Resolución de ecuaciones diferenciales

RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN
RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO DE LOS
COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS.
RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN
SUPERIOR: HOMOGENEAS Y NO HOMOGENEAS. METODO LOS
COEFICIENTES INDETERMINADOS Y VARIACION DE PARAMETROS.
RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO
ORDEN ALREDEDOR DE PUNTOS ORDINARIOS. (SERIE DE TAYLOR)
Escuela Superior Politécnica del Litoral
Solucionario de Problemas
de Ecuaciones
Diferenciales
Primer parcial (3ra versión)
Roberto Cabrera
09

Ecuaciones diferenciales de primer orden
ESPOL 2009 2
Ecuaciones Diferenciales separables
Se tiene una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:
XY
XY
ͨ{Y Y{
Se dice que ecuación diferencial de primer orden es separable si se puede expresar la esa
ecuación diferencial de la siguiente manera:
XY
XY
ͨ{Y{ͩ{Y{
Donde ˘{˲ ˳{ se lo expresa como una multiplicación de dos funciones, una que depende de la
variable “x” y otra de la variable “y”. En este caso se obtiene la siguiente solución de esta
ecuación diferencial:
XY
XY
ͨ{Y{ͩ{Y{
XY
ͩ{Y{
ͨ{Y{XY
XY
ͩ{Y{
ͨ{Y{XY
Donde la solución de esta ecuación diferencial separable tiene la siguiente forma:
{Y{ {Y{ - V
1.- Encontrar la solución implícita de la siguiente ecuación diferencial:
00003)3)3)3)----yyyy----3x3x3x3xdx(xydx(xydx(xydx(xy----8)8)8)8)----4y4y4y4y2x2x2x2x----dy(xydy(xydy(xydy(xy =++
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
c4xln5x3yln5y
4x
dx5
dx
3y
dy5
dy
4x
dx5
4x
dx4x
3y
dy5
)3y(
dy)3y(
4x
dx1x
3y
dy2y
ecuaciónladeladosambosaIntegramos
4x
dx1x
3y
dy2y
);x(g)y(f
4)2)(x-(y
1)-3)(x(y
dx
dy
2)-4(y2)-x(y
3)(y-3)x(y
dx
dy
8-4y2x-xy
3-y-3xxy
dx
dy
++−=+−
+
−=
+
−
+
−
+
+
=
+
−
+
+
+
−
=
+
−
⇒
+
−
=
+
−
=
+
+
=
+
++
=
+
+
=
∫∫∫ ∫
∫∫∫ ∫
∫∫

ESPOL 2009 3
[ ]
( )[ ]
[ ];)e(2arctany
:esparticularsoluciónLa
1;KK;
4
tan
arctan(K);/4
;Ke2arctan/4
/4;y(0)si
;K)e(2arctany
:esgeneralsoluciónLa
K;)e(2tan(y)
;ee
c;e23lntan(y)ln
:vyudoReemplazan
3x
0
3x
3x
ce23lntan(y)ln
x
x
−=
=⇒=





=
−=
⇒
=
−=
−=
=
+−=
+−
;ce1ln2eln2
e
2
eye
:esgeneralimplicitasoluciónLa
;
)e(1e
dx
eye
;ce1ln2eln2
e
2
)e(1e
dx
;cu1ln2uln2
u
2
)u(1u
du2
;
u1
du
2
u
du
2
u
du
2
)u(1u
du2
;du
u1
1
u
1
u
1
2
)u(1u
du2
1;C1;-B1;A
:sonCB,A,devaloreslosDonde
;
u1
C
u
B
u
A
)1u(u
1
:obtenemosparcialesfraccionesporIntegrando
x/2x/2
x/2
yy
x/2x/2
yy
x/2x/2
x/2x/2x/2
2
22
22
22
+++−−=−⇒
+
=−
+++−−=
+
⇒
+++−−=
+
⇒
+
+−=
+
⇒












+
+−=
+
⇒
===
+
++=
+
∫
∫
∫
∫ ∫∫∫
∫∫
2.- Encontrar la solución particular de la siguiente ecuación diferencial:
SiSiSiSi ;)(y
4
0
π
=
3.- Exprese de forma implícita la solución de la siguiente ecuación diferencial:
0000
))))eeee(1(1(1(1eeee
dxdxdxdx
ydyydyydyydyeeee x/2x/2x/2x/2yyyy
x/2x/2x/2x/2
=
+
−
∫∫∫
∫
∫∫
+
=
+
=
+
⇒
=⇒=
=⇒=
=
+
+
=
=
+
=
=
+
=
+
=
)u(1u
du2
)uu(1
u
du2
)e(1e
dx
;
u
du2
dxudx
2
1
du
;dxe
2
1
dueu
?
)e(1e
dx
;
)e(1e
dx
dyye
;
ye
1
)y(g
;
)e(1e
1
)x(f
);y(g).x(f
)yee(1e
1
dx
dy
;
)e(1e
dx
ydye
2x/2x/2
2/x2/x
x/2x/2
x/2x/2
y
y
x/2x/2
yx/2x/2
x/2y
x/2
c;v3lnuln
;
v
3dv
u
du
:doReemplazan
dx;edve2v
(y);secdutan(y)u
;
)e(2
dx3e
tan(y)
(y)dysec
;
)e(2
dx3e
tan(y)
(y)dysec
f(x).g(y);
(y))sece(2
tan(y)3e
dx
dy
tan(y)dx;3e(y)dy)sece(2
0(y)dy)sece(2tan(y)dx3e
xx
2
x
x2
x
x2
2x
x
x2x
2xx
+=
=
⇒
−=⇒−=
=⇒=
−
−=
−
−=
=
−
−
=
−=−
=−+
∫∫
∫∫

ESPOL 2009 4
4.- Encuentre la solución general de la siguiente ecuación diferencial:
0dy)xln(1x)ee(dx)xln(y2 yy
====++++−−−−−−−− −−−−
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )( )
;
!1n21n2
y
dy
!1n2
y
dy
!1n2
y
;dx
)xln(1x
)xln(
dy
!1n2
y
:emplazandoRe
;
!1n2
y
y
)y(senh
!1n2
y
)y(senhSi
dy
y
)y(senh
;dx
)xln(1x
)xln(
dy
y
)y(senh
)y(senh
2
)ee(
;dx
)xln(1x
)xln(
dy
y2
)ee(
;dx
)xln(1x
)xln(
dy
y2
)ee(
)xln(1x)ee(
)xln(y2
dx
dy
;
)xln(1x
)xln(
)ee(
y2
)y(f
);x(g).y(f
)xln(1x)ee(
)xln(y2
dx
dy
;dx)xln(y2dy)xln(1x)ee(
0n
1n2
0n
n2
0n
n2
0n
n2
0n
n2
0n
1n2
yy
yy
yy
yy
yy
yy
yy
∑∫∑
∑
∫∫∑
∑∑
∫∫
∫∫
∞+
=
+∞+
=
∞+
=
∞+
=
∞+
=
∞+
=
+
−
−
−
−
−
−
−
++
=
+
+
+
=
+
+
=⇒
+
=
+
=
=
−
+
=
−
+
=
−
+−
=
+
=∧
−
=
=
+−
=
=+−
:queobtenemosIntegrando
:potenciasdeseriesusardebemosintegrarPara
:siguientelotenemosentoncesqueobservamosSi
:obtieneseecuaciónladeladosambosaIntegrando
g(x)

ESPOL 2009 5
( )
( )
( )( )
( ) C
3
2
!1n21n2
y
;C
3
2dx
C
3
2
;Cz
3
z
2
z
;
z
;duzdz2u1
;dx
Si
?dx
dx
3
1n2
3
3
3
+








+−
+
=
++
+








+−
+
=
+
⇒
+








+−
+
=
+
⇒
+





−==⇒
=
+
⇒
=⇒+=
+
=
+
⇒
=⇒=
=
+
+
∑
∫
∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫
∞+
=
+
ln(x)1
ln(x)1
:esimplícitaformadegeneralsolucionLa
ln(x)1
ln(x)1
ln(x)1x
ln(x)
u1
u1
u1
udu
21)dz-(z
1)2zdz-(z
1)2zdz-(z
u1
udu
zAhora
u1
udu
ln(x)1x
ln(x)
x
dx
duln(x)u
ln(x)1x
ln(x)
:
ln(x)1x
ln(x)
integrandoAhora
0n
2
2
2
2

ESPOL 2009 6
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Las ecuaciones diferenciales lineales tienen la siguiente forma:
g(x);p(x)yy' =+
Existen dos métodos para resolver este tipos de ecuaciones:
El método del factor integrante.
Método de variación de parámetros
El método del factor integrante:
[ ]
[ ]
[ ]
;u(x)g(x)dx
u(x)
1
y
;u(x)g(x)dxu(x)y
;u(x)g(x)dxu(x)yd
u(x)g(x);u(x)y
dx
d
u(x)g(x);p(x)yy'u(x)
;eu(x)
p(x)dx
∫
∫
∫∫
=
=
=
=
=+
∫=
=+ g(x);p(x)yy'
Método de variación de parámetros
v(x);y'v'(x)yy'
v(x);yy
Asumir:
ey
p(x)dx;y
p(x)dx;
y
dy
;p(x)y
dx
dy
;p(x)y'y
;p(x)y'y
hh
h
p(x)dx;
h
h
h
h
h
h
hh
hh
++++====
====
====
−−−−====
−−−−====
−−−−====
−−−−====
====++++
====++++
∫∫∫∫ −−−−
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
ln
0
g(x);p(x)yy'
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
[[[[ ]]]] [[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
[[[[ ]]]]
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫====
====
====
====
====
====
====++++
====++++
====++++++++
====++++++++
====++++
−−−−
dx;
y
g(x)
ey
v(x);yy
dx;
y
g(x)
v(x)
dx;
y
g(x)
dv
g(x);y
dx
dv
g(x);yv'(x)
g(x);v(x)yv'(x)
s:, entoncep(x)yPero y'
g(x);p(x)yy'v(x)yv'(x)
g(x);v(x)p(x)yv(x)y'v'(x)y
g(x);p(x)yy'
:emplazando
h
p(x)dx
h
h
h
h
h
h
hh
hhh
hhh
0
0
Re

