Breve reseña sobre las ecuaciones diferenciales en el siglo XVII

1. ECUACIONES DIFERENCIALES
SANDY HERNÁNDEZ
JESÚS MONTERROSA
KENIA SIERRA
BILMA MONTERROSA

2. Historia
• una ecuación diferencial, constituida por funciones y sus
derivadas, es una igualdad que se cumple sólo para las funciones
que son soluciones de la misma. Así, si tenemos f(x) = f'(x), la
solución será la función exponencial 𝑒 𝑥
, ya que es la única
función cuya derivada es igual a la función misma.
• En su origen, son ecuaciones íntimamente ligadas a la resolución
de cuestiones relacionadas con la física y con la geometría: las
leyes del movimiento planetario (en el que intervienen distancias,
velocidades y aceleraciones; o lo que es lo mismo, leyes de
posición y sus derivadas primeras y segundas en función del
tiempo); problemas relacionados con el equilibrio de un cable en
suspensión (catenaria); la trayectoria de caída en el menor
tiempo posible entre dos puntos dados (braquistocrona); o las
leyes de difusión del calor.

3. • La fascinación de matemáticos y físicos por este tipo de ecuaciones
fue debida tanto a su utilidad práctica, como a la dificultad de
encontrar soluciones analíticas en la inmensa mayoría de los casos:
cada nuevo problema resoluble analíticamente descubierto, adquiría
carta de naturaleza propia y notoriedad inmediata

4. • Las ecuaciones diferenciales ordinarias comienzan con el
nacimiento del cálculo de Isaac Newton (1643-1727) y Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes iniciaron el estudio del
problema inverso de la diferenciación: dada una relación entre
dos cantidades y sus diferenciales (o fluxiones), cómo encontrar
una relación entre las cantidades (o fluentes). Sin embargo, este
problema analítico de la integración de ecuaciones diferenciales
de primer orden corresponde a un problema geométrico
formulado con anterioridad: el método inverso de tangentes; esto
es, cómo encontrar una curva caracterizada por una propiedad
dada de sus tangentes.
• El estudio y resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales
tuvo un gran impulso con las ideas de LaGrange a quien se le debe
la aplicación del método de variación de parámetro a un sistema
de tres ecuaciones de segundo orden en 1808.
• Gottfried Wilhlm Leibniz, Jacob Bernoulli (1654-1705) y Johann
Bernoulli (1667-1748) llevaron hacia la integración (reducción a
cuadraturas) de ecuaciones diferenciales homogéneas y de
ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

5. • Varios problemas geométricos y mecánicos, provocaron que los
matemáticos comenzaran a pensar acerca de las ecuaciones diferenciales de
orden mayor que uno. Este es el caso de Jacopo Riccati (1676-1754) quien
presentó en 1723 la ecuación que lleva su nombre: x^m d^2 x=d^2 y+dy^2
resuelta por Daniel Bernoulli (1700-1782) y Leonhard Euler.
• Las bases de la teoría general de la ecuación diferencial lineal de orden n
con coeficientes variables fueron desarrolladas en 1765 por Joseph Louis
Lagrange (1736-1813) y Jean le Rond D'Alembert (1717-1783). Usando dos
métodos diferentes, mostraron que n integrales particulares de la ecuación
homogénea determinan la integral completa de la ecuación no homogénea
a través de n cuadraturas. En 1776, Lagrange nota que este resultado puede
también ser demostrado usando el método de variación de la constante,
que se convirtió en el método general más utilizado.
• En 1715, Brook Taylor (1685-1731) ya se había encontrado con una solución
en el caso de las ecuaciones de segundo grado, y notado su carácter
singular. En 1758, Euler enfatizó la paradoja dual de tales soluciones
singulares en el cálculo integral. Estas soluciones son obtenidas no por
integración, sino por diferenciación de ecuaciones diferenciales. A medida
que se comienzan a estudiar sistemas físicos más complejos, por ejemplo en
la astronomía, se requiere resolver sistemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias.

6. Otros matemáticos que hicieron aportes a la Teoría de las Ecuaciones Diferenciales
• Friedrich Bessel:
Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), alemán, hace aportes en astronomía,
calculó la órbita del cometa Halley; introdujo las funciones de Bessel y en 1817
estudió el trabajo de Kepler.
• Pafnuti Chebyshov
El ruso Pafnuti Liwovich Chebyshov (1821-1894) trabaja en teoría de números
(números primos), probabilidad, funciones ortogonales, polinomios de
Chebyshov.
• Alexis Clairaut
El francés Alexis Claude Clairaut (1713-1765) hace aportes a la geometría,
establece la ecuación de Clairaut y soluciones singulares (1734), astronomía, el
problema de los 3 cuerpos, calculó con precisión (1759) el perihelio del cometa
Halley.

