudes FísicasMagnitudes Físicas
CinemáticasCinemáticas
Posición,Posición,
Velocidad,Velocidad,
AceleraciónAceleración
DinámicasDinámicas
Fuerza, TorqueFuerza, Torque

7. ModelosModelos
De Partícula:De Partícula: el cuerpo puedeel cuerpo puede
ser considerado como un objetoser considerado como un objeto
puntual.puntual.
De Cuerpo Rígido:De Cuerpo Rígido: LasLas
distancias entre losdistancias entre los
diferentes puntos deldiferentes puntos del
cuerpo no varían.cuerpo no varían.
Rotación pura de cuerpo sólidoRotación pura de cuerpo sólido
Traslación puraTraslación pura

8. ObjetivoObjetivo
Determinación de las Leyes delDeterminación de las Leyes del
MovimientoMovimiento
Posición r(t), Velocidad v(t), Aceleración a(t)
Describir elDescribir el
MovimientoMovimiento
mecánicomecánico

9. Métodos UsadosMétodos Usados
•Vectorial :Vectorial : (Es(Es conciso,conciso,
elegante)elegante)
•De Coordenadas:De Coordenadas: Mayor número deMayor número de
ecuacionesecuaciones
•Natural:Natural: CoordenadasCoordenadas
curvilíneascurvilíneas
Solución deSolución de
problemas deproblemas de
la cinemáticala cinemática
Posición (t)Posición (t)
VelocidadVelocidad (t)(t)
AceleraciónAceleración (t)(t)
P.DirectoP.Directo
P.InversoP.Inverso
Cond.InicialesCond.Iniciales

11. ( )ttr ∆+
( )tr
)(: trposición
( )ttV ∆+
( )tV
dt
dV
tanaceleració =)(:
mV r∆
( ) ( )
t
tVttV
anaceleració m
∆
−∆+
=:
media
MétodoMétodo
Vectorial:Vectorial:dr
ktzjtyitxtr ˆ)(ˆ)(ˆ)()( ++=

)()(: trttrrentodesplazami

−∆+=∆
t
trttr
t
r
Vmediavelocidad m
∆
−∆+
=
∆
∆
=
)()(
:

dt
rd
velocidad
t


=
∆
∆
=
→∆ t
r
limv:ainstantane
0

12. y
x
t1
t2
A
B
r

∆
r(t1)
r(t2)
r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

13. Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] esta dado por:
¿Es importante conocer la trayectoria
del móvil para hallar el vector
desplazamiento?
)t()t( 12
rrr −=∆

14. B
t1
t2
No es necesario conocer la trayectoria para determinar el
vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo
es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de
tiempo
A
r∆

15. Vector velocidad media
Se define el vector velocidad media
en el intervalo de tiempo [t1 , t2]
como:
( ) ( )




−
−
=
∆
∆
=
s
m
tt
rr
t
r
V
12
tt
m
12

16. y
x
t1
t2
A
B
r∆
mV
r//Vm ∆
)(t1
r
)(t2
r
La velocidad media apunta en la misma
dirección del vector desplazamiento

17. Y(m)
x(m)
t1
t2
Δl
:Δl Distancia total recorrida en el
intervalo de tiempo [t1 , t2]
r∆

18. Rapidez media
La rapidez media es igual a la
distancia total recorrida entre
el tiempo total empleado
t
l
empleadotiempo
recorridadistancia
v~
m
∆
∆
==
• La rapidez media no es un vector
• la rapidez media no es igual al modulo
del vector velocidad media (para el mismo
intervalo de tiempo)
mm Vv ≠

20. t2
t'
2
t"
2
t1
B
A
Y(m)
x(m)
v
r1
∆ r
r2
mV
r2
'
∆ r'
mV
r2
"
∆ r"
mV

21. t3
A
Y(m)
x(m)
“El vector velocidad
instantánea es
tangente a la
trayectoria que
describe la partícula”
t2
t1
)v(t1 )v(t2
)v(t3
τ= vv
τ
τ
τ

22. La velocidad instantánea es la
derivada del vector posición
respecto del tiempo
Velocidad instantánea
dt
dr
t
r
limv(t) 0t =
∆
∆
= →∆

