Funciones 1-venero

336 Funciones Cap. 12
12
F U N C I O N E S
1. FUNCIONES: DOMINIO, RANGO Y GRÁFICA
Uno de los más importantes conceptos de la Matemática
se refiere a un tipo especial de relaciones entre elementos de dos conjuntos A y
B , llamadas FUNCIONES DE A EN B .
Una FUNCIÓN expresa la idea de una cantidad que de-
pende de otra, o que está determinada por ésta. Por ejemplo, el área de un círculo
depende de la medida de su radio; si se conoce la medida de la longitud del radio, su
área está completamente determinada. Así, se dice que el ÁREA de un círculo es una
función de la longitud de su radio.
1.1 DEFINICIÓN .- Una función de A en B es una relación f A B
⊂ × que hace
corresponder a cada elemento x del conjunto A a lo más un
elemento y del conjunto B, denotado por f ( ) B
y x
= ∈ .
Al conjunto A se le llama el
CONJUNTO de PARTIDA , y
al conjunto B CONJUNTO
DE LLEGADA.
1.2 DEFINICIÓN EQUIVALENTE. Un subconjunto de pares ordenados f A B
⊂ ×
es una FUNCIÓN DE A EN B si para todo
A
∈
x , existe a lo más un elemento B
y ∈ tal que ( , ) f
x y ∈ .
a
b
x
d
e
p
q
y
r
s
t
A B
f
Cap. 12 Funciones 337
Cuando un par ordenado ( , ) f
x y ∈ a la segunda componente se le
denota f ( )
y x
= , y se le llama el valor de la función f en x .
En este caso también se denomina f ( )
y x
= = imagen de x vía f , y al elemento
x se le llama contraimagen (o antecedente ) de f ( )
y x
= .
El valor f ( )
y x
= es único para cada valor x .
Un valor cualquiera B
y ∈ puede tener UNO o VARIOS antecedentes x en A ,
o NINGUNO, en cuyo caso se tiene que ( , ) f , A
x y x
∉ ∀ ∈ .
Un valor cualquiera A
x ∈ puede tener A LO MÁS UNA IMAGEN f ( )
y x
= o nin
guno, en cuyo caso se tiene que ( , ) f , B
x y y
∉ ∀ ∈ .
1.3 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
Se llama DOMINIO de una función f al conjunto de todos sus antecedentes
(primeras componentes) y se le denota por
Dom f { A / [ B ( , ) f ] } A
x Existe y tal que x y
= ∈ ∈ ∈ ⊂
{ A / [ B f ( ) ] } A
x Existe y tal que y x
= ∈ ∈ = ⊂
Se llama RANGO o RECORRIDO de la función f al conjunto de las imáge-
nes de todos los elementos de A , vía f ; y se le denota Ran ( f ) o f
R ,
f
R { B / [ ( ) A f ( ) ] }
y Existe al menos un x tal que y x
= ∈ ∈ =
{ f ( ) B / Dom f A } B
x x
= ∈ ∈ ⊂ ⊂ .
Así, a una función f se le puede representar por el conjunto de pares ordenados
f { ( , f ( ) ) A B / Dom f A }
x x x
= ∈ × ∈ ⊂ .
Así, el DOMINIO de f viene a ser el conjunto de todas las primeras compo-
nentes de los pares ordenados de f , mientras que el RANGO de f viene a
ser el conjunto de todas las segundas componentes.
f ( )
y x
=
y
A B
f
x

338 Matemática Básica Cap. 12
El rango de f , que es el conjunto de todas las imágenes de f , no necesariamente
cubre a todo B.
El conjunto de llegada B también es denominado CODOMINIO de f .
1.4 EJEMPLO .- Sean 1 2 3 4
A { , , , }
= y B { a , b , c , d }
= . Sea la función
1 2 3
f { ( , a) , ( , b) , ( , b) }
= de A en B , entonces
1 2 3
Dom f { , , }
= , f
R { a , b }
= .
1.5 EJEMPLO .- Si A es el conjunto de todas las ciudades de América del Sur, y
B el conjunto de todos los países del mundo, definimos una función
f de A en B como aquella que asigna a cada ciudad x de A el país f ( )
x [ en
B ] del cual la ciudad x es su ciudad capital. Así, tenemos que, por ejemplo
– si x = Lima, entonces f ( ) f ( )
x = =
Lima PERÚ
– si x = Caracas, entonces f ( ) f ( ) VENEZUELA
x = =
Caracas
– si x = Trujillo, " f ( ) f ( )
x = =
Trujillo NO EXISTE (no está
definido) ,
de modo que algunos pares ordenados de f son: ( Lima , PERÚ ) f
∈ ,
(Caracas, VENEZUELA) f
∈ ; mientras que (Trujillo , y ) f ,
∉ ∀ país B
∈
y .
Con ayuda de un mapa geográfico de AMÉRICA DEL SUR, se puede verificar que:
Dom f f f
Rango de f (R )
1. Asunción Paraguay
2. Bogotá Colombia
3. Brasilia Brasil
4. Buenos Aires Argentina
5. Caracas Venezuela
6. Georgetown Guyana
7. Lima Perú
8. Montevideo Uruguay
9. Paramaribo Surinam
10. Quito Ecuador
11. Santiago Chile
12. Sucre Bolivia
Dom f Rang (f )
A B
f
x
f ( )
y x
=
1.6 APLICACIONES DE A EN B
Una APLICACIÓN es un caso particular de FUNCIÓN, y
se define como sigue:
Simbólicamente,
se lee “ Para todo A
x ∈ , existe un único elemento B
y ∈ tal que f ( )
y x
= ”
En forma equivalente,
1.7 NOTACIÓN .- Si f es una APLICACIÓN de A en B , Dom f A
=
se denota f : A B
→ o
f
A B
→
f ( )
x x
֏ f ( )
x x
֏
1.8 NOTA.- Es importante hacer notar aquí que una parte de los autores considera
como sinónimos a FUNCIÓN y APLICACIÓN. En este texto, presenta-
remos a las Aplicaciones como casos particulares de Funciones.
1.9 EJEMPLOS .- Dados 1 2 3 4
A { , , , }
= , B { a , b , c , d , e }
= ,
(1) El conjunto 1 2 3
f { ( , b) , ( , a) , ( , d) }
= es una FUNCIÓN de A en B
pues cada elemento de A está asignado a lo más a un elemento de B:
Sin embargo, esta función no es una Aplicación de A en B pues Dom f A
≠ .
Una función f se llama APLICACIÓN de
A en B si y sólo si Dom f A
= .
Un subconjunto f A B
⊂ × es una APLICACIÓN
de A en B si y sólo si
A , ! B / f ( )
x y y x
∀ ∈ ∃ ∈ = .
Un subconjunto f A B
⊂ × es una APLICACIÓN
de A en B si y sólo si
A , ! B / ( , ) f
x y x y
∀ ∈ ∃ ∈ ∈ .
1
f ( ) b
=
2
f ( ) a
=
3
f ( ) d
=
1 2 3
Dom f { , , }
=
f
R { }
a , b , d
=
1
2
3
4
a
b
c
d
e
A B
f

(2) El conjunto 1 1 3
f { ( , b) , ( , c ) , ( , e) }
= NO ES una función de A en B
(asumiendo por supuesto que b c)
≠
pues no satisface la definición: “ Para cada A
∈
x , debe existir a lo más un
B f ( )
y y x
∈ =
tal que ” , ya que para 1
x = (en A) existen dos ele-
mentos 1 2
,
b c
y y
= = en el conjunto de llegada B tales que 1
f ( ) b
=
y 1
f ( ) c
= ; es decir, tales que 1
( , ) f
b ∈ y 1
( , ) f
c ∈ .
(3) El conjunto 1 2 3 4
f { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) }
a b b a
= sí es una función de A en
B, pues cada elemento x de A tiene asignado un único elemento B
y ∈ .
Asimismo, vemos que f es también una APLICACIÓN de A en B pues:
1 2 3 4
Dom f A { , , , }
= =
1.10 OBSERVACIONES .- Dada una función f de A en B :
1. No puede haber dos pares ordenados distintos en f con la misma primera com-
ponente [ Caso ( 2 ) de ( 1.9 ) ] .
2. Puede existir en f varios pares ordenados con la misma segunda componente
[Caso ( 3 ) de (1.9) ] .
1.11 EJERCICIO .- Halle el valor de k para que el conjunto de pares ordenados
2
4 2 5 7 2 1 4 2 1
f { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) }
k k k k
= + −
sea una función. Halle el rango f
R .
SOLUCIÓN . Como no debe haber dos pares ordenados distintos con la misma prime-
ra componente, para que f sea una función deben coincidir los puntos
4 4 2 1 2 1 1
( , ) ( , )
k k k k k
= − = − =
⇒ ⇒ .
1
2
3
4
a
b
c
d
e
A B
1
2
3
4
a
b
c
d
e
A B
f
Por lo tanto, 4 1 2 5 7 3
f { ( , ) , ( , ) , ( , ) }
= , 1 3 5
f
R { , , }
= .
1.12 EJERCICIO. Dado el conjunto de pares ordenados 5 7 1
f { ( , ), ( , a b),
= − +
2 2
2 5 2 1 2
( a b , b a ) , ( , a b) , ( , ) }
− − − − − , calcule los valo-
res de a y b para que f sea una función. Determine f , Dom f y f
R .
SOLUCIÓN .- Como: 1 1 2
( , a b) ( , )
− + = − − y 5 7 5 2
( , ) ( , a b)
= −
2 2 7
[ a b , a b ]
+ = − − =
⇒ , resolviendo el sistema :
1 3
a , b
= = − . Por lo tanto 5 7 1 2 4 7
f { ( , ) , ( , ) , ( , ) }
= − − − ,
5 1 4 7 2 7
f
Dom f { , , } , R { , , }
= − = − − .
1.13 REGLA DE CORRESPONDENCIA
Con frecuencia una función se define mediante
una regla o una ecuación que permite calcular para cualquier Dom f
∈
x su
correspondiente imagen f ( )
y x
= en el conjunto de llegada.
Por ejemplo, 2
1
f ( )
y x x
= = + , para ,
∈ − ∞ ∞
x ,
es una regla que indica el proceso que sufre la variable independiente x para
transformarse en su imagen 2
1
f ( )
x x
= + .
En este caso, la función f toma al elemento Dom f ,
∈ = − ∞ ∞
x , lo eleva al
cuadrado, y al resultado 2
x le suma 1 obteniéndose así el valor de la imagen co-
rrespondiente 2
1
f ( )
y x x
= = + .
A esta regla 2
1
f ( )
y x x
= = + se le llama REGLA DE CORRESPON-
DENCIA de f . Al valor x se le llama VARIABLE INDEPENDIENTE, y al valor
f ( )
y x
= se le llama VARIABLE DEPENDIENTE .
Más aún, una FUNCIÓN también está completamente determinada cuando se especifi-
ca su DOMINIO y su REGLA DE CORRESPONDENCIA.
Por ejemplo, el volumen V de una esfera de radio 0
R > está dado por la
fórmula (o regla de correspondencia): 3
4
3
V R
π
= determinándose de esta
forma el volumen V de la esfera como una función de su radio R :
3
4
3
V V (R ) f (R ) R
π
= = = .
2. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN
Cuando los conjuntos de partida y de llegada A y B de función
f son conjuntos de números reales, esta función es llamada una FUNCIÓN , de
valor REAL , DE UNA VARIABLE REAL .

