Matemáticas Financieras. Vencimiento comun y medio

VENCIMIENTO COMUN
Y VENCIMIENTO MEDIO
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Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz

VENCIMIENTO COMUN Y MEDIO
Equivalencia de Capitales: Vencimiento Común y Vencimiento Medio
Tratamos de sustituir “n” capitales financieros (C1, t1), (C2, t2), ...... (Cn, tn) por un único capital financiero (C,t)
de tal manera que este último sea equivalente a todos los “n” capitales financieros iniciales.
Al nuevo Capital obtenido, C, se le denomina “Capital Único Equivalente”, y al momento de vencimiento “p” se le
llama “Vencimiento Común”.
t1 t2 t3 tn
C1 C2 C3 Cn
C
Situación Inicial
A
Situación Alternativa
B t

Sólo puedo cambiar una situación inicial, con varios capitales, por una situación alternativa, un solo
capital, cuando ambas opciones sean equivalentes
Es decir, sólo puedo sustituir la Situación A por la Situación B si son equivalentes
La Situación A será equivalente a la Situación B si, valoradas en el mismo momento, son iguales. Es
decir,
A (0) = B (0)
t1 t2 t3 tn-1 tn
C1 C2 C3 Cn-1 Cn
0
. . . .
Situación Inicial
A
B
t
C

Para llevar ambas situaciones al momento 0, debemos utilizar una ley de descuento simple. Hemos visto
dos leyes distintas, la Ley Financiera de Descuento Comercial y la Ley Financiera de Descuento
Racional, ¿cómo sabremos cuál utilizar?
Si el enunciado nos facilita una tasa de descuento, usaremos la LFDC: C0 =Cn (1- n d)
Entonces la equivalencia sería la siguiente:
Si el enunciado nos facilita un tipo de interés, usaremos la LFDR:
Entonces la equivalencia sería la siguiente:
C1 [1 – t1 d)] + C2 [1 – t2 d)] + ...+ Cn [1 – tn d)] = C [ 1- t d ]
Pudiendo ser la incógnita el vencimiento común (t), la cuantía del capital único (C) o el vencimiento o cuantía
de cualquiera de los capitales individuales.
in
C
C n
⋅+
=
1
0
it
C
it
C
it
C
it
C
n
n
⋅+
=
⋅+
++
⋅+
+
⋅+ 1111 2
2
1
1
L
Pudiendo ser también la incógnita el vencimiento común (t), la cuantía del capital único (C) o el vencimiento o
cuantía de cualquiera de los capitales individuales.

Si el Capital Único Equivalente (C) fuera la suma del resto de los capitales,
C = C1 + C2 + ... + Cn
Entonces, al vencimiento “t” lo denominamos Vencimiento Medio, y se expresaría
como sigue:
nn tCtCtCtC ⋅++⋅+⋅=⋅ L2211
Como podemos comprobar con el siguiente desarrollo:
C1 [1 – t1 d)] + C2 [1 – t2 d)] + ...+ Cn [1 – tn d)] = C [ 1- t d ]
C1 – C1 t1 d + C2 – C2 t2 d + ...+ Cn – Cn tn d = C - C t d
Reordenando,
C1 + C2 + ...+ Cn – C1 t1 d – C2 t2 d - ... – Cn tn d = C - C t d
C – d (C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn) = C - C t d
C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t

Despejando el valor de t,
C
tCtCtC
t nn ⋅+⋅+⋅
=
L2211
Que supone que el vencimiento del capital único se corresponde con la media aritmética ponderada de los
vencimientos de los capitales individuales. De ahí el nombre de VENCIMIENTO MEDIO
Una característica importante es que en el caso de vencimiento medio, éste no se ve modificado por el tipo
de interés o tipo de descuento de la operación, por lo que se trata de un dato irrelevante a efectos de
calcular el vencimiento medio

PROBLEMA 1:
Considere tres capitales de cuantías C1, C2 y C3 con vencimientos respectivos de t1, t2 y t3 trimestres. Se
desean sustituir estos capitales por una única entrega de cuantía C y vencimiento t meses.
a) Determine el vencimiento t, considerando que se opera a un tipo de descuento mensual d12
b) Determine la cuantía del segundo capital, C2, considerando que se opera a un tipo de interés anual i
c) Si suponemos que C1 + C2 + C3 = C, obtenga el vencimiento t3 del tercer capital

