números

1. Propiedad Intelectual Cpech
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20102010
Clase N° 2Clase N° 2
Conjuntos numéricos II
Propiedad Intelectual Cpech

2. Propiedad Intelectual Cpech
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Utilizar y clasificar los distintos conjuntos numéricos en sus
diversas formas de expresión, tanto en las ciencias exactas
como en las ciencias sociales y en el ámbito cotidiano.
• Aplicar la operatoria básica en los números naturales y
enteros.

3. Propiedad Intelectual Cpech
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Aplicar las operaciones básicas en los números
racionales.
• Resolver problemas que involucren operaciones
con números enteros, decimales y fracciones.
• Reconocer regularidades numéricas (secuencias).

4. Propiedad Intelectual Cpech
1. Números racionales (Q)
1.1 Propiedades de los racionales
1.2 Operatoria en los racionales
1.3 Transformaciones de números racionales
1.4 Comparación de fracciones
2. Números irracionales (Q*)
Contenidos
3. Números reales ( IR )
4. Números imaginarios ( II )
5. Números complejos ( C )
1.5 Secuencia numérica

5. Propiedad Intelectual Cpech
1.Números Racionales (Q)
Es un conjunto infinito, ordenado y denso, donde
todos los números se pueden escribir como fracción,
es decir:
a
b
/ a y b son enteros, y b es distinto de ceroQ =
Ejemplos:
2; 17; 0; -6; -45; -2;
7
0,489; 2,18; -0,647-1;
8
14;
3
15
,0
NO es racional
a: numerador y b: denominador

6. Propiedad Intelectual Cpech
Por ejemplo:
3 es Natural (3 IN),
3 es Cardinal (3 IN0), y como
3 = , 3 es racional (3 Q).
3
1
∈
∈
∈
IN IN0 Z Q⊂ ⊂ ⊂
Todo número entero es racional.

7. Propiedad Intelectual Cpech
Diagrama representativo:

8. Propiedad Intelectual Cpech
1.1 Propiedades de los racionales (pág. 23 del libro)
• Amplificar y simplificar fracciones
Ejemplo:
2∙
3∙
Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el
numerador como el denominador por un mismo
número.
6
6
Al amplificar la fracción por 6 resulta:2
3
=
12
18
• Las fracciones se pueden clasificar en:
Fracción propia, donde el numerador es menor que el
denominador.
Fracción impropia, donde el numerador es mayor que
el denominador.

9. Propiedad Intelectual Cpech
Ejemplo:
Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el
numerador como el denominador por un mismo
número.
3
3
=
9
15
Al simplificar la fracción por 3 resulta:27
45
27 :
45 :
• Inverso multiplicativo o recíproco
de una fracción
El inverso multiplicativo, o recíproco de 2
9
es: 9
2
Ejemplo:

10. Propiedad Intelectual Cpech
1.2 Operatoria en los racionales (pág. 24 del libro)
• Suma y resta
Ejemplos:
1. Si los denominadores son iguales:
4
15
+
7
15
=
11
15
2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro:
2
15
+
7
45
=
2∙3 + 7∙1
45
=
6 + 7
45
=
13
45
4
15
-
7
15
=
-3
15
y

11. Propiedad Intelectual Cpech
3. Si los denominadores son primos entre sí:
5
12
+
7
18
=
5∙3 + 7∙2
36
15 + 14
36
= =
29
36
4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.):
4
5
+
7
8
=
4∙8 + 5∙7
40
32 + 35
40
= =
67
40

12. Propiedad Intelectual Cpech
-4
5
∙
8
7
=
-32
35
=
• Multiplicación:
Ejemplo:
-4
5
7
8
=∙
-28
40
=
28
40
-
• División:
Ejemplo:
-4
5
:
7
8
=
32
35
-
• Número Mixto:
Ejemplo:
8
3
5 =
8∙5 + 3
5
=
43
5

13. Propiedad Intelectual Cpech
1.3 Transformación de números racionales
(pág. 24 del libro)
• De fracción a decimal:
Ejemplo:
Se divide el numerador por el denominador.
7
4
= 1,75
• De decimal finito a fracción:
Ejemplo:
El numerador corresponde al número sin comas, y el
denominador es una potencia de 10 que depende del
número de decimales que tenga el número.
100
175 =1,75 = 7
4
25∙7
25∙4
=

14. Propiedad Intelectual Cpech
• De un número decimal periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción es la diferencia entre el
número decimal completo, sin la coma, y la parte
entera.
2. El denominador está formado por tantos nueves (9),
como cifras tenga el período.
Ejemplo 1: 2,35 = 235 – 2 = 233
99 99
Ejemplo 2:
0,376 = 376 – 0 = 376
999 999
Nota: Se llama “período” al conjunto de dígitos que se
repite indefinidamente.