Así, una Función Real de una Variable Real es un conjunto de pares
ordenados de números reales, y por lo tanto tiene una representación gráfica como con-
junto de puntos en el plano 2
ℝ ó plano XY , por el hecho de ser f una relación en ℝ
f { ( , ) / Dom f , f ( ) }
x y x y x
= ∈ × ∈ =
ℝ ℝ
2.1 DEFINICIÓN .-
La variable x es representada en el EJE X (Eje de abscisas), mientras que la
variable dependiente f ( )
y x
= está representada en el Eje Y (Eje de ordenadas).
Así, la gráfica de la función 1 1 2 1 3 2 4 3 5 2
f { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) }
=
está ilustrada en la figura.
1 2 3 4 5
Dom f { , , , , }
=
1 2 3
Ran f { , , }
= .
El dominio Dom f se lee
en el Eje X .
El rango Ran f se lee en
el Eje Y.
En general estudiaremos funciones cuyo dominio tiene una cantidad infinita de
elementos, como por ejemplo, la función
2
f ( ) , , Dom f
y x x x
= = ∈ − ∞ ∞ =
cuya gráfica vemos abajo.
Dom f ,
= − ∞ ∞ , ( Eje X )
El rango Ran f se lee en el
Eje Y :
Ran f 0
[ ,
= ∞ .
Si f es una función (de valor) real de una
variable real, se llama GRÁFICA DE f al conjunto de
pares ordenados de f cuando se le considera como
un conjunto de puntos del plano 2
= ×
ℝ ℝ ℝ .
f ( )
x
1
2
3
4
1 2 3 4 5
Y
f
X
2 4 2
f ( ) f ( )
− = =
2
f ( ) =
x x
1
f ( )
=
2
− 1
−
Y
X
0 1 2
x
1
f
[ No es
función ]
Y
X
Por su definición, una FUNCIÓN no debe tener dos pa-
Debido a esta propiedad, las gráficas de las rectas vertica-
les, de hipérbolas o de circunferencias, no corresponden a funciones y = f (x) :
a) b)
2.2 PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES REALES DE
UNA VARIABLE REAL
Una relación 2
f =
⊂ ×
ℝ ℝ ℝ es una FUNCIÓN REAL DE
VARIABLE REAL y = f (x) si y sólo si toda recta vertical corta a
la gráfica de f a lo más en un punto.
res ordenados distintos con la
misma primera componente.
Así, la primera de las gráficas ad-
yacentes no corresponde a la de
una función, pues tiene dos pares
ordenados distintos 1
( , )
x y y
2
( , )
x y con la misma primera
componente.
En cambio esta segunda gráfica
sí corresponde a una FUNCIÓN
real y de una variable real x .
x
2
( , )
x y
1
( , )
x y
1
y
2
y
Y
X
1
( , )
x y
2
( , )
x y
1
x 2
x
y
Y
X
[ No es
función]
1
y
2
y
x
Y
X

c) d)
Así, vemos que toda función f se caracteriza por no tener dos pa-
res ordenados distintos con la misma primera componente.
2.3 EJERCICIO .- En el triángulo ABC de la figura cuya base es 12
A C = y su al-
tura 6
BD = está inscrito un rectángulo KLMN de altura x .
Si S es el área del rectángulo, exprese S S ( )
= x como función de x , e indi
que su dominio y rango. Halle el valor o
x tal que S ( )
o
x sea el máximo valor
de S ( )
x . Grafique S ( )
x .
SOLUCIÓN.- 0 6
S a ,
x x
= < <
Como los triángulos BLM y BAC
son semejantes:
6
6 12
a
x
−
=
⇒ 2 6
a ( )
x
= − ⇒
2 6
S S( ) a ( )
x x x x
= = = − ,
0 6
Dom S ,
∀ ∈ =
x .
Y completando cuadrados : 2 2
2 6 18 2 3
S ( ) ( ) ( )
x x x x
= − − = − −
vemos que S toma su máximo valor
S ( )
o
x para 3 0 6
,
o = ∈
x :
3 18
S ( ) S ( )
o
x = =
Asimismo, de la gráfica de S ( )
x
adyacente, vemos que
0 18
Ran (S) , ]
= .
x
f ( )
x
[ Sí es función ]
Y
X
f
x
f ( )
x
[ Sí es función ]
Y
X
f
1 8
S ( )
o
x =
Y
X
0 3 6
S
y
A
B
C
D
x
6
a
12
L M
N
K
3. CONJUNTO IMAGEN. CONJUNTO IMAGEN INVERSA
Dada una función f : A Y
→ , para todo subconjunto M A
⊂
se llama RESTRICCIÓN DE f SOBRE EL CONJUNTO M a la función M
f : M Y
→
cuya regla de correspondencia es:
M
f ( ) f ( )
=
x x , para cada M
Dom (f ) M
x ∈ = .
A esta función también se le denota M M
f f
= .
f : A → ℝ M
f : M → ℝ
M M
Rang ( f ) { f ( ) / Dom f M }
x x
= ∈ = (donde M Dom f A )
⊂ =
{ f ( ) / Dom f A } Rang ( f )
x x
⊂ ∈ = = .
Note que: M
Dom ( f ) M
= .
3.1 EJEMPLO .- Sea 1 8 2 6 3 1 4 7 5 1
f { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) }
= − − tal que
1 2 3 4 5
Dom f { , , , , }
= , y sea 1 2 5
M { , , }
= , entonces
M Dom f
⊂ , y 1 8 2 6 5 0
M
f { ( , ) , ( , ) , ( , ) }
= .
3.2 CONJUNTO IMAGEN
→ , y un subconjunto
M A
⊂ , se define el CONJUNTO IMAGEN DE M ( vía f ) como el conjunto de-
notado por f (M) y descrito por f (M) { f ( ) / M } Y
x x
= ∈ ⊂
y viene a ser el conjunto de todas las imágenes correspondientes a elementos del
conjunto M Dom f A
⊂ = .
Por ejemplo , si 1 8 2 6 3 1 4 7
M
f { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) ,
= −
5 1
( , ) }
− , donde 1 2 3 4 5
Dom f A { , , , , }
= = , y si tenemos el conjunto
o
x
1
x
A Dom f
=
Y
X
f
1
x
M
f
f ( )
x
1
M [a, b] [ , ]
o
x x
= ⊂
o
x
Y
a b X
M
x

1 3 5
M { , , } Dom f
= ⊂ , entonces 1 8 3 1 5 1
f ( ) , f ( ) , f ( )
= = − = − ,
y por lo tanto, 1 3 5 1 3 5
f (M) { f ( ) / M { , , } { f ( ), f ( ), f ( ) } }
x x
= ∈ = =
8 1 1 8 1
{ , , } { , }
= − − = − .
3.3 PROPIEDADES DEL CONJUNTO IMAGEN
Sean f : A Y , M A , N A
⊂ ⊂
→ :
1) f ( A ) Rang (f )
= , pues A Dom f
=
2) M
f (M) Rang (f )
=
3) f (M) f ( A ) Rang (f )
⊂ =
4) f ( )
∅ = ∅
5) Si M N
⊂ entonces f (M) f (N)
⊂ .
6) f (M N) f (M) f (N)
∪ = ∪ ,
7) f (M N) f (M) f (N)
∩ ⊆ ∩ , 8) f ( A ) f (M) f ( A M)
− ⊂ − .
PRUEBA DE ( 7 ) :
i) Si M N
∩ = ∅ ⇒ f (M N) f (M) f (N)
∩ = ∅ ⊂ ∩ [ pues V ]
∅ ⊂
ii) Si M N
∩ ≠ ∅ ⇒ f (M N)
∀ ∈ ∩
y ⇒ f ( )
o
y x
= para algún
M N
o
x ∈ ∩ ⇒ M N
o o
x x
∈ ∧ ∈ ⇒
f ( ) f (M) f ( ) f (N)
o o
= ∈ ∧ = ∈
y x y x ⇒
f ( ) f (M) f (N)
o
y x
= ∈ ∩
Por lo tanto, f (M N) f (M) f (N)
∩ ⊂ ∩ .
′
7 ) Daremos un ejemplo en que se cumpla la inclusión propia en [ 7 ] :
Sea f : →
ℤ ℤ , tal que 2
f (n) n , n
= ∀ ∈ ℤ ; si
2 0 1
M { , , }
= − , 0 1 2
N { , , }
= entonces 0 1
M N { , }
∩ =
y 0 0 1 1 0 1
f (M N ) { f ( ) , f ( ) } { , }
∩ = = = =
2 4 0 0 1 1 4 0 1
f (M) { f ( ) , f ( ) , f ( ) } { , , }
= − = = = =
0 0 1 1 2 4 0 1 4
f (N ) { f ( ) , f ( ) , f ( ) } { , , }
= = = = =
0 1 4
f (M) f (N ) { , , }
∩ =
Así, f (M N ) f (M) f (N)
≠
⊂
∩ ∩ [ inclusión propia, en este caso ] .
3.4 EJEMPLO .- Si 1 2
M , ]
= 〈− , hallaremos f (M) para la función
2
1
f ( ) = +
x x , Dom f :
x ∈ =
ℝ
M
x
∀ ∈ , 1 2
x
− < ≤ ⇔ 2
0 4
x
≤ ≤
⇔ 2
1 1 5
x
≤ + ≤ ⇔ 1 5
f ( )
x
≤ ≤
Por lo tanto, 1 5
f ( ) [ , ]
∈
x ⇔ 1 2
M , ]
∈ = −
x
Así , 1 2 1 5
f (M) { f ( ) / M , ] } [ , ]
x x
= ∈ = − = .
A continuación presentaremos otro de los conjuntos característicos
dentro del estudio de las funciones, llamado CONJUNTO IMAGEN INVER-SA , y ve-
remos algunas de sus propiedades más importantes.
3.5 CONJUNTO IMAGEN INVERSA
→ , para cada subconjunto
S Y
⊂ , se llama CONJUNTO IMAGEN INVERSA de S , vía la función f , al
conjunto denotado por
1
f (S) { Dom f / f ( ) S }
x x
−
= ∈ ∈ .
También se le llama el conjunto PREIMAGEN DEL CONJUNTO S, vía la función f,
y viene a ser el conjunto de contraimágenes correspondientes a elementos del
conjunto S Y
⊂ .
Dado S Y
⊂ , se pueden presentar algunos casos posibles para
1
f (S)
−
como
se ilustra a continuación:
1
f (S)
−
f ( )
x
Y
X
f
b
a
S
x
f ( )
x
1
f (S) M N
−
= ∪
Y
X
f
x
S
M N
f ( )
x
Y
X
S
3
0 c
a b d Q
f
P x
x
x x
1

