sumergida

Facilitador:
Ing. Juan Medina
Cátedra de Mecánica de Fluidos
Junio 2014
Departamento de Térmica y Energética
Universidad de Carabobo

Fuerzas Hidrostáticas sobre Superficies Sumergidas Facultad de Ingeniería - UC2
Repaso de Momentos de Inercia y de Área
Fuerzas Hidrostáticas sobre Superficies
Planas Sumergidas
Generación de Energía por Nivel de Marea
S1-2014
Momentos de Inercia y de Área
Baricentro y Centro de Gravedad
Producto de Inercia
Teorema de los Ejes Paralelos
El momento de inercia de un cuerpo es indicativo de la resistencia al giro
de dicho cuerpo respecto a un eje
Cuando consideramos el análisis físico de los cuerpos, es correcto hablar
del momento de inercia para representar la distribución de la masa de un
cuerpo en rotación respecto al eje de giro
Cuando consideramos el análisis geométrico de los cuerpos, es correcto
hablar del momento de área para representar la distribución del área de
una superficie en rotación respecto al eje de giro

Producto de Inercia
La posición del Baricentro de una superficie plana es una propiedad geométrica
importante. El Baricentro es un punto contenido en una superficie, tal que cualquier
recta que pasa por él divide a la superficie en dos partes de igual momento
respecto a dicha recta
El Baricentro coincide con el Centro de Gravedad de un cuerpo cuando éste es
homogéneo (distribución de densidad uniforme) ó posee propiedades de simetría.
Las coordenadas del baricentro corresponden al Primer Momento del Área
respecto de los ejes coordenados dividido entre el área total
  dxdydAA
S



 
dxdy
ydxdy
dA
ydA
yc



 
dxdy
xdxdy
dA
xdA
xc
Planas Sumergidas
S1-2014

Producto de Inercia
El Centro de Gravedad, a diferencia del Baricentro, es una propiedad física
relativa a la distribución de la masa del cuerpo
dxdydz
dxdydzr
dm
rdm
d
zyx
zyxzyx
CG



 
),,(
),,(),,(


Si la densidad del cuerpo es uniforme, puede demostrarse
cCG xx  cCG yy y a su vez
Planas Sumergidas
S1-2014

Producto de Inercia
Para áreas compuestas (por figuras simples), puede aplicarse el Teorema de
Varignon para hallar el Baricentro (y/o C.G.) de la figura compuesta

 
i
iic
tciicttc
A
Ax
xAxAx ,
,,,

 
i
iic
tciicttc
A
Ay
yAyAy ,
,,,
Figura Ci(x,y) Ai
),( 111 yxC
),( 222 yxC
1A
2A
Planas Sumergidas
S1-2014

Producto de Inercia
El momento de inercia refleja la distribución de la masa de un cuerpo respecto a un
eje de giro (resistencia a adquirir una aceleración angular)
El segundo momento de área de una superficie refleja la distribución del área de
la superficie respecto al eje de revolución
Una vez más, cuando el cuerpo es homogéneo (distribución de materia, densidad,
uniforme) los momentos de inercia y de área coinciden. Todos los momentos de
área se calculan respecto al eje centroidal
  dxdyydAyI xA
22
,   dxdyxdAxI yA
22
,
Si la densidad del cuerpo es uniforme, puede demostrarse
xxGxA III  ,, yyGyA III  ,,y a su vez
Planas Sumergidas
S1-2014

Producto de Inercia
Producto de Inercia
El producto de Inercia (de área) se obtiene como el producto cruzado de las
coordenadas por el diferencial de área. Cuando el área de una figura se encuentra
en más de un cuadrante del Sistema Coordenado Cartesiano (p.ej.), el signo del
producto de inercia dependerá de la distribución de área dentro de los cuadrantes
(si existe uno de los ejes coordenados es un eje de simetría, el producto de inercia
es nulo)
  xydxdyxydAIxy
Planas Sumergidas
S1-2014

