Funciones . Gráficas

Funciones y Gráficas
Matemáticas
4º ESO

Recuerda
Ejes de coordenadas. Son dos
rectas perpendiculares que dividen al
plano en cuatro cuadrantes
Coordenadas de un punto. Todos los
puntos del plano tienen dos
coordenadas (x, y), la primera sobre el
eje OX, y la segunda sobre el eje OY.
Eje OX o de abcisas. Formado por los
puntos de la forma (x, 0).
Eje OY o de ordenadas. Formado por
los puntos de la forma (0, y).
Origen. Es el punto de coordenadas
(0,0)
Matemáticas 4º ESO
Juan Fernando López I.E.S. Ramón Llull
2

Tablas, gráficas y fórmulas
Las relaciones entre dos magnitudes se pueden expresar
mediante tablas, gráficas y fórmulas.
Horas Precio (€)
1ª hora 1
2ª, 3ª, 4ª horas 0,80
Siguientes horas 1,10
Tabla: aparcamiento
Gráfica
Fórmula
El área de un cuadrado de lado l
viene dada por A = l2
3

Idea de función
• Una función es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de
manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la
segunda, que se llama imagen o transformado.
• A las magnitudes que intervienen en un relación se les llama variables.
• Variable independiente. Es la que se fija previamente.
• Variable dependiente. Es la que se deduce de la variable independiente.
• Dominio. Conjunto de valores de la variable independiente.
• Recorrido. Conjunto de valores de la variable dependiente.
y = f(x)
Variable
independiente
Variable
dependiente
4

Representación gráfica de una función.
El precio del kilogramo de manzanas es de 1,60 €. Podemos construir
una tabla como la siguiente
Peso en kg 1 2 3 4 5
Precio en euros 1,60 3,20 ... ... ...
Al representar estos valores en
unos ejes coordenados obtenemos
un conjunto de puntos, que al ser
unidos (en este caso tiene sentido)
nos da la gráfica de la función
5

Continuidad y discontinuidad
Gráfica que expresa el número de
vendedores que tiene un gran almacén
según las horas del día.
Gráfica correspondiente a una etapa de
montaña de una vuelta ciclista.
• Una función es continua cuando a cualquier pequeña variación de la variable
independiente le corresponde una pequeña variación de la variable dependiente.
• Los puntos en los que la función efectúa un salto se llaman puntos de
discontinuidad
6

Variación de una función en un intervalo
Gráfica que muestra la temperatura de un enfermo a lo largo de un día:
Entre las 2h y las 7h la variación de la
temperatura ha sido:
f(7) – f(2) = 36º – 39º = – 3º < 0,
disminuye en 3º.
Entre las 10h y las 14h la variación de la
temperatura ha sido:
f(14) – f(10) = 40º – 38º = 2º < 0,
aumenta en 2º.
7

Tasa de variación
• La tasa de variación de una función es el aumento o disminución que
experimenta la función al pasar la variable independiente de un valor a otro.
• La tasa de variación entre x = a y x = b es f(b) – f(a)
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Crecimiento y decrecimiento de una función
A
•
B
•
C
•
D
•
E
•
La función crece: en la medida que
pasa el tiempo la temperatura
aumenta
La función decrece: en la
medida que pasa el tiempo la
temperatura disminuye
• Una función es creciente si para dos valores x y x' se verifica que
x < x'  f(x) < f(x')
• Una función es decreciente si para dos valores x y x' se verifica que
x < x'  f(x) > f(x')
9

Máximos y mínimos de una función
A
•
B
•
C
•
D
•
E
•
• Una función continua tiene un máximo en un punto si a la izquierda de ese
punto la función crece y a la derecha decrece.
• Una función continua tiene un mínimo en un punto si a la izquierda de ese
punto la función decrece y a la derecha crece.
• En un máximo absoluto la función toma el máximo valor posible y en un
mínimo absoluto la función toma el mínimo valor posible.
Mìnimo
absoluto
Máximo
absoluto
10

Simetría respecto al eje OX
Se va a estudiar la función dada por la fórmula y = x2
x ... –3 –2 –1 0 1 2 3 ...
y = f(x) = x2
... 9 4 1 0 1 4 9 ...
Tabla de valores
Gráfica
Se observa que:
f(–3) = 9 f(3) = 9
f(–2) = 4 f(2) = 4
f(–1) = 1 f(1) = 1
... ....
Una función f es simétrica respecto al eje de
ordenadas cuando, cualquiera que sea el valor
x de su dominio, se verifica que
f(–x) = f(x)
11

Simetría respecto al eje origen
Se va a estudiar la función dada por la fórmula y = x3
x ... –3 –2 –1 0 1 2 3 ...
y = f(x) = x3
... –27 –8 –1 0 1 8 27 ...
Tabla de valores
Gráfica
Se observa que:
f(–3) = –27 – f(3) = – 27
f(–2) = – 8 – f(2) = – 8
f(–1) = – 1 – f(1) = – 8
… ....
Una función f es simétrica respecto del origen
cuando, cualquiera que sea el valor x de su
dominio, se verifica que
f(–x) = – f(x)
12

13
Simetría func_par_impa_simetria.ggb

14
Simetría par func_simetrias.ggb

15
Simetría impar func_simetrias_impar.ggb

Periodicidad
Un tren de montaña hace un recorrido desde la base hasta la cima, se detiene y a
continuación desciende, volviendo a repetir el viaje cada 45 minutos. La siguiente
gráfica muestra la altura del tren durante una parte del día.
Una función f es periódica
cuando los valores que toma se
repiten cada cierto intervalo fijo,
que se llama período:
f(x + T) = f(x),
T es el período
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