Vemos que Dom f [ P , Q ]
= , 1 3
S ,
= ; entonces
1
f (S) [ P , a b , c d , Q ]
−
= ∪ ∪ , de la figura previa.
3.6 EJEMPLO .- Dada la función 2
2 4 1
f ( ) , [ ,
= − + ∈ − ∞ =
x x x x Dom f
halle: a)
1
7 14
f ({ , })
−
, b)
1
4 8
f ( , ])
−
, c)
1
5 12
f ( , ])
−
− .
SOLUCIÓN .- 2 2
2 4 1 3
f ( ) ( )
= − + = − +
x x x x , 1
Dom f [ ,
∈ = − ∞
x
a)
1
7 14 1 7 14
f ({ , }) { Dom f [ , / f ( ) { , } }
−
= ∈ = − ∞ ∈
x x
1 7 14
{ [ , / f ( ) f ( ) }
= ∈ − ∞ = ∨ =
x x x
( )
∗ . . . 2 2
1 1 3 7 1 3 14
{ [ , / ( ) ( ) }
= ∈ − ∞ − + = ∨ − + =
x x x
y como 2
1 3 7
( )
− + =
x ⇔ 1 2
x − = ± ⇔ 3 1
,
= = −
x x
y 2
1 3 14
( )
x − + = ⇔ 1 11
x − = ± ⇔ 1 11
= ±
x
En ( )
∗ :
1
7 14 1 3 1 1 11
f ( { , } ) { [ , / { , , } }
−
= ∈ − ∞ ∈ − ±
x x
1 3 1 1 11 3 1 1 11
[ , { , , } { , , }
= − ∞ ∩ − ± = − ±
b)
1
4 8 1 4 8
f ( , ] ) { Dom f [ , / f ( ) , ] }
−
= ∈ = − ∞ ∈
x x
2
1 1 3 4 8
{ [ , / ( ) , ] }
= ∈ − ∞ − + ∈
x x . . . ( )
∗
donde 2
1 3 4 8
( ) , ]
− + ∈
x ⇔
2
4 1 3 8
( )
< − + ≤
x
⇔
2
1 1 5
( )
x
< − ≤ ⇔ 1 5 1 1 5
( ) [ , , ]
− ∈ − − ∪
x
⇔ 1 5 0 2 1 5
[ , , ]
∈ − ∪ +
x
Por lo tanto, en ( )
∗ :
1
4 8 1 1 5 0 2 1 5
f ( , ] ) { [ , / [ , , ] }
−
= ∈ − ∞ ∈ − 〉 ∪ 〈 +
x x
1 1 5 0 2 1 5
[ , [ , , ]
( )
= − ∞ ∩ − 〉 ∪ 〈 +
1 0 2 1 5
[ , , ]
= − ∪ + .
c)
1
5 12 1 5 12
f ( , ] ) { Dom f [ , / f ( ) , ] }
x x
−
− = ∈ = − ∞ ∈ −
2
1 1 3 5 12
{ [ , / ( ) , ] }
x x
= ∈ − ∞ − + ∈ − ( )
∗
donde 2
1 3 5 12
( ) , ]
x − + ∈ − ⇔
2
5 1 3 12
( )
x
− < − + ≤
⇔
2
8 1 9
( )
x
− < − ≤ ⇔
2
0 1 9
( )
x
≤ − ≤
⇔ 3 1 3
x
− ≤ − ≤ ⇔ 2 4
x
− ≤ ≤ .
Así, de ( )
∗ :
1
5 12 1 2 4
f ( , ] ) { [ , / [ , ] }
x x
−
− = ∈ − ∞ ∈ −
1 2 4 1 4
[ , [ , ] [ , ]
= − ∞ ∩ − = − .
d) Pruebe que:
1
2
f ( , )
−
− ∞ = ∅ .
3.7 PROPIEDADES DE LA IMAGEN INVERSA
Sean f : X Y
→ , A Y
⊂ , B Y
⊂ , entonces
1)
1 1 1
f ( A B) f ( A ) f (B)
− − −
∪ = ∪
2)
1 1 1
f ( A B) f ( A ) f (B)
− − −
∩ = ∩
3)
1 1 1
f ( A B) f ( A ) f (B)
− − −
− = −
4)
1
1
Y X
f ( B) f (B)
−
−
=
∁ ∁
5)
1 1
A B f ( A ) f (B)
− −
⊂ ⊂
⇒
6) 1
f [ f (B) ] B
−
⊂ , B Y
∀ ⊂ .
7) S X
∀ ⊂ ,
1
S f [ f (S) ]
−
⊂ .
PRUEBA DE ( 5 ) : Sea
1
f ( A )
−
∈
x ⇒ f ( ) A
∈
x ⇒ f ( ) B
∈
x
[ pues A B ]
⊂ , ⇒
1
f (B)
−
∈
x .
Por lo tanto,
1 1
f ( A ) f (B)
− −
⊂ .
PRUEBA DE ( 6 ) : Sea
1
f [ f (B) ]
−
∈
y , entonces f ( )
y z
= para algún
1
f (B)
−
∈
z ⇒ f ( ) B
∈
z , y como f ( )
y z
= ⇒
B
y ∈ . Por lo tanto,
1
f [ f (B) ] B
−
⊂ .
PRUEBA DE ( 7 ) : Sea S X
∈ ⊂
x ⇒ f ( ) f (S) W
x ∈ =
⇒
1 1
f ( W ) f [ f (S) ]
− −
∈ =
x
Por lo tanto,
1
S f [ f (S) ]
−
⊂ .
3.8 EJERCICIO .- Sea
2
2 2
2 13 2 27
f ( ) | | | |
= − − − −
x x x x x , para
2
Dom f ,
x ∈ = − ∞ . Halle
1
3
f ( , ] )
−
− ∞ .
SOLUCIÓN.-
1
3 2 3
f ( , ] ) { Dom f , / f ( ) , ] }
−
− ∞ = ∈ = − ∞ ∈ − ∞
x x
2 3
{ , / f ( ) }
= ∈ − ∞ ≤
x x
( )
∗ . . .
2
2 2
2 2 13 2 27 3
{ , / | | | | }
= ∈ − ∞ − − − − ≤
x x x x x
donde:
2
2 2
2 13 2 27 3
| | | |
− − − − ≤
x x x x ⇔ 2
13 30 0
z z
− − ≤
( haciendo 2
2
| |
= −
z x x ) ⇔ 15 2 0
( ) ( )
z z
− + ≤

⇔ 15 0
z − ≤ [ pues 2
2 2 2 0
( ) | | , ]
+ = − + > ∀ ∈ ℝ
z x x x
⇔ 15
z ≤ ⇔ 2
2 15
| |
− ≤
x x ⇔ 2
15 2 15
x x
− ≤ − ≤
⇔ 2 2
2 15 0 2 15 0
x x x x
− + ≥ ∧ − − ≤ ⇔
2
1 14 0
( )
x − + ≥ (VERDADERO, ∀ ∈ ℝ
x ) 5 3 0
( ) ( )
x x
∧ − + ≤
⇔ 3 5
[ , ]
∈ ∧ ∈ −
ℝ
x x ⇔ 3 5
[ , ]
∈ −
x .
Por lo tanto, en ( )
∗ :
1
3 2 3 5
f ( , ] ) { , / [ , ] }
−
− ∞ = ∈ − ∞ ∈ −
x x
2 3 5 2 5
, [ , ] , ]
= − ∞ ∩ − = − .
4. EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Dada una función f con regla de correspondencia especi-
ficada, por ejemplo 2
2 5
f ( ) = + +
x x x , Dom f
x ∈ ( )
∗
entonces ya sabemos que esta regla indica la transformación que sufre la variable x
para convertirse en 2
2 5
f ( ) = + +
x x x , y así obtener el valor de f ( )
x . En este
caso, a la variable x se le eleva al cuadrado, luego al valor obtenido se le suma el
doble de x , y al resultado se le suma 5. De esta manera se puede evaluar:
2
4 4 2 4 5 29
f ( ) ( )
= + + =
2
3 3 2 3 5 8
f ( ) ( ) ( )
− = − + − + =
2
2 5
f (a) a a
= + +
2
2 5
f ( ) ( ) ( )
= + +
z z z , haciendo x z
=
2
2 5
f ( )
u u u
= + +
2
1 1 2 1 5
f ( ) ( ) ( )
w w w
+ = + + + + , haciendo 1
x w
= +
2 2
6 6 2 6 5 36 12 5
f ( ) ( ) ( )
x x x x x
= + + = + +
lo cual indica que si en f ( )
x la variable es reemplazada por cualquier otro símbolo,
entonces en el 2º miembro de ( )
∗ también debe reemplazarse (donde aparezca) x
por el nuevo símbolo, siempre que este nuevo símbolo represente un valor que se en-
cuentre en el Dominio de f , claro está.
4.1 EJEMPLO .- Si 2
2 3 4
f ( )
x x x
+ = − + , halle la regla de correspondencia
de f , es decir f ( )
x .
SOLUCIÓN .- Sea 2
( )
z x
= + ⇒ 2
x z
= − ⇒
2 2
2 3 2 4 7 14
f ( ) ( ) ( )
z z z z z
= − − − + = − + . . . ( )
α
Ahora, consideramos nuevamente el símbolo x como otro símbolo en ( )
α , y por
lo tanto 2
7 14
f ( )
x x x
= − + .
4.2 EJERCICIO .- Sea 2
f : , f ( ) a b c
= + +
→
ℝ ℝ x x x , cuya gráfica es
la que sigue. Halle el conjunto solución de 2
9 0
( ) f ( )
− <
x x .
SOLUCIÓN .- De la gráfica vemos
que: 0
f ( ) ,
x x
< ∈ ℝ , y por
lo tanto,
2
9 0
( ) f ( )
x x
− <
⇔ 2
9 0
x
− >
⇔ 2
9
x <
⇔ 3 3
,
∈ −
x .
4.3 EJERCICIO .- Dada la función 2 4 0
/ ( ) ,
+ >
x x x
4
− , 0
≤
x
a) Halle
1
1 3
f ( , ] )
−
.
b) Halle el conjunto M de los x tales que: 2 f ( )
− ≤
x x .
SOLUCIÓN .- Note que Dom f = ℝ
a)
1
1 3 1 3
f ( , ] ) { Dom f / f ( ) , ] }
x x
−
= ∈ = ∈ =
ℝ
0 4 1 3
{ , ] / f ( ) , ] }
x x
= ∈ − ∞ = − ∈ ∪
2
0 1 3
4
{ , / f ( ) , ] }
x
x x
x
∪ ∈ ∞ = ∈
+
2
0 1 3
4
{ , / , ] }
x
x
x
= ∅ ∪ ∈ ∞ ∈
+
, pues 4 1 3
, ]
− ∉ ... ( )
∗
donde
2
1 3
4
< ≤
+
x
x
⇔
2 2
1 0 3 0
4 4
− > ∧ − ≥
+ +
x x
x x
⇔
4 12
0 0
4 4
x x
x x
− +
> ∧ ≥
+ +
⇔ 4 4 12 4
, , , ] ,
( ) ( )
x ∈ − ∞ − ∪ ∞ ∩ − ∞ − ∪ − ∞
⇔ 12 4
, ] ,
x ∈ − ∞ − ∪ ∞ . Luego,
2
0 1 3
4
{ , / , ] }
x
x
x
∈ ∞ ∈
+
0 12 4 8
{ , / , , }
]
x x
= ∈ ∞ ∈ −∞ − ∪
0 12 4 4
, , , ,
]
( )
= ∞ ∩ − ∞ − ∪ ∞ = ∞ ;
Y reemplazando en ( )
∗ :
1
1 3 4 4
f ( , ] ) , ,
−
= ∅ ∪ ∞ = ∞ .
b) 1 2
0 0
Dom f , ] , U U
= − ∞ ∪ ∞ = ∪ :
f ( ) =
x
Y
X
h
k V
f
0
k <