ESPOL 2009 7
1) ;
ctg(x)(x)sen
x
yxy'
42
3
=−2
[ ]
;C
3
)X(ctg4
xy
;C
3
)X(ctg4
y
x
1
;C
3
)X(ctg4
C
3
)X(ctg4
dx
ctg(x)
)x(csc
3
u4
4/3
u
duu
u
du
dx
ctg(x)
)x(csc
;dx)x(cscdu)x(ctguSi
;dx
ctg(x)
)x(csc
dx
ctg(x)(x)sen
1
;dx
ctg(x)(x)sen
1
y
x
1
;dx
ctg(x)(x)sen
1
y
x
1
d
;
ctg(x)(x)sen
1
y
x
1
dx
d
;
ctg(x)(x)sen
x
x
1
y
x
2
y'
x
1
;
x
1
xeee)x(u
;
ctg(x)(x)sen
x
y
x
2
y'
4 3
2
4 3
2
4 34/3
4
2
4/34/3
4/1
44
2
2
4
2
42
422
422
422
42
2
22
2
2)xln()xln(2
dx
x
2
42
2
2








+−=
+−=⇒
+−=+−=⇒
−=





−=−=
−
=⇒
−=⇒=
=








⇒








=⇒








=





⇒








=













=





−
====∫=
∫=
=+
=−
∫
∫∫∫
∫∫
∫
∫∫
−
−−
− −
:esldiferenciaecuacionladegeneralsoluciónLa
:ecuaciónladeladosambosau(x)integrantefactorelemosMultipliqu
eu(x)
:u(x)integrantefactorelsEncontremo
:integrantefactordelmétodoelaplicarpodemostantoloPor
g(x);p(x)yy'formalaTiene
p(x)dx

ESPOL 2009 8
2) 


≥
<≤
===+
2x;2x-
2x0;
p(x)1;y(0)1;p(x)yy'
1
Para el intervalo 2x0 <≤ resolvemos la ecuación diferencial, donde 1p(x)= :
( )
( )
( )
( )
2;xpara
:potenciasdeseriesusar
snecesitamointegrarparaPero
lineal)dif.(Ec.1;y'-2xy
-2x;p(x)2,xparaAhora
>+
+
−
=⇒
+
+
−
=⇒
−
=⇒
=⇒=
=
=
=∫=
=
=≥
∑
∑
∫∑
∫∫∫
∞+
=
+
∞+
=
+
−
∞+
=
−
−
−−−−
−
−
−−
−−
;ke
!n)1n2(
x1
ey
;k
!n)1n2(
x1
ye
;dx
!n
x1
ye
dxe
;dxeye;dxe)ye(d
;e
dx
)ye(d
);1(exy2y'-e
;ee)x(u
2
0n
x
1n2n
x
2
0n
2
1n2n
x
0n
n2n
x
x
xxxx
x
x
xx
xxdx2
22
2
2
2
2222
2
2
22
2
2x0para
);separabledif.(Ec.
<≤=⇒
=⇒−=
=
−=
=−
=
+−=−
+=−−
=
−
⇒=
−
−=⇒=+
=+
−
−
+−−
∫∫
1y
;0k;ek11
;1)0(yPero
;ek1y
;eky1
;ee
Kxy1ln
;Cxy1ln
;dx
y1
dy
dx
y1
dy
;y1
dx
dy
;1y
dx
dy
;1y'y
1
1
0
1
x
11
x
1
Kxy1ln
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
;
!n1n2
21
2
e
1
k
;
!n1n2
221
e
1
k;ke
!n1n2
221
e1
;ke
!n1n2
221
e1;ke
!n1n2
21
e1
;ke
!n1n2
x1
e1
;yy
);x(f)x(f
0n
n2n
42
0n
n2n
422
4
0n
n2n
4
2
4
0n
n2n
4
2
2
0n
1n2n
2
2
x
0n
1n2n
x
2x2x
2
2x
1
2x
axax
22
22
limlim
limlim
limlim
∑
∑∑
∑∑
∑
∞+
=
∞+
=
∞+
=
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
+
→→
→→
→→
+
−
−=⇒
+
−
−=⇒=
+
−
−⇒
+
+
−
=⇒+
+
−
=⇒






+
+
−
=⇒
=⇒
=
+−
+−
+−
:dicecondiciónEsta
:funcionesdosdedcontinuidadecondición
lausaremoskencontrarparaAhora 2
( ) ( )
( )




≥





+
−
−+
+
−
<≤
=
∑∑
∞+
=
∞+
=
+
2x
2x0;
:enciacorresponddereglasiguientela
conexpresadaquedasoluciónLa
;
!n1n2
21
2
e
1
e
!n)1n2(
x1
e
1
y
0n
n2n
4
0n
x
1n2n
x 22

ESPOL 2009 9
3.- Resolver la siguiente ecuación diferencial:
xe
y
dx
dy
y
2+
=
Si observamos que esta es una ecuación diferencial no separable, no lineal con respecto
a y, que tal si hacemos que nuestra variable independiente sea “y”, y que “x” nuestra
variable dependiente, es decir obtener nuestra solución en función de “y” ( ))y(fx = .
( )
( )
[ ]
[ ] [ ] [ ]
∫∫
∫∫
=⇒=
=⇒=⇒=
=







−⇒=−
=
=⇒==
∫
=−=
∫=
=+
=+
=−⇒=−−⇒
=−−≡=−−
=+
=+
−
−−−
−
−
−
dy
y
e
ydy
y
e
xy
dy
y
e
xydy
y
e
xy
y
e
xy
.
y
e
y
x2
'x
y
e
y
x2
'x
e;
y
2
)y(p
;
;g(y)p(y)xx'
;
y
e
y
x2
'x;0
y
x2
y
e
'x
;0x2e'yx;0x2e
dy
dx
y
;
dy
dx
yx2e
;ydxdyx2e
3
y
2
3
y
2
3
y
2
3
y
2
3
y
2
y
xy
y
yln2
yy
yy
y
y
2
x
dd
dy
d
yy
:ldiferenciaecuaciónladeladosambosayu(y)integrantefactorelndoMultiplica
yu(y)yeu(y)sentonce
eu(y)
:ydedependeahoraintegrantefactorEl*
:integrantefactordelmétodoelApliquemos
:nteindependievariablelay esAhora
g(y);p(y)xx'formalaTiene
2-
dy
d
2-
2-
2-2-
dy
y
2
p(y)dy
4434421








+
−
++−−==








+++=
=⇒=
∑∫
∫ ∫ ∑∑
∑∑
∞+
=
−
∞+
=
−
∞+
=
−
∞+
=
−
∞+
=
;C
!n)2n(
y
)yln(
2
1
y
1
y2
1
dy
e
y)y(x
!n
y
y!2
1
y!1
1
y!0
1
dy
!n
y
!n
y
y
e
!n
y
e
dy
e
3n
2n
2
y
2
3n
3n
23
0n
3n
0n
3n
0n
3
yn
y
y
2
3
3
y
y
:potenciasdeseriesusamos
y
integrarPara
La solución es:








+
−
++−−=
∑
+∞
=
2
3n
n
2
yC
2)n!(n
y
ln(y)y
2
1
y
2
1
x

ESPOL 2009 10
4.- Resuelva la siguiente ecuación diferencial:
;0==− y(1);sen(ln(x))xyxy' 2
Utilizando el método del factor integrante:
;x)x(u
;eee)x(u
;
x
1
e)x(u
e)x(u
;(x))lnxsen(
x
y
y'
;(x))lnsen(xyxy'
1
)xln(dx
x
1
dx)x(p
dx)x(p
;dx)x(p
2
−
−∫−
∫
∫
∫
=⇒
===⇒
−==⇒
=
=+
=−
=−
p(x)donde;
:entoncesg(x),p(x)yy'formasiguientelaTiene
[ ]
[ ] [ ] [ ]
∫
∫
∫∫
=
=
=⇒=⇒=
=−
−
−−−
−−−
−
(x))dxlnsen(xy
(x))dxlnsen(yx
(x))dxlnsen(yxd(x))dxlnsen(yxd(x))lnsen(yx
dx
d
;(x))lnxsen(x
x
y
xy'x
1
111
1
yx
dx
d
11
1
:obtieneseldiferenciaecuaciónladeladosambosaintegrantefactorelndoMultiplica
4434421
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] ;Cx
2
))xcos(ln())x(ln(senx
y
C
2
xy
;C
2
dx))x(ln(sen
;C
2
)zcos()z(sene
dze)z(sen
dze)z(sen
;dze)z(sendx))x(ln(sen
;dzedx
;;xdzdx
;
x
dx
dz);xln(z
?dx))x(ln(sen
2
z
z
z
z
z
+
−
=




+
−
=⇒
+
−
=⇒
+
−
=
=
=
==
=⇒=
=
∫
∫
∫
∫∫
∫
:queobtenemospartesporintegrando,
exPero z
[ ]
[ ]
[ ]
;
2
1
C;C
2
1
0
;C
2
)0cos()0(sen
0
);1(C
2
))1cos(ln())1(ln(sen1
0
;0)1(y
;Cx
2
y
2
2
=⇒+−=⇒
+
−
=⇒
+
−
=⇒
=
+
−
=
= 0;y(1)siparticularsoluciónlaahorasEncontremo
[ ]
2
x
2
cos(ln(x))sen(ln(x))x
y
:essoluciónLa
2
+
−
=

