Tema vii metodos de resolucion de las ecuaciones diferenciales ordinarias uney

PROFESOR: JULIO C BARRETO G MATEMÁTICA I
PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN
INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL
TEMA VII: ECUACIONES DIFERENCIALES
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
FORMA DIFERENCIAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
La forma diferencial de una ecuación diferencial, de primer orden es:
    0,,  dyyxNdxyxM
Por ejemplo:
1) 02
1
dydxxy
2)   0422
 dyydxx
3) 0
1
11



dy
x
dxex
y
4)     0 dyyxdxxy
FORMA ESTÁNDAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
La forma diferencial de una ecuación diferencial, de primer orden es:
 yxf
dx
dy
,
Por ejemplo:
yx
yx
dx
dy



2

PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMÁTICA I
En donde la función de dos variables es   .,
2
yx
yx
yxf



CAMBIOS DE FORMA ESTÁNDAR A FORMA DIFERENCIAL Y VICEVERSA
DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL
Una ecuación diferencial en la forma estándar se puede escribir en la forma
diferencial y una ecuación en la forma diferencial se puede escribir en la forma estándar.
Por ejemplo:
1) Dada la ecuación en forma estándar ,
2
yx
yx
dx
dy


 escribirla en forma diferencial.
SOLUCIÓN:
   
    02
2
2





dxyxdyyx
dxyxdyyx
yx
yx
dx
dy
2) Dada la ecuación diferencial   ,0422
 dyydxx escribirla en forma estándar.
SOLUCIÓN:
   
 4
404
2
2
2222



y
x
dx
dy
dxxdyydyydxx

MÉTODO DE VARIABLE SEPARABLE
Una ecuación diferencial, de primer orden, es separable si tiene la forma
    ,0 dyyBdxxA donde  xA depende solo de x y  yB depende solo de ,y o si
es posible conseguir una expresión D (que dependa de ,x de y o de ambas) tal que al
multiplicarla por la ecuación diferencial dada se obtenga una ecuación diferencial de la
forma:
    (I)0 dyyBdxxA
EJEMPLOS:
1) 02
 dyysenxdx es separable ya que tiene la forma:
    .0 dyyBdxxA
Con   senxxA  y   .2
yyB 
2) 0
1
 ydydx
x
es separable ya que tiene la forma:
    .0 dyyBdxxA
Con  
x
xA
1
 y   .yyB 
3)    011 22
 xdydxxy no tiene la forma:
    .0 dyyBdxxA
Sin embargo si multiplicamos por
 1
1
2
yx
obtenemos la ecuación diferencial:

0
1
11
2
2




dy
y
dx
x
x
Que tiene la forma     .0 dyyBdxxA
Con  
x
x
xA
12

 y   .
1
1
2


y
yB Por tanto la ecuación diferencial
   011 22
 xdydxxy es separable
.
4)     01  dyedxxysen xy
no es separable ya que no tiene la forma
    ,0 dyyBdxxA y es imposible conseguir una expresión tal que al
multiplicarla por la ecuación diferencial se convierta a dicha forma.
SOLUCIÓN GENERAL DE ESTA ECUACIÓN DIFERENCIAL
La solución general de la ecuación diferencial separable de primer orden
    0 dyyBdxxA es
    (I)cdyyBdxxA  
Donde c es una constante arbitraria.
PROBLEMAS CON VALOR INICIAL
La solución del problema de valor inicial     ,0 dyyBdxxA   00 yxy 
puede obtenerse usando  I y después aplicar las condiciones iniciales para calcular
.c Como alternativa la solución puede obtenerse de
    )(0
00
IIdyyBdxxA
y
y
x
x
 

EJEMPLOS:
1. Resolver .02
 dyyxdx
SOLUCIÓN:
02
 dyyxdx es separable ya que tiene la forma:     .0 dyyBdxxA
Con   xxA  y   .2
yyB 
Luego la solución general de la ecuación diferencial es dada por  I :
 
