Funciones

Conceptos básicos sobre funciones
Algunas características sobre funciones
Composición de funciones
Inversa de una función
Estudio de las funciones elementales

Las funciones elementales

Grado en Química

Universidad de Huelva

Curso 2009/10

Grado en Química Las funciones elementales


Contenido

1 Conceptos básicos sobre funciones
2 Algunas características sobre funciones
3 Composición de funciones
4 Inversa de una función
5 Estudio de las funciones elementales
Función polinómica
Función racional
Función irracional
Función exponencial
Función logarítmica
Funciones trigonométricas



Función real de variable real

Deﬁnición
Sea D un subconjunto de números reales. Una función es una “ley”
que a cada número real x del subconjunto D le asocia otro número
real único (denominado imagen de x). Al conjunto D se le llama
dominio de la función.




Deﬁnición

Ejemplos
1 A cada número no negativo se le asocia su raíz cuadrada
positiva




Deﬁnición

Ejemplos
positiva
2 A cada número del intervalo [-1,5] se le asocia su cuadrado
aumentado en dos unidades




Deﬁnición

Ejemplos
positiva
3 A cada número distinto de 0 se le asocia su inverso




Para determinar una función f , hay que indicar:




Dominio D




Dominio D
Expresión algebraica que permite obtener la imagen f (x) de
cada valor x ∈ D



f: D −→ R
x → f (x)
Dominio D
Expresión algebraica que permite obtener la imagen f (x) de
cada valor x ∈ D



f: D −→ R
x → f (x)
Ejemplos
positiva
f : R+ ∪ {0} −→ R√
x −→ + x



f: D −→ R
x → f (x)
Ejemplos
positiva
f : R+ ∪ {0} −→ R√
x −→ + x
g : [−1, 5] −→ R
x −→ x 2 + 2



f: D −→ R
x → f (x)
Ejemplos
positiva
f : R+ ∪ {0} −→ R√
x −→ + x
g : [−1, 5] −→ R
x −→ x 2 + 2
3 A cada número distinto de 0 se le asocia su inverso
h : R{0} −→ R
x −→ 1/x


f: D −→ R
x → f (x)

Observaciones



f: D −→ R
x → f (x)

Observaciones
Si sólo se aporta la ley algebraica f (x), entonces el dominio de f
es el máximo posible



f: D −→ R
x → f (x)

Observaciones
El dominio de una función depende también de la naturaleza de
las magnitudes que pretendemos describir



f: D −→ R
x → f (x)

Observaciones
El dominio de una función depende también de la naturaleza de
las magnitudes que pretendemos describir
En los ejemplos anteriores, x recibe el nombre de variable
independiente




Deﬁniciones
Se llama imagen de f , y se abrevia Im (f ), al conjunto numérico
formado por todas las imágenes f (x) cuando x recorre el
dominio D; es decir,

Im (f ) = {f (x) : x ∈ D}.




Definiciones
Se llama imagen de f , y se abrevia Im (f ), al conjunto numérico
formado por todas las imágenes f (x) cuando x recorre el
dominio D; es decir,

Im (f ) = {f (x) : x ∈ D}.

Se llama gráfica de f a la curva resultante al representar en
unos ejes cartesianos el conjunto siguiente:

{(x, f (x)) : x ∈ D}

La ecuación de la gráfica de una función viene dada por
y = f (x).



f (x) = x 2



f (x) = x 2

Im (f ) = {f (x) : x ∈ R} = {x 2 : x ∈ R} = [0, +∞)



f (x) = x 2

Im (f ) = {f (x) : x ∈ R} = {x 2 : x ∈ R} = [0, +∞)

f(x)=x2

40
y
35

30

25

20 X: 4
Y: 16

15

10

5
x
0

−6 −4 −2 0 2 4 6



¿Puede ser esta curva la gráﬁca de alguna función?