ESPOL 2009 11
Ecuaciones diferenciales Exactas
Las ecuaciones diferenciales exactas tienen la siguiente forma:
0;y)F(x,
:essoluciónlaDonde
h(x);y)H(x,y)F(x,
:obtieneseforma,mismaladeprocedemosyeligeseSi
:essolucíonLa
:Entonces
y).F(x,deconstanteLa
y);N(x,
y
y)F(x,
conigualandoLuego
:yarespectocony)F(x,derivandoLuego
:obtienesey),M(x,escogemosSi
:quetaly)F(x,
:existeEntonces
x
y)(x,
y
y)M(x,
:siexactaEs
0;y)y'N(x,y)M(x,
=
+=
=
∂
∂
=+
=
+=
=
−=
=+
=
∂
∂
+=
∂
∂
+=
∂=∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=+
∫∫
,N(x,y)
y
F(x,y)
;0h(y)G(x,y)
;0F(x,y)
h(y);G(x,y)F(x,y)
)y(h
G'(x,y);N(x,y)h'(y)
N(x,y);h'(y)G'(x,y)
);y('h)y,x('G
y
)y,x(F
h(y);G(x,y)F(x,y)
;xM(x,y)F(x,y)
M(x,y)
x
F(x,y)
x
)y,x(F
N(x,y);
y
F(x,y)
M(x,y);
x
F(x,y)
;NM
;
N
xy

ESPOL 2009 12
( ) 0dyxxln(x)
y
e
xdx4xxyln(x)
x
e
y4x
xy
43
xy
3
=





−+−+





−++−
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )( )
);x(hxy)xln(yx
!nn
yx
)yln(yx)y,x(F
;
!nn
yx
)yln(y
!n
yx
y
1
y
y
e
;
!n
yx
y
1
!n
yx
!n
xy
y
1
y
e
y
y
e
);x(hxy)xln(yxy
y
e
yx)y,x(F
;yx(x)lnx
y
e
x(F(x,y))
y;x(x)lnx
y
e
x(F(x,y))
x;(x)lnx
y
e
x
y
(F(x,y))
x;(x)lnx
y
e
xFy
Si
Existe
NxMy
;(x)lnex4Nx
)y,x(N
;(x)lnex4M
;4xx(x)lny
x
e
yx4M(x,y)
1n
nn
4
1n
nn
1n
1nnxy
1n
1nn
0n
1nn
0n
nxy
xy
xy
4
xy
4
xy
4
xy
4
xy
4
xy3
xy3
y
3
xy
3
+−+−−=
+=∂







+=∂







+===
∂







+−+∂







−=
∂







−+−=∂
∂







−+−=∂
−+−=
∂
∂
−+−=
=



=
=
⇒
=
+−=
−+−=
+−=
−++−=
=





−+−+





−++−
∑
∑∫ ∑∫
∑∑∑
∫
∫∫
∞+
=
∞+
=
∞+
=
−
∞+
=
−∞+
=
−∞+
=
:potenciasdeseriesusaseintegrarPara
:ecuaciónladeladosambosaintegrandoEntonces
:siguienteloobtieneseentoncesy),N(x,Fy
y)N(x,Fy
y)M(x,Fx
dondey),F(x,funciónuna
exacta;esldiferenciaecuacionlaentonces;
x;xln(x)
y
e
x
0y'xxln(x)
y
e
x4xxyln(x)
x
e
y4x
xy
4
xy
43
xy
3

ESPOL 2009 13
( )
( ) ( )
( )( )
[ ]
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ;0C4x
7
4x
3xy)xln(yx
!nn
yx
)yln(yx
;C4x
7
4x
3xy)xln(yx
!nn
yx
)yln(yx)y,x(F
;C4x
7
4x
3)x(h
;Cz
7
z
3)z(h
;dzz4z3)z(h
;dzz3z4z)z(h
;4zx
4xz
;dxdzz3;4xz
;dx4xx)x(h
;4xx)x('h
;4xx(x)lny
x
e
yx4)x('h)xln(y
x
e
yx4
:
);x('h)xln(y
x
e
yx4Fx
);x('hy)xln(yy
!n
yx
yx4Fx
);x('hy)xln(1y
!nn
yxn
yx4Fx
;4xx(x)lny
x
e
yx4Fx
43
73
1n
nn
4
4
3
7
3
1n
nn
4
4
3
7
3
4
7
36
23 33
3
3
23
3
3
3
xy
3
xy
3
xy
3
1n
n1n
3
1n
n1n
3
3
xy
3
=








+−+
−
+−+−−
=








+−+
−
+−+−−=








+−+
−
=






++=
+=
+=
+=
−=
=⇒−=
−=
−=
−++−=++−
++−=
+−++−=
+−++−=
−++−=
=
=
∑
∑
∫
∫
∫
∑
∑
∞+
=
∞+
=
∞+
=
−
∞+
=
−
:decires0,y)F(x,simplicitaesoluciónLa
:Entonces
:h(x)Obteniendo
:términosEliminando
FxdoreemplazanEntonces
y);M(x,Fx
:siguienteloobtieneseentoncesM,FxsiAhora

ESPOL 2009 14
0y'
2y
y
yx1)ln(xx2xyxy
1x
xy
y 8
3
222
=





−
++++−+





+
+
− ;
2y
y
yx1xlnxxy2N(x,y)
xy
1x
xy
yM(x,y)
8
3
2
22
−
++++−=
+
+
−=
);y('hyx1xlnxxy2Fy
);y(h
2
yx
1xlnyxyxy)y,x(F
);y(h
2
yx
x
1x
1
yxyxy)y,x(F
);y(h
2
yx
x
1x
11x
yxy)y,x(F
);y(h
2
yx
x
1x
x
yxy)y,x(F
x;xy
1x
xy
y(F(x,y))
xy
1x
xy
y
x
(F(x,y))
;xy
1x
xy
yM(x,y)Fx
Si
Existe
;NxMy
;xy2
1x
x
y2Nx
;xy2
1x
1x1
y2Nx
;xy2
1x
1
1y2Nx
xy2
1x
x
y2My
2
22
2
22
2
22
2
22
2
22
22
22
++++−=
=
=
++++−=
++∂
+
+∂−=
++∂
+
−+
−=
++∂
+
−=
∂





+
+
−=∂
+
+
−=
∂
∂
+
+
−==
=



=
=
⇒
=
+
+
−=
+
+
−−
+=
+
+
+−=
+
+
−=
∫ ∫
∫
∫
y);N(x,Fy
:siguienteloobtieneseentoncesy),N(x,FysiAhora
:siguienteloobtieneseentoncesy),M(x,Fx
y)N(x,Fy
y)M(x,Fx
exacta.esldiferenciaecuaciónla

ESPOL 2009 15
( )
;0C
2y
2y
ln
28
1
2
yx
1xlnyxyxy
;C
2y
2y
ln
28
1
2
yx
1xlnyxyxy)y,x(F
;C
2y
2y
ln
28
1
)y(h
;C
2z
2z
ln
28
1
)z(h
;K
2z
2z
ln
22
1
4
1
2z
dz
4
1
)z(h
;dyy4dz;yz
;dy
2y
y
)y(h
;dy
2y
y
)y(h
;
2y
y
)y('h
2y
y
yx1xlnxxy2);y('hyx1xlnxxy2
:
4
422
2
4
422
2
4
4
2
34
24
3
8
3
8
3
8
3
22
=+
+
−
++++−
=
+
+
−
++++−=
+
+
−
=
+
+
−
=








+
+
−
=
−
=
=⇒=
−
=
−
=
−
=
−
++++−=++++−
∫
∫
∫
:Entonces
:h(y)Obteniendo
FydoreemplazanEntonces
3.- Determine el valor de N(x,y) para que la siguiente ecuación diferencial sea
exacta, luego encuentre la solución de forma implícita:
0y)dyN(x,dx
yx
x
xy 2
1/21/2
=+





+
+−
Para que la ecuación diferencial sea exacta debe cumplirse que My = Nx
( )
( )
( )
;x
yx
x
xy
2
1
)y,x(N
;
yx
x
xy
2
1
x
)y,x(N
;
yx
x
xy
2
1
Nx
;MyNx
22
2/12/1
22
2/12/1
22
2/12/1
∂








+
−=∂
+
−=
∂
∂
+
−=
=
−−
−−
−−

ESPOL 2009 16
( )
( )
( )
;C
yx2
1
xy)y,x(N
;C
u2
1
xy)y,x(N
;
u
u
2
1
xy)y,x(N
;xx2u
;yxu
;x
yx
x
xy)y,x(N
;x
yx
x
xy
2
1
)y,x(N
2
2/12/1
2/12/1
2
2/12/1
2
22
2/12/1
22
2/12/1
+
+
+=
++=
∂
−=
∂=∂
+=
∂








+
−=
∂








+
−=∂
−
−
−
−
−−
∫
∫
∫∫
( )
0dyC
yx2
1
xydx
yx
x
xy 2
2/12/1
2
2/12/1
=







+
+
++







+
+ −−
Ahora como My = Nx;
);y('h
)yx(2
1
yxFy
h(y);yxln
2
1
xy2F(x,y)
;
u
u
2
1
xy2F(x,y)
x;x2u
y;xu
x;
yx
x
xy2F(x,y)
x;
yx
x
xyF(x,y)
x;
yx
x
xy(F(x,y))
yx
x
xy
x
(F(x,y))
;
yx
x
xyM(x,y)Fx
Si
Existe
2
2/12/1
22/12/1
2/12/1
2
2
2/12/1
2
2/12/1
2
2/12/1
2
2/12/1
2
2/12/1
+
+
+=
=
=
+++=
∂
+=
∂=∂
+=
∂
+
+=
∂