b1) 1
0 0
U , ] ,
∀ ∈ = − ∞ ≤
x x ⇒ 4
f ( )
x = − , entonces
1
2 4
f ( ) , U
x x x
− ≤ = − ∈ ⇔ 1
2 , U
x x
≤ − ∈
⇔ 1
2 2
, ] U , ]
x ∈ − ∞ − ∩ = − ∞ −
b2) 2
0 0
U , ,
x x
∀ ∈ = ∞ > ⇒ 2 4
f ( ) / ( )
x x x
= + , entonces
2
2 f ( ) , U
x x x
− ≤ ∈ ⇔ 2
2
2
4
, U
x
x x
x
− ≤ ∈
+
⇔
2
2
2 0
4
, U
x
x x
x
− − ≤ ∈
+
⇔ 2
8 8
0
4
( ) ( )
, U
x x
x
x
− +
≤ ∈
+
⇔ 2
4 8 8 0 8
, , U ,
] [ ] ]
( )
x ∈ − ∞ − ∪ − ∩ =
Así, de ( b1 ) ∨ ( b2 ) : 2 0 8
M , ] , ]
= − ∞ − ∪ .
SERIE DE EJERCICIOS
1. Indique cuáles de las siguientes relaciones son funciones. En cada caso, obtenga
la gráfica, su dominio y su recorrido ( rango ):
2 2
36
A { ( , ) / }
x y y x
= ∈ =
ℝ , 2
E { ( , ) / }
x y x y
= ∈ =
ℝ
2
2 1
B { ( , ) / }
x y y x
= ∈ = − +
ℝ , 2 2
F { (u , v ) / u v }
= ∈ =
ℝ
2
4
C { ( , ) / / }
x y y x
= ∈ =
ℝ , 2
4
G { ( , ) / }
x y y x
= ∈ = −
ℝ
2 2 2
16
D { ( , ) / }
x y x y
= ∈ + =
ℝ , 2 2 2
4
H { ( , ) / }
x y y x
= ∈ =
ℝ
2. Sea 0 5
A { / }
x x
= ∈ < ≤
ℕ , ¿Cuántos de los siguientes conjuntos
son funciones de A en A? , ¿ Cuántos son Aplicaciones de A en A ?
1
2
R { ( , ) A A / }
x y x
= ∈ × = , 2
2
R { ( , ) A A / }
x y y
= ∈ × =
3
5
R { ( , ) A A / }
x y x y
= ∈ × + = , 2
4
R { ( , ) A A / }
x y x y
= ∈ × =
3. Para 1 2 3
A { , , }
= , 3 4 5
B { , , }
= , sean f y g dos aplicaciones de A
en B tales que: 1 3 2 4
f { ( , ) , ( , ) , (a , b) }
= , y 3 3 2 4
g { ( , ) , ( , ) , (c , d) }
=
Si A , f ( )
∀ ∈ ≠
x x x , Rang ( f ) B
≠ y 1 3
g( ) = , halle el valor de
( b a) (c d)
− + − .
4. Sea 0 1
f : { , } /
→
ℕ 0 , si x es par
1 , si x es impar
demuestre que :
I) , / f ( ) f ( ) f ( )
x y x y x y
∀ ∈ ∃ ∈ + = +
ℕ ℕ
II) , , f ( ) f ( ) f ( )
x y x y x y
∀ ∈ ∀ ∈ =
ℕ ℕ
III) 2
/ f ( ) f ( )
x x x
∃ ∈ = +
ℕ
IV) 2
, f ( ) f ( )
x x x
∀ ∈ = +
ℕ
f ( ) =
x
5. Sea f : /
→
ℕ ℝ 1 , si x es par
1
− , si x es impar
¿Cuáles son verdaderas? :
I) 2 3 0
f ( ) f ( )
x y
+ = ⇒ x es par ∧ y es impar .
II) 1
f ( ) f ( )
x y = − , ,
x y
∀ ∈ ℕ .
III) ! / f ( ) f ( )
x x
α α α
∃ ∈ =
ℕ , x
∀ ∈ ℕ .
6. Halle los valores de a y b para que cada uno de los conjuntos de pares orde-
nados sea una función, y determine la función en cada caso:
2 2 2 2
1 8 2 3 1 1
f { ( , ), ( , ), ( , a b ), ( , a b), (a b , a), ( b a , b) }
= − + − + + +
2 2 2 2 2
4 3 5 3 4 5
g { ( , ),( , ), ( , a b ), ( , a b), (a b , a), (a b , b) }
= − − − − + + +
7. Dado el polinomio 3 2
1
P( ) (a )
x x x x
= + + + , se define la función f con
dominio 0 1 2 3 5
{ , , , , } , por: f (a) = Resto de la división de P( )
x en-
tre ( a)
x + . Calcule 2 3
f ( ) f ( )
+ .
8. Si f es una función, ¿Cuáles son verdaderas?
I) Si a b
= entonces f (a) f ( b)
=
II) Si a b
≠ entonces f (a) f ( b)
≠
III) Si f ( ) f ( )
a b
= entonces a b
= .
9. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos determinan funciones de ℝ en ℝ ? :
2
A { ( , ) / }
= ∈ =
ℝ
x y x y , 2
5
B { ( , ) / }
x y y
= ∈ = −
ℝ
2 2 2
49
C { ( , ) / }
x y x y
= ∈ + =
ℝ , 2 2
D { ( , ) / }
x y y x
= ∈ >
ℝ
0 0 1 2 2 2 4 5
E { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) }
= .
10. Dada la función f ( ) a b ,
= + ∈ ℝ
x x x , halle las constantes a y b , si
f ( ) f ( ) f ( ) , ,
+ = + ∀ ∈ ℝ
x y x y x y , y si 2 6
f ( )
− = − .
11. Si f es una función tal que 5 5
f ( ) f ( ) f ( ) ,
+ = + ∀ ∈ ℝ
x x x , ¿Cuáles
son verdaderas? :
a) 0 0
f ( ) = , b) 5 5
f ( ) f ( )
− = − , c) 15 3 5
f ( ) f ( )
= .
12. Dada la función f ( ) m b
= +
x x , x
∀ ∈ ℝ , si se sabe que 3 1
f ( ) = ,
3 6
f ( )
− = , halle m b
+ .
13. Sea A { p / p
= es una proposición lógica } . Se define una función β ,
: A
β → ℝ mediante 1 , si p es Verdadera
0 , si p es Falsa
Pruebe que:
a) (p q ) (p) (q ) (p) (q )
β β β β β
∨ = + − , b) 1
( p) (p)
~
β β
= −
c) 1 1
( [ p ] q ) (p) ( q ) (p) (p) (q )
~ ~
β β β β β β
∨ = − = − +
f ( ) =
x
(p)
β =

