EXPLICACIÓN COMPLETA Y FÁCIL DE ENTENDER A CERCA DE UN CONCEPTO MATEMÁTICO CLAVE EN LA ACTUALIDAD : " DERIVADA"

1. Derivada
1 Teoría
1. Tasa de variación media.
2. Concepto de derivada.
3. Interpretación geométrica de la derivada.
4. Interpretación física de la derivada.
5. Función derivada.
6. Derivadas laterales.
7. Derivabilidad y continuidad.
Otros bloques del tema:
2 Resumen
2.1 Resumen
3 Ejercicios de derivadas
3.1 Ejercicios I
3.2Ejercicios II
3.3Ejercicios de la definición de derivada
3.4Ejercicios de derivabilidad y continuidad

2. Tasa de variación
Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el
eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al
incremento de x (Δx).
Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se
representa por Δy, a ladiferencia entre las ordenadas correspondientes a los
puntos de abscisas a y a+h.
Δy = [f(a+h) − f(a)]
Tasa de variación media
Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa
por ó , al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del
intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:

3. Interpretación geométrica
La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función
f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h.
ya que en el triángulo PQR resulta que:
Ej e mplos
1. Calc ular la T .V.M. de la func ión f(x) = x2 − x en el intervalo
[1,4].
2. El índic e de laBOLSA DE MADRID pasó c ierto año de 1350 a
1510. Halla r la tasa de variac ión media mensual.
Concepto de derivada
Derivada de una función en un punto
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un
cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

4. Ej e mplos
1. Hallar la derivada de la func ión f(x) = 3x2 en el punto x = 2.
2. Calc ular la derivada de la func ión f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.

5. Interpretación geométrica de la derivada
Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la
recta secante tiende a ser la recta tangente a la función f(x) en P, y por tanto el
ángulo α tiende a serβ.

6. La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la
función en ese punto.
mt = f'(a)
Ej e mplos
Dada la parábola f(x) = x2 , hallar los puntos en los que la rec ta
tangente es paralela a la bisec triz del prime rc uadra nte.
La bisec triz del prime r c uadrante tiene c omo ec uac ión y = x, por
tanto su pendiente es m = 1.
Como las dos rec tas son paralelas tendrán la mis ma pendiente, así
que:
f'(a) = 1.
Porque la pendiente de la tangente a la c urva es igual a la
derivada en el punto x = a.

7. Interpretación física de la derivada
Velocidad media
La velocidad media es el cociente entre el espacio recorrido (Δe) y el tiempo
transcurrido (Δt).

8. Velocidad instantánea
Ej e mplo

9. La relac ión entre la distanc ia rec orrida en metros por un móvil y el
tiempo en segundos es e(t) = 6t 2 . Calc ular:
1. la veloc idad media entre t = 1 y t = 4.
La veloc idad media es el c oc iente inc reme nta l en el intervalo [1,
4].
2. La veloc idad instantánea en t = 1.
La veloc idad instantánea es la derivada en t = 1.
Función deriva da
La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada
número real su derivada, si existe. Se denota por f'(x).

10. Ejemplos
1. Calcular la función derivada de f(x) = x2 − x + 1.
2. Hallar f'(−1), f'(0) y f'(1).
f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3
f'(0) = 2(0) − 1 = −1
f'(1) = 2(1) − 1 = 1
Deriva da s la tera les
Derivada por la izquierda

11. Derivada por la derecha
Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda
y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.
Derivada de las funciones a trozos
En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en
los puntos de separación de los distintos trozos.
Ejemplos
Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.
Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en
dicho punto.

12. Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las
funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.
Estudiar la derivabilidad de la función:
No es derivable en x = 0.

13. Derivabilidad y continuidad
Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es
continua para x = a.
El rec iproc o es falso, es dec ir, hay func iones que son c ontinuas en
un punto y que, sin embargo, no son derivables .
Ejemplos
Estudiar la c ontinuidad y derivabilida d de las func iones:
1.
En prime r lugar estudiamo s la c ontinuidad en x = 0.

14. La func ión no es c ontinua, por tanto tampoc o es derivable.
2.
En prime r lugar estudiamo s la c ontinuidad en x = 0.
La func ión es c ontinua, por tanto podemos estudiar la derivabilida d.
Como no c oinc iden las derivadas laterales no es derivable en x = 0.

15. 3. f(x) = x2 en x = 0.
La func ión es c ontinua en x= 0, por tanto podemos estudiar la
derivabilida d.
En x = 0 la func ión es c ontinua y derivable.
Resumen de deriva da s
Tasa de variación

16. Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se
representa por Δy, a ladiferencia entre las ordenadas correspondientes a
los puntos de abscisas a y a+h.
Δy = [f(a+h) − f(a)]
Tasa de variación media
Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y se representa
por ó , al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del
intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:
Interpretación geométrica de la tasa de variación media
La expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función
f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h.
Derivada de una función en un punto
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe,
de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.
Interpretación geométrica de la derivada

17. La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la
función en ese punto.
mt = f'(a)
Interpretación física de la derivada
La velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando Δt tiende a
cero, es decir la derivada del espacio respecto al tiempo.
Función derivada
La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada
número real su derivada, si existe. Se denota por f'(x).
Derivadas laterales
Derivada por la izquierda
Derivada por la derecha

18. Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda
y por la derecha en dicho punto y las derivadas laterales coinciden.
Derivabilidad y continuidad
Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.
El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que,
sin embargo, no son derivables
Ejercicios y problemas de. derivadas
 Problemas
 Soluciones
1 Calc ular las derivadas en los puntos que se indic a:
1 en x = - 5.
2 en x = 1.
3 en x = 2.
4 en x = 3.
2 Dada la c urva de ec uac ión f(x) = 2x2 − 3x − 1,
halla las c oordenadas de los puntos de dic ha c urva en
los que la tangente forma c on el eje OX un ángulo de
45°.
3 ¿Cuál es la veloc idad que lleva un vehíc ulo se
mueve según la ec uac ión e(t) = 2 − 3t 2 en el quinto

19. segundo de su rec orrido ? El espac io se mide
en metros y el tiempo en segundos.
4 Debido a unas pésimas c ondic iones ambie nta les,
una c olonia de un milló n de bac terias no c omienza su
reproduc c ió n hasta pasados dos meses. La func ión
que representa la poblac ión de la c olonia al variar el
tiempo (expresado en meses) viene dada por:
Se pide:
1. Verific ar que la poblac ión es func ión c ontinua del
tiempo.
2. Calc ular la tasa de variac ión media de la poblac ión
en los intervalos [0, 2] y [0, 4].
3. Calc ular la tasa de variac ión instantánea en t = 4.
5 Halla r el punto en que y = | x + 2| no tiene
derivada. Justific ar el resultado representando su
gráfic a.
6 Halla r los puntos en que y = | x 2 − 5x + 6| no
tiene derivada. Justific ar el resultado representando
su gráfic a.
7 Estudiar la c ontinuidad y derivabilida d de la func ión
definida por:

20. 8 Dada la func ión:
¿Para qué valores de a es derivable ?
9 Estudiar para qué valores de a y b la func ión es
c ontinua y derivable:
10 Determina r los valores de a y b para que la
siguiente func ión sea derivable en todos sus puntos:
Ejercicios de deriva da s
 Problemas

21.  Soluciones
1 Calcula el valor de la derivada en x = 2.
2 Una población bacteriana tiene un crecimiento dado por la
función p(t) = 5000 + 100t², siendo t el tiempo medido en horas. Se
pide:
1. La velocidad media de crecimiento.
2. La velocidad instantánea de crecimiento.
3. La velocidad de crecimiento instantáneo para t0 = 10 horas.
3 Hallar los puntos en que y = 250 − |x² −1| no tiene derivada.
4 Estudiar para qué valores de a y b la función es continua y
derivable:
5 Determinar los valores del parámetro b, para qué las tangentes a
la curva de la función f(x) = b2x3+ bx2 + 3x + 9 en los puntos de
abscisas x = 1, x = 2 sean paralelas.
E je r cicio 1 r e su e lto
Calc ula el valor de la derivada en x = 2.

22. Ejercicios de la definición de deriva da
 Problemas
 Soluciones
Calcula, mediante la definición de derivada, la derivada de las funciones en los
puntos que se indican:
1 f(x) = 3x2 en x = 2.
2 f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.
3 f(x) = x2 − x + 1 en x = −1, x = 0 y x = 1.
4 en x = -5.
5 en x = 1.

23. 6 en x = 2.
7 en x = 3.
8 en x = 2.
E je r cicio 1 r e su e lto
Hallar la derivada de la func ión f(x) = 3x2 en el punto x = 2.
E je r cicio 2 r e su e lto
Calc ular la derivada de la func ión f(x) = x2 + 4x − 5 en x = 1.

24. Ejercicios de derivabilidad y continuidad
 Problemas
 Soluciones
1 Estudiar la c ontinuidad y la derivabilidad de la
func ión f(x) = | x| .
2 Estudiar la c ontinuidad y la derivabilidad de la
func ión:
3 Estudiar la c ontinuidad y la derivabilidad de la
func ión:
4 Estudiar la c ontinuidad y la derivabilidad de la
func ión:
5 Halla r el punto en que y = | x + 2| no tiene
derivada. Justific ar el resultado representando su
gráfic a.

25. 6 Halla r los puntos en que y = | x 2 − 5x + 6|
no tiene derivada. Justific ar el resultado
representando su gráfic a.
7 Estudiar la c ontinuidad y derivabilida d de la func ión
definida por:
8 Dada la func ión:
¿Para qué valores de a es derivable ?
9 Estudiar para qué valores de a y b la func ión
es c ontinua y derivable :
10 Determina r los valores de a y b para quien la
siguiente func ión sea derivable en todos sus puntos:

26. 11 Estudia r para qué valores de a y b la func ión
es c ontinua y derivable :
ejerc ic io 1_
Estudiar la c ontinuidad y la derivabilida d de la func ión f(x) = | x| .
En prime r lugar estudiamo s la c ontinuidad en x = 0.
La func ión es c ontinua, por tanto podemos estudiar la
derivabilida d.

27. Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la
func ión no es derivable en dic ho punto.
E je r cicio 2 r e su e lto
Estudiar la c ontinuidad y la derivabilida d de la func ión:
En prime r lugar estudiamo s la c ontinuidad en x = 0.
La func ión es c ontinua, por tanto podemos estudiar la
derivabilida d.
No es derivable en x = 0.

28. Derivada
La derivada de la función en el punto marcado es equivalente a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de
la función está dibujada en rojo;la tangente a la curva está dibujada en verde).
En matemática, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el
valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La
derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez
de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la
variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la
derivada de una cierta función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa
la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto.
Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a
una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores
o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre
400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad
instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de
tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y
las 15:21, etc.
Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse
geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de
la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación
lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para
el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.