+
+=
∂







+
+=∂
+
+=
∂
∂
+
+==
=



=
=
⇒
−
−
−
−
−
∫
∫
∫
y);N(x,Fy
:siguienteloobtieneseentoncesy),N(x,FysiAhora
:siguienteloobtieneseentoncesy),M(x,Fx
y)N(x,Fy
y)M(x,Fx

ESPOL 2009 17
( )
;0;KCxyxln
2
1
xy2
K;Cxyxln
2
1
xy2F(x,y)
h(y);yxln
2
1
xy2F(x,y)
;KCx)y(h
;C)y('h
;C
yx2
1
xy);y('h
)yx(2
1
yx
:
22/12/1
22/12/1
22/12/1
2
2/12/1
2
2/12/1
=++++
=
++++=
+++=
+=
=
+
+
+=+
+
+ −−
:Entonces
:h(y)Obteniendo
FydoreemplazanEntonces

ESPOL 2009 18
Ecuaciones diferenciales exactas con factor integrante
exacta.esldiferenciaecuaciónlaAhora
:ydedependequeintegrantefactorUn
exacta.esldiferenciaecuaciónla
:esxdedependesoloqueintegrantefactorUn
:integrantefactorunnecesitasetantoloporexacta,noldiferenciaecuaciónunaesEntonces
Nx;MySi
;0y'u(y)N(x,y)u(y)M(x,y)
;eu(y)
Ahora
;0y'u(x)N(x,y)u(x)M(x,y)
;eu(x)
;0'y)y,x(N)y,x(M
dx
N(x,y)
Nx-My
dx
N(x,y)
My-Nx
=+
∫
=
=+
∫
=
≠
=+
1) ( ) 1;y(1)Si0;dy203y2xxydx 22
==−++
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
;4
;2032),(
;4
;),(
;02032
02032
;)(
;)(
4
2032
3
3532
3
4
35324
2233
3
3
22
xyNx
yyyxyxN
xyMy
xyyxM
dyyyyxdxxy
;dyyxyxydxy
yyu
yyu
x;Nx
;yxN(x,y)
x;My
xy;M(x,y)
dy
y
dy
xy
dy
====
−−−−++++====
====
====
====−−−−++++++++
====−−−−++++++++
====
====
∫∫∫∫
====
∫∫∫∫
====
∫∫∫∫
====
≠≠≠≠
====
−−−−++++====
====
====


















:ecuaciónladeladosambosau(y)andomulitiplicLuego
ee
eu(y)
:integrantefactorsuencontrardebemostantoloPor
exacta;esnoldiferenciaecuaciónlaentoncesNx;My
3x-4x
y)M(x,
My-Nx

ESPOL 2009 19
(((( ))))
;Cy
yyx
C;y
yyx
F(x,y)
Cy
y
yh
dyyyyh
;yyh'(y)
;yyyxh'(y)yx
yh
yx
yxF
xxyyxF
xy
x
yxF
05
22
5
22
;5
2
)(
;203)(
203
20322
);(
2
),(
;),(
;
)),((
4
642
4
642
4
6
35
35
353232
42
4
4
====++++−−−−++++
++++−−−−++++====
++++−−−−====
−−−−====
−−−−====
−−−−++++====++++
====
++++====
∂∂∂∂====
====
∂∂∂∂
∂∂∂∂
====



====
====
∃∃∃∃
====
∫∫∫∫
∫∫∫∫
:Entonces
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
:talquey))(F(x,
:exactaesldiferenciaecuaciónlatantoloporNx,My
2) ( )[ ] 0;dxln(x)1xyy-2xdy 3
=++
( )( ) ( ) ( )
;08y10yyx
;04y5
2
y
2
yx
;4C
;15C
;0C5
2
1
2
1
;0C15
2
1
2
11
;0Cy5
2
y
2
yx
4642
4
642
4
642
4
642
=+−+
=+−+
=
−=
=+−+
=+−+
=+−+
=
:soluciónLa
1;y(1)Si

ESPOL 2009 20
( )[ ]
( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )[ ] ( )
( )
( )
( )
( )
C)y(h
;0h'(y)
;
y
x2
h'(y)
y
x2
);y(h
4
x
)xln(
2
x
2
x
y
x
)y,x(F
;x(x)ln1x
y
1
)y,x(F
;(x)ln1x
y
1
x
))y,x(F(
;
y
2
Nx
;
y
x2
)y,x(N
;
y
2
My
;(x)ln1x
y
1
)y,x(M
;0dy
y
x2
dx(x)ln1x
y
1
;0xdy2
y
1
dx-(x)ln1xyy
y
1
;
y
1
ee)y(u
ee)y(u
;e
)y,x(N
(x);lnxy3xy31My
;(x)ln1xyyM(x,y)
33
222
2
2
2
3
3
3
2
32
3
3
3
3
dy
y
3dy
)xln(1xy1y
)xln(1xy13
dy
)xln(1xy1y
(x);lnxy3xy33
dy
(x)ln1xyy
(x);lnxy3xy312
dy
)y,x(M
MyNx
22
3
2
2
2
22
3
22
=
=
−=+−
=
+−++=
∂





++=
++=
∂
∂
=



=
=
∃
=
−=
−=
−=
++=
=







−





++
=++
=
∫∫
=
∫
=
∫
=
∫
=
=
=
++=
++=
=++
∫
−








++
++−








++
−−−








++
−−−−





 −
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
:talquey))(F(x,
:exactaese.d.latantoloporNx,My
:ecuaciónladeladosambosau(y)andomulitiplicLuego
u(y)
-2;Nx
-2x;
0;2xdy-dxln(x)1xyy 3
;0C
4
x
)xln(
2
x
2
x
y
x
;C
4
x
)xln(
2
x
2
x
y
x
)y,x(F
222
2
222
2
=+−++
+−++=
:Entonces

ESPOL 2009 21
3) ( ) 2xyln(y);y'1yyx 222
−=++
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( ) [ ]
[ ]
( )
;Cuu
3
1
Cu
3
2
2
1
duu
2
1
)y(h
;ydy2du
;1yu
;dy1yy)y(h
;1yyh'(y)
;1yy
y
x
h'(y)
y
x
);y(h)yln(x)y,x(F
;x(y)lnx2)y,x(F
;;(y)lnx2
x
))y,x(F(
;
y
x2
Nx
;1yy
y
x
)y,x(N
;
y
x2
My
;(y)lnx2)y,x(M
;0y'1yy
y
x
(y)lnx2
;0y'1yyx
y
1
(y)lnxy2
y
1
;
y
1
)y(u
;eee)y(u
;e)y(u
;x2Nx
;1yyx)y,x(N
;)yln(1x2My
;(y)lnxy2)y,x(M
;0y'1yyx(y)lnxy2
2/3
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
222
dy
y
1
dy
)yln(xy2
)yln(x2
dy
(y)lnxy2
)yln(1x2x2
dy
)y,x(M
MyNx
222
222
+=



+==
=
+=
+=
+=
++=+
=
+=
∂=
=
∂
∂
=



=
=
∃
=
=
++=
=
=
=





+++
=+++
=
∫
=
∫
=
∫
=
∫
=
=
++=
+=
=
=+++
∫
∫
∫
−






 −







 +−







 −
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
y);N(x,Fy
y);M(x,Fx
:talquey))(F(x,
:exactaese.d.latantoloporNx,My
:ecuaciónladeladosambosau(y)multiplicaseLuego
( )
( )
( ) ;0C1y1y)yln(x
;C1y1y)yln(x)y,x(F
C;1y1y
3
1
h(y)
222
222
22
=++++
++++=
+++=
3
1
3
1
:Entonces

ESPOL 2009 22
Ecuaciones diferenciales de Bernoulli
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) { (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
.integrantefactordelmétodoelporresolverpuedeseque
Lineal,ldiferenciaecuaciónunaesEsto
:siguienteloobtieneSe
:BernoullideecuaciónladeladosambosafactorelrámultiplicaSe
:evariabldecambiosiguienteelhaciendo
linealenconviertelasequelineal,noldiferenciaecuaciónunaesEsta
0,1.ndondeBernoulli,deldiferenciaecuaciónuna
:esEsto



−−−−====−−−−++++
−−−−====−−−−++++−−−−
−−−−====−−−−++++−−−−
−−−−
−−−−========
====
≠≠≠≠====++++
−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
)(1)(1
)(1)(11
)(1)(11
1
1.
:
)()(
1
1
xgnvxpn
dx
dv
xgnyxpn
dx
dy
yn
yxgynyxpyn
dx
dy
yn
yn
dx
dy
yn
dx
dy
dy
dv
dx
dv
Donde
yv
yxgyxp
dx
dy
Sea
v
n
dx
dv
n
nnnn
n
n
n
n
4434421

ESPOL 2009 23
La solución general es:
;
x
K
9
2x
3
2xln(x)
x
3
2
1
y
2
++−−
=
( )[ ]
( )
( )
( )
( )
( )
( )
[ ] ( )
( )
( )
( )∫
∫
∫
−−=
+−=
+−=
+−=
+−=+
=∫=
+−=+
+−=+−
+−=+−
−
−==
=
=
=+=−
=