Producto de Inercia
Para relacionar los momentos de inercia centroidales (obtenidos a partir de la
definición), con respecto a cualquier eje paralelo, simplemente se traslada la
coordenada respectiva en la definición
  dAddAydAdyIx
2
1
22
1)(
AdII xx
2
1
AdII yy
2
2
Planas Sumergidas
S1-2014

Centroides y Momentos de Inercia (Caraballo, 2010)
Producto de Inercia
Planas Sumergidas
S1-2014

Facultad de Ingeniería - UC10
Consideraciones generales para cálculo de Fuerzas Hidrostáticas sobre Placas Sumergidas
Consideraciones generales
Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante
Ubicación del Centro de Presión
Superficies Planas parcialmente sumergidas
Teorema de Varignon para Superficies sumergidas
en diferentes capas de fluidos
Considérese la superficie superior de una placa plana de manera arbitraria,
completamente sumergida como se observa en la figura.
La presión en la superficie libre del
fluido en el que se encuentra inmersa la
placa es la presión atmosférica local
Patm ó una presión cualquiera P0
La distribución de presiones sobre la
placa forma un Prisma de Presiones,
cuya altura se incrementa conforme
aumenta la profundidad en el fluido
(E.F.H.)
Aplicando la Ecuación Fundamental de la Hidrostática (variante de J. Foss), puede
obtenerse la presión absoluta para cualquier punto de la placa
 gySenpghpp  00
Fuerzas Hidrostáticas sobre Superficies Sumergidas
Planas Sumergidas
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Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante sobre Superficies Planas Sumergidas
La fuerza hidrostática resultante Fr que actúa sobre la superficie se determina
cuando se integra la fuerza PdA (según definición de presión) que actúa sobre un
diferencial de área dA sobre toda el área superficial
  dAgySenppdAFr )( 0 
 ydAgSenApFr 0
Nótese que el Primer Momento de Área está relacionado con la expresión integral
presente en la última ecuación


  dAyydA
dA
ydA
y cc
Planas Sumergidas
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Magnitud de la Fuerza de Empuje Resultante sobre Superficies Planas Sumergidas
Más sin embargo, de acuerdo a la posición de los ejes coordenados
)(0  SenygAApF cr 
Sustituyendo:
z
y
θ
cc hSeny 
Por tanto, se concluye
AghpF cr )( 0 
ApF cr 
La magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre una superficie plana de una placa
totalmente sumergida en un fluido homogéneo (de densidad constante) es igual al producto de
la presión Pc en el centroide de la superficie y el área A de ésta
Planas Sumergidas
S1-2014

Ubicación del Centro de Presión en Superficies Planas Sumergidas
El Centro de Presión de la Superficie y el Centroide de la misma están separados
una cierta distancia, para encontrar la ubicación del centro de presión puede
tomarse una sumatoria de momentos (Por Teorema de Varignon) desde el punto
de origen del sistema coordenado en la superficie
Es fácil percatarse de que, al existir un Prisma de Presiones, la presión resultante
proveniente de dicha distribución de presiones no necesariamente está ubicada en
el propio Centroide de la superficie sumergida
  dAgySenpyypdAFyM rpO )( 0 
  dAygSendAypFy rp
2
0 
Planas Sumergidas
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Nótese que el Primer y Segundo Momento de
Área están relacionados con la expresión
integral presente en la última ecuación
Simplificando
  dAygSenydApFy rp
2
0 


  dAyydA
dA
ydA
y cc  dAyIz
2
Sustituyendo y simplificando
gSenIAypFy Ozcrp ,0 
Donde el Segundo Momento de Área Iz está expresado desde el origen del
sistema de coordenadas yz, “O”
z
y
θ O
Planas Sumergidas
S1-2014

