Matemáticas Financieras. Teoría de rentas fraccionadas o no anuales.

1. TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS
Rentas Fraccionadas (teoría)
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Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz

2. VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS CONSTANTES
Una renta fraccionada se caracteriza porque sus términos tienen una periodicidad distinta del año,
ya sea superior o inferior al año.
aa aa a……………………….
0 1/k 2/k 3/k (k-1)/k 1 1+1)/k
……………………….aa aa a……………………….
0 1/k 2/k 3/k (k-1)/k 1 1+1)/k
……………………….
Cuando vamos a calcular el valor actual y el valor final de esta renta la podemos tratar de distintas
maneras, según sea el tipo de interés dado. En este curso solo estudiaremos estas rentas de la
forma más sencilla posible que consiste en simplificarlas todas rentas k-esimales.
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3. VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS CONSTANTES
La liquidación de los intereses tiene la misma periodicidad que la de los términos de la renta, es
decir, disponemos del tanto k-esimal, ik .
Su valor actual se calcula de manera similar a la renta anual constante:
Su valor final se calcula de manera similar a la renta anual constante:
k
kn
k
ink
i
i
aaaA k
⋅−
¬
+−
⋅=⋅=
)1(1
k
kn
k
ink
i
i
asaS k
1)1( −+
⋅=⋅=
⋅
¬
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4. VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS CONSTANTES
Si nos dan un tipo de interés k-esimal para una renta k-esimal…
Si nos dan un tipo de interés anual para una renta k-esimal…
k
kii )1()1( +=+
Si nos dan un tipo de interés k’-esimal para una renta k-esimal…
1)1(
'
' −+= k
k
kk ii
kinkaaA ¬⋅=
kinksaS ¬⋅=
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1)1(
1
−+= k
k ii
k
k
k
k ii )1()1( '
' +=+
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5. VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
A. Varían periodo k-esimal a periodo k-esimal en progresión aritmética
[ ]nk
ink
k
ink vnka
i
p
aaA kk
⋅−⋅+⋅= ¬¬
1
)1( −
+= kivsiendo
nnk
k iAiAS )1()1( +⋅=+⋅=
0 1 /k
a+(k-2)pa a+p a+2p
2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k
a+(nk-2)p
a+(nk-3)p
2/k 3/k k-1/k
a+(nk-1)p
n2
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6. VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
B. Son constantes periodo k-esimal y varían de año en año en progresión aritmética
0 1 /k
a a a+pa a a
2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k
a+(n-1)p
2/k 3/k k-1/k n2
a+p a+p a+p a+p a+(n-1)pa+2p
n-1
a+(n-2)p
Como no sabemos resolver este tipo de rentas, la convertimos en una renta anual, calculando el valor
final de cada renta k-esimal
0 1 /k
S1
2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k 2/k 3/k k-1/k n2 n-1
S2 Sn-1 Sn
Siendo, kiksaS ¬⋅=1
kikspaS ¬⋅+= )(2
kikspaS ¬⋅+= )2(3
kikn spnaS ¬⋅−+= ))1((
kiksaS ¬⋅=1
kk ikik spsaS ¬¬ ⋅+⋅=2
kk ikik spsaS ¬¬ ⋅+⋅= 23
kk ikikn spnsaS ¬¬ ⋅−+⋅= )1(
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7. VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
B. Son constantes periodo k-esimal y varían de año en año en progresión aritmética
Se parecen en algo las siguientes expresiones?
kiksaS ¬⋅=1
kk ikik spsaS ¬¬ ⋅+⋅=2
kk ikik spsaS ¬¬ ⋅+⋅= 23
kk ikikn spnsaS ¬¬ ⋅−+⋅= )1(
aS =1
paS +=2
paS 23 +=
pnaSn )1( −+=
Ambas son rentas variables en progresión aritmética…
La segunda es una RVPA de primer término “a” y factor “p”
La primera es una RVPA de primer término y factor
kiksa ¬⋅ kiksp ¬⋅
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8. VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
B. Son constantes periodo k-esimal y varían de año en año en progresión aritmética
Por tanto, el valor actual de la segunda será el valor actual de una renta anual variable en progresión
aritmética “tipo”
[ ]n
inin vna
i
p
aaA ⋅−⋅+⋅= ¬¬
Y el valor actual de la primera sería similar, pero para los valores descritos del primer término
y el factor
kiksa ¬⋅
kiksp ¬⋅
[ ]n
in
ik
inik vna
i
sp
asaA k
k
⋅−⋅
⋅
+⋅⋅= ¬
¬
¬¬
Sacando factor común, quedaría:kiks ¬
[ ] kik
n
inin svna
i
p
aaA ¬¬¬ ⋅








