Polinomios taylor

1. C´alculo: Polinomio de Taylor
Antonio Garv´ın
Curso 04/05
1 El polinomio de Taylor
Nos detendremos especialmente en el teorema de Taylor, justificando la
introducci´on del polinomio de Taylor como la mejor aproximaci´on lineal,
cuadr´atica, y en general polin´omica de una funci´on en un punto. Hare-
mos ver qu´e consecuencias te´oricas y pr´acticas tiene el teorema de Taylor.
Como ejemplo de las consecuencias te´oricas deduciremos el criterio sobre
m´aximos y m´ınimos, y desde un punto de vista m´as pr´actico aproximare-
mos el valor de algunas funciones acotando el error cometido. Enunciaremos
las propiedades m´as importantes sobre los polinomios de Taylor y propon-
dremos y calcularemos los polinomios de Taylor de las funciones usuales.
Si f es derivable en a se tiene
lim
x→a
f(x) − (f(a) + f (a)(x − a))
x − a
= 0
en particular lim
x→a
f(x) − (f(a) + f (a)(x − a)) = 0
As´ı pues si x a entonces f(x) f(a) + f (a)(x − a)
1.1 Ejemplo:
f(x) = ex, f (x) = ex. Tomemos el punto a = 0.
f(0) = f (0) = e0
= 1
x 0 f(x) f(0) + f (0)(x − 0)
ex
1 + 1(x − 0) = 1 + x
Si tomamos por ejemplo x = 0.01
e0.01
1 + 0.01 = 1.01
1

2. Fij´emonos que en realidad estamos aproximando una funci´on f por un
polinomio de grado 1, p(x) = b0 + b1(x − a)(= a0 + a1x si lo queremos
expresar en la forma habitual que es centrado en 0 en lugar de a, donde
a0 = f(a)−f (a)a y a1 = f (a)x). Este polinomio p viene caracterizado por
la siguiente propiedad: p tiene grado 1, p coincide con el valor de f en a, y
la derivada de p, p , coincide con el valor de la derivada de f,f , en a.
p(x) = f(a) + f (a)(x − a) p (x) = f (a)
p(a) = f(a) p (a) = f (a)
Evidentemente si f es derivable dos veces y f (a) = 0 la segunda derivada
de p no puede coincidir con la de f en a ya que al ser p de grado 1, todas
sus derivadas son nulas a partir de 2
p (x) = 0 = p (x) = · · · = p(i)
(x) i ≥ 2
Podr´ıamos sin embargo pensar en aproximar f por un polinomio de grado
2, en lugar de hacerlo con uno de grado 1. Es esperable que la aproximaci´on
sea mejor si le pedimos que se ” parezca m´as ” a f exigiendo adem´as que
p (a) = f (a).
¿C´omo debe ser este polinomio? Ser´a de la forma p(x) = a0 +a1x+a2x2
para ciertos coeficientes ai ∈ R y deber´a cumplir que p(a) = f(a), p (a) =
f (a) y p (a) = f (a). Por facilidad para el c´alculo de los coeficientes lo
expresamos centrado en el punto a, esto es, en la forma p(x) = b0 + b1(x −
a)+b2(x−a)2 y buscamos determinar los coeficientes bi. Como se tiene que
p(x) = b0 + b1(x − a) + b2(x − a)2
⇒ p(a) = b0
p (x) = b1 + 2b2(x − a) ⇒ p (a) = b1
p (x) = 2b2 ⇒ p (a) = 2b2
para que se cumplan las condiciones sobre las primeras derivadas, los coefi-
cientes deben ser
p(a) = f(a) ⇒ b0 = f(a)
p (a) = f (a) ⇒ b1 = f (a)
p (a) = f (a) ⇒ b2 =
f (a)
2
Por tanto el polinomio es
p(x) = f(a) + f (a)(x − a) +
f (a)
2
(x − a)2
2