Para trasladar desde el punto “O” al eje del centroide, se utiliza el Teorema de los
Ejes Paralelos
gSenAyIAypFy czcrp )(
2
0 
AyII czOz
2
, 
Sustituyendo
Sustituyendo el valor de la Fuerza de Empuje resultante hallado con anterioridad
))(()(
2
00  gSenAyIAypASengypy czccp 
)()(
2
00 AgSenygSenIAypASengyApy czccp  
Planas Sumergidas
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Simplificando:
)()(
2
00 AgSenygSenIAypASengyApy czccp  
 gSenIAgSenyApyASengyApy zcccp  )()( 00
ASengyAp
gSenI
yy
c
z
cp




0
A
gSen
p
y
I
yy
c
z
cp
)( 0



Se obtiene:
Planas Sumergidas
S1-2014

A
gSen
p
y
I
yy
c
z
cp
)( 0


AghpF cr )( 0 
Si se trabaja con Presión manométrica (Patm = P0 = 0):
AghF cr 
Ay
I
yy
c
z
cp 
Nótese que poco importa la coordenada xp ó zp del centro de presión, debido a
que la distribución de presiones no varía en dirección horizontal
Planas Sumergidas
S1-2014

Superficies Planas Parcialmente Sumergidas
Mientras la altura en la cual sobresale la
superficie sumergida no sea significativa
(z<1km), podemos considerar la presión
atmosférica constante en toda la extensión de la
placa que sobresale de la superficie libre y
trabajar únicamente con la porción de la placa
sumergida
Superficies Parcialmente Sumergidas
Esto no ocurre si la superficie está sumergida en
un fluido, el cual se encuentra en un recipiente
con un gas presurizado (Pgas = Pman1)
Planas Sumergidas
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Teorema de Varignon para Superficies Sumergidas en diferentes capas de fluidos
Superficies Sumergidas en diferentes capas de fluidos
En este caso se trabaja cada
fluido de manera independiente
y luego se aplica una sumatoria
de fuerzas para hallar la fuerza
resultante. Posteriormente se
aplica el Teorema de Varignon
para hallar el momento
resultante producido por los
diferentes empujes y el centro
de presión total
 iriptrtp FyFy ,,,, irtr FF ,,
Planas Sumergidas
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La Tierra y las Mareas: Nivel de Marea
Nivel de Marea
Presión diferencial por Nivel de Marea
Planta Eléctrica de Marea
Estación La Rance - Francia
Planas Sumergidas
La Gravedad y las Mareas
La Ley de Gravitación Universal promulgada por Sir Isaac Newton establece la
fuerza que ejercen entre sí diferentes astros
𝐹 =
𝐺𝑀 𝑎𝑠𝑡𝑟𝑜1 𝑚 𝑎𝑠𝑡𝑟𝑜2
𝑅12
G: 6,674x10-11 m3/kgs2
Mastro1: Masa astro 1 (kg) (Masa sol: 1,99x1030 kg)
mastro2: Masa astro 2 (kg) (Masa tierra: 5,97x1024 kg)
R12: Distancia entre astros (m) (Dts = 1,496x1011 m)
Esta fuerza es una fuerza resultante total y tiene
igual magnitud y dirección en cada astro, p.ej. la
fuerza con la que el sol atrae a la tierra es la
misma con la que la tierra atrae al sol, la fuerza no
se traduce en iguales aceleraciones por la inercia
(masa) de cada astro
𝐹 = 3,543𝑥1022(𝑁)
𝑎 𝑇 = 0,0059(𝑚/𝑠2
) 𝑎 𝑆 = 1,78𝑥10−8
(𝑚/𝑠2
)>>
S1-2014

