Este documento presenta información sobre vibraciones mecánicas. Explica cómo se pueden asociar constantes de resorte equivalentes a fuerzas de restauración producidas por la gravedad. También describe cómo modelar sistemas vibratorios complejos mediante el uso de masas, resortes y amortiguadores equivalentes, y proporciona ejemplos de cómo calcular estas constantes equivalentes para diferentes configuraciones.

1. VIBRACIONES
Presenta: Dr. Ing. Ángel Francisco Villalpando Reyna
Ingeniería Mecatronica
Tema 1. Unidad 1 C

2. Constante de resorte asociada con la fuerza de restauración
producida por la gravedad
En algunas aplicaciones se desarrolla una fuerza o momento de
restauración producido por la gravedad cuando una masa experimenta
un desplazamiento. En esos casos se puede asociar una constante de
resorte equivalente con la fuerza o momento de restauración de la
gravedad. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento.

3. Constante de resorte asociada con una fuerza de restauración
producida por la gravedad
La figura 1.34 muestra un péndulo simple de longitud l con una lenteja de
masa m. Considerando un desplazamiento angular u del péndulo, determine
la constante de resorte asociada con la fuerza (o momento) de restauración.
Solución: Cuando el péndulo se somete a un desplazamiento angular q, la
masa m se mueve a una distancia l sen q a lo largo de la dirección horizontal
(x). El momento o par de restauración (T) creado por el peso de la masa (mg)
con respecto al pivote O está dado por
T = mg(l sen q )

4. Para desplazamientos angulares pequeños q,
sen q se puede aproximar como sen q  q y
la ecuación (E.1) se escribe como
T = mgl q (E.2)
Si expresamos la ecuación (E.2) como
T = kt q (E.3)
la constante de resorte torsional equivalente
deseada kt se puede identificar como
kt = mgl (E.4)

5. Elementos de masa o inercia
Se supone que el elemento de masa o inercia es un cuerpo rígido que
puede ganar o perder energía cinética siempre que cambia su
velocidad. De acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton,
el producto de la masa y su aceleración son iguales a la fuerza aplicada
a la masa. El trabajo es igual a la fuerza multiplicada por el
desplazamiento en la dirección de la fuerza, y el trabajo realizado en
una masa se almacena como energía cinética.
En la mayoría de los casos se tiene que utilizar un modelo matemático
para representar el sistema vibratorio real, y a menudo hay varios
modelos posibles. El propósito del análisis suele determinar cuál
modelo matemático es el adecuado.

6. Por ejemplo, consideremos de nuevo la viga en voladizo con una masa en
el extremo de la figura 1.25(a). Para un rápido y razonablemente preciso
análisis, se desechan la masa y el amortiguamiento de la viga; el sistema
se puede modelar como un sistema de resorte y masa, como se muestra
en la figura 1.25(b).

7. La masa m representa el elemento de masa, y la
elasticidad de la viga indica la rigidez del resorte.
Luego consideramos un edificio de varios pisos
sometido a un sismo. Suponiendo que la masa
de la estructura es insignificante comparada con
las de las masas de los pisos, el edificio se
modela como un sistema de varios grados de
libertad, como se muestra en la figura 1.35.
Las masas en los diversos pisos representan los
elementos de masa, y las elasticidades de los
miembros verticales indican los elementos de
resorte.

8. Caso 1. Masas traslacionales conectadas por una barra rígida. Consideremos las
masas fijas en una barra rígida pivotada en un extremo, como se muestra en la
figura 1.36(a). Se puede suponer que la masa equivalente está localizada en
cualquier punto a lo largo de la barra

9. Para ser específicos, supongamos que la ubicación de la masa equivalente es la de la
masa m1. Las velocidades de las masas m2(x2) y m3(x3) se pueden expresar en función
de la velocidad de la masa m1(x1), suponiendo pequeños desplazamientos angulares
de la barra, como

10. Caso 2: Masas traslacionales y rotacionales acopladas. Sea una masa m que rota a
una velocidad x acoplada a otra masa (de momento de inercia de masa, J0) que
rota a una velocidad q, como en el sistema de cremallera y piñón que se muestra
en la figura 1.37.