23. Esta expresión podemos
expresarla en función de sus
componente rectangulares
dt
dx(t)
vx =
dt
dy(t)
vy =
dt
dz(t)
vz =
dt
dr
t
r
limv(t) 0t =
∆
∆
= →∆

24. )(tx
)(ty
)(tz
)(),(),(: tztytxposición
,)(:
dt
dx
tVvelocidad x =
dt
dy
tVy =)(
dt
dz
tVz =)(
dt
dV
tanaceleració x
x =)(:
dt
dV
ta y
y =)(
dt
dV
ta z
z =)(
y∆
x∆
z∆
zyxentodesplazami ∆∆∆ ,,:
Método de Coordenadas :Método de Coordenadas :

25. Rapidez instantánea
La rapidez instantánea es igual al
modulo de la velocidad instantánea
dt
dr
t
r
limv~
0t(t) =
∆
∆
= →∆
)t((t) vv~ =
Al modulo de la velocidad
instantánea se le conoce como
rapidez instantánea

26. Velocidad
La velocidad es la magnitud física que estudia la
variación de la posición de un cuerpo en función del
tiempo respecto a un determinado sistema de
referencia. Sus unidades por tanto son: m/s cm/s o
Km / h etc...
La velocidad es la magnitud física que estudia la
variación de la posición de un cuerpo en función del
tiempo respecto a un determinado sistema de
referencia. Sus unidades por tanto son: m/s cm/s o
Km / h etc...

28. A
Y(m)
x(m)
t2t1
12
12
m
tt
)V(t)V(t
a
−
−
=
)v(t1
)v(t2

29. Aceleración media
Se define la aceleración media como la
rapidez de cambio de la velocidad
instantánea en un determinado
intervalo de tiempo






−
−
= 2
12
12
m
s
m
tt
)V(t)V(t
a

31. Cuando la velocidad de un objeto cambia con el tiempo, se dice
que el objeto experimenta una aceleración.
La aceleración Instantánea es la tasa de cambio de la velocidad
instantánea por unidad de variación de tiempo , cuando por
ejemplo un conductor aprieta el pedal del acelerador de su
coche ,espera cambiar su velocidad ,de lo contrario si después
de alcanzar una alta velocidad imprime los frenos ,estará
desacelerando , disminuyendo su velocidad.
t
V
lima ot(t)
∆
∆
= →∆

32. Y(m)
x(m)
La aceleración en este
pequeño intervalo de tiempo
apunta hacia la concavidad
de la trayectoria
t
)v(t
t1 )v(t1
v∆
v∆ a
t
V
lima ot(t)
∆
∆
= →∆
a

33. Aplicaciones:Aplicaciones:

34. Problema : La posición de una partícula que se
mueve en línea recta está definida por la
relación:
Determine y grafique :
(a) la posición, velocidad y aceleración en t = 0;
(b) la posición, velocidad y aceleración en t = 2 s;
(c) la posición, velocidad y aceleración en t = 4 s ;
(d) el desplazamiento entre t = 0 y t = 6 s.
2 3
6x t t= −

35. Solución
• La ecuaciones de movimiento son
• Las cantidades solicitadas son
32
6 ttx −=
2
312 tt
dt
dx
v −==
t
dt
xd
dt
dv
a 6122
2
−===
• En t = 0, x = 0, v = 0, a = 12 m/s2
• En t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0
• En t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2
• En t = 6 s, x = 0, v = -36 m/s, a = 24 m/s2

36. dt
ˆd
v
dt
dv
ˆa
τ
+τ=
La aceleración instantánea es igual a la derivada del
vector velocidad instantánea respecto del tiempo ( t ):
=(t)a
( )
dt
ˆvd
dt
dV τ
=
nˆ
v
v
ρ
+τ= ˆ
dt
dv
anˆaˆaa n+τ= τ
dt
dv
a =τ ρ
=
2
n
v
a
2
n
2
aaa += τ

37. Cálculos de radio de curvatura:
A)Si se define una curva por las ecuaciones para métricas : x=x(t), y=y(t)
Entonces la curvatura será :
Curvatura :
B) Si se define a la curva por la ecuación : y = y(x),entonces la expresión para calcular
la curvatura es de la forma :
Curvatura :
Cuando una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular ,la curvatura es 1/R
, donde R es el radio del circulo.
Ecuaciones de Y En Componentes Tangencial y Normal :
Sea la velocidad :
La aceleración será :
( )yx
xyyx