Nivel de Marea
Planas Sumergidas
Si bien la aseveración anterior aplica para
el cuerpo celeste “como un continuo”, la
tierra posee infinidad de “elementos o
cuerpos” sobre ella, cada uno de ellos
sujeto a la acción gravitacional del sol. Es
posible que dichos elementos se
encuentren a distancias ligeramente
diferentes del sol. Estas distancias
diferentes ocasionan variaciones o
“gradientes de gravedad” en la superficie
terrestre que terminan deformándola
Fuerza del sol sobre la tierra (como continuo)
Fuerza del sol sobre un objeto o cuerpo en la
superficie terrestre
Fuerza del sol sobre la superficie terrestre
𝑎 𝑇 =
𝐺𝑀𝑠𝑜𝑙
𝐷𝑡−𝑠 ± 𝑅𝑡
2
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Nivel de Marea
Planas Sumergidas
Descomponiendo el denominador en la expresión y aplicando desarrollo en serie
de McLaurin puede obtenerse la expresión para la aceleración “de marea”
(aceleración diferencial causada por la gravedad en diferentes puntos de la
superficie terrestre)
𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑒𝑎−𝑠𝑜𝑙−𝑡𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 = 2
𝐺𝑀𝑠 𝑅 𝑇
𝐷𝑡−𝑠
3
La aceleración de marea causada por el sol sobre la tierra es solamente poco
menos de la mitad que la causada por la luna, razón por la cual los efectos
gravitacionales de esta última sobre los fluidos más fácilmente deformables sobre
la superficie terrestre son más pronunciados (océanos). La luna ocasiona una
deformación sobre los cuerpos de agua terrestres a medida que la tierra rota,
produciendo marea alta (6pm-6am) y marea baja (6am-6pm)
𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑒𝑎−𝑙𝑢𝑛𝑎 = 2,2𝑎 𝑚𝑎𝑟𝑒𝑎−𝑠𝑜𝑙
S1-2014

Nivel de Marea
Planas Sumergidas
A medida que los cuerpos de agua se mueven cambia la
influencia gravitacional de la tierra sobre la luna y éstos obligan
a retrasar la rotación de esta, ocasionando un bloqueo de la
misma, razón por la cual siempre vemos la misma cara de la
luna
En luna nueva o luna llena, la luna y el sol se encuentran
alineados, de manera que las interacciones gravitacionales
actúan de manera conjunta axialmente ocasionando un mayor
incremento en las mareas oceánicas. En cuartos de luna, el sol y
la luna se encuentran en dirección 45°, minimizando el efecto de
la marea
Estos fenómenos han sido explicados desde hace varios siglos y
han permitido idear mecanismos de generación de energía que
aprovechan esta fuerza gravitacional
S1-2014

Presión Diferencial por Nivel de Marea
Nivel de Marea
Planas Sumergidas
Consideremos un manómetro diferencial entre
dos (2) recipientes, si la altura de presión de
fluido entre ambos es diferente de cero (0),
existe una presión diferencial entre ambos
recipientes
Este mismo principio se aplica para el caso
de los niveles de marea. Si logra conseguirse
una altura de presión diferencial (la cual está
apoyada por los efectos gravitacionales y las
mareas) podrá conseguirse una presión
diferencial aprovechable (para generar
energía)
S1-2014

Nivel de Marea
Planas Sumergidas
Una planta eléctrica de marea es una instalación (represa) capaz de
producir una altura de marea diferencial superior a 4,8m. Cuenta con una
exclusa, la cual se abre a nivel de marea alta oceánica para verter agua a
un estanque o bahía con menor nivel de altura de fluido o viceversa. El paso
del agua a través de la exclusa moviliza una turbina generadora
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Nivel de Marea
Planas Sumergidas
La estación La Rance es una planta eléctrica de marea
(una de las pocas a nivel mundial) ubicada en el río Rance,
en Bretaña/Francia
Posee 24 turbinas generadoras de 240 MW (para
referencia, Planta Centro en Morón posee 5 turbinas
generadoras con capacidad instalada de 2000 MW)
S1-2014

Nivel de Marea
Planas Sumergidas
El diseño de la represa está orientado de
manera tal que no solamente es capaz de
generar la suficiente altura de marea
diferencial para la generación eléctrica
requerida, sino que también debe ser capaz
de soportar/resistir dicha altura de presión
(diseño en condición de reposo, por placas
planas sumergidas)
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