3
2
32
32
2
2
3
32
32
yc
x
y
c
x
c
yx
cdyyxdx









 
yk
x
yc
x














3
2
3
2
2
3
3
2
3

2. Resolver .1 2x
ey 
SOLUCIÓN:
Sea ,1 2x
e
dx
dy
 luego pasando a forma diferencial tenemos:
    011 22
 dydxedxedy xx
La cual es una ecuación diferencial separable ya que tiene la forma:
    .0 dyyBdxxA
Con   x
exA 2
1 y   .1yB
Ahora según  I :
   
cexy
cyex
cdydxe
x
x
x


 
2
2
2
2
1
2
1
11
PRUEBA:
    xx
eycexy 22
1
2
1





Usando criterios o tabla de derivadas.

DEFINICIÓN EQUIVALENTE: Sea  
h(x)g(y)
y,xf
dx
dy
 una ecuación diferencial de
dada en forma estándar, esta es de variable separable si la función  yxf , se puede
escribir como el producto de dos funciones    ,ygxh  entonces:
 Idxxh
yg
dy
)(
)(  
EJERCICIOS:
1. Probar que la ecuación diferencial
1
2
2



y
xyx
dx
dy
tiene la solución implícita
c
x
yy
y

2
)2ln(562
2
22
. Hallar una solución separando variables y
comparar las soluciones.
2. Resolver   02 324
 
dyeydxxy x
SOLUCIÓN: c
yy
exe xx
 3
33
3
21
9
1
3
1
3. Resolver   21;
3
4



 y
x
x
dx
dy
SOLUCIÓN:
3
2
ln1


x
xy
SOLUCIONES DE UNA ECUACION DIFERENCIAL
En una ecuación diferencial, la incógnita no es un número, sino una función del tipo
 .xfy 
Hallar todas las funciones que satisfacen una determinada ecuación diferencial,
significa resolver la misma. Todas estas funciones que la satisfacen reciben el nombre de
SOLUCIONES o INTEGRALES.

Toda ecuación diferencial admite, en general, infinitas soluciones, cuyas gráficas se
llaman CURVAS INTEGRALES.
EJEMPLO:
Sea la ecuación x
dx
dy
 separando variables tenemos que xdxdy  e integrando
cxdxdy   nos queda que c
x
y 
2
2
donde c es una constante arbitraria.
Esta solución representa la ecuación de una FAMILIA o HAZ DE CURVAS, cada
una de las cuales puede determinarse fijando el correspondiente valor de .c Es decir, por
cada punto del plano en que  xfy  cumple ciertas condiciones impuestas, pasa una, y
solamente una curva que satisface a la ecuación diferencial.
Toda expresión que satisface a la ecuación diferencial, cualquiera sea el valor de la
constante c se llama SOLUCION GENERAL de la ecuación.
Si fijado cualquier punto  00, yxP por el que debe pasar necesariamente la
solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de ,c y por lo tanto de la curva
integral correspondiente; que satisface la ecuación; esta recibirá el nombre de SOLUCION
PARTICULAR de la ecuación.
En este caso el punto  00, yxP recibe el nombre de CONDICION INICIAL y
supone el conocimiento previo de un punto de la solución, que generalmente se obtiene
experimentalmente.
Además de las soluciones generales y particulares, existen las llamadas
SOLUCIONES SINGULARES que se estudiaran en detalle más adelante.
En el ejemplo dado x
dx
dy
 la solución general era c
x
y 
2
2
y supongamos que
experimentalmente se determino que un punto de la curva era  .5,2P O sea que la curva
que pasa por ese punto es la que corresponde a la condición inicial .5,2  yx

Reemplazando estos valores se determina el valor de .c c
2
2
5
2
de donde nos
queda que 325,25  cc y luego reemplazando el valor de c en la solución
general se tiene: 3
2
2

x
y que es una solución particular.
EJEMPLO DE APLICACIÓN
Hallar la ecuación de la familia de curvas tales que, en todo punto, la subnormal ns
tiene valor constante .p
Como
y
S
=
HP
HN
tg = n
y como
dx
dy
tg = entonces tenemos que
y
S
=
dx
dy n
de
ocurre que n= S
dx
dy
y y como ,pSn  entonces (1).= p
dx
dy
y
Luego la ecuación diferencial será = pyy  separando las variables en (1) es:
ydy= p dxy que integrando cp dx=ydy  nos da ,
2
2
c= px
y
 luego
,2222
Cpxcpx=y  que corresponde a todas las parábolas del eje x con parámetro
.p

