1. Facultad de Ingeniería____________________________________________________ Cátedra: FISICA I
Unidad IX: Rotación de un sólido rígido
1
UNIDAD IX
ROTACION DE UN SÓLIDO RÍGIDO
MOMENTO DE INERCIA (“ESTATICA” de J.L. MERIAN de Ed. REVERTE)
INTRODUCCION:
Dos integrales que aparecen frecuentemente en Mecánica merecen una atención especial: una es la integral
del cuadrado de la distancia multiplicado por el área o superficie:
dsr2
y la otra es la integral del producto del cuadrado de la distancia por la masa: dmr2
.
Aún cuando estas integrales surgen de dos problemas totalmente diferentes desde el punto de vista físico, son
análogas desde un punto de vista matemático y conviene desarrollar sus propiedades simultáneamente.
Ambas integrales pertenecen al dominio de los momentos de inercia y veremos sus orígenes y propiedades.
1. MOMENTOS DE INERCIA DE SUPERFICIE: RECTANGULARES Y POLARES
Los momentos de inercia de superficie se presentan cuando se calculan momentos respecto de un eje, de
fuerzas que varían linealmente con la distancia al eje respecto del cual se toman los momentos.
En el diagrama puede verse el orígen físico de esta integral .
En la parte (a) de la figura se ha sometido a la
superficie ABCD a una presión P, distribuída,
cuya intensidad es proporcional a la distancia y
al eje BA (es la acción característica de la
presión de un líquido sobre una superficie plana) .
El momento respecto de BA debido a la
presión ejercida sobre el elemento de superficie dAes:
ydApdm .. pero ykp de donde dAkydm 2
Así aparece la integral en cuestión cuando se calcula
el momento total:
dAykdAykdmM 22
En la parte (b) puede verse la distribución de los esfuerzos
sobre una sección ABCD recta de una viga elástica simple,
curvada por pares (momentos) iguales y opuestos, aplicado en
sus extremos.
En toda la sección de la viga existe una distribución lineal de
la intensidad de la fuerza o esfuerzo, dada por la expresión
yk . El momento elemental respecto del eje O-O es:
dAykydAykydAdm 2
Así también aparece la integral al calcular el momento total:
dAykdAykdmM 22
2. Facultad de Ingeniería____________________________________________________ Cátedra: FISICA I
Unidad IX: Rotación de un sólido rígido
2
En la parte (c) vemos un ejemplo de un árbol cilíndrico sometido a un momento
de torsión ; en cada sección recta del árbol se opone una resistencia a ese
momento torsor, debido a una distribución de los esfuerzos tangenciales o de
corte que, dentro de los límites de elasticidad del material, es proporcional a la
distancia radial r al eje del árbol. Así, rk y el momento será:
dArM = dArkdArrk 2
dArkM 2
Este caso ( c ) difiere de los anteriores (a) y (b) en que la superficie de la
integral es normal al eje de momentos, en vez de paralela a dicho eje como en (a) y (b)
y también difiere en que r es una coordenada radial en lugar de una coordenada cartesiana
La integral que acabamos de ver ( dAryAdy 22
) recibe el nombre de momento de inercia de
superficie respecto del eje en cuestión. Una expresión más ajustada sería “segundo momento de superficie”
puesto que el “primer momento” de superficie ( dAy ) vuelve a multiplicarse por el brazo de momento (y)
para obtener el resultado para el elemento dA .
La palabra “inercia” aparece en la terminología a causa de la similitud entre la forma de las integrales (la
forma matemática) para los segundos momentos de superficie y las integrales correspondientes a los
momentos resultantes de las llamadas Fuerzas de Inercia, en caso de los cuerpos giratorios.