22
1
2/3
+
−
=
ρ
( )( )dxdy
xdyd
/
2
1
/1
2/3
22
+
=
ρ
v
 a

evesv tt ˆˆ == 

e
s
setsetsetsrva nˆˆˆˆ
ρ


+=+===

38. Velocidad y aceleración:Velocidad y aceleración:
De la ecuación anterior se tiene :
De donde :
Y la magnitud de velocidad :
La magnitud de la aceleración tangencial y normal:
e
v
etsa nˆˆ
2
ρ
+= 

aaa nt

+=
esa tt ˆ = e
v
a nn ˆ
2
ρ
=
ρ
Centro de
curvatura
C=r(t)
enˆ
etˆ
sv =
sat =
ρ
v
an
2
=
sv =
sat = ρ
v
an
2
=

39. La aceleración podemos expresar como :
y como , entonces multiplicando
vectorialmente la ecuación ,tenemos:
entonces :
ya que v y at tienen
la dirección tangencial.
Otra ecuación para hallar
radio de Curvatura de una
curva plana:
enaetaa nt ˆˆ +=

etvv ˆ=

axvaaxvaxv ntn

=+= )(
v
axv
finalmente
v
v
axv
andespejando
anvsenavaxvaxv nn




3
2
1
º90
=
==
===
ρ
ρ

40. Movimiento Curvilíneo GeneralMovimiento Curvilíneo General :
La aceleración se descompone en coordenadas radial y tangencial.
La aceleración radial se debe al cambio de dirección del vector velocidad.
La aceleración tangencial proviene del cambio en la magnitud de la
velocidad.
 = radio de curvatura at
a
ar
ar
a
at
v
v
ρ
ρ
TˆNˆ
z
y
x

41. ,)(: ττ V
dt
ds
tVvelocidad ==
τ
dt
dV
taT =)(
Ta
a
22
TN
aaa +=
τn
0=s
0<s
n
V
dt
d
Vtanaceleració N
ρ
τ 2
)(: ==
Na
Método de CoordenadasMétodo de Coordenadas
Naturales (Curvilíneas):Naturales (Curvilíneas):
)()(: τV
dt
d
dt
dV
tanaceleració ==
ρ
n
)(: tsposición
0>s
τ
τ τ
aaa TN

+=

42. Descripción intrínseca del movimiento :
Componentes intrínsecas de la aceleración.
( )
dt
ud
u
dt
d
u
dt
d
dt
d
a t
tt




υ
υ
υ
υ
+===
Componente sobre una dirección
tangente a la trayectoria. Mide el
cambio en magnitud de la velocidad.
Componente sobre una dirección
normal a la trayectoria. Mide el
cambio en dirección de la velocidad.
dirección
tangente
dirección
normal
a

nt uu
dt
d
dt
d
a



ρ
υυυ 2
+==• Puede demostrarse:
curvaturaderadio:ρ
Aceleración tangencial: tt u
dt
d
a
 υ
=
dt
d
at
υ
=
Aceleración normal: nn ua

ρ
υ2
=
ρ
υ2
=na 22
nt aaa +=
ta

na

.
.

43. X
Y
O
υ

θ
θ
i
j

C
ρ
P
.
Demostración: n
t
u
dt
ud 

ρ
υ
=
nu
 tu

jiut

θθ sencos +=
j
dt
d
i
dt
d
dt
ud t

θ
θ
θ
θ cossen +−=
ρ
θ
ds
d =
ρ
υ
ρ
θ
==
dt
ds
dt
d 1
j
dt
d
i
dt
d
dt
ud t

θ
θ
θ
θ cossen +−=
ρ
υθ
=
dt
d
( )ji

θθ
ρ
υ
cossen +−= n
t
u
dt
ud 

ρ
υ
=
nu

θd
θd
ds
ρ
θ 11
=
−−
==
curvaturaderadiods
d
curvatura

44. En coordenadas polares :En coordenadas polares :
ru
θu

r

θ)
y
xi
j
El vector de posición es :
Sea :
Se definen los vectores unitarios como
Por lo tanto el vector de posición será:
La velocidad será :
La aceleración será :
jrsenirtr ˆˆcos)( θθ +=