4

3

2

1

0

−1

−2

−3

−4
−2 0 2 4 6 8 10 12



¿Puede ser esta curva la gráﬁca de alguna función?
y2=x
4

3
X: 9
Y: 3
2

1

0

−1

−2
X: 9
Y: −3
−3

−4
−2 0 2 4 6 8 10 12

¡¡x = 9 tiene dos imágenes!!



Monotonía

Sea f una función con dominio D.
Deﬁniciones
Se dice que f es creciente en el intervalo I ⊂ D si, cualesquiera
que sean x1 , x2 ∈ I veriﬁcando x1 < x2 , se cumple que
f (x1 ) < f (x2 ); es decir, si a medida que crece x en el intervalo I,
crece f (x).



Monotonía

Definiciones
Se dice que f es creciente en el intervalo I ⊂ D si, cualesquiera
que sean x1 , x2 ∈ I verificando x1 < x2 , se cumple que
f (x1 ) < f (x2 ); es decir, si a medida que crece x en el intervalo I,
crece f (x).
Se dice que f es decreciente en el intervalo I ⊂ D si,
cualesquiera que sean x1 , x2 ∈ I verificando x1 < x2 , se cumple
que f (x1 ) > f (x2 ); es decir, si a medida que crece x en el
intervalo I, decrece f (x).



Monotonía

12

10

8

X: −2 X: 4
6 Y: 5 Y: 5

4 X: −1.5
Y: 2.25
2
X: −1 X: 3
Y: 0 Y: 0
0

−2
X: 1
Y: −4
−4

−6
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
2
La función f (x) = x − 2x − 3 es:



Monotonía

12

10

8

X: −2 X: 4
6 Y: 5 Y: 5

4 X: −1.5
Y: 2.25
2
X: −1 X: 3
Y: 0 Y: 0
0

−2
X: 1
Y: −4
−4

−6
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
2
decreciente en (−∞, 1): x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )



Monotonía

12

10

8

X: −2 X: 4
6 Y: 5 Y: 5

4 X: −1.5
Y: 2.25
2
X: −1 X: 3
Y: 0 Y: 0
0

−2
X: 1
Y: −4
−4

−6
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
2
decreciente en (−∞, 1): x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 )
creciente en (1, +∞): x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 )



Acotación
Deﬁniciones
Se dice que f está acotada superiormente en el intervalo I ⊂ D
si existe un número M ∈ R tal que f (x) ≤ M cualquiera que sea
x ∈ I. La constante M recibe el nombre de cota superior de f en
I.



Acotación
Deﬁniciones
I.
Se dice que f está acotada inferiormente en el intervalo I ⊂ D
si existe un número m ∈ R tal que f (x) ≥ m cualquiera que sea
x ∈ I. La constante m recibe el nombre de cota inferior de f en
I.



Acotación
Deﬁniciones
I.
Se dice que f está acotada inferiormente en el intervalo I ⊂ D
si existe un número m ∈ R tal que f (x) ≥ m cualquiera que sea
x ∈ I. La constante m recibe el nombre de cota inferior de f en
I.
Se dice que f está acotada en el intervalo I ⊂ D si está acotada
superior e inferiormente en I. En virtud de las deﬁniciones
anteriores, esto puede resumirse diciendo que existe un número
K > 0 tal que −K ≤ f (x) ≤ K cualquiera que sea x ∈ I. La
constante K recibe el nombre de cota de f en I.


Acotación
f(x)=arctg(x)
3

2

1

0

−1

−2

−3
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
x
La función f (x) = arctg (x):



Acotación
f(x)=arctg(x)
3

2

1

0

−1

−2

−3
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
x
está acotada superiormente en R (M = 2 es cota superior)



Acotación
f(x)=arctg(x)
3

2

1

0

−1

−2

−3
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
x
está acotada superiormente en R (M = 2 es cota superior)
está acotada inferiormente en R (m = −2 es cota inferior)



Acotación
f(x)=x2+1
40

35

30

25

20

15

10

5

0

−6 −4 −2 0 2 4 6

La función f (x) = x 2 + 1:



Acotación
f(x)=x2+1
40

35

30

25

20

15

10

5

0

−6 −4 −2 0 2 4 6

no está acotada superiormente en R



Acotación
f(x)=x2+1
40

35

30

25

20

15

10

5

0

−6 −4 −2 0 2 4 6

no está acotada superiormente en R
está acotada inferiormente en R (m = 1 es cota inferior)



Acotación
f(x)=x2+1 en [−2,2]
40

35

30

25

20

15

10

5

0

−6 −4 −2 0 2 4 6

La función f (x) = x 2 + 1 en [-2,2]:



Acotación
f(x)=x2+1 en [−2,2]
40

35

30

25

20

15

10

5

0

−6 −4 −2 0 2 4 6

La función f (x) = x 2 + 1 en [-2,2]:
está acotada superiormente (M = 5 es cota superior)



Acotación
f(x)=x2+1 en [−2,2]
40

35

30

25

20

15

10

5

0

−6 −4 −2 0 2 4 6

La función f (x) = x 2 + 1 en [-2,2]:
está acotada superiormente (M = 5 es cota superior)
está acotada inferiormente (m = 1 es cota inferior)



Acotación
f(x)=x3

1000

800

600

400

200

0

−200

−400

−600

−800

−1000

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
x
La función f (x) = x 3 :



Acotación
f(x)=x3

1000

800

600

400

200

0

−200

−400

−600

−800

−1000

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
x
no está acotada superiormente



Acotación
f(x)=x3

1000

800

600

400

200

0

−200

−400

−600

−800

−1000

−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
x
no está acotada superiormente
no está acotada inferiormente



Simetría

Deﬁniciones
Se dice que f es par si f (−x) = f (x) cualquiera que sea x ∈ D.



Simetría

Deﬁniciones
Se dice que f es par si f (−x) = f (x) cualquiera que sea x ∈ D.
Se dice que f es impar si f (−x) = −f (x) cualquiera que sea
x ∈D



Simetría
f(x)=1/(1+x2)

1

0.8

0.6 X: −1 X: 1
Y: 0.5 Y: 0.5

0.4

X: −2 X: 2
Y: 0.2 Y: 0.2
0.2

0

−6 −4 −2 0 2 4 6



Simetría
f(x)=1/(1+x2)

1

0.8

0.6 X: −1 X: 1
Y: 0.5 Y: 0.5

0.4

X: −2 X: 2
Y: 0.2 Y: 0.2
0.2

0

−6 −4 −2 0 2 4 6

1
f (x) = es par
1 + x2



Simetría
f(x)=1/(1+x2)

1

0.8

0.6 X: −1 X: 1
Y: 0.5 Y: 0.5

0.4

X: −2 X: 2
Y: 0.2 Y: 0.2
0.2

0

−6 −4 −2 0 2 4 6

1
f (x) = es par
1 + x2
1 1
f (−x) = 1+(−x)2
= 1+x 2
= f (x)



Simetría
f(x)=1/(1+x2) g(x)=x3
80

1
60
X: 3.5
Y: 42.88

0.8 40

20 X: 2
0.6 Y: 8
X: −1 X: 1
Y: 0.5 Y: 0.5
X: −2
0 Y: −8

0.4
−20
X: −2 X: 2
Y: 0.2 Y: 0.2 X: −3.5
Y: −42.88
0.2 −40

−60
0

−80
−6 −4 −2 0 2 4 6 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1
f (x) = es par
1 + x2
1 1
f (−x) = 1+(−x)2
= 1+x 2
= f (x)



Simetría
f(x)=1/(1+x2) g(x)=x3
80

1
60
X: 3.5
Y: 42.88

0.8 40

20 X: 2
0.6 Y: 8
X: −1 X: 1
Y: 0.5 Y: 0.5
X: −2
0 Y: −8

0.4
−20
X: −2 X: 2
Y: 0.2 Y: 0.2 X: −3.5
Y: −42.88
0.2 −40

−60
0

−80
−6 −4 −2 0 2 4 6 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1
f (x) = es par f (x) = x 3 es impar
1 + x2
1 1
f (−x) = 1+(−x)2
= 1+x 2
= f (x)