MÉTODO DE LAS ECUACIONES EXACTAS
Una ecuación diferencial, de primer orden, en la forma diferencial es exacta si:
x
N
y
M





En otras palabras, una ecuación diferencial de la forma diferencial:
    (II)0,,  dyyxNdxyxM
Se llama EXACTA si el primer miembro es exactamente la diferencial total de una
función de dos variables, es decir, si existe una función  yxU , cuya diferencial:
   dyyxNdxyxMdy
y
U
dx
x
U
dU ,,0. 






Hallada la función  yxU , la ecuación toma la forma   0, yxdU implica que
  ., cyxU 
Por ejemplo la ecuación 022
 xydydxy es exacta ya que puede escribirse
  0, 2
yxd cuya solución es .02
xy
Dada una ecuación de la forma (II) se presentan los siguientes problemas:
a) Reconocer si es exacta, es decir si U existe.
b) En caso afirmativo, hallar  ., yxU
Veremos para a) que condiciones deben cumplir M y .N Si la ecuación es exacta.

CONDICION DE SIMETRÍA
;
x
U
M



y
U
N


 derivando la primera expresión respecto de y con la segunda
respecto de x ;
2
yx
U
y
M





xy
U
x
N




 2
de donde .
x
N
y
M





b) Para determinar U procedemos de la siguiente manera:
Por ser  yxM
x
U
,


entonces integrando tenemos que
     y+dxx,yMyxU  , ya que al integrar la constante de integración puede ser
una función de y . Derivamos U respecto de y para poder determinar el valor de  y
luego:
    y+P(x,y)dx
y
y+P(x,y)dx
y
M
y
U










De donde
 

 dxyxM
y
Ny ,)´( (III)
Como el primer miembro solo depende de y , esto es posible solamente si el segundo
miembro no depende de x y ello ocurre por la condición de simetría, para comprobación
derivamos el segundo miembro respecto de x
 
  0,
,























y
M
x
N
dxyxM
xyx
N
dxyxM
yxx
N

Lo que nos indica que el segundo miembro no dependía de x .
De (III) se obtiene  y y reemplazando este valor en
     y+dxx,yMyxU  , se obtiene el valor de U que igualada a una constante
nos da la solución general de la ecuación exacta.
EJEMPLOS:
1. La ecuación diferencial   03 32
 dyxyydxx con   yxyxM 2
3,  y
  3
, xyyxN  cumple que:
     222
3133 xxy
y
x
y
M






     223
330 xxx
x
y
xx
N









Así tenemos que
x
N
x
y
M




 2
3
Por tanto la ecuación diferencial es exacta.
2. La ecuación diferencial 05 2
 ydyxxydx con   xyyxM 5,  y
  yxyxN 2
,  cumple que:
     xxy
y
x
y
M
5155 





   xyxyx
x
y
x
N
222






Así tenemos que

x
N
xyx
y
M





25
Por tanto la ecuación diferencial no es exacta.
Una ecuación diferencial     0,,  dyyxNdxyxM es exacta si existe una
función  yxg , tal que:
   
   
  )(,
)(
,
,
)(
,
,
IIIcyxg
II
y
yxg
yxN
I
x
yxg
yxM







El método para resolver las ecuaciones diferenciales exactas consiste en conseguir la
función  yxg , que satisfaga las condiciones    III , y  .III
Para conseguir la función  yxg , integramos  I respecto a ,x manteniendo a y
como constante o integramos  II respecto a ,y manteniendo a x como constante.
Veamos el siguiente ejemplo: Resolver     0346524 2
 dyyxydxxy
SOLUCIÓN:
Sean   524,  xyyxM y   2
346, yxyyxN  .