11. Estas dos masas se pueden combinar para obtener o (1) una sola masa
traslacional equivalente meq, o (2) una sola masa rotacional equivalente Jeq,
como se muestra a continuación.
1. Masa traslacional equivalente. La energía cinética de las dos masas está dada
por
y la energía cinética de la masa equivalente se expresa como

12. Dado que x eq = x y q = x /R, la equivalencia de T y Teq da

13. 2. Masa rotacional equivalente. En este caso qeq = q
y x = qR, y la equivalencia de T y Teq conduce

14. Ejemplo 1.12 Mecanismo seguidor de leva
Un mecanismo seguidor de leva (figura 1.39) se utiliza para convertir el
movimiento rotatorio de un cigüeñal en el movimiento oscilante o reciprocante
de una válvula. El sistema seguidor se compone de una varilla de empuje de
masa mp, un balancín de masa mr, un momento de inercia de masa Jr con
respecto a su C.G., una válvula de masa mv, y un resorte de válvula de masa
insignificante [1.28-1.30]. Encuentre la masa equivalente (meq) de este sistema
seguidor de leva suponiendo la ubicación de meq como (i) punto A e (ii) punto C.

15. Solución: La masa equivalente del sistema
seguidor de leva se determina por medio de
la equivalencia de las energías cinéticas de los
dos sistemas. Debido a un desplazamiento
vertical x de la varilla de empuje, el balancín
gira un ángulo qr = x/l1 alrededor del pivote,
la válvula desciende una distancia xv = qr l2 =
xl2/l1 y el C.G. del balancín desciende una
distancia xr = qr l3 = xl3/l1.
La energía cinética del sistema (T) se expresa
como

17. Elementos de amortiguamiento
En muchos sistemas prácticos, la energía vibratoria se convierte
gradualmente en calor o sonido. Debido a la reducción de energía, la
respuesta, como el desplazamiento del sistema, se reduce
gradualmente.
El mecanismo mediante el cual la energía vibratoria se convierte
gradualmente en calor o sonido se conoce como amortiguamiento. Aun
cuando la cantidad de energía convertida en calor o en sonido es
relativamente pequeña, la consideración del amortiguamiento llega a
ser importante para predecir con exactitud la respuesta a la vibración
de un sistema.

18. Se supone que un amortiguador no tiene masa ni elasticidad, y que la
fuerza de amortiguamiento existe sólo si hay una velocidad relativa
entre los dos extremos del amortiguador. Es difícil determinar las
causas del amortiguamiento en sistemas prácticos. Por consiguiente, el
amortiguamiento se modela como uno más de los siguientes tipos.

19. Amortiguamiento viscoso. El amortiguamiento viscoso es el mecanismo
de amortiguamiento de mayor uso en el análisis de vibración. Cuando un
sistema mecánico vibra en un medio fluido como aire, gas, agua o aceite,
la resistencia ofrecida por el fluido en el cuerpo en movimiento hace que
se disipe la energía. En este caso, la cantidad de energía disipada
depende de muchos factores, como el tamaño y forma del cuerpo
vibratorio, la viscosidad del fluido, la frecuencia de vibración e incluso la
velocidad del cuerpo vibratorio. En el amortiguamiento viscoso, la fuerza
de amortiguamiento es proporcional a la velocidad del cuerpo vibratorio.

20. Entre los ejemplos típicos de amortiguamiento viscoso están: (1) la
película de fluido entre superficies deslizantes; (2) el flujo de fluido
alrededor de un pistón en un cilindro; (3) el flujo de fluido a través de
un orificio, y (4) la película de fluido alrededor de un muñón en una
chumacera.

21. Amortiguamiento de Coulomb o de fricción en seco.
Aquí la fuerza de amortiguamiento es de magnitud constante pero de
dirección opuesta a la del movimiento del cuerpo vibratorio. Es
resultado de la fricción entre superficies que al frotarse están secas o
no tienen una lubricación suficiente.

22. Amortiguamiento debido a un material o sólido o histético.
Cuando un material se deforma, absorbe o disipa energía [1.31]. El
efecto se debe a la fricción entre los planos internos, los cuales se
resbalan o deslizan a medida que ocurren las deformaciones. Cuando
un cuerpo que experimenta amortiguamiento producido por el material
se somete a vibración, el diagrama de esfuerzo-deformación muestra
un bucle de histéresis como se indica en la figura 1.40(a). El área de este
bucle indica la pérdida de energía por unidad de volumen del cuerpo
por ciclo debido al amortiguamiento.

