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Cinemática de Mecanismos

      Análisis de Velocidades de
      Mecanismos por el Método del
      Polígono.



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DEFINICION DE VELOCIDAD

     La velocidad se define como la razón de cambio de la posición con respecto al tiempo.

    La posición (R) es una cantidad vectorial. La velocidad puede ser angular (ω) o lineal (V).



                                                  dθ            dR
                                           ω=        ;    V=
                                                  dt            dt

                      Derivando con respecto al tiempo nos quedan las ecuaciones
                        que se utilizaran para obtener el polígono de velocidades




                      Vt =ω×r                                VP = V A + VP / A
                                                         Esta ecuación viene de la ecuación
                                                             de desplazamiento relativo.




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  La figura muestra un eslabón PA en rotación


                                                                                 Vt =ω×r
  pura, pivotado en el punto A en el plano x y.
  Su posición se define mediante el vector de
                 posición RPA.




        La VPA en la figura se denomina velocidad absoluta, ya que se refiere a A, que es
      donde se encuentra el centro de giro de la barra. Como tal, se podría hacer referencia
                   a ella Como VP, que determina su magnitud con la ecuación.



          Analizando la figura se aprecia que la velocidad se encuentra siempre en dirección
         (definida por la ω) perpendicular al radio de rotación y es tangente a la trayectoria del
                                               movimiento.


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En la figura se muestra un sistema
   diferente y ligeramente más
   complicado, en el cual
   el pivote A ya no es estacionario. Tiene
   una velocidad lineal conocida (VA),
   y como parte del elemento de
   traslación, el eslabón 3.

   si ω no cambia, la velocidad del punto P
   con respectoa a A permanece igual que
   en el ejemplo anterior, pero VPA ya no
   se considera una velocidad absoluta
   (VP). Ahora es una diferencia de
   velocidad y debe llevar el subíndice
   como VPA.

   Para calcularla se utiliza la ecuación:


          VP = V A + VP / A
                                                                Solución grafica
                                                            (polígono de velocidad)



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Solución gráfica para velocidades en un eslabonamiento
de juntas de pasador (Junta tipo revoluta).




    Polígono de velocidades para los puntos AyB   Polígono de velocidades para los puntos AyC



                                         VC = VA + VC / A


                                        VB = VA + VB / A



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Ejemplo 1: Análisis de Velocidades de Mecanismo
de 4 barras por el Método del Polígono.

     DATOS:
     AB = 4.7cm                                                             VB               ω3       VC/B
                                                                                                                                     VB
                                                                                            B                           VB/C
                                                                                                      C
     BC = 1 cm
                                                                                              VC
     DC = 5 cm                                                                   2                                                  VC
                                                              ω2
     ω2 = 10 rad/s                                                                                    4


     VB = ω2 x rAB                                           A             60°
                                                                                        ω4                              VC = 40 cm/s
     VB = (10 rad/s)x(4.7cm)                                                                              D
                                                                                                                        VB/C = 47 cm/s
     VB = 47 cm/s

                        ω3 =VB/C / rB/C                                                             ω4 =VC/D / rC/D
                        ω3    = (22 cm/s) / (1 cm/s)                                                ω4 = (40 cm/s) / (5 cm/s)
                            ω3 = 22 rad/s                                                            ω4 = 8 rad/s

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Ejemplo 2: Análisis de Velocidades de Mecanismo
de 6 barras por el Método del Polígono.
                                                                                B                                                         D
                                                                                            25°


                                                   ω3                 VB


                                                                                     VB/A
                                               A                                                                                              VC/B
                                     VA                                                               ω4        ω5
           ω2 = 8    rad
                        s                               ω2                                                                           C

     02 − 04 = 8cm.                                                                                                            VC
                                                   02                                                     04                             05

       02 − 2 = 30cm.
       A − B = 60cm.                      VB = VA + VB / A                                                                           VC = VB + VC / B
                                                                           OV
      B − 04 = 70cm.                                                                              VB / A 50                                          VC
                                                                                     ω3 =               = = 0.8333rad s                                        OV
       B − C = 13cm.                          VA                                                  rA− B 60
                                                                                                                                    VC/B
                                                    VB
                                                                                                                                                     VB
                                     VB/A                                                        VB     260
                                                                                    ω4 =              =     = 3.714 rad s
VA = ω2 × r0 2 − A                                                                              rB −04 70
VA = (8 rad s ) (30cm ) = 240 cm s        VB / A = 50        cm                                                                           VC/ B =170 cms
                                                                      s
                                                                                     V        170
                                                                                 ω5 = C / B =     = 13.08 rad s
                                          VB = 260           cm
                                                                  s                   rC / B 13                                               VC = 150    cm
                                                                                                                                                               s




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Ejemplo 3: Análisis de Velocidades de Mecanismo
de 6 barras con Collarín por el Método del Polígono.