7. • Peter Dirichlet
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859), alemán, hace aportes en teoría de
números, mecánica de fluidos, análisis matemático; estableció condiciones para la
convergencia de las series de Fourier.
• Joseph Fourier
El francés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) descubre las series de Fourier
en las investigaciones sobre el flujo de calor en 1822; acompañó a Napoleón en la
campaña de Egipto (1798).
• Ferdinand Frobenius
El alemán Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) estudia los métodos de series
para resolver ecuaciones diferenciales; aportes en álgebra y teoría de grupos.
• Karl Gauss
El alemán Karl Friedrich Gauss (1777-1855) fue uno de los grandes matemáticos
del siglo XIX. Hace aportes a la teoría de números, astronomía, electricidad y
magnetismo, óptica, geometría, ecuación hipergeométrica.

8. • George Green
El inglés George Green (1793-1841) hace aportes a la física matemática, óptica,
electricidad y magnetismo, originó el término “potencial”, función de Green.
• Oliver Heaviside
El inglés Oliver Heaviside (1850-1925) hace aportes al electromagnetismo, sugirió la
presencia de la capa atmosférica ahora llamada ionosfera; métodos operacionales
no rigurosos para resolver ecuaciones diferenciales.
• Charles Hermite
El francés Charles Hermite (1822-1901) estudia la teoría de números, prueba (1873)
la trascendencia del número e, funciones elípticas, álgebra, polinomios de Hermite.
• David Hilbert
Matemático alemán, David Hilbert (1862-1943) hace aportes al álgebra, ecuaciones
integrales, cálculo de variaciones, lógica, espacio de Hilbert, propuso muchos
problemas, algunos todavía sin solución.

9. • Christian Huygens
Matemático, astrónomo y físico holandés, Christian Huygens (1629-1695) estudia
vibraciones, óptica, teoría matemática de ondas. Construye un reloj de péndulo
basado en la cicloide (1673), astronomía.
• Johannes Kepler
El alemán Johannes Kepler (1571-1630) hace aportes a la geometría, especialmente
encontrando áreas que ayudaron a la formulación de sus 3 leyes del movimiento
planetario.
• Edmond Laguerre
El francés Edmond Laguerre (1834-1886) hace aportes al análisis matemático,
variable compleja, funciones analíticas, polinomios de Laguerre.
• Pierre de Laplace
El francés Pierre Simón de Laplace (1749-1827) hace aportes a la mecánica,
astronomía, ecuaciones diferenciales parciales, ecuación de Laplace descubierta
alrededor de 1787, probabilidad.

10. • Adrien Legendre
El francés Adrien Marie Legendre (1752-1833) hace aportes en teoría de números,
funciones elípticas, astronomía, geometría, funciones de Legendre.
• Joseph Liouville
El francés Joseph Liouville (1809-1882) estudia la teoría de números (números
trascendentes), variable compleja, problemas de Sturm-Liouville. Ecuaciones
integrales.
• Marc Parseval
El francés Marc Antoine Parseval (1755-1836) hace aportes al análisis matemático,
identidad de Parseval en conexión con la teoría de las series de Fourier.
• Charles Picard
El francés Charles Émile Picard (1856-1941) hace aportes a la geometría
algebraica, topología, variable compleja, método de Picard y teoremas de
existencia-unicidad para ecuaciones diferenciales.

11. • Simeón Poisson
El francés Simeón Denis Poisson (1781-1840) fue un físico matemático que hace aportes
a la electricidad y el magnetismo, ecuación de Poisson, fórmula de Poisson,
probabilidad, cálculo de variaciones, astronomía.
• Jacopo Riccati
El italiano Jacopo Francesco Riccati (1676-1754) hace aportes al análisis matemático,
ecuación de Riccati resuelta en 1723 por Daniel Bernoulli y otros miembros más jóvenes
de su familia.
• Bernhard Riemann
El alemán Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) fue uno de los más grandes
matemáticos del siglo XIX (alumno de Gauss, Jacobi y Dirichlet). Variable compleja,
geometría no euclidiana, funciones elípticas, ecuaciones diferenciales parciales. Fue
alumno de Gauss, y en noviembre de 1851 presentó su tesis doctoral: Bases de una
teoría general de funciones de variable compleja. i) Uno de sus artículos más
importantes fue: Sobre la Representabilidad de una función mediante una serie
trigonométrica.
• Olinde Rodríguez
Matemático francés, Olinde Rodríguez (1794-1851) hace aportes al análisis matemático,
fórmula de Rodríguez.

12. • Hermann Schwarz
El alemán Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) estudia cálculo de
variaciones, teoremas de existencia para ecuaciones diferenciales parciales,
desigualdad de Schwarz.
• Jacques Sturm
El suizo Jacques Charles François Sturm hace aportes al álgebra (número de
raíces reales de ecuaciones algebraicas), geometría, mecánica de fluidos,
acústica, problemas de Sturm-Liouville.
• Hoene Wronski
Matemático polaco, Josef Hoene-Wronski (1778-1853) estudia
determinantes, introduce el wronskiano, filosofía.

13. BIBLIOGRAFÍA
• Recuperado de:
https://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_las_ecuaciones_diferencial
es