3. Observemos que los polinomios de grado 0,1 y 2 que coinciden en a con f,
con f y la derivada de f, y con f la derivada de f y la segunda derivada de
f, son respectivamente
p0(x) = f(a), p1(x) = f(a) + f (a)(x − a)
p2(x) = f(a) + f (a)(x − a) +
f (a)
2
(x − a)2
1.2 Ejemplo:
f(x) = log x, f (x) = 1
x, f (x) = − 1
x2 . Tomemos el punto a = 1. si x est´a
cerca de 1,
log x 0
log x 0 + (log) (1)(x − 1) = 0 + 1(x − 1) = x − 1
log x 0 + (x − 1) +
1
2
(log) (1)(x − 1)2
= (x − 1) −
1
2
(x − 1)2
=
= (x − 1) −
1
2
(x2
− 2x + 1) = x − 1 −
1
2
x2
+ x −
1
2
= −
1
2
x2
+ 2x −
3
2
Podemos pensar en aproximar por polinomios de grado mayor, 3, 4, o en
general de un grado cualquiera y es esperable que cuanto m´as se ”parezca”
a la funci´on, mejoren sean las aproximaciones. As´ı pues la pregunta que nos
hacemos es:
¿C´omo debe ser un polinomio de grado n para que coincidan en a sus
derivadas, con todas las derivadas de f hasta orden n?
Debe ser
p(a) = f(a)
p (a) = f (a)
p (a) = f (a)
...
p(n)
(a) = f(n)
(a)
Si expresamos centrado en a, el polinomio y sus derivadas son
p(x) = b0 + b1(x − a) + b2(x − a)2
+ b3(x − a)3
+ · · · + bn(x − a)n
p (x) = b1 + 2b2(x − a) + 3b3(x − a)2
+ · · · + nbn(x − a)n−1
3

4. p (x) = 2b2 + 3 · 2b3(x − a) + · · · + n · (n − 1)bn(x − a)n−2
p (x) = 3 · 2b3 + · · · + n · (n − 1) · (n − 2)bn(x − a)n−3
...
p(n)
(x) = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1bn
Evaluando en a
p(a) = b0
p (a) = b1
p (a) = 2b2
p (a) = 3 · 2b3
...
p(n)
(a) = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1bn = n!bn
Igualando
b0 = f(a)
b1 = f (a)
b2 =
f (a)
2
b3 =
f (a)
3!
...
bn =
f(n)(a)
n!
El polinomio es
p(x) = f(a)+f (a)(x−a)+
f (a)
2
(x−a)2
+
f (a)
3!
(x−a)3
+· · ·+
f(n)(a)
n!
(x−a)n
que podemos expresar como
n
i=0
f(i)(a)
i!
(x − a)i
siendo f(0) = f, f(1) = f , f(2) = f , f(3) = f , etc.
4

5. 1.3 Definici´on:
Al polinomio as´ı construido que coincide con f y todas sus derivadas hasta
el orden n en el punto x = a, se denomina polinomio de Taylor de orden n
de la funci´on f en el punto a. Lo escribimos como Tn,f,a(x)
Tn,f,a(x) =
n
i=0
f(i)(a)
i!
(x−a)i
= f(a)+f (a)(x−a)+
f (a)
2
(x−a)2
+· · ·+
f(n)(a)
n!
(x−a)n
La notaci´on se puede simplificar si se entiende por el contexto quien es el
punto, la funci´on y el orden y podremos escribir
Tn,f,a = Tn,f = Tn = T
1. Aproximar f(x) en el punto x = a
f(x) Tn,f,a(x)
2. ¿Qu´e error se comete al aproximar f?
Rn,f,a(x) = f(x) − Tn,f,a(x)
Si una funci´on es derivable se tiene que
lim
x→a
f(x)
−T1(x)
−f(a) − f (a)(x − a)
x − a
= 0
o lo que es lo mismo
R1(x)
f(x) − T1(x)
x − a
x→a
−→ 0, lim
x→a
R1(x)
x − a
= 0
Intuitivamente esto puede ser interpretado como que para valores de x muy
cercanos a a, el error R1(x) es menor que la diferencia entre x y a, ya que
para que el l´ımite sea 0 apartir de un lugar el numerador debe ser menor
que el denominador. El siguiente resultado, que generaliza el hecho anterior,
nos dice que cuanto mayor sea el orden la aproximaci´on ser´a mejor.
5