14. La gráfica de la función 2
2
3
f ( ) b c
= = + +
y x x x intersecta al Eje X
en los puntos: 2 0
( , )
− y 5 0
( , ) , y al Eje Y en el punto 0
( , k ) .
Halle el valor de ( b c k )
+ + .
15. Dadas las funciones f y g definidas por las fórmulas 2
4 3 6 9
f ( ) = − −
x x x ,
2
2 4
g( )
x x x
− = − , y sean los conjuntos: 0
A { / f ( ) }
x x
= ∈ >
ℝ ,
0
B { / g( ) }
x x
= ∈ ≥
ℝ , halle A B
− .
16. Halle el complemento del dominio de la función f descrita por:
2 3 2
3 9 11 5
f { ( , ) / , }
x y y x x x y
= ∈ = − + ≤
ℝ .
17. En la ecuación 2 2 2 2
1
( / a ) ( / b )
x y
+ = , donde a y b son constantes positi-
vas, ¿es " "
y una función de x ?
A) Sí , B) Sólo si a
x > , C) No ,
D) Sólo si a
x > ó a
x < − , E) Sólo si a
x < .
18. Sean 2 4 6 8 10
A { , , , , }
= , B { a , b , c , d , e }
= , ¿Cuáles de los siguien-
tes conjuntos definen aplicaciones de A en B ? :
2 4 10 8 6
C { ( , a) , ( , c) , ( , c ) , ( , e) , ( , e) }
=
10 6 2 6 4
D { ( , a) , ( , b) , ( , a) , ( , e) , ( , d) }
=
6 4 8 10
E { ( , b) , ( , a) , ( , d) , ( , e) }
=
2 4 6
F { ( , b) , ( , e) , ( , a) }
=
10 8 4 2 6
G { ( , b) , ( , b) , ( , b) , ( , b) , ( , b) }
=
19. Sea f : X → ℝ , 2 1
f ( ) ( ) / ( ) ,
= + + ∈ ℝ
x x x x , ¿Cuáles son
ciertas? a) 1
X { }
=
∁ , b) 1
f
R { }
= −
∁ , c) X y f
R son disjuntos.
20. Dé un ejemplo de una función f (como conjunto de pares ordenados) que cumpla
los siguientes 4 requisitos: f tiene 8 elementos, 2
f ( ) =
x x , Dom f ⊂ ℤ ,
2 0 36
Rang (f ) B { m / m , m }
⊂ = ≤ ≤ ∈ ℤ ¿Cuántas de estas
funciones existen? .
21. Dé un ejemplo de una función f tal que f ( A ) f (B) f ( A B)
∩ ≠ ∩ para dos
subconjuntos no vacíos A y B del Dominio de f . Grafique f .
22. Dado un conjunto de 4 elementos 1 2 3 4
A { , , , }
= , halle todas las funciones
f tales que f A B
= × , eligiendo como B un subconjunto no vacío particular de
A para cada función. Grafíquelas.
SUG: Si B tuviera más de dos elementos, A B
× no sería función. ( ¿? )
23. Para cada n ∈ ℤ ( fijo ), sea f :
n →
ℝ ℝ tal que f ( ) n
n x x
= + .
Dada la relación S ⊂ ×
ℝ ℝ definida por:
( , ) S
∈
x y ⇔ f : / f ( )
n n
∃ =
→
ℝ ℝ x y , para algún n ∈ ℤ .
Demuestre que S es una relación de equivalencia.
SUG: S { ( , ) / f ( )
n
x y x y
= ∈ × =
ℝ ℝ , para algún n ∈ ℤ }
{ ( , ) / n
x y y x
= ∈ × = +
ℝ ℝ , para algún n ∈ ℤ }
24. Una esfera de radio 0
R > lleva inscrito un cilindro cuyo eje central pasa por
el Centro de la esfera. Exprese el volumen V del cilindro como una función de su
altura x . Indique su Dominio.
25. Si 2
f ( ) a b c
x x x
= + + , 1 0
f ( )
− = , 1 8
f ( ) = , 1 1 2
f ( ) f ( / )
− + =
15 4
/
= , halle 5
f ( ) .
26. En las siguientes funciones, halle los intervalos (si existen) en los que las funcio-
nes no son negativas 0
( )
≥
y :
a) 2
5 4
f ( )
x x x
= − + , b) 4 3 2
2
f ( )
x x x x
= − + − ,
c) 2
1 2 9
f ( ) ( ) ( )( )
x x x x
= − + − − , d)
8
6
f ( )
x
x
x
−
=
+
,
e)
2
2
6 5
3 3
f ( )
x x
x
x
+ +
=
−
, f)
2
2
9
4
f ( )
x
x
x
−
=
−
.
27. Sea 2
1
f ( )
x x
= + , 1
Dom f [ ,
∈ = − ∞
x , halle los conjuntos f ( A )
y 1
f (M)
−
, para a) 1 3
A [ , ] M
= = , b) 2 10
A [ , M
= − =
c) 1 1
A [ , M
= − = , d) 5
A , M
= − ∞ = .
CLAVE DE RESPUESTAS
1. Son funciones: B , Dom B Rang (B)
= =
ℝ ; C , 0
Dom(C) { }
= −
ℝ
Rang (C)
= ; E , 0
Dom E { } Rang (E)
+
= ∪ =
ℝ ; y por último:
G , 4 0
Dom (G) , ] , Rang (G ) [ ,
= −∞ = ∞ .
2. Son funciones de A en A sólo 2 3
R , R y 4
R . La única Aplicación de A
en A es 2
R .
3. (– 1) , pues 3 4 1 3
a , b , c , d
= = = = . En efecto, como Dom f =
1 2 3 3
{ , , } a =
⇒ . Sólo puede ocurrir que 3
b = ó 4
b = pues
3 4 5
Rang ( f ) { , , } B
≠ = , pero si 3
b = ⇒ 3 3
(a , b) ( , )
= ⇒
3 3
f ( )
= lo cual no es posible pues f ( ) , A
≠ ∀ ∈
x x x .
Luego, 4
b = . Además, de 1 3
g ( ) = ⇒ 1 3
c , d
= = .
5. Sólo ( III ) : 1
α = .
6. ( 1 ) 2 2
a , b
= = , 1 8 2 3 1 4 6 2
f { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) }
= − −
( 2 ) 2 1
a , b
= − = − , 4 3 5 3 3 2 5 1
g { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) }
= − − − −
7. Por el Teorema del Residuo: 2
f (a) P( a) a a
= − = − ,
⇒ 2 2
2 3 2 2 3 3 2 6 8
f ( ) f ( ) [ ] [ ]
+ = − + − = + = .
8. Sólo ( I ) ; 9. Sólo B y E.

10. Como 0 0 0 0 0 2 0
f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( )
= + = + = ⇒ 0 0
f ( ) = , y como
0 0
f ( ) a( ) b b
= + = ⇒ 0
b = . Así, f ( ) a
=
x x ,
2 2
f ( ) a = 6
− = − − ⇒ 3
a = . Luego, 3 0
a , b
= = .
11. Todas. SUG: 5 0 5 0 5
f ( ) f ( ) f ( ) f ( )
= + = + ⇒ 0 0
f ( ) = .
Además, 0 0 5 5 5 5
f ( ) f ( ) f ( ) f ( )
= = − + = − + .
12. 8 3
/ ; 14. 46 3
/
− , pues 2 20 3
b , c k /
= − = = − .
15. 3 4
A B ,
− = ; 16. 1 , ∞ ; 17. Sólo ( C )
18. Sólo C y G ; 19. Ninguna.
20. Existen 9 de estas funciones, y dos de ellas son:
1
2 4 2 4 4 16 4 16 6 36 6 36 8 64 8 64
f {( , ) ,( , ),( , ),( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) }
= − − − −
2
2 4 0 0 4 16 4 16 6 36 6 36 8 64 8 64
f { ( , ) , ( , ), ( , ), ( , ) , ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) }
= − − −
21. 2
1 1 0 0 1 0
f ( ) , Dom f , A [ , ] , B [ , ] , A B { }
x x
= + = = − = ∩ =
ℝ
1 0 1
f ( A B) { } f ( A) [ , ] f (B)
∩ = ≠ = = .
22. Sólo existen 4 funciones así, y todas constantes: f ( )
n n
x = ,
1 2 3 4
A , , , ,
n
x
∀ ∈ = .
24. 2 2
4
V V( ) [ R ( / ) ]
π
= = −
x x x , 0 2R
x
< < .
25. 3 4 1
a , b , c
= = = ⇒ 2
5 3 5 4 5 1 96
f ( ) ( ) ( )
= + + = .
26. a) 1 4
, ] [ ,
− ∞ ∪ ∞ ; b) 0 1
{ , } ; c) 3 1 2 3
[ , ] [ , ]
− − ∪ ;
d) 6 8
, [ ,
− ∞ − ∪ ∞ ; e) 5 1 1
[ , { }
− − − ;
f) 3 2 2 3
[ , , ]
− − ∪ .
27. a) 1 3 2 10
f ( [ , ] ) [ , ]
= , 1
1 3 1 2
f ( [ , ] ) [ , ]
−
= −
b) 2 10 1 101
f ( [ , ) [ ,
− = , 1
2 10 1 3
f ( [ , ) [ ,
−
− = −
c) 1 1 1 2
f ( [ , ) [ , ]
− = , 1
1 1
f ( [ , )
−
− = ∅
d) 5 1
f ( , ) [ ,
− ∞ = ∞ , 1
5 1 2
f ( , ) [ ,
−
− ∞ = − .
5. CÁLCULO DE DOMINIOS Y RANGOS DE FUNCIONES
El DOMINIO de una función f , en general, se halla ubi-
cando el conjunto de todos los valores posibles que puede tomar la variable x ,
excepto en el caso en el que dicho dominio haya sido previamente especificado.
Asimismo, si el Dominio de f , es un conjunto A, enton-
ces el RANGO de f se halla especificando el CONJUNTO IMAGEN f ( A ) , el cual ya
sabemos cómo encontrar [partiendo de los Dom f A
∈ =
x y construyendo los va-
lores f ( )
x mediante las PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES y la regla de
correspondencia de f ] .
EJEMPLO .- En la función
2 1 4
f ( ) , [ ,
= = ∈
y x x ,
el Dominio ya está indicado:
1 4
Dom f [ ,
= .
El Rango es el conjunto
2 1 4 2
f
R { f ( ) / Dom f } { f ( ) / [ , } { }
= ∈ = = ∈ =
x x x x
que consiste de un solo elemento, el cual se puede leer en el Eje Y. En este caso, la
gráfica consiste del segmento de recta horizontal ubicada a la altura 2
y = , corres-
pondiente sólo a los valores de 1 4
[ ,
∈
x .
5.1 EJEMPLO .- Halle el rango y la gráfica de la función:
2
f ( )
x x
= + , 1 23
[ , ]
∈ −
x .
SOLUCIÓN .- 1 23
Dom f A [ , ]
= = − ya está especificado. [ Si no se hubiese
dado, entonces se habría hallado en base a que la expresión subradi-
cal tiene que ser 0
≥ :
2 0
x + ≥ ⇔ 2
x ≥ − ⇔ 2
[ ,
∈ − ∞
x
y que en general es más grande que el Dominio sobre el cual vamos a trabajar en este
caso ]. Construiremos el RANGO reconstruyendo la forma de las y = f ( )
x :
1 23
[ , ]
∀ ∈ −
x , 1 23
x
− ≤ ≤ ⇔ 1 2 25
x
≤ + ≤ ⇔
⇔ 1 2 5
x
≤ + ≤ ⇔ 1 5
f ( )
x
≤ ≤ ⇔ 1 5
f ( ) [ , ]
∈
x ,
Por lo tanto,
f
R f ( A )
= { f ( ) / Dom f }
= ∈
x x
1 23
{ f ( ) / [ , ] }
= ∈ −
x x
1 5
[ , ]
= .
5.2 EJEMPLO .- Halle el mayor Dominio admisible y el Rango de la función:
2 2
2 8 2 4 1 9
f ( ) ( ) ( ) ( )
= + − = − + = + −
x x x x x x .
SOLUCIÓN .- a) El Dominio está constituido por todos aquellos x que hacen que
la expresión subradical sea 0
≥ :
2 4 0
( ) ( )
− + ≥
x x ⇔ 4 2
, ] [ , Dom f
∈ − ∞ − ∪ ∞ =
x
b) Para evaluar el RANGO partimos de la condición dada para los x en el Dominio,
y luego se construyen las cotas adecuadas para los valores de y como sigue
2
f ( ) =
x
Y
X
2
1
1 x
0 4
Y
X
1
0 23
f
5
2
− 1
−