Luego, como:
       404524 











y
x
y
y
yy
M
       4040346 2












y
x
x
x
y
xx
N
Es decir:
x
N
y
M





4
Entonces la ecuación diferencial es exacta. Hagamos:
 
 
  )(,
)(
,
346
)(
,
524
2
IIIcyxg
II
y
yxg
yxy
I
x
yxg
xy







Ahora, integrando  I con respecto a x (manteniendo a y como constante) se
tiene que:
   
 
   
 




dxxdxdxyx,yg
dxxdxydxx,yg
dxxyx,yg
524
524
524

   
     IVyhxxxyx,yg
yhx
x
xyx,yg
54
5
2
24
2
2


Donde  yh corresponde a la constante de integración, que en este caso puede
depender de la variable ,y que se mantuvo constante.
Derivando  IV con respecto a ,y se tiene que:
    
          
      
      Vyh
dy
d
x
y
x,yg
yh
dy
d
y
y
x
y
x,yg
yh
y
x
y
x
y
xy
yy
x,yg
yhxxxy
yy
x,yg
4
004
54
54
2
2





























Sustituyendo  II en  V tenemos que:
   2
3464 yxyyh
dy
d
x 
Con lo cual
   xyxyyh
dy
d
4346 2


   2
36 yyyh
dy
d

   
   
 
 
   VIcyyyh
c
yy
yh
dyyydyyh
dyyyydh
dyyyydh
3
3
3
2
6
36
36
36
1
32
1
32
2
2
2





 

Sustituyendo  III y  VI en  IV se tiene que:
354 1
322
cyyxxxyc 
De aquí que:
354 322
yyxxxyk 
Es solución de la ecuación diferencial dada.
EJERCICIO:
Probarlo

EJERCICIOS:
1. Resolver       02cos2cos 22
 dyyxyxxedxxyye yy
SOLUCIÓN:   kyxysene y
 22
2. Resolver       20;01cos 22
 ydyxydxxyxsenx
SOLUCIÓN:   41 222
 xsenyxy
MÉTODO PARA ECUACIONES HOMOGÉNEAS
Una ecuación diferencial, de primer orden, en la forma estándar es homogénea si:
    Rtyxftytxf  ,,
ECUACIONES HOMOGÉNEAS DE GRADO n
Una función  x,yz= f se llama HOMOGENEA DE GRADO “n” si al
multiplicar ambas variables por “t ” la función queda multiplicada por
n
t o sea:
   yxfttx,tyz= f n
,
Las funciones   ,x .y= xx,yf 23
  
yx
=x,yg

1
son homogéneas de grado 3
y -1.
En efecto,

       
     yxftxyxtxytx= ttx,tyf
ytxtxtty.txtx=tx,tyf
,32332333
223323


Además,
 
   
 
 
   yxftyxf
tyxtyxt
=tx,tyf
tytxtytx
=tx,tyf
,,
1111
11
1







Toda función del cociente
x
y
es homogénea de grado cero en x e :y


















x
y
ft
tx
ty
= f
x
y
f 0
DEFINICIÓN Una ecuación diferencial de primer orden y primer grado se llama
HOMOGENEA en x e y si se puede llevar a la forma 






x
y
f
dx
dy
con segundo
miembro función de
x
y
ó sea función homogénea de grado cero en x e .y
Esta ecuación se puede transformar en otra de variables separables haciendo la
siguiente sustitución:
v
x
y
 tenemos que xvy  y derivando con respecto a x nos queda que
dx
dv
xv
dx
dv
xv
dx
dv
x
dx
dx
v
dx
dy
..1.  pero 






x
y
f
dx
dy
luego
)(. vf
x
y
f
dx
dv
xv 





 que pueden separarse las variables:

vvf
dx
dv
x  )(. o bien
x
dx
vvf
dv

)(
Integrando ambos miembros será:
 