++−
=++
−
−
−−−
−
−
−
−
;dx)xln(x2x
3
2
vx
;dx)xln(xx2vx
;dx(x)ln1x2vx
;(x)ln1x2
dx
vxd
;(x)ln1x2
x
v2
x'vx
;xe)x(u
;(x)ln12
x
v2
'v
;(x)ln12
x
y
2y'y2
;(x)ln1yy2
x
y
y2y'y2
y2
;
dx
dy
y2
dx
dv
'v
;yv
;(x)ln1y
x
y
y'
;0(x)ln1y
x
y
y'
;0dx(x)ln1xyyxdy-
232
222
22
2
2
222
2
dx
x
2
2
3
3333
3
3
2
3
3
3
:integrantefactorporoResolviend
:v'yvdoReemplazan
:ecuaciónladeambosamultiplicaseLuego
;yvsustituyeSe
3;n
n1
1) ( )[ ] 0;dxln(x)1xyy-xdy 3
=++
.
(((( ))))
(((( ))))
;
9
2
3
)ln(2
3
2
:
;
9
2
3
)ln(2
3
2
;
9
2
3
)ln(2
3
2
;
93
)ln(
)ln(
;
3
;);ln(
?)ln(
2
2
2
33
32
33
2
3
2
2
x
Kxxx
xy
x
Kxxx
xv
K
xxx
xvx
C
xxx
dxxx
x
vdx;xdv
x
dx
duxu
dxxx
++++++++−−−−−−−−====
====
++++++++−−−−−−−−====
++++++++−−−−−−−−====
++++−−−−====
====⇒⇒⇒⇒====
====⇒⇒⇒⇒====
====
−−−−
∫∫∫∫
∫∫∫∫
yvdoReemplazan
:soluciónlaDespejando
2-

ESPOL 2009 24
2) 1;y(1)siln(x);yyxy' 2
==+
∫=
=




=−
=∫=
=−
−=−−
−
−=
==
==+
−
−−−
−
−
−−
;dx
x
)xln(
v
x
1
;
x
)xln(
dx
v
x
1
d
;
x
)xln(
x
v
'v
x
1
;
x
1
e)x(u
;
x
)xln(
x
v
'v
;
x
)xln(
yy
x
y
y'yy
y
;
dx
dy
y
dx
dv
;yyv
;
x
)xln(
y
x
y
'y
2
2
22
x
dx
2222
2
2
1n1
2
:integrantefactordelmétodoelporoResolviend
:ecuaciónlaenv'yvdoReemplazan
:ecuaciónladeladosambosamultiplicaseLuego
2;n
;
Cx1)xln(
1
y
;Cx1)xln(y
;Cx1)xln(v
C;
x
1
x
)xln(
-v
x
1
;
x
dx
x
)xln(
-v
x
1
;
x
1
-v;
x
dx
dv
;
x
dx
du(x);lnu
?dx
x
)xln(
1
2
2
2
+−−
=
+−−=
+−−=
+−=
+=
=⇒=
=⇒=
=
−
∫
∫Integrando
;2C
;11C
1C-
1
1
=
=−
=
= :entonces1,y(1)Si
;
2x1ln(x)
1
y
:essoluciónLa
+−−
=

Ecuaciones Diferenciales
ESPOL 2009 25
3) [ ] 0;dxx)(14xy1yx)dy4(1 2
=++++
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ;x1Cx14
3
x14
y
;Cx14
3
x14
v
;Cx14
3
x14
v
x1
1
;Cx14
3
x14
dx
x1
x2
;Cz4
3
z4
dz1z4
;dz1z4
z
zdz21z
2dx
x1
x2
;1zx
;dxzdz2;x1z
?;dx
x1
x2
;dx
x1
x2
v
x1
1
;
x1
x2
dx
v
x1
1
d
;
x1
x2
x)1(4
v2
x1
1
'v
x1
1
;
x1
1
ee)x(u
;x2
x)1(4
v2
'v
;xyy2
x)1(4
yy2
'yy2
;
dx
dy
y2
dx
dv
;yyv
;xy
x)1(4
y
'y
0xy
x)1(4
1
y'y
2
2
2
3
3
3
2
2
2
2
2
x1ln
2
1dx
)x1(2
1
33
3
3
3
2n1
3
2
+++−
+
=
++−
+
=
++−
+
=
+
++−
+
=
+
+−=−
−=
−
=
+
−=
=⇒+=
=
+
+
=
+
+
=




+
+
=
++
−
+
+
==
∫
=
=
+
−
=
+
−
+−
−=
==
=−=
+
+
=





+
+
+
−
+−
+
−
−
−
−
−
−−
∫
∫
∫∫∫
∫
∫
:ecuaciónladeladosambosa2y-multiplicaseLuego
3;n
3-
( )
( )
;
x1Cx14
3
x14
1
y
2
+++−
+
=
La solución
general es:

ESPOL 2009 26
4) ctg(x);2y4csc(2x)y3y' 1/2−
=+
[ ]
( )
;
4
1C
;C
4
1
;C
4
;)x(Cctg)x(xctgy
);x(Cctg)x(xctgy
);x(Cctg)x(xctgv
;Cxv)xtan(
;dxv)xtan(
;dxv)xtan(
;1
dx
v)xtan(d
);x(ctg)xtan(v)x2csc()xtan(2'v)xtan(
);xtan(
)xcos()x(sen
)x(sen
2
)x2(sen
2
)x2cos(1
)x2(sen
)x2cos(1
)x(u
;
)x2(sen
)x2cos(
)x2(sen
1
)x(u
);x2(ctg)x2csc()x(u
ee)x(u
);x(ctgv)x2csc(2'v
);x(ctgy
3
2
y
2
3
y)x2csc(
3
4
y
2
3
'yy
2
3
y
2
3
;'yy
2
3
'v
;yyv
;
2
1
);x(ctgy
3
2
y)x2csc(
3
4
'y
3
2
3 2
2/3
2
)x2(ctg)x2csc(lndx)x2csc(2
2/12/12/12/1
2/1
2/1
2/3n1
2/1
π
−=
+
π
=






+
π
=
=π
+=
+=
+=
+=
=
=
=
=+
==
−
=
−
=
−=
−=
=∫=
=+
=+
=
==
−==+
∫
∫
−
−
−
−
1
1;/4)y(Si
:ecuaciónladeladosambosamultiplicaSe
n

ESPOL 2009 27
;)x(ctg
4
1)x(xctgy 3
2











 π
−+=
Ecuaciones diferenciales homogéneas de la forma 





=
x
y
f'y
);x(xy
);x(
x
y
);x(v
;
x
dx
v)v(f
dv
;v)v(f
dx
dv
x
);v(f
dx
dv
xv
;
x
y
f
dx
dy
;
dx
dv
xv
;
;
x
y
f
dx
dy
φ=
φ=
φ=
=
−
−=
=+






=
+=
==






=
=
:ecuaciónlaeny'yv,doReemplazan
dx
dy
vx;yentonces
x
y
v
:ónsustitucisiguientelahaceSe
:comoecuaciónestaexpresar
puedesesihomogéneaesy)f(x,
dx
dy
ecuaciónlaquediceSe

ESPOL 2009 28
1)Resolver la siguiente ecuación diferencial:
;
y
x
y
sec
x
y
dx
dy
2
2






+=
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
sen(2v)
8
1
-cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
vsec
dvv
sen(2v)
8
1
-cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
dvcos(2v)
4
1
cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
vsec
dvv
dvcos(2v)
4
1
cos(2v)
4
v
2
sen(2v)v
6
v
vsen(2v)dv
4
sen(2v)v
6
v
vsec
dvv
cos(2v)
2
1
nsen(2v)dvdn
dv.dmvm
vsen(2v)dv
4
sen(2v)v
6
v
vsec
dvv
dv
2
2vsen(2v)
2
sen(2v)v
6
v
dvcos(2v)v
2
1
dv
2
v
vsec
dvv
;
2
sen(2v)
ncos(2v)dvdn
2vdv;dmvm
dv
2
cos(2v)v
dv
2
v
dv
2
cos(2v)v
2
v
vsec
dvv
dv
2
cos(2v)v
2
v
dv
2
cos(2v)1
v(v)dvcosv
vsec
dvv
?
vsec
dvv
;
x
dx
vsec
dvv
:randoInteg
x
dx
vsec
dvv
separable.ldiferenciaEcuación
v
vsec
dx
dv
x
vx
vsec
dx
dv
x
;
vx
vsec
vv
dx
dv
x
y
x
y
sec
x
y
dx
dy
:obtienesev,
dx
dv
x
dx
dy
,
x
y
vxv,y,ldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan
v;
dx
dv
x
dx
dy
xv;y
x
y
v
:queAsumiendo
23
2
2
2323
2
2
2323
2
2
23
2
2
23
2
2
2
2
2
2222
2
2
22
222
2
2
2
2
32
2
32
2
2
2
3
22
2
22
2
2
2
++=
++=





+−−+=






+−−+=−+=
−=⇒=
=⇒=
−+=






−+=+





=
=⇒=
=⇒=






+





=





+=






+=




 +
==
=
==⇒



=⇒=⇒
+=+⇒






+=
+===
+=⇒
=⇒=
∫
∫∫
∫∫∫
∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫
∫∫
2
1
2
1
2
1

ESPOL 2009 29
( )
;
C
C
x
y
vdoReemplazan
x
1
sen(2v)
8
1
-cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
x
1
sen(2v)
8
1
-cos(2v)
4
v
4
sen(2v)v
6
v
x
dx
vsec
dvv
2
23
2
23
32
2
=
+−=++
+−=++⇔=
∫∫
2) ( ) ( ) /2;y(1)si0;dyxdx2xyxy 222
24 ==−++
C
La
+−=























+


















+






2
23
x
1
x
y
2sen
8
1
-
x
y
2cos
4
v
4
x
y
2sen
x
y
6
x
y
:porexpresadaquedaimplícitaformadesolución
( )
;
4
K
;Ktan
2
1
2
;K
2
xln4
tan
2
x
y
;K
2
xln4
tan
2
1
x
y
;K
2
xln4
tan
2
1
v
;K
2
xln4
tanv2
π
=
=
=