jisen
rr
jseni
r
r
r
r
u
ur
ˆcosˆ/
ˆˆcos/
θθ
θθ
θθ
θ
+−=
∂
∂
∂
∂
=
+=
∂
∂
∂
∂
=




u
u
u
u
r
r
d
d
d
d




−=
=
θ
θ
θ
θ
urr r

=
ur
rr 
=
uu rr
dt
rd
v r ˆˆ θ
θ


+==
( ) ( )urrurr
dt
vd
a r



θθθθ ++−== 22

45. Problema 2.-Una partícula se mueve en el plano XY de acuerdo a
la ley ax=0, ay=2cos(πt/2) m/s2
. En el instante inicial t=0, x=0, y= -
8/π2
, vx=2, vy=0. Encontrar:
a)El vector posición y el vector velocidad en función del tiempo.
b)La ecuación de la trayectoria, representarla .
c)Representar la aceleración, aceleración tangencial y normal
sobre la trayectoria en los instantes t=1 y t=2s.
Problema 1.-El vector velocidad del movimiento de una
partícula viene dado por v= (3t-2) i+(6t²-5)j m/s. Si la posición
del móvil en el instante t=1 s es r=3i-2j m. Calcular :
a)El vector posición del móvil en cualquier instante. b)El vector
aceleración. c)Las componentes tangencial y normal de la
aceleración en el instante t=2 s.
d)Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las
componentes tangencial y normal en dicho instante.
Aplicaciones :

46. Problema 3.-Una partícula se mueve en el plano XY de acuerdo
con la ley ax = 0, ay=4cos(2t) m/s2
. En el instante t=0, el móvil
se encontraba en x=0, y= -1 m, y tenía la velocidad vx=2, vy=0
m/s.
a)Hallar las expresiones de r(t) y v(t).
b)Dibujar y calcular las componentes tangencial y normal de la
aceleración en el instante t=π/6 s.
Problema 4.-Un móvil se mueve en el plano XY con las
siguientes aceleraciones: ax=2, ay=10 m/s2
. Si en el instante
inicial parte del origen con velocidad inicial vx=0 y vy=20
m/s.
a)Calcular las componentes tangencial y normal de la
aceleración, y
b) El radio de curvatura en el instante t=2 s

47. Aplicación:

48. Movimiento en
una dimensión

49. iˆvviˆx(t)r (t)(t)(t) ==
iˆaa )t()t( =
x
)(to
v

(t)
v

)(to
r

(t)
r

Para el movimiento en el eje X las ecuaciones
se reducen a:
( )0ta

51. X(t)
t
p
Q
R 0v <
0v =
0v >
dt
dx
v (t)
=
Velocidad instantánea
υ =
=
→
lim
x
t
dx
dt
t∆
∆
∆0

52. υ
tti tf
∆t
a > 0
a = 0
a < 0
Aceleración instantánea
dt
dv
a
(t)
=

53. υ
tti tf
∆t
En toda gráfica (v) versus (t) el área bajo la
curva es igual al desplazamiento del móvil
curvalabajoarea== ∫
2
1
t
t
vdtΔx
v
dt
dx
=

54. 6.-Un móvil describe un movimiento
rectilíneo. En la figura, se representa
su velocidad en función del tiempo.
Sabiendo que en el instante t=0, parte
del origen x=0.
a)Dibujar una gráfica de la
aceleración en función del tiempo.
b)Calcula el desplazamiento total del
móvil, hasta el instante t=8s.
c) Escribe la expresión de la posición
(x), x=x(t) del móvil en función del
tiempo t, en los tramos AB y BC
7.-La gráfica de la figura describe en
función del tiempo ,la aceleración de un
objeto que baja rodando por una
pendiente ,habiendo partido del reposo .
8
2
0 2 4 8
a)Determine el cambio de velocidad del
objeto entre t=2,5s y t=7,5s .
b)Dibuje una gráfica de la velocidad del
objeto en función del tiempo .
a(m/s)
t(s)

55. 2 4 8 12 16
t(s)
V(t) En la gráfica velocidad versus tiempo,
haga un análisis del tipo de movimiento e
indique en que tramos el movimiento es
acelerado o desacelerado