    CxvH
x
dx
vvf
dv

  ln
Haciendo  CC ln tenemos que       






C
x
CxvH lnlnln
Luego
 vH
e
C
x

Por tanto despejando y devolviendo el cambio de variable:






 x
y
H
Cex
A veces se podrá despejar y como función de x , o bien, x como función de y .
EJEMPLOS:
1. Sea
x
xy
y

 luego tomamos la función
 
x
xy
yxf

,
Ahora bien, como

 
   
 
   yxftytxf
x
xy
tytxf
tx
xyt
tytxf
tx
txty
tytxf
,,
,
,
,







Tenemos que la ecuación diferencial es homogénea.
2. Sea ,
2
22








y
x
senyx
xye
y
y
x
tomando la función
 








y
x
senyx
xye
yxf
y
x
22
2
,
Ahora bien, como
    
   
 
















y
x
senytxt
xyet
tytxf
ty
tx
sentytx
etytx
tytxf
y
x
ty
tx
2222
2
22
2
,
2
,

 














y
x
senyxt
xyet
tytxf
y
x
222
2
2
,
 
   yxftytxf
y
x
senyx
xye
tytxf
y
x
,,
2
,
22









Tenemos que la ecuación diferencial es homogénea.
3. Sea 2
2
x
yx
y

 luego tomamos la función   2
2
,
x
yx
yxf


Ahora bien, como
   
 
 
   
  2
2
22
2
22
22
2
2
,
,
,
,
tx
ytx
tytxf
xt
ytxt
tytxf
xt
tyxt
tytxf
tx
tytx
tytxf









   yxftytxf ,, 
Tenemos que la ecuación diferencial no es homogénea.
OBSERVACIÓN: Únicamente en el contexto de las ecuaciones diferenciales de
primer orden la palabra homogénea tiene el significado definido anteriormente, ya que este
término tiene un significado completamente distinto en la estructura general de las
ecuaciones diferenciales.
Para resolver las ecuaciones diferenciales de primer orden homogéneas se sustituye
xvy  y su correspondiente derivada:
dx
dv
xv
dx
dy

Cuando al aplicar este método las integrales resultantes son muy complejas se aplica
el método alterno.
MÉTODO ALTERNO DE SOLUCIÓN
En este caso se transforma la ecuación diferencial en
 yxfdy
dx
,
1

Y se sustituye yux  y su correspondiente derivada:
dy
du
yu
dy
dx

EJEMPLO: Resolver
x
xy
y


SOLUCIÓN:

Como ya probamos que la ecuación diferencial es homogénea sustituimos xvy  y
su correspondiente derivada:
dx
dv
xv
dx
dy
y 
Y tenemos que:
 
x
vx
dx
dv
xv
x
xxv
dx
dv
xv
1



0
1
1
1
1




dvdx
x
dx
x
dv
dx
dv
x
v
dx
dv
xv
Ahora, aplicando la solución a esta ecuación diferencial separable tenemos:
cdvdx
x
 
1

kxv
-ckkxv
cvx
ln
lndondelnln
ln



Y como xvy  entonces
x
y
v  y así:
kxxy
kx
x
y
ln
ln


EJERCICIO: Comprobar
EJERCICIOS:
1. Resolver     0222
 dyxyxdxyx
SOLUCIÓN:   kyxex
y
2

2. Resolver


























2
2
2
2
2
2
222
2
2
y
x
y
x
y
x
exeyy
xye
y
SOLUCIÓN: cey y
x

















2
2
1

MÉTODO DEL FACTOR INTEGRANTE
Se tiene una EDO que no es exacta, pero al multiplicarla por una función determinada
se convierte en exacta.
EJEMPLO:
Sea la ecuación diferencial ordinaria
    0cos3 43
 dyyxdxsenyxx
Tenemos que:
 yx
y
M
cos3 3



yx
x
N
cos4 3



No es exacta pues ,
x
N
y
M





pero al multiplicarla por la función
x
1
resulta:
    0cos
1
3
1 43
 dyyx
x
dxsenyxx
x
    0cos31 32
 dyyxdxsenyx
Y tenemos que:

yx
y
M
cos3 2




 yx
x
N
cos3 2



Que ya se convierte en exacta y se resuelve por el método estudiado anteriormente. El
problema consiste en encontrar la función que al multiplicar la EDO no exacta por ella se
transforma en una exacta. Denotemos la función buscada por  y multipliquemos la EDO
por ella:
0),(),(  dyyxNdxyxM 
Para que sea exacta debe cumplir:
dx
N
y
M  



x
N
N
xy
M
M
y 














Supongamos primero que )(x sólo depende de x.
x
N
N
xy
M








 