4 2
[ f ( ) ] : , ] [ ,
= ∀ ∈ − ∞ − ∪ ∞
y x x , 4 2 0
( ) ( )
x x
+ − ≥
⇔ 2 4 0
f ( ) ( ) ( )
x x x
= − + ≥ ⇔ 0
f ( ) [ ,
= ∈ ∞
y x
Por lo tanto, 4 2
f
R { f ( ) / Dom f , ] [ , }
= ∈ = − ∞ − ∪ ∞
x x
0
[ ,
= ∞ .
c) Notamos que: 2
1 9
f ( ) ( )
= = + −
y x x ⇔ 2 2
1 9 0
( ) ,
+ − = ≥
x y y
donde reconocemos que la
gráfica de f es una parte
de la hipérbola equilátera:
2 2
2 2
1
1
3 3
( )
x y
+
− =
pero solamente para los valo-
res de 0
y ≥ (semiplano
superior).
5.3 EJEMPLO .- Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función
0
f ( ) ,
−
= ≠
x x
x x
x
SOLUCIÓN .- 0
Dom f { }
= −
ℝ . Además,
–
2
0 2
( )
, : f ( )
− −
∀ ∈ − ∞ = = = =
x x x
x y x
x x
. . . ( )
a
– 0 0
( )
, : f ( )
−
∀ ∈ ∞ = = =
x x
x y x
x
. . . ( )
b
⇒ 0 0 0 2
f
R { f ( ) / , , } { , }
= ∈ − ∞ ∪ ∞ =
x x
De ( a ) y ( b ) obtenemos
la gráfica de f :
2 , si 0
x <
0 , si 0
x >
5.4 EJERCICIO .- Halle el dominio, el rango y la gráfica de la función
2
2 2
f ( ) ( ) / ( )
= − − −
x x x x
SOLUCIÓN . 1 2 2 1
f ( ) ( ) ( ) / ( )
y x x x x x
= = + − − = + , PERO PARA
2
x ≠ , ⇒ 2
Dom f { }
= −
ℝ .
Su gráfica corresponde a la de la recta 1
= +
y x a la cual se le ha quitado UN
PUNTO: el 2 3
( , ) , correspondiente a 2
=
x , pues éste no se encuentra en el Domi-
f ( )
x =
Y
X
f
2
4
− 1
−
Y
X
0
2
f
nio de f .
De la misma gráfica también vemos que
3
f
R { }
= −
ℝ
3 3
, ,
= − ∞ ∪ ∞
5.5 EJERCICIO .- Halle el Dominio, el Rango y la gráfica de las funciones:
a) 2
6 5
f ( ) = − +
x x x ,
b)
3 2
9 23 15
3
g ( )
x x x
x
x
− + −
=
−
, c)
3 2
8 17 10
2
h( )
x x x
x
x
− + −
=
−
SOLUCIÓN.- Completando cuadrados: 2
3 4 4
f ( ) ( )
= = − − ≥ −
y x x , PARA
TODO x ∈ ℝ [ Propiedad de los
Números Reales ] .
⇔ 4
f ( ) ,
x x
≥ − ∀ ∈ ℝ
Dom f = ℝ
4
f
R [ ,
= − ∞
Además, ( a ) :
5 1
f ( ) ( ) ( )
= = − −
y x x x
cuya gráfica corresponde a la pará-
bola que corta al Eje X en 5
x =
y 1
x = .
b) Factorizando:
3 2
9 23 15
3
g( )
x x x
x
x
− + −
=
−
5 1 3
3
( ) ( ) ( )
x x x
x
− − −
=
−
⇒ 2
5 1 6 5
g( ) ( ) ( )
x x x x x
= − − = − + ,
2
3 4
( )
x
= − −
¡ pero para 3
x ≠ !
⇒ 3
Dom g { }
= −
ℝ .
La gráfica corresponde a la parábola de
la parte (a) pero a la que se le ha quita-
do el punto 3 4
( , ) ( , )
= −
x y ,
pues si 3
x = , entonces f ( )
x
“ habría sido ” 4
= − .
Y
X
0 2
f
1
3
1
−
Y
X
0
3
1 5
f
2 4
4
−
Y
X
0
3
1 5
g
4
−

c) Factorizando:
3 2
8 17 10
2
h( )
− + −
=
−
x x x
x
x
5 1 2
2
( ) ( ) ( )
h( )
( )
x x x
x
x
− − −
=
−
2
6 5 2
,
x x x
= − + ≠
2
3 4
h( ) ( )
x x
= − − ,
¡ pero para 2
x ≠ ! ,
2
Dom h { }
= −
⇒ ℝ .
La gráfica corresponde a la parábola de la parte [a] pero a la que se le ha quitado el
punto 2 3
( , ) ( , )
= −
x y [ pues si 2
x = , entonces f ( )
x “habría sido” 3 ]
= − .
Además, vemos que 4
Ran g ( h) [ ,
= − ∞ coincide con el Rang (f ) de la parte
[a] , debido a que el punto 4 3
( , ) h
− ∈ .
5.6 EJERCICIO .- Halle el Dominio de la función real:
2
4 3
49
1
1
f ( )
( )
x
x
x
x
−
= + −
+
+
.
SOLUCIÓN .-
2
4 3
49 0
1
1
( )
x
x
x
−
+ − ≥
+
+
⇔ 2
1
49 0
1
[ ]
x
x
−
− ≥
+
1 1
7 7 0
1 1
( ) ( )
x x
x x
− −
− + ≥
+ +
⇔ 6 8 8 6 0 1
( )( )
x x x
− − − ≥ ∧ ≠ −
⇔
4 3
0 1
3 4
( ) ( )
x x x
+ − ≤ ∧ ≠ − ⇔
4 3
1
3 4
( [ , ] { } ) Dom f
x ∈ − − − =
5.7 EJERCICIO .- Halle el rango y la gráfica de la función
2
3 4 5 2 6
f ( ) ,
y x x x x
= = − + − + − ≤ < .
SOLUCIÓN .- Completando cuadrados: 2 2
4 5 2 1
( )
x x x
− + = − + , luego,
2 6 2 6
Dom f [ , :
∀ ∈ = − − ≤ <
x x ⇔ 4 2 4
x
− ≤ − <
⇒ 2
0 2 16
( )
x
≤ − ≤ ⇔ 2
1 2 1 17
( )
x
≤ − + ≤ ⇔
2
1 2 1 17
( )
x
≤ − + ≤ ⇔ 2
2 3 2 1 17 3
( )
− ≤ − + − + ≤ −
x
⇔ 2 17 3 1 12
f ( ) ( . )
x
− ≤ ≤ − ≅ ⇔ 2 17 3
Rang (f ) [ , ]
= − − .
Como 2
3 2 1
( )
= − + − +
y x ⇔ 2
3 2 1
( )
y x
+ = − +
⇔ 2 2
3 2 1
( ) ( )
y x
+ − − = , 3
y ≥ − .
La gráfica corresponde a una parte de la hipérbola equilátera de ecuación :
3
−
4
−
Y
X
0
3
1
h
2 5
4
2 2
3 2 1
( ) ( )
y x
+ − − = ,
con 3
y ≥ − ,
para los valores 2 6
[ ,
∈ −
x .
2 17 3
Rang (f ) [ , ]
= − −
5.8 EJERCICIO .- Un cazador situado en el punto 2 5
A( , ) dispara a un pato situado
en 1 4
B( , )
− − . La trayectoria del proyectil es una recta de pen-
diente m. Si la presión arterial "p" del pato depende de la distancia "d" (pequeña)
con que lo roza el proyectil, según la relación
0 , si 0
d =
12 1
( /d)
+ , si 0
d > ,
exprese la presión p del pato en función de la pendiente m , para 0 3
,
m ∈ .
SOLUCION .- Pendiente de 1
5 4 2 1 3
A B m [ ( ) ] / [ ( ) ]
= = − − − − = ;
Si L es la trayectoria del proyectil 5 2
: m ( )
L y x
− = −
2 5 0
: m m
L y x
− + − = ⇒ 1 4
d Dist ( , ) ;
[ ]
= − − L
⇒ 2 2
4 2 5 1 3 9 1
d m m / m m / m
= − + + − + = − +
d
2
9 3 1
( m) / m
= − + , pues 0 3
m ,
∈
Puesto que
0 , si 0
d =
1
12
d
+ , si 0
d >
y como
0
d = ⇔ 3
m = ,
lo cual no es permitido entonces
sólo se cumple que 0
d > ,
y por lo tanto, para 0 3
m ,
∈ :
1
12
p p (m)
d
= = +
2
12 1 9 3
[ m / ( m) ]
= + + − .
p =
p =
17 3
−
f
Y
X
0
1 5
2 6
1
2
1
−
2
−
2
−
3
−
Trayectoria de
disparo de
pendiente m .
2 5
A( , )
1 4
B ( , )
= − −
1
3
m =
1
−
4
−
Y
X
2
5
B
d