23. Cuando la carga aplicada a un cuerpo elástico se incrementa, el esfuerzo (s) y la
deformación (e) en el cuerpo también se incrementan. El área bajo la curva s-e,
dada por

24. Ejemplo 1.13 Constante de amortiguamiento de placas paralelas
separadas por un fluido viscoso
Considere dos placas paralelas separadas una distancia h, con un fluido
de viscosidad m entre ellas. Derive una expresión para la constante de
amortiguamiento cuando una placa se mueve con una velocidad v con
respecto a la otra como se muestra en la figura 1.41.

25. Solución: Sean una placa fija y la otra móvil con una velocidad v en su propio
plano. Las capas de fluido en contacto con la placa móvil se mueven con una
velocidad v, en tanto que las que están en contacto con la placa fija no se
mueven. Se supone que las velocidades de las capas de fluido intermedias
varían linealmente entre 0 y v, como se muestra en la figura 1.41. De acuerdo
con la ley de flujo viscoso de Newton, el esfuerzo cortante (t) desarrollado en
la capa de fluido a una distancia y de la placa fija está dado por

26. donde
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
𝑣
ℎ
es el gradiente de velocidad. La fuerza cortante o
resistente (F) desarrollada en la superficien inferior de la placa móvil
es
donde A es el área de la placa móvil. Expresando F como

27. la constante c de amortiguamiento se encuentra como

28. Ejemplo 1.14 Holgura en un cojinete
Un cojinete, el cual se puede representar de forma aproximada como
dos placas separadas por una delgada película de lubricante (figura
1.42), ofrece una resistencia de 400 N cuando se utiliza aceite SAE 30
como lubricante y la velocidad relativa entre las placas es de 10 m/s.
Si el área de las placas es de 0.1 m2, determine la holgura entre las
placas. Suponga que la viscosidad absoluta del aceite SAE 30 es 50
mreyn o 0.3445 Pa-s.

29. Solución: Como la fuerza resistente se expresa como F = cv, donde c es la
constante de amortiguamiento y v es la velocidad, tenemos
Si el cojinete se modela como un amortiguador de placas planas, la
ecuación (E.4) del ejemplo 1.13 da la constante de amortiguamiento:
Utilizando los datos, la ecuación (E.2) da por resultado

30. Ejemplo 1.15 Constante de amortiguamiento de una chumacera
Se utiliza una chumacera como soporte
lateral de una flecha rotatoria como se
muestra en la figura 1.43. Si el radio de la
flecha es R, su velocidad angular es v, la
holgura radial entre la flecha y el cojinete
es d, la viscosidad del fluido (lubricante) es
m, y la longitud del cojinete es l, obtenga
una expresión para la constante de
amortiguamiento rotacional de la
chumacera. Suponga que la fuga de fluido
es insignificante.

31. El producto del gradiente de velocidad radial y la viscosidad del
lubricante proporcionan el esfuerzo cortante (t) en el lubricante:
La fuerza requerida para cortar la película de fluido es igual al esfuerzo
por el área. El par de torsión en la flecha (T) es igual a la fuerza por el
brazo de palanca, de modo que

32. donde A = 2pRI es el área de la flecha expuesta al lubricante.
Por lo tanto la ecuación (E.3) se reescribe como
De acuerdo con la definición de la constante de amortiguamiento
rotacional del cojinete (ct):

33. obtenemos la expresión deseada para la constante de
amortiguamiento rotacional como
Nota: La ecuación (E.5) se conoce como ley de Petroff y
originalmente se publicó en 1883. Esta ecuación se utiliza
ampliamente en el diseño de chumaceras [1.43].

34. Linealización de un amortiguador no lineal
Si la relación fuerza (F) - velocidad (v) de un amortiguador es
no lineal:
se puede utilizar un proceso de linealización alrededor de la
velocidad de operación (v*) como en el caso de un resorte no
lineal. El proceso de linealización proporciona la constante de
amortiguamiento equivalente como

35. Combinación de amortiguadores
En algunos sistemas dinámicos se utilizan varios amortiguadores. En esos casos, todos
los amortiguadores se reemplazan con un amortiguador único equivalente. Cuando los
amortiguadores aparecen combinados, podemos utilizar procedimientos semejantes a
los que utilizamos para determinar la constante de resorte equivalente de varios
resortes con el objetivo de determinar un amortiguador único equivalente. Por
ejemplo, cuando dos amortiguadores traslacionales, con constantes de
amortiguamiento c1 y c2 aparecen combinados, la constante de amortiguamiento
equivalente (ceq)
se puede hallar como