Factorizando )(x
N
x
N
y
M
x
x
N
y
M
x
N


































Resulta una EDO de variables separables porque
N
x
N
y
M











sólo depende de x,
dx
N
x
N
y
M
x e
dx
N
x
N
y
M
x
N
x
N
y
M
d


























































)(
ln




Suponemos ahora que  sólo depende de y, entonces la ecuación
xxyy NNMM  
Se transforma en:
dy
M
MN
dy
d
NMM
dy
d
yx
xy





 






Que es una EDO de variables separables porque
M
MN yx 
sólo depende de y,
dy
M
MNd yx
 




 







dy
M
MN yx
e
RESUMEN: Método del Factor Integrante:
   
NxMy
dyyxNdxyxM

 0,,
1. 1 Si
N
NM xy 
depende sólo de x entonces es factor integrante.
1.2 Si
M
MN yx 
depende sólo de y entonces es factor integrante.
2.1



dx
N
NM xy
ex)( 2.2



dx
M
MN yx
ey)(
3. Multiplicar la EDO por 
4. Resolver la EDO exacta
EJEMPLO: Resuelve     02 22
Como: 1yM 12  xyNx
Entonces tenemos que:
 
  xxyx
xy
xyx
xy
xyx
xy
N
NM xy 2
1
1222121
22












El factor integrante es:
2
lnln2
2
12
x
eee xx
dx
x




Luego:
   
0
2
0
1
2
1
22
2
22
2
2
2
2
2














dy
x
x
x
yx
dx
x
y
x
x
dyxyx
x
dxyx
x
Y tenemos que:
2
1
x
M y  2
1
x
Nx 
EJERCICIO: Resolver esta ecuación diferencial.
EJERCICIOS:
1. Identifique si es separable, lineal, exacta o factor integrante
a)     02322 223
 dyxyxydxyy
b)   012 





 dyxydx
x
y
x
c)     02 22
 dyxdxxyy
d)     022  dyyxdxyx
e)   02 2
 xdydxyxy

f)   042
 xdydxysenxx
2. Resolver:
a)     03 22
b)     032 22
 dyxydxxy
c)     02422 22
 dyxxydxxyy
d)   04
 xdydxyxx
e)   02 22
 dyxdxxyy
f)   0
1
312 223






 dy
y
yxdxxy
NOTA: Con el objeto de hacer práctico el uso del factor integrante, se han
confeccionado tablas muy completas de los mismos, para la más variada gama de
ecuaciones diferenciales.
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
Una ecuación diferencial se llama LINEAL si es de primer grado en la variable
dependiente, como así también en sus derivadas. Si además es de primer orden, puede
escribirse en la forma:
     1xQyxP
dx
dy

En esta ecuación no es posible, en general, separar las variables. En cambio, ello
puede hacerse en la ECUACION LINEAL INCOMPLETA (u homogénea en y e y )
que resulta de reemplazar  xQ por cero luego:
  0 yxP
dx
dy
Sea  xuu  una solución particular de la ecuación incompleta, es decir, tal que
verifique:

  .0 uxP
dx
dy
Separando variables:  dxxP
u
du
 integrando:
   
 e
P(x).dx
uP(x).dxuP(x).dx
u
du
ln
Haciendo vuy  (sustitución de LAGRANGE) siendo u la solución ya hallada
de la ecuación incompleta y determinado el valor de ,v de modo que sea solución de la
ecuación completa, será: vuy 
dx
du
v
dx
dv
u
dx
dy

Reemplazando
dx
dy
e y en (1) será:
   xQvuxP
dx
du
v
dx
dv
u 
Luego
   xQuxP
dx
du
v
dx
dv
u 






Pero la expresión entre paréntesis se anula, por ser una solución de la ecuación
incompleta luego:
 xQ
dx
dv
u 
Por tanto:
 dxxQudv 