56. Dada la aceleración del móvil hallar elDada la aceleración del móvil hallar el
cambio de velocidadcambio de velocidad::
Dado un registro de la velocidad : v=v(t),podemos calcular el cambio de velocidad v-
v0 en entre los instantes t y to ,a partir de un registro de la aceleración en función
del tiempo como : a = dv/dt → dv = adt → usando la integral definida tenemos :
∫dv = ∫adt → v-v0 =
La expresión anterior :
v-v0 es igual al área bajo la curva (a-t) .
Como
Entonces ,obtenemos una expresión para la aceleración ; cuando la aceleración es
una constante ó es una función de (x) :
∫
t
to
adt a
t
V-v 0
to t
V0 v
dx
dv
v
dt
dx
dx
dv
dt
dv
a ===
vdvadx =

57. Movimiento rectilíneo como función de la velocidadMovimiento rectilíneo como función de la velocidad
Dada una partícula que se mueve con movimiento rectilíneo ,en un medio
resistente ,la resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad ,por lo
que su aceleración se expresa como a =-kv²,donde k cte>o .Si para el
instante t0=o ,X0=0,v =v0 . Hallar la velocidad : a) v = v(x) ,b) v=v(t).
Solución :
a)v=v(x) ? → partimos de la expresión : vdv = adx = -kv²dx→separamos variables
e integramos :
→Log(v/v0) = - kx →
b)v=v(t)?→partimos de la expresión : a= dv/dt = -kv²→separamos variables e
integramos :∫dv/v² = -∫kdt →tenemos :1/v = kt + c → de las condiciones
iniciales dadas se obtiene : c= 1/v0 → 1/v = kt + 1/v0 , por lo tanto tenemos :
V (t) = v0 / ( 1+v0kt) .
∫∫ −=
xv
v
kdx
v
dv
0
e
kx
vxv
−
= )(

58. Ejemplo
Un proyectil pequeño es disparado verticalmente
hacia abajo dentro de un medio fluido con una
velocidad inicial de 60 m/s. Si resistencia del
fluido produce una desaceleración del proyectil
que es igual a donde v se mide en
m/s. Determine la velocidad v y la posición S
cuatro segundos después de que se disparó el
proyectil.

59. Solución
Velocidad: Usando el sistema de
referencia mostrado y sabiendo que
a = f(v) podemos utilizar la ecuación
a = dv/dt para determinar la
velocidad como función del tiempo
esto es
POSICIÓN: Sabiendo que v = f(t),
la posición se determina a
partir de la ecuación v = dS/dt

61. Diremos que un movimiento
rectilíneo es uniforme variado si la
aceleración del móvil permanece
constante en todo momento.
Supongamos que una partícula
parte de la posición xo en el instante
t0=0 , con una velocidad vo

62. x
∫∫ =
t
0
v
v
adtdv
o
a
ov (t)
vox
(t)
x
t=0
Como a= cte. entonces dv/dt=a es fácil de
integrar
tvv o(t)
a+= Velocidad
instantánea
Problema inverso

63. Podemos ahora determinar la posición de la
partícula en cualquier instante de tiempo t
∫∫ =
t
t0
(t)dtvdx
x
xo
∫∫ +=
t
t0
oo )dtt-t(v(dx a
x
xo
)t-t(vv 0o(t) a+=
2
00oo(t) )t-t(
2
1
)t-(tvxx a++=

64. x
a
ov (t)
vox
(t)
x
t=0
Hallaremos ahora una expresión para
determinar la velocidad media en el intervalo de
tiempo [0, t]:
Δt
Δx
Vm
=
t
x-x
V o(t)
m
=

65. x
a
ov (t)
vox
(t)
x
t=0
t
x-x
V o(t)
m =
2
oo(t) t
2
1
tvxx a+=−
t
v-v
a o(t)
=
Y usando las ecuaciones
anteriormente deducidas
para t0=0

66. x
a
ov (t)
vox
(t)
x
t=0
2
vv
t
x-x
V o(t)o(t)
m
+
==
Finalmente obtenemos

67. x
a
ov (t)
vox
(t)
x
t=0
Δx2vv 2
0
2
(t)
a+=
También se puede demostrar:
Donde : 0(t)
xxΔx −=
Es el desplazamiento en el intervalo de tiempo
[0 , t]