Simetría
f(x)=1/(1+x2) g(x)=x3
80

1
60
X: 3.5
Y: 42.88

0.8 40

20 X: 2
0.6 Y: 8
X: −1 X: 1
Y: 0.5 Y: 0.5
X: −2
0 Y: −8

0.4
−20
X: −2 X: 2
Y: 0.2 Y: 0.2 X: −3.5
Y: −42.88
0.2 −40

−60
0

−80
−6 −4 −2 0 2 4 6 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1
f (x) = es par f (x) = x 3 es impar
1 + x2
1 1
f (−x) = 1+(−x)2
= 1+x 2
= f (x) f (−x) = (−x)3 = −x 3 = −f (x)



Periodicidad
Deﬁnición
Se dice que f : R −→ R es periódica si existe un número T > 0
cumpliendo que f (x + T ) = f (x) si x ∈ R. A la menor de las
cantidades T se le llama periodo de f .



Periodicidad
Deﬁnición
Se dice que f : R −→ R es periódica si existe un número T > 0
cumpliendo que f (x + T ) = f (x) si x ∈ R. A la menor de las
cantidades T se le llama periodo de f .

f(x)=sen(x)
2

1.5

1

0.5

0

−0.5

−1

−1.5

−2
−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20




Deﬁnición
Se deﬁne la composición de g y f (y se representa g ◦ f ) como la
función que a cada x asigna g f (x) :




Deﬁnición
g ◦ f : D −→ R
x −→ g f (x)




Deﬁnición
g ◦ f : D −→ R
x −→ g f (x)

f g
x −→ f (x) −→ g f (x)




Deﬁnición
g ◦ f : D −→ R
x −→ g f (x)

f g
x −→ f (x) −→ g f (x)

Observaciones
El dominio de g ◦ f depende del dominio y la imagen de f y del
dominio de g.




Deﬁnición
g ◦ f : D −→ R
x −→ g f (x)

f g
x −→ f (x) −→ g f (x)

Observaciones
dominio de g.
En general, g ◦ f = f ◦ g.




Deﬁnición
g ◦ f : D −→ R
x −→ g f (x)

f g
x −→ f (x) −→ g f (x)

Observaciones
dominio de g.
En general, g ◦ f = f ◦ g.
(f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h), cualesquiera que sean f , g, h


Función inyectiva

Deﬁnición
Una función f : D −→ R es inyectiva si, dados x1 , x2 ∈ D distintos,
entonces f (x1 ) = f (x2 ), es decir, si no toma dos veces el mismo valor.



Función inyectiva

Deﬁnición

Ejemplos
Cualquier función creciente en todo su dominio es inyectiva.



Función inyectiva

Deﬁnición

Ejemplos
Cualquier función creciente en todo su dominio es inyectiva.
Cualquier función decreciente en todo su dominio es inyectiva.



Función inyectiva
Observación
Toda función inyectiva veriﬁca la propiedad de que cualquier recta
horizontal corta a su gráﬁca en, a lo sumo, un punto.



Función inyectiva
Observación
f(x)=x2

25

20
X: −4 X: 4
Y: 16 Y: 16

15

10

5

0

−5 0 5

f (x) = x 2 no es inyectiva;



Función inyectiva
Observación
f(x)=x2

25

20
X: −4 X: 4
Y: 16 Y: 16

15

10

5

0

−5 0 5

f (x) = x 2 no es inyectiva;
f (−4) = f (4) = 16


Función inyectiva
Observación
f(x)=x2

25 25

20 20
X: −4 X: 4 X: 4
Y: 16 Y: 16 Y: 16

15 15

10 10

5 5

0 0

−5 0 5 −5 0 5

f (x) = x 2 no es inyectiva; f (x) = x 2 en [0, ∞)
f (−4) = f (4) = 16 sí es inyectiva


Función inversa
Sea f : D −→ R una función inyectiva.



