Se analizan los Métodos de Demostración Matemática y por Reducción al Absurdo, con resolución de ejemplos prácticos en los que se emplean ambos métodos. (Incluye vídeo de introducción).
2. DIFERENTES VÍAS DE RESOLUCIÓN
A la hora de intentar resolver un
problema matemático o de
demostrar un teorema, existen
diversos procedimientos utilizados
comúnmente en Matemáticas.
Prueba directa, reducción al absurdo,
inducción, analogía,…
Nos detendremos en los dos primeros
y utilizaremos ejemplos prácticos…
RESUELVE TU DUDA: Métodos de Demostración Matemática (I)
3. PRUEBA DIRECTA
Es el método generalmente empleado,
el más intuitivo.
Procedimiento:
1) Se parte de los datos del
problema.
2) Se aplican las reglas de la lógica
y la teoría desarrollada.
3) Tras un número finito de pasos
se llega a una solución o conclusión.
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4. PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:
Un hombre de 1,80 m. de estatura da la
vuelta alrededor del mundo, siempre
sobre el ecuador.
¿ HABRÁ RECORRIDO LA MISMA
DISTANCIA SU CABEZA QUE SUS PIES?
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5. PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:
Aún sin saber la respuesta, es bastante
obvio el camino a tomar:
Con los datos aportados, y a partir de
expresiones matemáticas ya demostradas,
calcularemos y obtendremos
DIRECTAMENTE una conclusión para el
problema propuesto.
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6. PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:
1) Datos:
ay
Tr
a
Tr
y
to
ec
ria
ri
cto
e
b
ca
eza
1,80 m.
s
p ie
a
RTierra
2-a) Teoremas
ya demostrados:
L circunferencia =2ΠR
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7. PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:
2-b) Inferencias lógicas:
R =R
R = R + Altura hombre
L = 2·Π·R = 2·Π·R
L = 2·Π·R = 2·Π·(R + 1,80)
Operamos:
L –L =2·Π·(R +1,80)-2·Π·R
=
=2·Π·R +2·Π·1,80-2·Π·R =
= 2·Π·1,80 = 11,31 m.
pies
Tierra
cab.
Tierra
pies
cab.
cab.
pies
cab.
pies
Tierra
Tierra
Tierra
Tierra
Tierra
Tierra
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8. PRUEBA DIRECTA – Ejemplo:
3) Conclusión:
- Por cada vuelta alrededor del mundo,
la cabeza recorre 11,31 m. más que los
pies.
- Este resultado es independiente del
radio del objeto alrededor del cual
efectuamos el giro.
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9. REDUCCIÓN AL ABSURDO
Cuando falla o no es obvia la Prueba
Directa, otro de los enfoques más
utilizados es la Reducción al Absurdo.
Procedimiento:
1) Suponemos que la proposición
inicial a demostrar es falsa.
2) Usamos inferencias lógicas.
3) Llegamos a una contradicción, lo
que demuestra la afirmación inicial.
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10. REDUCCIÓN AL ABSURDO – Ejemplo:
Si estimamos que en España hay una
población de 40 millones de habitantes y
sabiendo que en cada mm² de cuero
cabelludo hay 5 pelos, averiguar
(obviando las personas calvas) si habrá
dos españoles con el mismo número de
pelos.
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11. REDUCCIÓN AL ABSURDO – Ejemplo:
1) Proposición inicial falsa:
“No hay dos españoles con el mismo nº
de cabellos”.
2-a) Inferencias lógicas:
- Español nº 1 tiene 1 cabello.
- Español nº 2 tiene 2 cabellos.
………………………………………………
………………………………………………
- Español nº 40.000.000 tiene
40.000.000 de cabellos.
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12. REDUCCIÓN AL ABSURDO – Ejemplo:
2-b) Inferencias lógicas:
Si hay 5 pelos por cada mm², el cuero
cabelludo del español nº 40.000.000
debería ocupar, al menos, un área de:
40000000
________ = 8000000 mm² = 8 m²
5
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13. REDUCCIÓN AL ABSURDO – Ejemplo:
c) Contradicción lógica:
Es imposible que el cuero cabelludo de
un ser humano posea esa extensión.
Por tanto:
- Resulta FALSO que no haya dos
españoles con el mismo nº de cabellos.
- Es más, debe haber BASTANTES
compatriotas cuyo total sea el mismo.
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14. Video Youtube: COMO RESOLVER
UN PROBLEMA MATEMÁTICO
http://youtu.be/0KbITwsKdZI