+=






+=






+=






+=
2
;
2
2
y(1)Si
:obtieneseladosambosatanAplicando
;
42
xln4
tan
2
x
y 




 π
+=
( )
( )
( )
( )
( ) ;K
2
xln4
v2arctan
;Cxln4v2arctan2
;
x
dx4
2/1v
dv
;
x
dx
2/1v4
dv
;
x
dx
2v4
dv
;2v4
dx
dv
x
;2v4v
dx
dv
xv
;
dx
dv
xv
dx
dy
;xvy
;
x
y
v
;2
x
y4
x
y
dx
dy
;
x
x2y4xy
dx
dy
2
2
2
2
2
2
2
2
22
+=
+=
=
+
=
+
=
+
+=
++=+
+=
=
=
++=
++
=
∫∫

ESPOL 2009 30
3) 0;xdonde0;)y(x;yxy
dx
dy
x 00
22
>=−+=
/4;y(1)====
;'xvv'y
;xvy
;
x
y
v
;
x
y
1
x
y
dx
dy
;
x
yx
x
y
dx
dy
;
x
yx
x
y
dx
dy
2
2
2
22
22
+=
=
=
−+=
−
+=
−
+=
:asumeSe
4) ( ) 0;ydxdyln(y)ln(x)x =−−
( )
( )
( )
;
x
y
lnx
y
dx
dy
;
(x)ln(y)lnx
y
dx
dy
;0ydxdy(x)ln(y)lnx
;0ydxdy(y)ln(x)lnx












−=
−
−=
=+−
=−−
;'xvv'y
;xvy
;
x
y
v
+=
=
=
:asumeSe
La solución general de forma implícita es:
C;xln
x
y
ln1ln
x
y
ln +−=





+−
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
;
2
ln
;
2
);(1
;ln
;ln
;ln
;ln)(
;
;1
;1
;1'
;1'
2
2
2
2






++++====
====
====
====
++++====
++++====
++++====
++++====
====
−−−−
−−−−====
−−−−====
−−−−++++====++++
ππππ
ππππ
xxseny
C
Csen
Cxxseny
Cxsen
x
y
Cxsenv
Cxvarcsen
x
dx
v
dv
v
dx
dv
x
vxv
vvxvv
:espaticularsoluciónLa
1;y(1)Si
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
;ln)ln(1lnln
;ln1ln
;ln
1
1
;ln
1
;
);ln(
;
)ln(1
)ln(
;
ln
)ln(1
;
ln
'
;
ln
'
Cxvv
Cxuu
Cxdu
u
du
Cxdu
u
u
v
dv
du
vu
x
dx
dv
vv
v
v
vv
dx
dv
x
v
v
v
xv
v
v
xvv
++++−−−−====++++−−−−
++++−−−−====++++−−−−
++++−−−−====





++++
−−−−
++++−−−−====





++++
====
====






−−−−====





++++
++++−−−−
====
−−−−−−−−====
−−−−====++++
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫

ESPOL 2009 31
Ecuaciones Diferenciales de Coeficientes Lineales
1)
( )
( )
;
4y2x
5x2y
dx
dy
−−
+−
=
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
;z
z2
1z2
du
dz
u
;
z2
1z2
du
dz
uz
;
du
dz
uz
du
dv
;zuv
;
u
v
z
;
u
v
2
1
u
v2
du
dv
;
vu2
uv2
du
dv
;3h
;1-k
;04kh2
;05hk2
4kh2vu2
5hk2uv2
du
dv
;
4kvhu2
5hukv2
du
dv
;
du
dv
dx
dy
;kvy
;hux
;41
);2(2)1)(1(
;baba
;0dy4yx2dx)5y2x(
1221
−
−
−
=
−
−
=+
+=
=
=
−
−
=
−
−
=
=
=



=−−
=+−
−−+−
+−+−
=
−+−+
++−+
=
=
+=
+=
≠
−−≠
≠
=−−−−−
:homogénealdiferenciaecuaciónunacomooResolviend
:homogéneaecuaciónunaobtenerpoderparau,paraoDivivdiend
:Entonces
:el sistemaoResolviend
;
obtieneseecuación,laeny'y,x,doReemplazan
:asumeSe

ESPOL 2009 32
( )
( )
;
u
du
1z
dz2z
;
z2
zz21z2
du
dz
u
2
2
−=
−
−
−
+−−
=
( )
( )
( )
( )
;Culn
1z
1z
ln1zln
2
1
;
u
du
1z
dz2
1z
dzz
2
22
+−=
+
−
−−
−=
−
−
− ∫∫∫
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
;C3xln1
3x
1y
ln
2
1
1
3x
1y
ln
2
3
;3xu;hxu
;1yv;kyv
;Culn1
u
v
ln
2
1
1
u
v
ln
2
3
;Culn1zln
2
1
1zln
2
3
;Culn1zln1zln1zln
2
1
1zln
2
1
;Culn
1z
1z
ln1z1zln
2
1
;Culn
1z
1z
ln1zln
2
1 2
+−−=





−
−
+
−





+
−
+
−=⇒−=
+=⇒−=
+−=





−−





+
+−=−−+
+−=++−−++−
+−=
+
−
−+−
+−=
+
−
−−
:esimplícitaformadesoluciónLa
2) ( ) ( ) 0;dy37y3xdx77x3y =−−−+−
( )
( )
( )
;
3y7x3
7y3x7
dx
dy
;
du
dv
dx
dy
;kvy
;hux
;949
);3(3)7)(7(
;baba 1221
++−
++−
=
=
+=
+=
−≠−
−≠−
≠
:Usando

ESPOL 2009 33
( ) ( )
( ) ( )



=++−
=++−
++−+−
++−+−
=
++++−
++++−
=
;03k7h3
;07k3h7
3k7h3v7u3
7k3h7v3u7
du
dv
3kv7hu3
7kv3hu7
du
dv
;
:y'yyx,doReemplazan
;
u
v
z
;
u
v7
3
u
v3
7
du
dv
;
v7u3
v3u7
du
dv
;1h
;0k
=
+−
+−
=
+−
+−
=
=
=
;z
z73
z37
du
dz
u
;
z73
z37
du
dz
uz
;
du
dz
uz
du
dv
;zuv
−
+−
+−
=
+−
+−
=+
+=
=
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
;
1
7
1
6
1
7
;1ln7
1
6
1
7ln
;ln767ln
;ln767ln
;ln
2
767ln
;ln
767
614
14
7
;
767
614
14
7
;33614
14
7
37
;614;767
;
767
37
;
37
767
;
73
7337
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
−−−−
====++++
−−−−
−−−−





−−−−
++++−−−−−−−−====++++
−−−−
−−−−





−−−−
++++−−−−====++++−−−−





++++−−−−====++++−−−−
++++−−−−====
++++−−−−
++++−−−−====
++++−−−−
−−−−
====
++++−−−−
++++−−−−====−−−−
====⇒⇒⇒⇒++++−−−−====
−−−−
====
++++−−−−
−−−−
−−−−
++++−−−−
−−−−====
++++−−−−
−−−−++++++++−−−−
====
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
x
C
x
y
x
y
Kx
x
y
x
y
Ku
u
v
u
v
Kuzz
Cu
zz
Cu
zz
dzz-
u
du
zz
dzz-
z-z
z-duzzu
u
du
zz
dzz
z
zz
du
dz
u
z
zzz
du
dz
u

ESPOL 2009 34
3) ( ) ( ) 0;yx1y'5xy =−−−−−
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
;
5xy
yx1
dx
dy
;kvy
;hux
;11
;1111
;baba
;0y'5xy-x-y1
1221
−−
−−
=
+=
+=
−≠
−≠−−
≠
=−−−
Reemplazando x,y, y y’ en la ecuación:
( ) ( )
( ) ( )
;
5khvu
1khvu
du
dv
;
5hukv
kv-hu-1
du
dv
−+−+−
+−−−−
=
−+−+
++
=
;
du
dz
uz
du
dv
;zuv
;
u
v
z
;
u
v
1
u
v
1
du
dv
vu
vu
du
dv
;3k
;2-h
;05kh
;01kh
+=
=






=
+−
−−
=
+−
−−
=
=
=



=−+−
=+−−
:ecuacionesdeel sistemaoResolviend
;
z1
zzz1
du
dz
u
;z
z1
z1
du
dz
u
;
z1
z1
du
dz
uz
2
+−
−+−−
=
−
+−
−−
=
+−
−−
=+

ESPOL 2009 35
( )
( )
;C2xln
2x
3y
arctan1
2x
3y
ln
2
1
;Culn
u
v
arctan1
u
v
ln
2
1
;Culn)zarctan(1zln
2
1
;
u
du
1z
dz1z
;
1z
1z
du
dz
u
2
2
2
2
2
++−=





+
−
−+





+
−
+−=





−+





+−=−+
−=
+
−
−
+
−=
∫∫
:esldiferenciaecuaciónladeimplicitasoluciónLa
Ecuaciones diferenciales de la forma G(ax+by)
XY
XY
ͩ{ͷY - ͸Y{
Se asume el siguiente cambio de variable
ͷY - ͸Y
Despejando y:
Y
͸
.
ͷ
͸
Y
XY
XY ͸
X
XY
.
ͷ
͸
Reemplazando y, y’ en:
XY
XY
ͩ{ͷY - ͸Y{
Se obtiene una ecuación diferencial de la forma:
͸
X
XY
.
ͷ
͸
ͩ{Ͷ{
͸
X
XY
ͷ
͸
- ͩ{Ͷ{
Se obtiene una ecuación diferencial separable dela forma:
X
ͷ
͸
- ͩ{Ͷ{
͸XY