6. 1.4 Teorema:
Si f es n veces derivable ”cerca de a”(en un entorno de a) entonces,
lim
x→a
Rn,f,a(x)
(x − a)n
= 0
Suponiendo solo un poco m´as podemos podemos incluso dar una esti-
maci´on del resto
1.5 Teorema:
Si f es (n + 1) veces derivable cerca de a, entonces
1. (Lagrange)
Rn(x) =
f(n+1)(c)
(n + 1)!
(x − a)n+1
c entre x y a
2. (Cauchy)
Rn(x) =
f(n+1)(c)
n!
(x − c)n
(x − a) c entre x y a
3. (Integral)
Rn(x) =
x
a
f(n+1)(t)
n!
(x − t)n
dt
1.6 (I) Consecuencia:
Si | f(n+1) |≤ K entre a y x, entonces
| Rn(x) |≤
K
(n + 1)!
| x − a |n+1
1.7 Ejemplo:
Calculemos cos 36o con error menor que 10−4.
36o = π/5rad, consideramos cos x en el punto x = π/5
Tenemos
0 = a ≤ x = π/5 ≤ 1
f(x) = cos x f (x) = − sen x f (x) = − cos x f (x) = sen x
6

7. f(4)
(x) = cos x f(5)
(x) = − sen x f(6)
(x) = − cos x f(7)
(x) = sen x · · ·
f(0) = 1 f (0) = 0 f (0) = −1 f (0) = 0
f(4)
(0) = 1 f(5)
(0) = 0 · · ·
T2n,cos x,0(x) = f(0)+f (0)(x−0)+
f (0)
2
(x−0)2
+
f (0)
3!
(x−0)3
+· · ·+
f(2n)(0)
(2n)!
(x−0)2n
T2n,cos x,0(x) = 1
(n=0)
+
−1
2
x2
(n=1)
+
1
4
x4
(n=2)
+ · · · + (−1)n x2n
(2n)!
T2n,cos x,0(x) = 1 −
x2
2
+
x4
4!
−
x6
6!
+
x8
8!
− · · · + (−1)n x2n
(2n)!
f(π/5) T2n(π/5)
f(π/5) = T2n(π/5) + R2n(π/5)
| R2n(π/5) |=|
(cos x)2n+1(c)
(2n + 1)!
(π/5−0)2n+1
|≤
1
(2n + 1)!
(π/5)2n+1
≤
1
(2n + 1)!
¿
1
(2n + 1)!
< 10−4
?
1
(2n + 1)!
< 10−4
⇐⇒ (2n + 1)! > 104
Si n = 4, 9! > 8! = 40.320 > 104.
n = 4
cos π/5 = T8(π/5) + con < 10−4
cos π/5 = 1 −
(π/5)2
2
+
(π/5)4
4!
−
(π/5)6
6!
+
(π/5)8
8!
+
7

8. 1.8 (II) Consecuencia:
Si f es (n + 1) veces derivable cerca de a y si
f (a) = f (a) = · · · = f(n−1)
(a) = 0, y f(n)
(a) = 0
Entonces:
1. Si n es par y f(n)(a) > 0 =⇒ a es un m´ınimo local.
2. Si n es par y f(n)(a) < 0 =⇒ a es un m´aximo local.
3. Si n es impar =⇒ a es un punto de inflexi´on.
1.9 Propiedades:
α, β ∈ R, f y g funciones.
(1) Tn(αf + βg) = αTn(f) + βTn(g)
(2) Tn(f · g) = Tn(f) · Tn(g)−{t´erminos de orden > n}
(3) Tn(f/g) =
Tn(f)
Tn(g)
”haciendo divisi´on larga hasta n”
(4) Tn(f ◦ g) = Tn(f) ◦ Tn(g)−{t´erminos de orden > n}
(5) [Tn(f)] = Tn−1(f )
(6)
x
a
Tn(f)(t)dt = Tn+1(
x
a
)f(t)dt
(6)’ Tn(f) = Tn+1( f) + K, K ∈ R.
1.10 Algunos ejemplos:
Vamos a calcular los polinomios de Taylor de:
ex
, sen x, cos x,
1
1 − x
, − log(1 − x), log(1 − x), log(1 + x),
1
1 + x2
, arctag (x), senh (x), cosh(x) (en x = 0)
ex
8