El momento de inercia de una superficie es una propiedad puramente matemática de la superficie y no tiene
en sí, ningún significado físico, pero dá una medida de la distribución de la superficie o área respecto del eje
en cuestión . (ver”radio de giro” pag 302 - “ESTATICA deMERIAN, J. Ed Reverte)
2. MOMENTO DE INERCIA DE MASAS
MOMENTO DE INERCIA RESPECTO DE UN EJE
El segundo tipo de integral que veremos tiene la forma del cuadrado de una distancia por la masa. Esta
integral es una medida de la resistencia inercial de un cuerpo a una aceleración rotatoria, tiene pués un
significado físico.
Si tengo un cuerpo de masa m y lo hago girar alrededor del eje O-O con una aceleración angular cte un
elemento de masa dm tiene una componente de su aceleración tangencial igual a :
ot tra y la fuerza tangencial será: dmrF ..
El momento de esa fuerza con respecto al eje O-O es:
FF mddmrrdmrrFmd ...... 2
y el momento total de todas las fuerzas extendidas a todos los elementos
dm el módulo será
dmrdmrmdM F ... 22
porque en un sólido rígido
es igual para todos los dm
3. Facultad de Ingeniería____________________________________________________ Cátedra: FISICA I
Unidad IX: Rotación de un sólido rígido
3
dmrM 2
A la integral dmr2
se le dá el nombre de momento de inercia I.
dmrI 2
Por lo tanto IM . fórmula fundamental de los movimientos de rotación
dmr
M
I
M
2
la aceleración es inversamente proporcional a la masa del cuerpo.
Esta integral I representa una importantísima propiedad del cuerpo y figura en el análisis de las fuerzas de
todo cuerpo animado de movimiento de rotación acelerado.
Al igual que la masa (m) es una medida de la resistencia a la aceleración en un movimiento de traslación
).(
m
F
aamF el momento de inercia (I) es una medida de la resistencia a la aceleración en un
movimiento de rotación (
I
M
) resistencia debida a la masa o inercia del cuerpo.
Significado físico del momento de inercia de masa
Siendo la inercia una propiedad intrínseca de la materia que le permite permanecer en reposo o en
movimiento rectilíneo y uniforme siempre que una fuerza no actúe sobre el cuerpo, los conceptos de
“inercia” y “masa” pueden considerarse sinónimos:
“Inercia” será el aspecto cualitativo de la propiedad
“Masa” será el aspecto cuantitativo de la propiedad
y “momento” (momentum quiere decir “importancia”) por lo tanto, momento de inercia quiere decir
“importancia que adquiere la masa en un movimiento de rotación del cuerpo alrededor de un eje”
(importancia para resistir el cambio de aceleración) (de = 0 si está en reposo o de disminución o aumento
de si está en un movimiento de rotación) esa importancia varía con la distancia a la que está colocada la
masa con respecto al eje de rotación. Por lo tanto, también se lo puede definir al I como la “importancia que
adquiere la masa, al ser colocada en distintas posiciones, para resistir los esfuerzos de rotación a los que
se la somete”.
El momento de inercia de un sólido es una medida de la resistencia que opone todo cuerpo a ponerse en
movimiento de rotación o a cambiar de velocidad angular (o sea, es una resistencia al cambio de
aceleración).
MOMENTO CENTRÍFUGO; MOMENTOS DE INERCIA CON RESPECTO A UN EJE Y
MOMENTO POLAR CON RESPECTO A UN PUNTO.
Sea un conjunto discreto de masas “m” con su centro de
masas en G.
Consideramos los ejes (x-x) e (y-y) y los ejes (x’-x’) e (y’-
y’), paralelos a los anteriores y que pasan por el centro de
masas G; a y b son las distancias entre ellos.
Consideremos una masa cualquiera, como la “mi” de la
figura con sus coordenadas respecto a los ejes
mencionados (xi) con respecto a (x) y (x’i) con respecto a
(x’) y (yi ) con respecto a (y) y también (y’i)con respecto al
eje (y’).
mi
G
yi
ri
b
y y'
x x
x'x'
a
O
xi
x'i
y'i
y
y'
