funciones

1. TEMA 3: Preliminares
sobre Funciones reales
TEMA 3: Preliminares
TEMA 3: Preliminares
sobre Funciones reales
sobre Funciones reales
•
• Función real de variable real. Dominio y rango
Función real de variable real. Dominio y rango
•
• Operaciones con funciones
Operaciones con funciones
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• Composición de funciones
Composición de funciones
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• Funciones monótonas
Funciones monótonas
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• Funciones
Funciones inyectivas
inyectivas y
y sobreyectivas
sobreyectivas
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• Función inversa
Función inversa
•
•Gráfica
Gráfica
•
•Funciones elementales: polinomios, logaritmos, exponencial,
Funciones elementales: polinomios, logaritmos, exponencial,
valor absoluto, parte entera, …
valor absoluto, parte entera, …
•
•Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas
•
•Ecuaciones
Ecuaciones

2. PRELIMINARES SOBRE FUNCIONES
• Definición : Función real de una variable real Sea D⊂ R; se
define una función real de una variable real como una regla “f”
entre D y R que asigna un único número real a cada x ∈D. Se
suele escribir
f : D⊂ R → R / x → f(x)
• A cualquier elemento de D lo designaremos por la letra “x”
y su imagen en ℜ diremos que es f(x). Diremos que x es la
variable independiente de la función f y que y=f(x) es la
variable dependiente.
• El conjunto D sobre el que está definida la función f se
llama dominio ó campo de existencia de la función f.
D = { x∈ℜ / ∃ f(x) }
• Rango, Recorrido ó Imagen de f es el subconjunto de ℜ
formado por todas las imágenes de los elementos de D.
• Rf = { f(x)∈ℜ / x∈D }
• * En Economía x es conocida como la variable exógena e y
como variable endógena.

3. • Entre conjuntos
• Representación cartesiana
R
D
f(x)
x
f(x)
x D

4. • Una función se dice que está acotada en su dominio D si
existe un k∈ℜ tal que ⏐f(x)⏐ ≤ k ∀x∈D.
• Una función se dice que es “par” en su dominio D si
f(x) = f(-x) ∀x∈D, por ejemplo la función f(x) = x2.
• Una función se dice que es “impar” en su dominio D si
-f(x) = f(-x) ∀x∈D, por ejemplo la función f(x) = x3.
Operaciones con funciones:
• Dadas f, g : D⊂ R → R dos funciones reales de variable real,
se define:
•(f±g)(x) = f(x) ± g(x), ∀x∈D
•(f.g)(x) = f(x).g(x), ∀x∈D
•(f/g)(x) = f(x)/g(x), ∀x∈D tal que g(x)≠0
•(αf)(x) = αf(x), ∀x∈D, α ∈R
Algunas definiciones

5. Función Monótona : Dada la función f : D⊂ R → R,
diremos que f es monótona si
a) x<y ⇒ f(x) ≤ f(y) ∀x, y∈D (Monótona creciente)
b) x<y ⇒ f(x) < f(y) ∀x, y∈D (Mon. estrictamente
creciente)
c) x<y ⇒ f(x) ≥ f(y) ∀x, y∈D (Monótona decreciente)
d) x<y ⇒ f(x) > f(y) ∀x, y∈D (Mon. estrictamente
decreciente)
Gráfica de una función Sea f: D⊂ R → R, se llama
gráfica de dicha función, al conjunto de puntos (x , y)
de R2 verificando y = f(x) , para todo x ∈D, y se
denota:
Gf = { ( x , y) ∈ R2 / y = f(x) x∈D }
Dado un punto P(x,y), (x,y) son las coordenadas de P. Se
dice que (x,y) es un par ordenado.

6. •Composición de funciones Sean las funciones f : A⊂ R → R
y g : B⊂ R → R con f(A)⊂B, se llama función compuesta de f y
g, a la función g o f : A⊂ ℜ → ℜ tal que (g o f) (x) = g( f(x))
∀x∈A.
Dadas f y g , como arriba, que f(A) ⊆ B , es la condición
necesaria y suficiente para la existencia de la función
compuesta g o f ,
De aquí se deduce que dadas dos funciones f y g puede existir
la función g o f y sin embargo no existir f o g, o viceversa .
Función inyectiva: Dada la función f : D⊂ R → R , diremos que
f es inyectiva si f(x)=f(y) ⇒ x=y, es decir, a elementos distintos
en el conjunto origen corresponden imágenes distintas.
Función sobreyectiva o suprayectiva:
Dada la función f : D⊂ R → R , diremos que f es suprayectiva
si ∀y∈R ∃ x ∈ D tal que f(x)=y, es decir, todo elemento del
conjunto final tiene al menos una antiimagen.
Función inversa Sea la función f : D⊂ R → R inyectiva cuyo
rango ó recorrido es Rf ⊂ R , se llama función inversa de f y
se designa por f-1 a una función, si existe, de dominio Rf y
rango D tal que ∀x∈Rf f-1(x) = y, si
f(y) = x.
Se verifica que f(f-1(x)) = f-1(f(x))= x