5.9 FUNCIONES CON VARIAS REGLAS DE CORRESPONDENCIA
Cuando una función está constituida por varias reglas de
correspondencia (o funciones parciales) como
,
, donde A B
∩ = ∅
,
entonces se prueba que
pues Rang (f ) f ( A B) f ( A ) f (B)
= ∪ = ∪
1 2 1 2
f ( A ) f (B) Rang (f ) Rang (f )
= ∪ = ∪
Estos resultados se extienden a funciones con tres o más funciones parciales.
5.10 EJEMPLO .- Halle el Dominio, el Rango y la gráfica de la función
2
4
x
− + , 3
x < 1
( f )
2 5
x
− + , 3
x > 2
( f )
a) 2
1 1
4 3
f ( ) , , Dom f
= − + ∀ ∈ − ∞ =
x x x , entonces
3
x < ⇔ 2
0
x ≥ ⇔ 2
0
x
− ≤ ⇔ 2
4 4
x
− ≤
⇔ 2
1 1
4 4
f ( ) ( ) , ] Rang (f )
= − ∈ − ∞ =
x x
b) 2 2
2 5 3
f ( ) , , Dom (f )
= − + ∀ ∈ ∞ =
x x x , entonces
3
x > ⇔ 2 6
x
− < − ⇔ 2
2 5 1
f ( )
x x
= − + < −
⇔ 2
1
f ( ) ,
x ∈ − ∞ − ⇔ 2
1
Rang (f ) ,
= − ∞ − .
De ( a ) y ( b ) : 1 2
3 3
Dom (f ) Dom f Dom f , ,
= ∪ = − ∞ ∪ ∞
1 2
4 1
Rang (f ) Rang(f ) Rang (f ) , ] ,
= ∪ = − ∞ ∪ − ∞ −
4
, ]
= − ∞ ;
Sobre 1
3
Dom f ,
= − ∞
se grafica la parábola
2
1
4
f ( )
= = −
y x x
Sobre 2
3
Dom f ,
= ∞
se grafica la recta
2
2 5
f ( )
= = − +
y x x .
Así, 4
Rang (f ) , ]
= − ∞ .
1 2
Dom f Dom ( f ) Dom (f ) A B
= ∪ = ∪
1 2
Rang (f ) Rang (f ) Rang (f )
= ∪
f ( ) =
x
1
A Dom f
∈ =
x
2
B Dom f
∈ =
x
1
f ( )
x
2
f ( )
x
f ( ) =
x
1
−
2
−
3
−
5
−
1
−
Y
X
2
1 3 4 5 6
4
f
5.11 EJERCICIO .- Halle el Dominio, el rango y la gráfica de la función
1 3 1
, [ ,
− ∈ − −
x x . . . 1
(f )
f ( ) =
x 0 1 2
, ,
∈
x . . . 2
(f )
2 3 2 4
, , ]
− ∈
x x . . . 3
(f )
SOLUCIÓN .- 3 1 1 2 2 4
Dom f [ , , , ]
= − − ∪ ∪ ,
a) 1
3 1
Dom f [ ,
∀ ∈ = − −
x , 3 1
x
− ≤ < − ⇔
4 1 2
( )
x
− ≤ − < − ⇔
1
1
1 4 2 f
f ( ) ( ) [ , R
= − ∈ − − =
x x
⇔ 1
4 2
Rang (f ) [ ,
= − − .
b) 2 2
1 2 0
Dom f , , f ( )
∀ ∈ = =
x x ⇔ 2
0
Rang (f ) { }
= .
c) 3
2 4
Dom f , ]
∀ ∈ =
x ,
⇔ 2 4
x
< ≤
⇔ 4 2 8
x
< ≤
⇔ 1 2 3 5
( )
x
< − ≤
⇔ 1 5
f ( )
x
< ≤
⇔ 3
1 5
Rang (f ) , ]
=
∴ De ( a ) , ( b ) y ( c ) :
Rang (f ) =
4 2 0 1 5
[ , { } , ]
= − − ∪ ∪ .
5.12 EJERCICIO .- Sea 2
2 3
f ( ) = − −
x x x . Halle su dominio, su rango y la
gráfica.
SOLUCIÓN .- 2
1 4
f ( ) ( )
= − −
x x , Dom f = ℝ
y como 2
1 4 4
( )
− − ≥ −
x
⇔ 4
f ( )
x ≥ − ,
entonces
4
Rang (f ) [ ,
= − ∞ .
a) Si 0
≥
x :
2
1 4
f ( ) ( )
x x
= − −
b) Si 0
x < :
2
1 4
f ( ) [ ( ) ]
x x
= − − −
2
1 4
( )
x
= + − ,
cuyas gráficas son las secciones de
parábolas de la figura adyacentes.
Y
X
2
1 4
f
5
1
0
1
−
2
−
2
−
3
−
4
−
1
−
3
−
3
−
4
−
Y
X
1
f
0
3

5.13 EJERCICIO .- Grafique la función:
3 2
1
1
f ( )
+ + +
=
+
x x x
x
x
indicando su
dominio y su rango.
SOLUCIÓN .- Podemos expresar f en la siguiente forma:
2
1 1
1
( ) ( )
f ( )
+ + +
=
+
x x x
x
x
2
1
1
1
( )
f ( ) ( )
+
= +
+
x
x x
x
Luego,
2
1
x + , 1
x > −
2
1
( )
x
− + , 1
x < −
⇒ 1
Dom f { }
= − −
ℝ ,
2 1
Rang (f ) , [ ,
= − ∞ − ∪ ∞ .
SERIE DE EJERCICIOS
1. Si 2
4 3
f ( )
x x x
+ = + , Halle 1
f (a )
+ .
2. Halle el rango de 2
f ( ) = − −
x x x , x ∈ ℝ .
3. Halle el dominio, el rango y la gráfica de las funciones:
a)
3 2
2
7 14 8
6 8
f ( )
x x x
x
x x
+ + +
=
+ +
b)
4 3 2
2
10 35 50 24
4 3
f ( )
x x x x
x
x x
− + − +
=
− +
, c) 2
2 3
f ( )
x x x
= + − .
4. Halle el dominio, rango y gráfica de la función 2
4 9 2 3
f ( ) ( ) /
= − +
x x x .
5. Si 2
3 1
f ( )
x x x
= − + + y 2
3 2 1
g( )
x x x
= + + , x ∈ ℝ , halle
Rang (f ) Rang (g)
∩ .
6. Halle el dominio y el rango de la función 1
f ( ) /
=
x x .
7. Halle el dominio de la función
3 2
2
2
f ( )
x x x
x
x
+ +
=
−
.
8. Si la gráfica de la función f está dada en la figura, halle su regla de correspon-
dencia:
f ( )
x =
Y
X
1
1
f
2
1
−
1
−
2
−
O A // BC , OX // A B
9. Dadas las funciones 2
3 6 2
f ( ) = + +
x x x , 2
4 2
g( ) / ( )
x x x
= − − ,
Halle [ Rang (f ) Dom ( g) ]
−
∁ .
10. Halle el dominio de la función 2
1 2
f ( ) ( ) /
= − −
x x x .
11. Halle el rango y la gráfica
de la función f : 2
−
x , 2
x ≥
2
2 3
x x
+ − , 1 1
[ ,
∈ −
x
12. Halle el dominio, el rango y la gráfica de las funciones:
a)
3 2
13 3
3
f ( )
x x x
x
x
− − −
=
+
b)
2 2
2
3 4 5 6
3 2 3
( ) ( )
f ( )
( ) ( )
x x x x
x
x x x
+ − − +
=
− + −
c)
4 3 2
2
3 11 23 6
6
f ( )
x x x x
x
x x
− − + +
=
+ −
.
13. Halle el Dominio y el Rango de la función 2 2
2
f ( ) / ( )
x x x
= − .
14. Si 2
4 6 9 11
f ( ) ( ) , Dom f , ]
= + + − = − ∞ −
x x , y
2
3 3
g( ) ( )
= + −
x x , 0
Dom g ,
= ∞ . Halle Rang (f ) Rang ( g)
∩ .
CLAVE DE RESPUESTAS
1. 2
1 3
f (a ) a a
+ = − ; 2. 2
, ]
− ∞
3. a) 1
f ( )
= = +
y x x , para 4 2
,
x x
≠ − ≠ − ;
2 4
Dom f { , }
= − − −
ℝ
1 3
Rang f { , }
= − − −
ℝ
b) 2
6 8
f ( ) = − +
x x x , para 1 3
,
x x
≠ ≠ ;
f ( )
x =
45º
45º
Y
X
f
0 2.5 4.5 8
A B
C
D
2
−
4
−
Y
X
f
1
1
−
3
−

1 3
Dom f { , }
= −
ℝ , 1
Rang f ,
= − ∞ Ver Fig. (b)
c) 2
1 4
f ( ) ( )
= = + −
y x x ; parte de la hipérbola
2 2
1 4
( )
x y
+ − = , 0
y ≥
3 1
Dom f , ] [ ,
= − ∞ − ∪ ∞ , 0
Rang f [ ,
= ∞ Ver Fig. (c)
4. 3 2
Dom f { / }
= − −
ℝ , 6
Rang f [ ,
= − ∞
2 3 2 3 2 3
f ( ) ( ) [ ( ) / ]
= − + +
x x x x
⇒ 3 2
Dom f { / }
= − −
ℝ , 6
Rang f [ ,
= − ∞
5. 3 5 1
Rang f [ / , ]
= −
6. 1
n [ n , n
= ∈ +
⇔
x x
0 1
Dom f [ ,
= −
ℝ ,
1
0
Rang f { / , }
n n
n
= ∈ ≠
ℤ
7. 0 2
, ] ,
− ∞ ∪ ∞
x , 0 5 2
[ , /
∈
x
8. 5 2
/ , 5 2 9 2
[ / , /
∈
x
2
x − , 9 2 5
[ / ,
∈
x
8 x
− , 5 8
[ , ]
∈
x
9. 2
,
− ∞ , pues 2
Rang (f ) Dom (g) [ ,
− = ∞
10. 1 1 2 2
, ] [ , ,
− ∞ − ∪ ∪ ∞ .
11. 2 2
2 3 1 4
( )
+ − = + −
x x x ,
4 0 0
f
R [ , [ ,
= − ∪ ∞
4
[ ,
= − ∞ .
12. a) 3
Dom f { }
= − −
ℝ , 5
Rang f [ ,
= − ∞
b) 1 2 3
Dom f { , , }
= −
ℝ , 5 6 7
Rang f { , , }
= −
ℝ
13. 2
Dom f { }
= −
ℝ , 0
Rang f [ ,
= ∞
14. 8
f
R [ ,
= ∞ , 6
g
R ,
= ∞ , 8
f g
R R [ ,
∩ = ∞ .
[ Fig. ( c ) ]
f ( ) =
x
f
Y
X
1
1
−
3
−
f
Y
X
1
0 2
1
−
4
−
[ Fig. ( b ) ]
1
−
Y
X
1
3
5
3
6. FUNCIONES ESPECIALES
6.1 FUNCIÓN IDENTIDAD
Es denotada por I : 
→
ℝ ℝ , tiene Dom I = ℝ y regla
de correspondencia I ( )
= =
y x x , de donde vemos que su gráfica es una recta
de pendiente 1, que pasa por el origen.
Si la función Identidad ha de tener un dominio A ⊂ ℝ entonces
como ya sabemos, se le denota A
I , es decir
A
I ( ) , A
= ∀ ∈
x x x
y se dice que es la FUNCIÓN IDENTIDAD SOBRE A , o la RESTRICCIÓN DE LA FUNCIÓN
IDENTIDAD I AL CONJUNTO A .
6.2 FUNCIÓN CONSTANTE
Es una función con
dominio ℝ y cuyo rango consiste de un
solo elemento C ∈ ℝ :
f ( ) C ,
= = ∀ ∈ ℝ
y x x
Rang (C) { C }
=
6.3 FUNCIÓN ESCALÓN UNITARIO
Para cada a ∈ ℝ ( a fijo ), se define la “FUNCIÓN ESCALÓN
UNITARIO DE PASO a ” como :
0 , a
<
x
1 , a
≥
x
Dom ,
a = − ∞ ∞
u
0 1
Rang { , }
a =
u .
Note que en el punto a
=
x , la gráfica da un salto vertical unitario.
Por ejemplo:
0 , 3
x < 0 , 0
x <
1 , 3
x ≥ , 1 , 0
x ≥
X
Y
0
c C
=
y
( )
a =
x
u
3
( ) =
x
u 0
( ) =
x
u
a
u
X
Y
0
1
a