68. Δx2vv 2
0
2
(t)
a+=
Resumen
0(t)
xxΔx −=
[0 , t]
tvv o(t)
a+=
2
oo(t) t
2
1
tvxx a+=−
2
vv
t
x-x
V o(t)o(t)
m
+
==
2
vv
tt
x-x
V )(t)(t
12
)(t)(t
m
1212
+
=
−
= [t1 , t2 ]
ctea = MRUA
Despejando t en la
1ra y sustituyendo
en la 2da, se
obtiene la 3ra

69. Movimiento Uniformemente AceleradoMovimiento Uniformemente Acelerado
tvv o(t) a+=
υ
υ0
υ0
at
υ
Ο tt
Pendiente = a
xo
x(t)
t
Pendiente = v0
pendiente = v(t)
2
oo(t)
t
2
1
tvxx a+=−
O t
a
a
Pendiente = 0
a

70. Pendiente de las gráficas ( e-t )
Podemos deducir las características de un movimiento analizando la forma y la de las gráficas
posición-tiempo (e-t). La pendiente de una gráfica ( e-t ) representa la velocidad del móvil.
Si el movimiento es uniforme, la gráfica e-t es una recta ya que en tiempos iguales se producen
desplazamientos iguales. Comprueba en el siguiente simulador que la pendiente de la gráfica
representa la velocidad.

71. Si el movimiento es acelerado, la gráfica ( e-t ) es una curva ya que en tiempos
iguales se producen desplazamientos diferentes. En el siguiente simulador puedes
comprobar que la aceleración representa el ritmo con que varía la velocidad.

73. Movimientos de caída libre:Movimientos de caída libre:
La histórica Torre de
Pisa(Italia) ,en donde
Galileo Galilei hizo
algunas de sus pruebas
para verificar sus
hipótesis.

74. Movimiento vertical :Si soltamos
una piedra desde cierta altura
,observamos que describe una
trayectoria vertical mientras
desciende con una rapidez
aumentativa ;es decir su
movimiento hacia abajo es
acelerado .En cambio si la
lanzamos verticalmente hacia
arriba ,apreciaremos que su
rapidez disminuye conforme
asciende hasta que se hace
cero ,es decir su movimiento
hacia arriba es desacelerado.

75. Aceleración de la caída libre :
Galileo Galilei a través de sus observaciones
experimentales sobre el movimiento de los
proyectiles en caída libre había llegado a la
conclusión de que :
“Todos los cuerpos que se dejan caer desde la
misma altura llegaría simultáneamente al piso
independientemente de que sean pesados y
livianos”.
Hipótesis comprobada cuando se inventó la
bomba de vacio.

76. Paracaidista en caída libre ,sufre
resistencia del aire.
Equipo de medición experimental de caída
libre en el laboratorio.

77. ECUACIONES DE MOVIMIENTO:
vv
tt
vv
v
t
bajsub
bajsub
bajsub
lanz
sub
g
 ≠
=
=
= ,
ghf
gt
vv
vvf
20
22
0
±=
±=
tgtvh
t
vv
h
f
2
0
0
2
1
2
±=






=
+
El movimiento vertical de caída libre es un MRUV por lo que
las ecuaciones de movimiento son : donde a=g y d=h.
A un mismo nivel :
Las ecuaciones se utilizaran con el
signo(+)cuando el cuerpo
desciende(acelerado) y el signo( - )
cuando asciende (movimiento
desacelerado).

78. v0 -v0
V =0
Haga click en la bolita verde

79. jˆga −=
jˆvv 00
=
y
0
gtvv 0
−=
2
gt
2
1
tvyy 00
−+=
yg2vv 2
0
2
∆−=

80. a
v
x
t t
t
v0
-v0
-g
tv
tv/2
tv
H
jˆga −=
gtvv 0
−=
2
gt
2
1
tvyy 00
−+=

82. Movimiento de proyectiles
Para el movimiento de proyectiles supondremos que la aceleración
es constante y dirigida hacia abajo, además
despreciaremos la resistencia del aire.
INSTRUMENTOS DE LANZAMIENTO DE PROYECTILES:
ga

−=

83. Ecuaciones de movimiento:
y
x
R
hmax
(x,y)vo
) θ
voy
vox
j
i
El vector de posición :
Toma la siguiente forma:
De la figura deducimos:
Este resultado se ha obtenido ,considerando
un MRU en el eje X y un MRUV en el eje
Y.
),( yxr =

j
g
tyyitvjyixr toox

)
2
(
2
0 −++=+=
θθ senvvvv oyox 00 ,cos ==
j
g
tsenvyitvjyixr t 
)
2
(cos
2
000 −++=+= θθ