15. Propiedad Intelectual Cpech
3,21 = 321-32 = 289
9090
• De un número decimal semi periódico a fracción:
1. El numerador de la fracción corresponde a la diferencia
entre el número decimal completo, sin la coma; y la
parte entera incluyendo las cifras del ante período.
2. El denominador queda formado por tantos nueves (9),
como cifras tenga el período, y tantos ceros (0), como
cifras tenga el ante período.
Nota: Se llama “ante período” a los números que hay
entre la coma decimal, y el período.
Ejemplo:

16. Propiedad Intelectual Cpech
1.4 Comparación de fracciones (pág. 25 del libro)
• Multiplicación cruzada:
Ejemplo:
Al comparar (Multiplicando cruzado)13
15
9
10
y
13 ∙ 10 y 15 ∙ 9
130 y 135
Como 130 < 135, entonces: 13
15
9
10
<

17. Propiedad Intelectual Cpech
• Igualar denominadores:
Ejemplo:
13
15
7
12
Al comparar y (Igualando denominadores)
13∙4
15∙4
7∙5
12∙5
y
52
60
35
60
y
Como 52 > 35, entonces 13
15
7
12
>

18. Propiedad Intelectual Cpech
• Transformar a decimal:
Ejemplo:
13
15
7
12
Al comparar (Transformando a decimal)y
13
15
= 0,86666666…
7
12
= 0,58333333…
13
15
7
12
>Como 0,86 > 0,583 , entonces

19. Propiedad Intelectual Cpech
Ejemplo:
En la secuencia: 6 ,
5
16 ,
5
26 ,
5
36 , ...
5
¿Qué número tendríamos que sumar a
para obtener el 7° término ?
1 ,
5
De acuerdo a las características de la secuencia,
el 7° término es 66 .
5
Tendríamos que sumar a para
obtener el 7° término.
65
5
1 ,
5
65 = 13
5
Es decir:
Respuesta:
1.5 Secuencia Numérica

20. Propiedad Intelectual Cpech
Observación:
La secuencia anterior también se puede analizar
de la siguiente manera:
1 + 1 ,
5
1 + 3 ,
5
1 + 5 ,
5
1 + 7 ,
5
1 + 13…
5
... ,
1° 2° 3° 4° ... , 7°…
Lo que nos permitiría saber, por ejemplo,
¿cuál es el valor del n-ésimo término de la secuencia?
Respuesta:
Es , más un número impar, lo que se expresa como:1
5
1 + (2n - 1)
5
(Con n = posición del término)

21. Propiedad Intelectual Cpech
Son aquellos que NO se pueden escribir como
una fracción (decimales infinitos NO periódicos).
2. Números Irracionales (Q*)
,....π,π±,2±,3..... ±Q* =
Q
U
Q*=

22. Propiedad Intelectual Cpech
3. Números Reales (IR)
Es el conjunto formado por la unión entre los números
racionales y los números irracionales.
IR = Q U Q*
Ejemplos:
Diagrama representativo:
3, -89, -2;
7
2,18; ;2± 23,491002
IN IN0 Z Q IR⊂ ⊂ ⊂ ⊂
Q* IR⊂

23. Propiedad Intelectual Cpech
4. Números imaginarios (II)
Todos aquellos números que NO son reales, son
imaginarios.
IR
U
II = O
Ejemplo:
Raíces de índice par y parte subradical negativa:
,26
−,4− 4
16−,25−

24. Propiedad Intelectual Cpech
5. Números complejos (C)
Es el conjunto formado por el producto cartesiano
entre los números reales y los números imaginarios.
Diagrama representativo:
IN IN0 Z Q IR C⊂ ⊂ ⊂ ⊂ ⊂
II C⊂
IR x II = C

25. Propiedad Intelectual Cpech
Los contenidos revisados anteriormente los puedes
encontrar en tu libro, desde la página 23 a la 28.

26. Propiedad Intelectual Cpech
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Equipo Editorial: Patricia Valdés
Olga Orchard
Pablo Espinosa