  Se presenta un mecanismo de 6 barras, el eslabón de entrada 2 tiene una
  velocidad de rotación ω2=-186 rpm fmr, usando el análisis gráfico
  encuentre la VD, VF5 y ω5.




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Ejemplo 3. continuación




       Solución:
       VC   =   VB + VCB
        D       D        D
                M

       VD   =   VC   +   VDC
        D       D        D
                M

      V(F5) = VD     +   V(F5)D
        D       D        D
                M




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Cinemática de Mecanismos

      Análisis de Velocidades de
      Mecanismos por el Método de
      Centros Instantáneos.



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Centros Instantáneos.

     Un centro instantáneo de velocidad es un punto, común a dos
         cuerpos en movimiento plano, cuyo punto tiene la misma
     velocidad instantánea en cada cuerpo. Los centros instantáneos,
              algunas veces se denominan “centros o polos”.

   Debido a que se requieren dos cuerpos o eslabones para crear un centro
      instantáneo (CI), se puede predecir fácilmente la cantidad de centros
     instantáneos que se esperan de un conjunto de eslabones. La fórmula
           de la combinación para “n” objetos tomados “r” en cada vez
                        C = n (n-1) (n-2)...(n – r + 1)
                                        r!
        Para nuestro caso r = 2 y se reduce a:
                     C = n (n-1)
                            2

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De la ecuación anterior se puede concluir que un
      eslabonamiento de 4 barras (n = 4) tiene 6 centros
  instantáneos, uno de 6 barras (n = 6) tiene 15, y uno de 8
                    barras (n = 8) tiene 28.




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REGLA DE KENNEDY



   Cualesquiera tres cuerpos en movimiento
    plano tendrán exactamente tres centros
    instantáneos, y éstos se encontrarán en
             la misma línea recta.




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Una vez encontrados los CI, pueden ser utilizados para hacer un
     muy rápido análisis gráfico de velocidad del eslabonamiento.

     Según la posición particular del eslabonamiento que se analiza,
     algunos de los CI pueden estar muy distantes de los eslabones. Por
     la definición de centro instantáneo, ambos eslabones que
     comparten el mismo centro instantáneo, tendrán una velocidad
     idéntica en su punto.
     La relación de la velocidad angular VR se define como la velocidad
     angular de salida dividida entre la velocidad angular de entrada.
     Para un mecanismo de cuatro barras esta se expresa como:

     VR = ω4
          ω2



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Ejemplo 4. Dado el siguiente mecanismo, encuentre la velocidad
en B y C. Considere ω2 = 1 rad/s en contra de las manecillas del
reloj.




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Primero encontramos los centros instantáneos permanentes.
O12, O23, O34, O14




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Luego encontramos los centros instantáneos que faltan
O13 y O24




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Ahora obtenemos VA de acuerdo con:
VA = ω2 x r02-A




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Luego encontramos de la siguiente manera ω3 :


  ω3 = VA / rA-I1,3
  ω3 = (4 cm/s)/(9.07cm)
  ω3 = 0.441 rad/s




     Como es conocido el radio de O13 a B ahora se calcula V34=VB


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Una vez conocida ω3 se encuentra VB como a
continuación se describe:

  VB = ω3 x rA-I1,3
  VB = (0.441 rad/s)x(9.19 cm)
  VB = 4.05 cm/s




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Y Finalmente podemos determinar o cualquier punto
en el acoplador como sigue:

  VC = ω3 x rC-I1,3
  VC = (0.441 rad/s)x(5.72 cm)
  VC = 2.52 cm/s




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EJEMPLO 5:
Obtener las velocidades en los puntos A, B Y C.
Considere ω2 = 2 rad/s en sentido de las manecillas del reloj.