84. Ecuaciones del movimiento
Las ecuaciones del movimiento de un
proyectil en cualquier tiempo son:
vx = vx0 = v0 cos θ = const.
vy = vy0 – gt = v0 sen θ – gt
x = vx0t = v0 (cos θ )t
y = vy0t – ½gt2
= v0 (sen θ)t – ½ gt2

85. Trayectoria de un proyectil
Trayectoria de un proyectil arrojado con una
velocidad inicial v0.

86. Vector desplazamiento en el tiro
parabólico :
El vector desplazamiento r puede
escribirse como: r = v0t + ½gt2

87. Trayectoria
De las ecuaciones para x y y podemos obtener la ecuación de la
trayectoria.
x = vx0t = v0 (cos θ )t ……………………(1)
y = vy0t – ½gt2
= v0 (sen θ)t – ½ gt2 ………(2)
Despejando (t) de la ecuación(1) y reemplazan en (2) se tiene :
tiempo de vuelo
00 cosθv
x
t =
2
0000
00
cos2
1
cos
sen 





−=
θθ
θ
v
x
g
v
x
vy
2
0
22
0
0
cos2
tan x
v
g
xy 





−=
θ
θ
Esta Ecuación
Representa una parábola

88. Algunos parámetros del tiro parabólico
g
v
h
2
sen
max 0
22
0 θ
=
g
v
Rx 0
2
0sen2
max
θ
==
altura máxima : se logra
cuando vy=0,se obtiene el tiempo
de ascenso ta :
, para t=ta,y=hmax , se
tiene :
alcance máximo : para t=2ta
el proyectil intersecta al eje x por
segunda vez ,es decir x=R
g
senv
ta
θ0
=

89. Máximo alcance
Trayectorias de un proyectil con
diferente ángulo inicial

90. Ejemplo
1.-Un golfista golpea una pelota en un acantilado a la orilla del mar con una
velocidad de 48 m/s y un ángulo de 36°. El acantilado tiene una altura de 52 m.
Encontrar la distancia total que avanza la pelota y el tiempo total de vuelo.

91. Ejemplo (cont.)
Podemos calcular la coordenada x en que la pelota choca con el mar resolviendo la
ecuación de la trayectoria para y = –52 m, θ0 = 36°, v0 = 48 m/s.
Sustituyendo obtenemos la siguiente ecuación:
–0.00325x2
+ 0.72654x + 52 = 0
Las soluciones son:
x = –57.0272487 y x = 280.6225766
La raíz aceptable es la segunda. El tiempo de vuelo lo calculamos con:
t = 7.23 s
2
0
22
0
0
cos2
tan x
v
g
xy 





−=
θ
θ
00 cosθv
x
t =

92. Ejemplos :
2.-Se lanza una pelota verticalmente
hacia arriba con una velocidad de 20m/s
, desde la azotea de un edificio de 50 m
de altura .La pelota además es
empujada por el viento, produciendo
un movimiento horizontal con
aceleración de 2m/s² (tomar :g=
10m/s²).
Calcular:
a)La distancia horizontal entre el punto
de lanzamiento y de impacto .
b)La altura máxima .
c)Las
componentes tangencial y normal de la
aceleración en el instante t=3s.
3.-Se dispara un proyectil desde lo alto
de una colina de 300 m de altura,
haciendo un ángulo de 30º por debajo
de la horizontal.
a)Determinar la velocidad de disparo
para que el proyectil impacte sobre un
blanco situado a una distancia
horizontal de 119 m, medida a partir
de la base de la colina.
b)Calcular las componentes tangencial
y normal de la aceleración cuando el
proyectil se encuentra a 200 m de
altura.