Función inversa
Deﬁnición
La función inversa de f (se denota por f −1 ) es la que tiene por
dominio Im (f ) y a cada imagen le asocia su origen:



Función inversa
Deﬁnición
f
−→
x f (x)



Función inversa
Deﬁnición
f
−→
x ←− f (x)
f −1



Función inversa
Deﬁnición
f
−→
x ←− f (x)
f −1

Procedimiento para obtener la función inversa
f



Función inversa
Deﬁnición
f
−→
x ←− f (x)
f −1

f Se despeja x de y = f (x)



Función inversa
Deﬁnición
f
−→
x ←− f (x)
f −1

f Se despeja x de y = f (x) x = f −1 (y )



Función inversa
Deﬁnición
f
−→
x ←− f (x)
f −1


Ejemplo

f (x) = 3x + 2


Función inversa
Deﬁnición
f
−→
x ←− f (x)
f −1


Ejemplo
Se despeja x de y −2
f (x) = 3x + 2 ⇒x =
y = 3x + 2 3


Función inversa
Deﬁnición
f
−→
x ←− f (x)
f −1


Ejemplo
Se despeja x de y −2 y −2
f (x) = 3x + 2 ⇒x = f −1 (y ) =
y = 3x + 2 3 3


Función inversa

Observaciones
¿Por qué sólo tiene sentido hablar de f −1 cuando f es inyectiva?



Función inversa

Observaciones
Función identidad en I:
idI : I −→ R
x −→ x



Función inversa

Observaciones
idI : I −→ R
x −→ x
Entonces se veriﬁca:
1 f −1 ◦ f = idD



Función inversa

Observaciones
idI : I −→ R
x −→ x
1 f −1 ◦ f = idD
2 f ◦ f −1 = idIm (f )



Función inversa

Observaciones
idI : I −→ R
x −→ x
1 f −1 ◦ f = idD
2 f ◦ f −1 = idIm (f )
La gráﬁca de f −1 es simétrica de la gráﬁca de f respecto de la
recta y = x.


Función racional
Función irracional

Contenido

1 Conceptos básicos sobre funciones
2 Algunas características sobre funciones
3 Composición de funciones
4 Inversa de una función
5 Estudio de las funciones elementales
Función racional
Función irracional


Función racional
Función irracional


Deﬁnición
Función polinómica de grado n:
f (x) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0
n ∈ N, an , an−1 , . . . , a1 , a0 ∈ R y an = 0.


Función racional
Función irracional


Deﬁnición
Función polinómica de grado n:
f (x) = an x n + an−1 x n−1 + . . . + a1 x + a0
n ∈ N, an , an−1 , . . . , a1 , a0 ∈ R y an = 0.

Dominio: R


Función racional
Función irracional

Función polinómica: casos particulares

Función afín
f (x) = ax + b


Función racional
Función irracional


Función afín
f (x) = ax + b

15

10

5

0

−5

−10

−6 −4 −2 0 2 4 6

a>0


Función racional
Función irracional


Función afín
f (x) = ax + b

15 15

10 10

5 5

0 0

−5 −5

−10 −10

−6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6

a>0 a<0


Función racional
Función irracional


Función afín
f (x) = ax + b

15 15 15

10 10 10

5 5 5

0 0 0

−5 −5 −5

−10 −10 −10

−6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6 −6 −4 −2 0 2 4 6

a>0 a<0 a=0


Función racional
Función irracional


Función cuadrática
f (x) = ax 2 + bx + c, a>0


Función racional
Función irracional


f (x) = ax 2 + bx + c, a>0

45

40

35

30

25

20

15

10

5

0

−5

−6 −4 −2 0 2 4 6 8

a>0


Función racional
Función irracional


f (x) = ax 2 + bx + c, a>0

45 5

40 0

35 −5

30 −10

25 −15

20 −20

15 −25

10 −30

5 −35

0 −40

−5 −45

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

a>0 a<0


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