36. Ejemplo 1.17 Constantes de resorte y amortiguamiento
equivalentes de un soporte de máquina herramienta
Una máquina fresadora de precisión está montada sobre cuatro
soportes antivibratorios, como se muestra en la figura 1.45(a). La
elasticidad y amortiguamiento de cada soporte antivibratorio se
modela como un resorte y un amortiguador viscoso, como se
muestra en la figura 1.45(b). Encuentre la constante de resorte
equivalente, keq, y la constante de amortiguamiento equivalente, ceq,
del soporte de la máquina herramienta en función de las constantes
de resorte (ki) y las constantes de amortiguamiento (ci) de los
soportes de montaje.

38. Solución: En la figura 1.45(c) se muestran los diagramas de cuerpo libre de los cuatro
resortes y los cuatro amortiguadores. Suponiendo que el centro de masa, G, esté
localizado simétricamente con respecto a los cuatro resortes y amortiguadores,
observamos que los resortes experimentarán el mismo desplazamiento, x, y que los
amortiguadores tendrán la misma velocidad relativa ẋ , donde x y ẋ indican el
desplazamiento y la velocidad, respectivamente, del centro de masa, G. Por
consiguiente, las fuerzas que actúan en los resortes (Fsi) y los amortiguadores (Fdi) se
expresan como
Sean Fs y Fd las fuerzas totales que actúan en todos los resortes y todos los
amortiguadores, respectivamente (vea la figura 1.45(d)). Por lo tanto, las ecuaciones
de equilibrio de fuerzas se expresan como

39. donde Fs + Fd = W, con W que indica la fuerza vertical total (incluida
la fuerza de inercia) que actúa en la fresadora. De acuerdo con la
ecuación 1.45(d), tenemos
La ecuación (E.2), junto con las ecuaciones (E.1) y (E.3) da por
resultado

40. Movimiento armónico
El movimiento oscilatorio puede repetirse con regularidad, como en el
caso de un péndulo simple, o desplegar una irregularidad considerable,
como en el caso del movimiento de la tierra en un sismo.
Si el movimiento se repite después de intervalos de tiempo iguales, se
llama movimiento periódico. El tipo más simple de movimiento periódico
es el movimiento armónico. El movimiento impartido a la masa m por el
mecanismo de yugo escocés que se muestra en la figura 1.46 es un
ejemplo de movimiento armónico simple [1.24, 1.34, 1.35].

41. En este sistema, una manivela de radio A gira alrededor del punto O. El
otro extremo de la manivela, P, se desliza en una barra ranurada, la cual se
mueve con un movimiento de vaivén en la guía vertical R. Cuando la
manivela gira a una velocidad angular v, el extremo S del eslabón
ranurado y por consiguiente la masa m del sistema de resorte y masa, se
desplazan de sus posiciones medias una distancia x (en el tiempo t) dada
por

42. Este movimiento se muestra por medio de la curva senoidal en la figura
1.46. La velocidad de la masa m en el instante t la da
y la aceleración

43. Este movimiento se muestra por medio de la curva senoidal en la figura
1.46. La velocidad de la masa m en el instante t la da
y la aceleración

44. Se ve que la aceleración es directamente proporcional al desplazamiento.
Una vibración como esa, con la aceleración proporcional al
desplazamiento y dirigida hacia la posición media, se conoce como
movimiento armónico simple. El movimiento dado por x = A cos vt es
otro ejemplo de movimiento armónico simple.
La figura 1.46 muestra con claridad la semejanza entre el
movimiento(armónico) cíclico y el movimiento sinodal.

46. y su proyección sobre el eje horizontal por
Como se vio antes, el método vectorial de representar el
movimiento armónico requiere la descripción de los componentes
horizontales y de los verticales. Es más práctico representar el
movimiento armónico por medio de números complejos. Cualquier
vector X: en el plano xy se puede representar como un número
complejo:

47. donde i = √-1 , y a y b indican los componentes x y y de X
, respectivamente (vea la figura 1.48). Los componentes a y b
también se conocen como partes real e imaginaria del vector X. Si A
indica el módulo o valor absoluto del vector X , y q representa el
argumento o ángulo entre el vector y el eje x, entonces X también
puede expresarse como