SOLUCION AL PROBLEMA 1:
a)
t1 t2 t3 trimestres
C1 C2 C3
0
. . . .
Situación Inicial
A
B
t meses
C
( ) ( ) ( )
12
123312221211 313131
1
d
C
dtCdtCdtC
t
⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅
−
=
Sólo puedo cambiar una situación inicial,
con varios capitales, por una situación
alternativa, un solo capital, cuando
ambas opciones sean equivalentes
Es decir, sólo puedo sustituir la
Situación A por la Situación B si son
equivalentes
La Situación A será equivalente a la
Situación B si, valoradas en el mismo
momento, son iguales. Es decir,
A (0) = B (0)
( ) ( ) ( ) ( )12123312221211 1313131 dtCdtCdtCdtC ⋅−⋅=⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅

b)
t1 t2 t3 trimestres
C1 C2 C3
0
. . . .
Situación Inicial
A
B
t meses
C
equivalentes
A (0) = B (0)






⋅+×












⋅+
−
⋅+
−
⋅+
= i
t
i
t
C
i
t
C
i
t
C
C
4
1
4
1
4
1
12
1
2
3
3
1
1
2
i
t
C
i
t
C
i
t
C
i
t
C
⋅+
=
⋅+
+
⋅+
+
⋅+
12
1
4
1
4
1
4
1 3
3
2
2
1
1

c)
t1 t2 t3 trimestres
C1 C2 C3
0
. . . .
Situación Inicial
A
B
t meses
C
Si C1 + C2 + C3 = C
Estamos ante Vencimiento Medio
3
2211
3
3
C
tCtC
t
C
t
⋅−⋅−⋅
=
C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t

PROBLEMA 2:
Debo pagar un capital de cuantía 23.000 euros dentro de 15 meses. Deseo sustituir ese pago por tres
capitales. Dos de 8.000 euros con vencimientos dentro de 4 meses y 10 meses respectivamente.
Calcule.
a) La cuantía del tercer capital, si vence dentro de 18 meses, utilizando un tipo de descuento
trimestral simple del 2%
b) La cuantía del tercer capital, si vence dentro de 18 meses, utilizando un tipo de interés anual
simple del 6%
c) Calcular el vencimiento del tercer capital si su importe asciende a 7.500 euros. Para un tipo de
descuento bimensual del 1%
d) Calcular el vencimiento del tercer capital si su importe asciende a 7.000 euros. ¿Qué tipo de
interés se ha utilizado?

a)
4 10 18 meses
8.000 8.000 C3
0
. .
. .
Situación Inicial
A
B
equivalentes
A (0) = B (0)
15 meses
23,000
23.000 [ 1- 15/3 0,02 ] = 8.000 [1 – 4/3 0,02)] + 8.000 [1 – 10/3 0,02)] + C3 [1 – 18/3 0,02)]
20.700,00 = 7.786,67 + 7.466,67 + C3 [0,88]
C3 = 6.189,39 Euros

b)
4 10 18 meses
8.000 8.000 C3
0
. .
. .
Situación Inicial
A
B
equivalentes
A (0) = B (0)
15 meses
23,000
23.000 / ( 1+ 15/12 0,06 ) = 8.000 / (1 + 4/12 0,06) + 8.000 / (1 + 10/12 0,06) + C3 / (1 + 18/12 0,06)]
21.395,35 = 7.843,14 + 7.619,05 + C3 / 1,09
C3 = 6.467,15 Euros

c)
4 10 t3 meses
8.000 8.000 7.500
0
. .
. .
Situación Inicial
A
B
equivalentes
A (0) = B (0)
15 meses
23,000
21.275 = 7.840 + 7.600 + 7.500 (1 - t3/2 0,01)
t3 = 44,4 meses (44 meses y 12 días)
23.000 (1- 15/2 0,01) = 8.000 (1 – 4/2 0,01) + 8.000 (1 – 10/2 0,01) + 7.500 (1 – t3/2 0,01)

d)
4 10 t3 meses
8.000 8.000 7.000
0
. .
. .
Situación Inicial
A
B
15 meses
23,000
t3 = 33,28 meses (33 meses y 9 días)
23.000 * 15 = 8.000 * 4 + 8.000 * 10 + 7.000 * t3
Si C1 + C2 + C3 = C
Es decir, 8.000 + 8.000 + 7.000 = 23.000
Estamos ante Vencimiento Medio
C1 t1 + C2 t2 + ... + Cn tn = C t

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