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Primero obtenemos los centros instantáneos más notables




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Luego obtenemos todos los centros faltantes




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Luego obtenemos VA de acuerdo con VA = ω2· r02-A




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De acuerdo con la relación
 ω3 = VA /rA-I1,3
 ω3 = (8cm/s)/(5.31cm)
 ω3 = 1.506 rad/s




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Ya que se conoce ω3 la magnitud de VB se conoce con:


   VB = ω3 · rB-I1,3
   VB = (1.506 rad/s)(3.23 cm)
   VB = 4.86 cm/s




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Ya que se conoce VB, podemos determinar ω4 de acuerdo con:



                    ω4 = VB / rB-04
                    ω4 = (4.86 cm/s)/(8 cm)
                    ω4 = 0.60 cm/s

                     Y finalmente, podemos
                     determinar VC o en cualquier
                     punto en la biela de acuerdo
                     con:

                     VC = ω3· rC-I1,3
                     VC = (1.506 cm/s)(5.34 cm)
                     VC = 8.04 cm/s




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  • 1. Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME- Cinemática de Mecanismos Análisis de Velocidades de Mecanismos por el Método del Polígono. Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME-
  • 2. DEFINICION DE VELOCIDAD La velocidad se define como la razón de cambio de la posición con respecto al tiempo. La posición (R) es una cantidad vectorial. La velocidad puede ser angular (ω) o lineal (V). dθ dR ω= ; V= dt dt Derivando con respecto al tiempo nos quedan las ecuaciones que se utilizaran para obtener el polígono de velocidades Vt =ω×r VP = V A + VP / A Esta ecuación viene de la ecuación de desplazamiento relativo. Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME- La figura muestra un eslabón PA en rotación Vt =ω×r pura, pivotado en el punto A en el plano x y. Su posición se define mediante el vector de posición RPA. La VPA en la figura se denomina velocidad absoluta, ya que se refiere a A, que es donde se encuentra el centro de giro de la barra. Como tal, se podría hacer referencia a ella Como VP, que determina su magnitud con la ecuación. Analizando la figura se aprecia que la velocidad se encuentra siempre en dirección (definida por la ω) perpendicular al radio de rotación y es tangente a la trayectoria del movimiento. Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME-
  • 3. En la figura se muestra un sistema diferente y ligeramente más complicado, en el cual el pivote A ya no es estacionario. Tiene una velocidad lineal conocida (VA), y como parte del elemento de traslación, el eslabón 3. si ω no cambia, la velocidad del punto P con respectoa a A permanece igual que en el ejemplo anterior, pero VPA ya no se considera una velocidad absoluta (VP). Ahora es una diferencia de velocidad y debe llevar el subíndice como VPA. Para calcularla se utiliza la ecuación: VP = V A + VP / A Solución grafica (polígono de velocidad) Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME- Solución gráfica para velocidades en un eslabonamiento de juntas de pasador (Junta tipo revoluta). Polígono de velocidades para los puntos AyB Polígono de velocidades para los puntos AyC VC = VA + VC / A VB = VA + VB / A Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME-
  • 4. Ejemplo 1: Análisis de Velocidades de Mecanismo de 4 barras por el Método del Polígono. DATOS: AB = 4.7cm VB ω3 VC/B VB B VB/C C BC = 1 cm VC DC = 5 cm 2 VC ω2 ω2 = 10 rad/s 4 VB = ω2 x rAB A 60° ω4 VC = 40 cm/s VB = (10 rad/s)x(4.7cm) D VB/C = 47 cm/s VB = 47 cm/s ω3 =VB/C / rB/C ω4 =VC/D / rC/D ω3 = (22 cm/s) / (1 cm/s) ω4 = (40 cm/s) / (5 cm/s) ω3 = 22 rad/s ω4 = 8 rad/s Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME- Ejemplo 2: Análisis de Velocidades de Mecanismo de 6 barras por el Método del Polígono. B D 25° ω3 VB VB/A A VC/B VA ω4 ω5 ω2 = 8 rad s ω2 C 02 − 04 = 8cm. VC 02 04 05 02 − 2 = 30cm. A − B = 60cm. VB = VA + VB / A VC = VB + VC / B OV B − 04 = 70cm. VB / A 50 VC ω3 = = = 0.8333rad s OV B − C = 13cm. VA rA− B 60 VC/B VB VB VB/A VB 260 ω4 = = = 3.714 rad s VA = ω2 × r0 2 − A rB −04 70 VA = (8 rad s ) (30cm ) = 240 cm s VB / A = 50 cm VC/ B =170 cms s V 170 ω5 = C / B = = 13.08 rad s VB = 260 cm s rC / B 13 VC = 150 cm s Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME-