ESPOL 2009 36
1. ( ) ( ) 7/4;y(0)si;1yx1yxy' 22
=−+−++=
( ) ( )
( ) ( )
( )
;x
4
1
e2y
;2k
;
4
1
k
4
7
;
;x
4
1
key
;
4
1
keyx
;
4
1
kez
;ke1z4
;Cx41z4ln
;Cx1z4ln
4
1
;dx
1z4
dz
;1z4
dx
dz
;11z2z1z2z
dx
dz
;1z1z1
dx
dz
;1yx1yxy'
;1
dx
dz
dx
dy
;xzy
;yxz
x4
x4
x4
x4
x4
2
1
22
22
22
−−=
=
−=
=
−−=
−=+
−=
=+
+=+
+=+
=
+
+=
++−−++=
−−+=−
−+−++=
−=
−=
+=
∫∫
4
7
y(0)Si
:sustituyeSe

ESPOL 2009 37
2. ;y(0)siy);(xtany' 2
π=+=
;2x4)y2x2(seny2x2
;2k
;K)2(sen2
;Kx4)y2x2(seny2x2
;Cx
4
)y2x2(sen
2
yx
;Cx
4
)z2(sen
2
z
;Cxdz
2
)z2cos(1
;Cxdz)z(cos
;dx
)z(sec
dz
);z(sec
dx
dz
);z(tan1
dx
dz
);z(tan1
dx
dz
);yx(tan'y
;1
dx
dz
dx
dy
;xzy
;yxz
2
2
2
2
2
2
π+=+++
π=
=π+π
π=
+=+++
+=
+
+
+
+=+
+=




 +
+=
=
=
+=
=−
+=
−=
−=
+=
∫
∫
∫∫
;y(0)Si

ESPOL 2009 38
3. 5;52y-10xy' −+=
;Cx105y2x10ln105y2x10
;y2x10z
;Cx105zln105z
;105zln105z
5220
dz
;10uln10u
u10
udu
;
10u
du
10du
10u
udu
;
10u
10
1
;
10u
udu
u10
udu
;
u10
udu
u220
udu2
5220
dz
;dzudu2
;5zu
;dx
5220
dz
;5220
dx
dz
;1052
dx
dz
10
5
dx
dz
2
1
5
;
dx
dz
2
1
5
dx
dy
;
2
z
2
x10
y
;y2x10z
2
+=−+−−+−−
−=
+=−+−+−
−+−+−=
+−
−−−=
−
−
−−=
−
−
−
+=
−
−=
−
−
=
−
=
+−
=
+=
=
+−
+−=
−+=−
−+=−
−=
−=
−=
−+=
∫
∫
∫∫∫
∫∫
∫∫∫
∫∫
:esexplicitaformadesolucionLa
:integraleslasoeemplazandR
z
10-u
u
10;-uparauDividiendo
z
z
z
z
5;z
5;52y-10xy'

ESPOL 2009 39
4. ( ) ( ) 0;dy12y4xdxy2x =−+−+
( )( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ;Cx2yx25ln
25
1
yx2
5
2
;Cx2z5ln
25
1
z
5
2
;dx
2z55
dz
5
dz2
;
2z55
1
5
2
;dx
2z5
dz1z2
;
1z2
1z22z
dx
dz
;2
1z2
z
dx
dz
;
1z2
z
2
dx
dz
;2
dx
dz
dx
dy
;x2zy
;yx2z
;
1yx22
yx2
dx
dy
;44
1422
baba 1221
+=−+−+
+=−−
=
−
−
−
−=
=
−
−
−
−+
=
+
−
=
−
=−
−=
−=
+=
−+
+
=
−=−
−=−
=
∫∫∫
2-5z
1-2z
Dividiendo
:doReemplazan

ESPOL 2009 40
Ecuaciones de Primer Orden
Aplicaciones
1. Una taza de café caliente que inicialmente se encuentra a 95ºC, se enfría y llega a
80ºC en 5 minutos mientras permanece servida en un cuarto cuya temperatura
está a 21ºC. Determine en que momento el café estará a la temperatura ideal de
50ºC.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) min67.20
0453.0
74
29
ln
502174
º50min
2174
min
º
0453.0
5
74
59
ln
8021745
º80min5
2174
74219595210
º950
21
º21
ln
1
0453.0
1
1
0453.0
5
0
1
=
−






=→=+=
∴=
+=
−=






=→=+=
∴=
+=
=−=→=+=
∴=
+=
∴
+=
+=−
=
−
−=
−
−
∫∫
tetT
Caestácaféeltten
etT
C
keT
Caestácaféelten
etT
CCeT
Caestácaféelten
CetT
Cescuartodelatemperaturlaquesabemos
TCetT
CktTT
kdt
TT
dT
TTk
dt
dT
t
t
k
kt
k
kt
a
kt
a
a
a
2. El Sábado 24 de Febrero del 2007 a las 07h00 A.M. un conserje del básico
encuentra el cuerpo de un estudiante de ecuaciones diferenciales en el aula
donde rindió su examen el día anterior, que se conserva a temperatura constante
de 26° C. En ese momento la temperatura del cuerpo es de 28° C y pasada hora y
media la temperatura es de 27.5° C. Considere la temperatura del cuerpo en el
momento de la muerte de 37° C y que se ha enfriado según la Ley de
Enfriamiento de Newton, cuál fue la hora de la muerte?
( )
( )
( )
( )auladelaTemperatur
cuerpodelaTemperatur
tiempoalrespectoconatemperaturladeVariación:
dt
dT
dt
dT
:NewtondetoenfriamiendeLey
:T
:T
TTK
a
c
ac −−=

ESPOL 2009 41
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ;
5.1t
9924.1
k9924.15.1tk
11
5.1
ln5.1tk
;
11
5.1
e5.1e115.2726e11)5.1
;
t
7047.1
k7047.1kt
11
2
lnkt
;
11
2
e2e112826e11)
C28)Si
26e11)t(T
26C
s:C entonce37ir era detes de moreratura anSi la temp
26Ce)t(T
26Ce)t(TCe26Te
CKt26TlKdt
26T
dT
Kdt
26T
dT
;26TK
dt
dT
C5.27)5.1T(t
1
11
5.1tK5.1tK5.1tK
1
11
KtKtKt
Kt
c
Kt
c
Kt
c
Kt
c
CKt26Tl
c
cc
c
1
111
111
c
2)(ecuación
T(t
C27.51.5)T(tSi
1)(ecuación
T(t
T(t
11C37
C;37T(0)
;
;e
n
1.5.t:entoncesseráC27.5deesatemperaturlaqueentiempoEl
C.27.5adesciendecuerpodelatemperaturlamediayhoraunadeDespués
C28)T(t
.tesC28deesatemperaturlaqueentiempoEl
C.28eshalladoescuandocuerpodelatemperaturLa
C26T
horas.entiempo:t
1
1
1
1
n
1
1
1
a
+
=⇒=+⇒





=+−⇒
=⇒=⇒=+=+⇒
°=+
=⇒=⇒





=−⇒
=⇒=⇒=+=⇒
°=
+=⇒
=⇒+=
°=
°
+=⇒
+=⇒=−⇔=
+−=−⇔−=
−
⇔−=
−
−−=
°=+⇒
+°
°
°=⇒
°
°
°=
+−+−+−
−−−
−
−
−−+−−
∫∫
( )
22h06.lasA
decir.esencontradoserdeanteshoras8.89murioestudianteeltantoloPor
horas
.55705
t
:2y1ecuaciónigualaseSi
1 89.8
7047.19924.1
2
55705.2t7047.1t9924.1
t9924.155705.2t7047.1t9924.17047.15.1t
5.1t
9924.1
t
7047.1
11
1111
11
=
−
=⇒=−⇒
=+⇒=+⇒
+
=

ESPOL 2009 42
3. Supóngase que un alumno de la ESPOL es portador del virus de la gripe y a
pesar de ella va a la escuela donde hay 5000 estudiantes. Si se supone que la
razón con la que se propaga el virus es proporcional no solo a la cantidad de
infectados sino también a al cantidad de no infectados. Determine la cantidad de
alumnos infectados a los 6 días después, si se observa que a los 4 días la
cantidad de infectados era de 50.
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) infectados
infectados
35350506x
50txetx
20000
50ln
k50e4x
50x4ten
etx
1
e
tx
4999
1
C1
Ce1
Ce5000
0x
1x0ten
Ce1
Ce5000
tx
Ckt5000
5000x
x
ln
Ckt
5000x
x
ln
5000
1
kdt
x5000x
dx
x5000kx
dt
dx
sanosde:#x5000
de:#x
5.16*25.0
t25.050lnt25.0
k20000
kt5000
kt5000
0
0
kt5000
kt5000
===∴
=→=
=→==∴
==
=→=
−=→=
−
−
=∴
==
−
−
=
+=





−
+=





−
⇔=
−
⇔−=
−
∫∫
4. En un cultivo de levadura la rapidez de cambio es proporcional a la cantidad
existente. Si la cantidad de cultivo se duplica en 4 horas, ¿Qué cantidad puede
esperarse al cabo de 16 horas, con la misma rapidez de crecimiento?
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) 00
44
16
0
4
0
4
2ln
0
0
4
0
0
00
0
0
322216
2
4
2ln
24
x2x4en t
0
xx0en t
ln
existentecantidad:x
xxxx
xtxextx
kxexx
xCxCex
Cetx
Cktx
kd
x
dx
kx
dt
dx
tt
k
kt
===
=→=
=→==
==
=→==
==
=
+=
=
=
∫ ∫

ESPOL 2009 43
5. Un objeto que pesa 30Kg se deja caer desde una altura de 40 mt, con una
velocidad de 3m/s. supóngase que la resistencia del aire es proporcional
a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser 40m/s.
Encontrar la expresión de la velocidad en un tiempo t. La expresión para
la posición del cuerpo en un tiempo t cualquiera.
( ) ( )
( ) ( ) 





