Este documento describe diferentes métodos de interpolación polinómica como las formas de Newton-Gregory, Gauss, Hermite y Lagrange. Explica cómo usar tablas de diferencias divididas de Newton para construir polinomios interpoladores y proporciona un ejemplo numérico para ilustrar el proceso. También compara los métodos de interpolación de Lagrange y Hermite.

1. UNIVERSIDAD FERMIN
TORO
FACULTAD DE INGENIERIA
BARQTO, EDO - LARA
ANALISIS
NUMERICO
MYLING PINTO
C.I.: 16,795,630
SAIA B

2. Polinomios interpolantes a
través de las formas de
Newton-Gregory, Gauss,
Hermite y Lagrange

3. Polinomios interpolantes
La interpolación polinómica es una técnica de interpolación de
un conjunto de datos o de una función por un polinomio. Es
decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a
partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio
que pase por todos los puntos.
Dada una función de la cual se conocen sus valores en un
número finito de abscisas , se llama interpolación
polinómica al proceso de hallar un polinomio de grado menor o
igual a m, cumpliendo
A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m
de la función f.

4. Tabla De Diferencias
El caso más frecuente: problemas de interpolación cuyas tablas
tienen VALORES EQUIDISTANTES de la variable x; se dará
por presupuesto que: 𝑥1 -𝑥0= 𝑥2 -𝑥1=𝑘 = 𝑥𝑛 -𝑥𝑛−1=h
Se presentaran, primeramente, las tablas de diferencias.
• Los valores de las diferencias primeras Ʌ𝑦𝑘 se obtienen
restando a cada valor 𝑦𝑘+1 el valor 𝑦𝑘 que le antecede en la
tabla.
• Las diferencias segundas se obtienen de igual modo,
partiendo en este caso, de las diferencias primeras.
• Las terceras se obtienen a partir de las segundas, y
asísucesivamente hasta completar la tabla.
• Completar la tabla es llegar a diferencias cuyos valores son
poco significativos en valor absoluto

5. x f(x) D f(x) D 2f(x) D 3f(x) D 4f(x)
0,0 0,000
0,203
0,2 0,203 0,017
0,220 0,024
0,4 0,423 0,041 0,020
0,261 0,044
0,6 0,684 0,085 0,052
0,346 0,096
0,8 1,030 0,181 0,211
0,527 0,307
1,0 1,557 0,488
1,015
1,2 2,572

6. Polinomios Interpolantes, Newton-Gregory, Gauss
Polinomio de Newton-Gregory y diferencias
Se dice que los datos estén uniformemente espaciados si xi+1
− xi = Δx es constante para i =1, 2, 3, . ... Para el caso particular
de datos uniformemente espaciados, es posible encontrar una
forma mas sencilla del polinomio de Newton. Esta forma mas
sencilla se basa en diferencias que se definen de la siguiente
manera:
Diferencia de orden 0: Δ0fi = fi
Diferencia de orden 1: Δ1fi = fi+1 − fi
Diferencia de orden 2: Δ2fi = Δ(Δfi) = Δ(fi+1 − fi) = Δfi+1 − Δfi = fi+2 −
2fi+1 + fi
Diferencia de orden 3: Δ3fi = Δ(Δ2fi) = Δ2fi+1 − Δ2fi = fi+3 − 3fi+2 + 3fi+1
− fi

7. Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un
polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le
parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que
pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la
fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en
avance y retroceso).
La fórmula usa la notación, que es el número de
combinaciones de s cosas tomadas de n a la vez, lo que
lleva a razones factoriales. Donde s viene dada por: x es
el valor a interpolar el polinomio obtenido; Xo viene a ser
el punto de partida para seleccionar los valores , que
serán seleccionados de la tabla de diferencias, formando
una fila diagonal hacia abajo en el caso de la fórmula de
avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores
forman una fila diagonal hacia arriba y a la derecha. Y ha
viene a ser la longitud o distancia entre los valores de xi

8. Método de las diferencias divididas de Newton
Sea una variable discreta de elementos y sea otra variable
discreta de elementos los cuales corresponden, por parejas, a la imagen u ordenada
y abcisa de los datos que se quieran interpolar, respectivamente, tales que:
Este método es muy algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos, sobre
todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado.
El polinomio de grado resultante tendrá la forma
definiendo como
y definiendo como

9. Los coeficientes son las llamadas diferencias divididas.
Una vez se hayan realizado todos los cálculos, nótese que hay (muchas) más diferencias
divididas que coeficientes . El cálculo de todos los términos intermedios debe realizarse
simplemente porque son necesarios para poder formar todos los términos finales. Sin
embargo, los términos usados en la construcción del polinomio interpolador son todos
aquellos que involucren a .
Estos coeficientes se calculan mediante los datos que se conocen de la función .
queda definido, como:
Se muestra ahora una tabla mnemotécnica con las diferencias divididas de una cierta
función dada para construir un polinomio interpolador de grado 2:

10. Polinomio Interpolante de Lagrange
Sea la función a interpolar, sean las abscisas conocidas de y
sean los valores que toma la función en esas abscisas, el polinomio
interpolador de grado de Lagrange es un polinomio de la forma
donde son los llamados polinomios de Lagrange, que se calculan de este modo:
Nótese que en estas condiciones, los coeficientes están bien definidos y son siempre
distintos de cero.
Se muestra en el ejemplo siguiente el cálculo de un polinomio interpolador de Lagrange
usando interpolación por Lagrange y diferencias divididas de Newton:

11. Ejemplo: Se quiere hallar el valor de la función para usando
un polinomio interpolador de Lagrange de grado 2.
Para ello se usan los siguientes datos:
 Se usa primero el método directo para calcular el polinomio interpolador de Lagrange.
Con las condiciones dadas, los polinomios de Lagrange son:

12.  Se calcula ahora el polinomio interpolador de grado 2:
 Ahora evaluamos este polinomio en para obtener un valor aproximado
de :
 Si se usase una calculadora para efectuar el cálculo
obtenemos , por lo que el error cometido es el
siguiente:

13. Se trata de un error del orden del 0.66 %.
Se procede a realizar ahora la interpolación mediante el método de las Diferencias Divididas
de Newton:
 Se diseña una tabla de Diferencias Divididas esquemática y se realiza los pertinentes
cálculos para obtener los siguientes coeficientes:
 Ahora se debe tomar de estos coeficientes los que se necesitasen para escribir el
polinomio interpolador. Hay que recordar, según lo apuntado anteriormente, que sólo se
usan aquéllos coeficientes que involucren a . De esta forma se obtiene el polinomio
interpolador de Lagrange de grado 2:

14. Y, como se puede apreciar, se llega al mismo polinomio pero con relativamente menos
trabajo.

15. Interpolación polinómica de Hermite
La interpolación de Hermite es un método de interpolación. Consiste en buscar
un polinomio por pedazos que sea cúbico en cada
subintervalo y que cumpla en los
puntos , donde es la función que se quiere interpolar.
La función queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo
requiere de la solución de sistemas lineales de ecuaciones de tamaño cada uno.
La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de
los lo cual no es el caso en muchas aplicaciones.

16. Diferencias Divididas y la Formula General de Newton