6.4 NOTA .- A la función 0
u también se le denota simplemente u es decir,
0
( ) ( )
=
x x
u u .
6.5 FUNCIÓN SIGNO
1
− , 0
x <
Sgn ( ) =
x 0 , 0
x =
1 , 0
x >
Dom Sgn ,
= − ∞ ∞
1 0 1
Rang Sgn { , , }
= −
6.6 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
x , 0
x ≥
x
− , 0
x <
Dom = ℝ
0
Rang [ ,
= ∞
La gráfica está constituida por
una parte de la recta y x
= ,
para 0
x ≥ , y por una parte
de la recta y x
= − , para
0
x < .
6.7 FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO
Es aquella función f definida por:
f ( )
x x
= , si 1 ,
n n n
≤ < + ∈ ℤ
x
cuyo dominio es ℝ y cuyo rango es ℤ .
Dando algunos valores a n :
f ( )
y x x
= = =
3
u
X
Y
0
1
3
0
u
X
Y
0
1
Sgn ( )
x
X
Y
0
1
1
−
=
y x
1
− X
Y
1
1
2
− , si 2 1
x
− ≤ < −
1
− , si 1 0
x
− ≤ <
f ( )
x x
= = 0 , si 0 1
x
≤ <
1 , si 1 2
x
≤ <
2 , si 2 3
x
≤ <
6.8 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
Es la función cuya regla de correspondencia es:
f ( )
x x
= ( o
1 2
/
f ( )
x x
= )
con dominio 0
[ , ∞
y rango 0
[ , ∞
6.9 FUNCIONES CUADRÁTICAS
Son aquellas que tienen la forma
2
f ( ) a b c
= + +
x x x , 0
a ≠
y que por completación de cuadrados siempre pueden transformarse en:
2
f ( ) ( h)
a k
= − +
x x
y x
=
1
−
2
−
1
−
2
−
X
Y
1
1
0
2 3 4 5
2
3
4
X
Y
1
1
0 4
2

que corresponden a parábolas con dominio ℝ , y con vértice V (h , k )
= .
i) Si 0
a > : ii) Si 0
a < :
Dom f = ℝ Dom f = ℝ
Rang f [ k ,
= ∞ Rang f , k ]
= − ∞
Y como 2
2
2 4
b
f ( ) a [ ( ) ]
a a
x x
∆
= + − , 2
4
b ac
∆ = − (DISCRIMINANTE)
entonces se presentan los siguientes casos:
1) f ( )
x tiene raíces reales si y sólo si 0
∆ ≥ . Es decir, que en este caso,
existen valores reales de x para los cuales 0
f ( )
x = .
Geométricamente, esto significa que la gráfica de f corta al Eje X , de
todas maneras. En este caso ( 1 ) se presentan dos subcasos:
i) Que f ( )
x tiene dos raíces reales distintas 1
x y 2
x , 1 2
x x
≠ ⇔ 0
∆ > .
Esto significa que la gráfica de f corta al Eje en dos puntos distintos. [ Fig. (1i) ].
Cuando esto se presenta ya sabemos que ESTA ECUACIÓN DE
2
º
GRADO ,
f ( )
x puede ser factorizada en la forma: 1 2
f ( ) a ( ) ( )
= − −
x x x x x .
Por ejemplo, 2
2 4 6
f ( )
x x x
= + − tiene 2 4 6
a , b , c
= = = −
con 2
4 16 4 12 40 0
b ac ( )
∆ = − = − − = > ,
y se puede factorizar en la forma 2 1 3
f ( ) ( ) ( )
x x x
= − + .
[ Fig. ( 1.i ) ]
0
a >
X
Y
h
k
0
a <
X
Y
h
k
0
∆ >
0
a >
2
x
1
x
2
b/( a)
−
X
Y 0
∆ >
0
a <
2
b/( a)
−
2
x
1
x
X
Y
ii) Que f ( )
x tiene una sola raíz 0
x x
= (raíz de multiplicidad 2 ) :
[ O sea, 1 2 0 2
b
]
a
x x x
= = = − ⇔ 0
∆ = ⇔ 2
0
[ b ac ]
− = .
Esto significa que la gráfica de f corta al Eje X en un solo punto, en forma tan-
gente a este Eje.
Cuando esto se presenta, entonces f ( )
x siempre resulta ser UN CUADRADO PER-
FECTO: 2 2
0
2
b
f ( ) ( ) ( )
a
a a
= + = −
x x x x
Por ejemplo 2
3 12 12
f ( ) = − +
x x x
2 2
3 4 4 3 2
( ) ( )
= − + = −
x x x
pues tiene 3 12 12
a , b , c
= = − = ⇒ 144 4 36 0
( )
∆ = − = .
CASO 2) f ( )
x no tiene raíces reales si y solamente si 0
∆ < .
Por ejemplo, 2 2
2 4 5 2 1 3
f ( ) ( )
x x x x
= − + = − + no se hace
CERO para ningún valor real de x .
En efecto, 2 4 5
a , b , c
= = − = ⇒ 24 0
∆ = − < .
6.11 POLINOMIOS
Las funciones cuadráticas son casos especiales de POLINO-
MIOS. Un Polinomio es una función de la forma:
1 0
1
1
n
n
f ( ) a a . . . a a
n n
−
= + + + +
−
x x x x
0
2
b /( a )
= −
x
0
∆ =
0
a >
X
Y
0
2
b/( a )
x = −
0
∆ =
0
a <
X
Y
0
∆ <
0
a >
X
Y
0
∆ <
0
a <
X
Y

donde 0
n ≥ , entero , y donde 0 1
a , a , . . . , an son constantes.
Si 0
n
a ≠ el polinomio es de GRADO n , y al coeficiente n
a se le llama
COEFICIENTE PRINCIPAL.
Un polinomio de grado 0 es toda Función Constante: 0
f ( ) a
=
x , 0
0
a ≠ .
Un polinomio de grado 1 es toda Función Lineal f ( ) a b
x x
= + .
Si r es una raíz de un polinomio f ( )
x [ es decir: 0
f (r ) ]
= de grado n ,
se puede expresar f ( ) ( r ) Q( )
= − ⋅
x x x ,
para algún polinomio Q( )
x de grado n
( )
− 1 .
Se llama RAÍZ DE MULTIPLICIDAD m del polinomio f ( )
x a aquella raíz r
tal que hace posible expresar:
m
f ( ) ( r ) Q( )
= − ⋅
x x x , siendo 0
Q(r ) ≠
y donde Q( )
x es un polinomio de grado ( )
n m
− .
Un polinomio de grado n tiene a lo más n raíces contando sus multiplicidades.
Así 2 3 2
3 1 4 1
f ( ) ( ) ( ) ( )
= − + +
x x x x es un polinomio de grado 7
n =
con dos raíces reales: 1
r = de multiplicidad 2 y 4
r = − de multiplicidad 3, y
dos raíces complejas ; mientras que 4 3 2 6
1 5 4
g ( ) ( ) ( ) ( )
x x x x x
= − + − +
es un polinomio de grado 15
n = con tres raíces reales: 0
r = (de multiplicidad
4), 1
r = − (de multiplicidad 3), y 5
r = (de multiplicidad 2). Y tiene 6 raíces
complejas, conjugadas dos a dos debido a que el polinomio tiene coeficientes reales.
6.12 FUNCIÓN SENO
f ( ) Sen ( )
x x
=
donde la variable ,
∈ − ∞ ∞
x se considera medida en radianes.
Dom ( ) ,
Sen = − ∞ ∞ ,
1 1
Rang ( ) [ , ]
Sen = − , pues 1 1
( ) ,
Sen
− ≤ ≤ ∀ ∈ ℝ
x x .
π 2π 3π 4π
π
−
2 π
−
f ( ) Sen
=
x x
π / 2 5π/ 2 7π/ 2 9π/ 2
π/ 2
−
3π/ 2
− 3π/ 2 X
Y
0
1
6.13 EJERCICIO .- Grafique la función: 2 1 1 6
f ( ) , [ ,
= − + ∈ −
x x x .
SOLUCIÓN .- Por propiedad del valor absoluto:
– Si 1 2 1 2
[ , ,
∈ − − ≤ <
x x ⇒ 2 0
x − <
⇒ 2 2
− = −
x x ⇒ 2 1 3
− + = −
x x
– Si 2 6 2 6
[ , ] ,
∈ ≤ ≤
x x ⇒ 2 0
x − ≥
⇒ 2 2
− = −
x x ⇒ 2 1 1
− + = −
x x
Por lo tanto,
2 1 3
− + = −
x x , si 1 2
[ ,
∈ −
x
2 1 1
− + = −
x x , si 2 6
[ , ]
∈
x
De la gráfica vemos que
1 5
Rang (f ) [ , ]
=
1 4 1 5
, ] [ , ]
= ∪
6.14 FUNCIÓN COSENO
f ( ) Cos ( )
x x
=
donde la variable ,
∈ − ∞ ∞
x se considera medida en radianes.
Dom (cos) ,
= − ∞ ∞ ,
1 1
Rang (cos) [ , ]
= − , pues 1 1
Cos( ) ,
x x
− ≤ ≤ ∀ ∈ ℝ
6.15 PROBLEMA .- Grafique la función f ( ) =
x x .
SOLUCIÓN .- Como 0 0
, [ ,
≥ ∀ ∈ ∞
x x ⇔ =
x x entonces
la gráfica de f ( ) =
x x es la misma que la de y x
= .
f ( )
y x
= =
X
Y
0
1
5
4
3
f
6
2
1
−
π 2π 3π 4π
π
−
2π
−
3
2
π
2
π 5
2
π 7
2
π
2
π
−
3
2
π
−
5
2
π
−
X
Y
0
1
1
−

6.16 PROBLEMA .- Grafique la función f ( ) =
x x .
SOLUCIÓN .- Dom ( f ) ,
= − ∞ ∞ ; observamos que f ( )
= =
y x x
es simétrica con respecto al Eje Y , pues la ecuación no varía al re-
emplazar x por x
− ;
y como =
x x para
0
x ≥ , entonces
f ( )
x x
= para
0
[ ,
∈ ∞
x y la com-
pletamos por la simetría
en 0
, ]
− ∞ .
0
Rang (f ) [ ,
= ∞ .
6.17 PROBLEMA .- Halle el dominio, el rango y la gráfica de f ( ) =
x x .
SOLUCIÓN .-
n
=
x ⇔ 0 0
{ }
n +
≥ ∧ ∈ ∪
ℤ
x 1
( )
n n
∧ ≤ < +
x
⇔ 2 2
1
( )
n n
≤ < +
x , 0
n ≥ , n ∈ ℤ ( )
∗
0 , 0 1
[ ,
∈
x 0
n = en ( )
∗
1 , 1 4
[ ,
∈
x 1
n = en ( )
∗
2 , 4 9
[ ,
∈
x 2
n = en ( )
∗
. . .
0
Dom f [ ,
= ∞
0
f
R { }
+
= ∪
ℤ
= =
f ( )
x x
f ( ) =
x x
X
Y
1
1
0 4
2
X
Y
1
1
0 4
2
1
−
4
−
X
Y
1
1
0 4
2
9 27
3

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