⋅−⋅+⋅=
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9. VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
B. Son constantes periodo k-esimal y varían de año en año en progresión aritmética
Por tanto, este tipo de rentas variables de año en año y constantes para cada periodo k-esimal se
resuelven en dos partes
1. COMO SI SE TRATARA DE UNA RENTA ANUAL VARIABLE EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2. COMO NO ES ANUAL SINO K-ESIMAL, SE CORRIGE
1
kikS ¬
2
[ ]n
inin vna
i
p
aaA ⋅−⋅+⋅= ¬¬
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10. VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
A. Varían periodo k-esimal a periodo k-esimal en progresión aritmética
0 1 /k
aqa aq aq
2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k
aqaq
2/k 3/k k-1/k
aq
n2
2 3
kn-3 kn-2 kn-1
1
1
−⋅
−⋅
⋅⋅
vq
vq
va
nknk
Siempre que 1≠⋅vq )1( kiq +≠
knva ⋅⋅⋅
Siempre que 1=⋅vq )1( kiq +=
=A
nnk
k iAiAS )1()1( +⋅=+⋅=
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11. VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
B. Son constantes periodo k-esimal y varían de año en año en progresión geométrica
0 1 /k
a a aqa a a
2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k 2/k 3/k k-1/k n2 n-1
Como no sabemos resolver este tipo de rentas, la convertimos en una renta anual, calculando el valor
final de cada renta k-esimal
0 1 /k
S1
2/k 3/k k-1/k 1 1 /k 2/k 3/k k-1/k 1 /k 2/k 3/k k-1/k n2 n-1
S2 Sn-1 Sn
Siendo, kiksaS ¬⋅=1
kiksqaS ¬⋅⋅=2
kiksqaS ¬⋅⋅= 2
3
kik
n
n sqaS ¬
−
⋅⋅= 1
aq aq aq aq aq aq aq
2 n-2 n-1
aq
n-1
aq
n-1
aq
n-1
kiksaS ¬⋅=1
qsaS kik ⋅⋅= ¬2
2
3 qsaS kik ⋅⋅= ¬
1−
¬ ⋅⋅= n
ikn qsaS k
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12. VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
B. Son constantes periodo k-esimal y varían de año en año en progresión geométrica
Se parecen en algo las siguientes expresiones?
Ambas son rentas variables en progresión geométrica…
La segunda es una RVPG de primer término “a” y factor “q”
La primera es una RVPG de primer término y factor “q”
kiksa ¬⋅
kiksaS ¬⋅=1
qsaS kik ⋅⋅= ¬2
2
3 qsaS kik ⋅⋅= ¬
1−
¬ ⋅⋅= n
ikn qsaS k
aS =1
qaS ⋅=2
2
3 qaS ⋅=
1−
⋅= n
n qaS
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13. VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
B. Son constantes periodo k-esimal y varían de año en año en progresión geométrica
Por tanto, el valor actual de la segunda será el valor actual de una renta anual variable en progresión
geométrica “tipo”
Y el valor actual de la primera sería similar, pero para los valores descritos del primer término
y el factor “q”
kiksa ¬⋅
1
1
−⋅
−⋅
⋅⋅
vq
vq
va
nn
Siempre que )1( iq +≠
Siempre que )1( iq +=
=A
Siempre que )1( iq +≠
Siempre que )1( iq +=
=A =A
1
1
−⋅
−⋅
⋅⋅ ¬
vq
vq
sva
nn
ik k
nvsa kik ⋅⋅⋅ ¬
kik
nn
s
vq
vq
va ¬⋅
−⋅
−⋅
⋅
1
1
kiksnva ¬⋅⋅⋅
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14. VALORACIÓN DE RENTAS FRACCIONADAS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
B. Son constantes periodo k-esimal y varían de año en año en progresión geométrica
Por tanto, este tipo de rentas variables de año en año y constantes para cada periodo k-esimal se
resuelven en dos partes
1. COMO SI SE TRATARA DE UNA RENTA ANUAL VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA
2. COMO NO ES ANUAL SINO K-ESIMAL, SE CORRIGE
1
1
−×
−×
××=
vq
vq
vaA
nn
1
kikS ¬
2
Siempre que )1( iq +≠
Siempre que )1( iq +=nvaA ××=
1
kikS ¬
2
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