  • 5. Ejemplo 3: Análisis de Velocidades de Mecanismo de 6 barras con Collarín por el Método del Polígono. Se presenta un mecanismo de 6 barras, el eslabón de entrada 2 tiene una velocidad de rotación ω2=-186 rpm fmr, usando el análisis gráfico encuentre la VD, VF5 y ω5. Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME- Ejemplo 3. continuación Solución: VC = VB + VCB D D D M VD = VC + VDC D D D M V(F5) = VD + V(F5)D D D D M Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME-
  • 6. Cinemática de Mecanismos Análisis de Velocidades de Mecanismos por el Método de Centros Instantáneos. Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME- Centros Instantáneos. Un centro instantáneo de velocidad es un punto, común a dos cuerpos en movimiento plano, cuyo punto tiene la misma velocidad instantánea en cada cuerpo. Los centros instantáneos, algunas veces se denominan “centros o polos”. Debido a que se requieren dos cuerpos o eslabones para crear un centro instantáneo (CI), se puede predecir fácilmente la cantidad de centros instantáneos que se esperan de un conjunto de eslabones. La fórmula de la combinación para “n” objetos tomados “r” en cada vez C = n (n-1) (n-2)...(n – r + 1) r! Para nuestro caso r = 2 y se reduce a: C = n (n-1) 2 Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME-
  • 7. De la ecuación anterior se puede concluir que un eslabonamiento de 4 barras (n = 4) tiene 6 centros instantáneos, uno de 6 barras (n = 6) tiene 15, y uno de 8 barras (n = 8) tiene 28. Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME- REGLA DE KENNEDY Cualesquiera tres cuerpos en movimiento plano tendrán exactamente tres centros instantáneos, y éstos se encontrarán en la misma línea recta. Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME-
  • 8. Una vez encontrados los CI, pueden ser utilizados para hacer un muy rápido análisis gráfico de velocidad del eslabonamiento. Según la posición particular del eslabonamiento que se analiza, algunos de los CI pueden estar muy distantes de los eslabones. Por la definición de centro instantáneo, ambos eslabones que comparten el mismo centro instantáneo, tendrán una velocidad idéntica en su punto. La relación de la velocidad angular VR se define como la velocidad angular de salida dividida entre la velocidad angular de entrada. Para un mecanismo de cuatro barras esta se expresa como: VR = ω4 ω2 Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME- Ejemplo 4. Dado el siguiente mecanismo, encuentre la velocidad en B y C. Considere ω2 = 1 rad/s en contra de las manecillas del reloj. Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME-
  • 9. Primero encontramos los centros instantáneos permanentes. O12, O23, O34, O14 Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME- Luego encontramos los centros instantáneos que faltan O13 y O24 Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME-
  • 10. Ahora obtenemos VA de acuerdo con: VA = ω2 x r02-A Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME- Luego encontramos de la siguiente manera ω3 : ω3 = VA / rA-I1,3 ω3 = (4 cm/s)/(9.07cm) ω3 = 0.441 rad/s Como es conocido el radio de O13 a B ahora se calcula V34=VB Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME-
  • 11. Una vez conocida ω3 se encuentra VB como a continuación se describe: VB = ω3 x rA-I1,3 VB = (0.441 rad/s)x(9.19 cm) VB = 4.05 cm/s Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME- Y Finalmente podemos determinar o cualquier punto en el acoplador como sigue: VC = ω3 x rC-I1,3 VC = (0.441 rad/s)x(5.72 cm) VC = 2.52 cm/s Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME-
  • 12. EJEMPLO 5: Obtener las velocidades en los puntos A, B Y C. Considere ω2 = 2 rad/s en sentido de las manecillas del reloj. Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME- Primero obtenemos los centros instantáneos más notables Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME-
  • 13. Luego obtenemos todos los centros faltantes Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME- Luego obtenemos VA de acuerdo con VA = ω2· r02-A Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME-
  • 14. De acuerdo con la relación ω3 = VA /rA-I1,3 ω3 = (8cm/s)/(5.31cm) ω3 = 1.506 rad/s Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME- Ya que se conoce ω3 la magnitud de VB se conoce con: VB = ω3 · rB-I1,3 VB = (1.506 rad/s)(3.23 cm) VB = 4.86 cm/s Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME-
  • 15. Ya que se conoce VB, podemos determinar ω4 de acuerdo con: ω4 = VB / rB-04 ω4 = (4.86 cm/s)/(8 cm) ω4 = 0.60 cm/s Y finalmente, podemos determinar VC o en cualquier punto en la biela de acuerdo con: VC = ω3· rC-I1,3 VC = (1.506 cm/s)(5.34 cm) VC = 8.04 cm/s Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME- Academia de Análisis Mecánico, DSM-DIM-FIME-UANL, 2005 DSM- DIM- FIME-