9. Inmediato
Tn,ex,0(x) = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ · · · +
xn
n!
sen x
f(x) = sen x f (x) = cos x f (x) = − sen x f (x) = − cos x
0 1 0 − 1
fiv
fv
fvi
fvii
fviii
fix
· · ·
T2n+1, sen ,0(x) = x −
x3
3!
+
x5
5!
−
x7
7!
+ · · · + (−1)n x2n+1
(2n + 1)!
cos x Ya lo hemos hecho. Veamoslo de otra forma.
[Tn(f)] = Tn−1(f )
T2n(cos(x)) = (T2n+1( sen (x)) = (x −
x3
3!
+
x5
5!
− · · · + (−1)n x2n+1
(2n + 1)!
) =
= 1 −
x2
2
+
x4
4!
−
x6
6!
+ · · · + (−1)n x2n
(2n)!
1
1 − x
Tn(1) = 1, Tn(1 − x) = 1 − x
Tn(
1
1 − x
) =
Tn(1)
Tn(1 − x)
” por divisi´on larga hasta n”
1 | 1 − x
−(1 − x) 1 + x + x2 + · · · + xn |
x
−(x − x2)
x2
−(x2 − x3)
x3 · · · xn
−(xn − xn+1)
9

10. xn+1
Tn, 1
1−x
,0(x) = 1 + x + x2
+ · · · + xn
1/(1 + x)
Se puede hacer por divisi´on larga. Hagamoslo de otra forma:
R
(−x)
−→ R
(1/(1−x))
−→ R
x → −x → 1/(1 − (−x)) = 1
1+x
| ↑
(
1
1 + x
) = (
1
1 − x
) ◦ (−x)
Tn(1/(1 + x)) = Tn(1/(1 − x)) ◦ Tn(−x) = Tn(1/(1 − x)(Tn(−x)) =
= Tn(1/(1 − x)(−x) = 1 + (−x) + (−x)2
+ · · · + (−x)n
=
= 1 + −x + x2
− x3
+ · · · + (−1)n
xn
− log(1 − x)
(log(1 − x)) =
−1
1 − x
, por tanto (− log(1 − x)) =
1
1 − x
Al ser Tnf = Tn+1 f + K, tomando f(x) =
1
1 − x
Tn+1(− log(1 − x)) = Tn(1/(1 − x)) = 1 + x + x2
+ · · · + xn
=
= x +
x2
2
+
x3
3
+ · · ·
xn+1
n + 1
+ K
Como el t´ermino independiente del polinomio de Taylor de g en a es g(a),
se tiene que K = 0, de donde
Tn(− log(1 − x)) = x +
x2
2
+
x3
3
+ · · ·
xn
n
log(1 − x)
10

11. Tn(αf) = αTn(f), α ∈ R, f una funci´on. Si tomamos α = −1 y
f = − log(1 − x), se tiene
Tn(log(1 − x)) = −x −
x2
2
−
x3
3
− · · · −
xn
n
log(1 + x)
R
(−x)
−→ R
log(1−x)
−→ R
x → −x → log(1 − (−x)) = log(1 + x)
| ↑
Tn(log(1 + x)) = Tn(log(1 − x)) ◦ Tn(−x) = Tn(log(1 − x))(−x)
Tn(log(1 + x)) = −(−x) −
(−x)2
2
−
(−x)3
3
+ · · · + −
(−x)n
n
=
= x −
x2
2
+
x3
3
+ · · · + (−1)n+1 xn
n
1/(1 + x2)
Se puede hacer como Composici´on,
R
(x2)
−→ R
1/(1+x)
−→ R
x → x2 → 1
1+x2
| ↑
o por ”Divisi´on larga”
1 | 1 + x2
En cualquier caso se obtiene:
T2n, 1
1+x2 ,0(x) = 1 − x2
+ x4
− x6
+ x8
+ · · · + (−1)n
x2n
arctag (x) Integrando el resultado anterior, y salvo una constante C
se tiene:
T2n+1, arctag x,0(x) + C = x −
x3
3
+
x5
5
−
x7
7
+
x9
9
+ · · · + (−1)n x2n+1
2n + 1
Por ser arctag (0) = 0 =⇒ C = 0.
senh x y cosh x
11

12. senh x =
ex − e−x
2
cosh x =
ex + e−x
2
Tex = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ · · · +
xn
n!
Te−x = 1 − x +
x2
2!
−
x3
3!
+
x4
4!
+ · · · + (−1)n xn
n!
T2n+1, senh x,0(x) = x +
x3
3!
+
x5
5!
+ · · · +
x2n+1
(2n + 1)!
T2n,cosh x,0(x) = 1 +
x2
2
+
x4
4!
+ · · · +
x2n
(2n)!
12