93. Aplicaciones:
4.-Un cañón está situado sobre la cima
de una colina de 500 m de altura y
dispara un proyectil con una velocidad
de 60 m/s, haciendo un ángulo de 30º
por debajo de la horizontal.
a)Calcular el alcance medido desde la
base de la colina.
b)Hallar las componentes tangencial y
normal de la aceleración 3 s después de
efectuado el disparo.
c)Dibujar un esquema en los que se
especifique los vectores velocidad,
aceleración y sus componentes
tangencial y normal en ese instante.
(Tómese g=10 m/s2
)
5.-Se lanza un objeto desde una altura de
300 m haciendo un ángulo de 30º por debajo
de la horizontal. Al mismo tiempo se lanza
verticalmente otro objeto con velocidad
desconocida v0 desde el suelo a una distancia
de 100 m.
a)Determinar, la velocidad v0, el instante y
la posición de encuentro de ambos objetos.
b)Dibujar la trayectoria de ambos objetos
hasta que se encuentran.
c)Calcular las componentes tangencial y
normal del primer objeto en el instante de
encuentro. ( g=9,8 m/s²)

94. Aplicaciones :
6.-Un bloque de 0.5 kg de masa de radio
comienza a descender por una pendiente
inclinada 30º respecto de la horizontal hasta el
vértice O en el que deja de tener contacto con el
plano. a)Determinar la velocidad del bloque en
dicha posición.
b)Hallar el punto de impacto de la esfera en el
plano inclinado 45º, situado 2 m por debajo de
O, tal como se indica en la figura.
c)Hallar el tiempo de vuelo T del bloque (desde
que abandona el plano inclinado hasta el punto
de impacto).
d)Hallar las componentes tangencial y normal
de la aceleración en el instante T/2.
7.-Calcular el ángulo de tiro con
que se ha de apuntar un cañón para
que dé en el blanco situado a 200
m de distancia horizontal y 100 m
de altitud sobre el cañón, sabiendo
que la velocidad de disparo es de
60 m/s. Justifíquese la respuesta.

95. Z
X
Y
R
r
ϕ
ω
α
θ
s
Movimiento circular. cteR ==ρ • Magnitudes angulares
Desplazamiento angular :
R
s
=θ [ ] 1=θ
Velocidad angular:
kω
dt
d 
ω=
θ
=ω , [ ] 1−
= tω
Aceleración angular:
k
dt
d
k
dt
d
dt
d 


2
2
,
θω
α
ω
α === [ ] 2−
= tα
Movimientos curvilíneos (an ≠ 0) en el plano.
ECUACIONES DE MOVIMIENTO CIRCULAR :ECUACIONES DE MOVIMIENTO CIRCULAR :
dt
d
R
dt
ds
v
θ
==La velocidad es :
ωθ RRv == 

96. Movimientos curvilíneos en el plano.
Movimiento circular.
θ
α
ω
Z
X
Y
r

r

×ω=υ
ϕ
sR
cteR ==ρ • Relaciones entre magnitudes lineales
y angulares.
r

×= ωυ
( ) ( )υ×ω+×α=

ra
( )rat

×= α ( )υω 
×=na
MCU 0=ta
cteT == /2πω0=α
( )00 tt −+= ωθθ
MCUA cteat =
( )00 tt −+= αωωcte=α
( ) ( )2
0000
2
1
tttt −+−+= αωθθ
/TνT 1,periódicomov. =⇒
CONTINUACION:CONTINUACION:

97. Periodo y frecuenciaPeriodo y frecuencia
Al tiempo en que tarda un objeto en dar una vuelta completa se le llama
periodo (T) está dado por
2πR = vT
ω
π
ω
ππ 222
===
R
R
v
R
T
La frecuencia es el recíproco del periodo
f = 1/T = ω/2π
La frecuencia es el número de revoluciones por segundo, se mide en hertz
(Hz) que se define como un ciclo por segundo (cps).
Otra unidad es las revoluciones por minuto rev/min o rpm.

98. Ejemplo
Calcule la rapidez angular, la rapidez, la frecuencia, el periodo y la
aceleración correspondiente en un punto del ecuador de la tierra.
El periodo es 24 h o sea
T = 24h (60 min/h)(60 s/min) = 86,400 s
La frecuencia es
f = 1/T = 1.16 x 10–5
Hz
El radio de la tierra es R = 6.4 x 106
m, la velocidad es
v = 2πR/T = (2π)(6.4 x 106
)/86,400 = 465 m/s
La rapidez angular es
ω = 2πf = 2π(1.16 x 10–5
) = 7.3 x 10–5
Hz
La aceleración es
a = v2
/R = (465)/(6.4 x 106
) = 0.034 m/s2