Así,
   
 
   
dxexQ
e
dxxQ
u
dxxQ
dv
dxxP
dxxP




Por tanto,
   
CdxexQv
dxxP
 
Luego reemplazamos los valores de u y ,v tenemos:
   C.dxe P(x).dxQ(x).e P(x).dxy
Así,
.dxe P(x).dxQ(x)..e P(x).dxe P(x).dxC.y  
EJEMPLO:
Sea la ecuación (a)xy
dx
dy

En este ejemplo     .,1 xxQxP 
Consideraremos la ecuación incompleta: 0 y
dx
dy
O bien,

dx
u
du
u
dx
du
u
dx
du
 0
Por tanto   dx
u
du
y la solución es:   cxu ln
Que podemos considerar .0c Da caca que:
x
eu 
 (Solución particular)
Haciendo ,vuy  tenemos que:
dx
du
v
dx
dv
u
dx
dy

Reemplazando en (a):
dx
du
v
dx
dv
u
dx
dy

Luego ,xu
dx
du
v
dx
dv
u 





 con 0u
dx
du
y así ,x
dx
dv
u  por lo tanto
,dxxedx
e
x
dx
u
x
dv x
x
  de acá integrando ,  dxxedv x
o bien
,cdxxev x
  reemplazando u y v por los valores obtenidos será:
   
cdxxeey xx
Y como integramos por partes   .1 cxedxxe xx
 Así:
     cexcxeey xxx 
 11 que es la solución general.

ECUACIÓN DE BERNOULLI
Se llama ecuación de Bernoulli a una ecuación de primer orden que se puede
expresar en la forma:
    n
yxQyxP
dx
dy

Donde  xP y  xQ son continuas en un intervalo (a, b), y n es un número real.
Dividiendo la ecuación diferencial por
n
y nos queda que:
   xQyxPyy nn
  1
Tomando el cambio de variable
n
yv 
 1
y derivando
´)1(´ yynv n
 , se tiene:
´
1
´
yy
n
v n


Sustituyendo en la ecuación diferencial:
   

xQvxP
n
v
1
´
       xQnvxPnv  11
Que es una ecuación lineal.
NOTA HISTORICA: La Ecuación Diferencial de Bernouilli es una Ecuación
Diferencial Ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue
transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una
ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución y 1-α = v.

EJEMPLO: Resuelve
3
2
5
5 xyyy  y como n = 3 el cambio de variable sería:
231 
 yyv y entonces la ecuación se transforma en:
    )
2
5
(2)5(2 xvv 
xvv 510 
xdx
eex 1010
)( 
 cxdxe
e
xv x
x
  5
1
)( 10
10






 cee
x
e
xv xx
x
)
100
1
10
(5
1
)( 1010
10
Realizando los productos:






 x
e
cx
xv 10
50
1
2
)(
Regresando a la variable original:







x
e
cx
y 10
2
50
1
2
EJERCICIOS:
1.
32
yey
dx
dy x

2.   2/1
25
2
yx
x
y
dx
dy




3. 03

x
y
xy
dx
dy
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Antonio Tineo. (1995). Topología de Espacios Métricos. Editorial Kariñas.
Ayres, Frank. (1975). Fundamentos de Matemáticas Superiores. Series de compendios
Schaum. McGraw-Hill Book Company, INC., USA
Barreto, J. (2015). Introducción al algebra lineal con aplicaciones a los circuitos eléctricos,
al balanceo de ecuaciones químicas, a la investigación de operaciones y la
programación lineal. Colección de Universitaria. (1).
https://www.createspace.com/5230822
Grossman S. Stanley I. (2008). Álgebra Lineal. The McGraw-Hill Companies, Inc. Sexta
Edición. México D. F
Louis Leithold. (1998). Cálculo con Geometría Analítica. Séptima edición. Editorial:
Oxford University Press (USA)
Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,
Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.
Ramirez, T. (1980). Ecuaciones diferenciales, Editorial Limusa. Mexico.
Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.
Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.
Tom Apóstol. (2005). Calculus. Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal,
con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades. Editorial
Reverté.

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