+=→





+=
+−=−→+−=−→−=
−
=−
=−
−−
∫∫
300Ce
k
1
tvmgCe
k
1
tv
Ct
m
k
mgkvlnCtmgkvln
k
m
dt
mgkv
dv
m
dt
dv
mkvmg
dt
dv
mfmg
t
30
k
t
m
k
r
( ) [ ]
( ) [ ]
( )
( ) ( ) ( )
( ) [ ]
( )
( ) ( )
( ) 148t40e148tx
148C0C040e1480x
Ct40e148tx
Ct40e148Cdt40e37tx
Cdttvtx
dt
dx
tv
40e37tv
5.277C5.7k40
k
300
40300Ce
k
1
v
0
300k3C3300Ce
k
1
0v
t25.0
0
t25.0
t25.0t25.0
t25.0
0
−+=
−=→=++=
==
++=
++=++−=
+=→=
+−=
−=∴=→=→=+=∞
=∞=
−=−→=+=
==
−
−
−−
−
∞−
∫
∫
0mx,0ten
m/s4v,ten
3m/sv,0ten

6. La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a
su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20
la resistencia es de 40
constante de 50Newtons
una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg
a) Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier
instante suponiendo que el bote parte del reposo.
b) Determine la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.
Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene:
.
a)
(((( ))))
(((( ))))
kev
kev-ee
C
dt
v
dv
dt
v
dv
dv
v
dt
dv
dif. sepaEcuación,v
dt
dv
, k
dt
dv
kv
kg.kgkgm
istemaotal del sm: masa t
dt
dv
mkv
ma;FrFmmaF
m/seg
Newtons
Entonces k
Newtons.tencia dea de resisy la fuerz
m/segdelocidad esComo la ve
kvFr
NewtonsFm
aguaencia delde resistFr: Fuerza
del motorFm: fuerza
t
-
-C
t
-v-
x
250
25025ln
25
25
ln
25025
500252
50
250500
502500
250050
50080420
50
2
20
40
40
20
50
++++====⇒⇒⇒⇒
====⇔⇔⇔⇔====
⇔⇔⇔⇔++++−−−−====
−−−−
−−−−====
−−−−
⇔⇔⇔⇔
−−−−
⇔⇔⇔⇔−−−−====



====++++
========−−−−⇒⇒⇒⇒
====++++====
====−−−−
====−−−−⇒⇒⇒⇒====
========
====
====
++++
∫∫∫∫∫∫∫∫
∑∑∑∑
maFx =∑
ESPOL 2009
La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a
su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20
la resistencia es de 40 Newtons. Se conoce que el motor ejerce una fuerza
Newtons. En la dirección del movimiento. El bote tiene
una masa de 420 Kg. y el pasajero de 80 Kg.
Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier
instante suponiendo que el bote parte del reposo.
la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.
Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene:
C
t
-v-
dt
v
dv
rabledif. sepa
ma;
k
Newtons.
m/seg
agua
t
-
250
250
25ln
5002
2
++++====
====
−−−−
====⇒⇒⇒⇒
ev
b)
)e(tx(t)
miento es:n del moviLa ecuació
CC)(
;)x(el reposoSi parte d
)e(tx(t)
dtex(t)
e
dt
dx
Entonces:
dx/dtComo v
ev
locidad:n de la veLa ecuació
-kk
por partiial escidad inicSi la velo
t
-
t
t
t
t
-
t
-
t
-
252525lim
2502525
25250250
00
2502525
252525
2525
2525
25250
0
250
max
250
250
250
250
250
====







−−−−====
++++====⇒⇒⇒⇒
−−−−====⇒⇒⇒⇒++++====
====
++++++++====
====







−−−−====
−−−−====
====
−−−−====
====⇒⇒⇒⇒++++====
∞∞∞∞→→→→
−−−−
−−−−
∫∫∫∫
máximaolimitevelocidadLa
44
La fuerza resistente del agua que opera sobre un bote es proporcional a
su velocidad instantánea y es tal que cuando la velocidad es de 20m/seg
ejerce una fuerza
. En la dirección del movimiento. El bote tiene
Determine la distancia recorrida y la velocidad en l cualquier
la máxima velocidad a la que puede viajar el bote.
pies/seg
)(
miento es:
)(
;
C
C)e(t
locidad:
;)s v(so entoncer del repopor parti
t
25
25025
25025
2502525
00
250
250
−−−−
++++++++
====
−−−−
:esmáxima

ESPOL 2009 45
7. Un circuito RL tiene una fem de 9 voltios, una resistencia de 30
ohmios, una inductancia de 1 henrio y no tiene corriente inical.
Hallar la corriente para t=1/5 segundos.
( )
( ) [ ]
( ) [ ]
( ) [ ] ( )
( ) ampieti
etieti
CCei
Ceti
Cti
Cti
dt
i
di
dt
di
i
dt
di
LiRv
tt
t
301.0)5/1(3.07.0
5/1en t
3.07.0921
30
1
219
30
1
0
0i0en t
9
30
1
30930
930ln
30
1
930
309
6
3030
0
30
=→+=
=
+=→+=
=→+=
==
+=
+−=−
+−=−
−=
−
+=
+=
−
−−
−
∫∫
8. Una Fem. de t5
e200 −
voltios se conecta en serie con una resistencia de 20
Ohmios y una capacitancia de 0.01 Faradios. Asumiendo que la carga
inicial del capacitor es cero. Encuentre la carga y la corriente en cualquier
instante de tiempo.
5t-
200efem
F0.01Ciacapacitanc:C
carga:q
ohmios20Raresistenci
RC.circuitoelparaldiferenciaEcuación
=
=⇒
=⇒



=+
:R
fem
C
q
dt
dq
R

ESPOL 2009 46
( )
( ) cetecteq(t)
ctedtedteeeq(t)
dteu(t)
u(t)
1
q(t)
eeu(t)
lineal.ldiferenciaEcuación
5t5t5t
5t5t5t5t5t
5t
5t5dt
−−−
−−−−
−
−
−
−
+=+=
+===⇒
=⇒
=∫=



=+⇒
=+⇒
=+
∫∫
∫
;eq5
dt
dq
;e20q100
dt
dq
20
;e20
01.0
q
dt
dq
20
t5
t5
t5
5t5t
5t5t
5t5t5t
5t5t-
5t
5t
e
25
1
e
5
t
i(t)
0;i(o)
:ceroesinicialcorrientelaentoncescero,esinicialcargalaSi
e
25
1
e
5
t
i(t)
dte
5
1
e
5
t
tdtei(t)
e
5
1
vdtedv
dt;dut;u
tdteq(t)dti(t)
t;eq(t)
c0
0;q(0)
:entoncescapacitor,elencargahaynoteinicialmenSi
−−
−−
−−−
−
−
−
−−=⇒
=
+−−=
+−==
−==
=⇒=
==⇒
=⇒
=
=
∫∫
∫∫
C
;
;

ESPOL 2009 47
Casos especiales de ecuaciones diferenciales de segundo orden
Ecuaciones diferenciales en la que falta la variable “y”
1) ( ) ;y'x'y'y'3x 23
1 =+



 −+ x
;''
;'
2
y
dx
yd
dx
dv
y
dx
dy
v
========
========
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
;2
;1
;1
;
1
3
1
1
;
1
31
1
;
11
13
1
1
1
13
1
1
1
'
1
1
;
1
1
1
1
)(
;)(
;
1
13
1
'
;131'
;01'13
013
13
13
2
2
3
2
3
2
2/1
1
1
ln
2
1
11
2
3
2
32
23
23
23
23
22
ududx
ux
xu
x
xdx
v
x
x
x
x
dx
v
x
x
d
xx
xx
x
x
x
xx
x
x
x
v
v
x
x
x
x
x
x
xu
eeexu
x
xx
x
v
v
xxvxv
xvvxx
;v'v'-xvxx
v';xvvxx
y'';xy''y'xx
x
x
x
dx
x
dx
'
====
++++====
−−−−====
−−−−
====
++++
−−−−
−−−−
====






++++
−−−−








++++−−−−
++++−−−−
++++
−−−−
====
−−−−
++++−−−−
++++
−−−−
====





−−−−
−−−−
++++
−−−−
++++
−−−−
====
++++
−−−−
====
====
∫∫∫∫
====
∫∫∫∫
====
−−−−
++++−−−−
====
−−−−
−−−−
++++−−−−====−−−−−−−−
====−−−−++++−−−−++++
====++++−−−−++++
====++++



 −−−−++++
====++++



 −−−−++++
∫∫∫∫
++++
−−−−
−−−−−−−−
−−−−
:ecuaciónlaendoReemplazan

ESPOL 2009 48
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ;ln
;ln
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
/
/
/
/
KxCxxCxxxy
KxCxxCzzxy
x
dxx
C
x
dx
Cdzzzxy
x
dxx
Czdzzzxy
zx
zx
dxzdz
xz
xz
dx
x
x
Cdxxxdxxy
x
x
Cxxx
dx
dy
dx
dy
v
x
x
Cxxxv
x
x
Cxxxv
Cxxv
x
x
Cxx
x
xdx
Cuuduu
u
uduu
x
xdx
+−−−+++−+++=
+−−−+++−+=
−
+
−
+−−+=
−
+
+−−+=
−=−
−=
=
+=
+=
−
+
+−+++=
−
+
+−+++=
=
−
+
+−+++=
−
+
+−+++=
+−+−=
+
−
+−+−=
−
++=+
+
=
−
∫ ∫∫
∫∫
∫∫∫
∫
∫
∫∫
111
5
4
1
3
8
14
11
3
8
5
4
14
11
2414
1
1
22214
21
1
2
1
1
1
1
11216
1
1
11216
1
1
11216
1
1
11216
1216
1
1
1216
1
3
2616
213
1
3
22
5323
223523
22
2423
2
223
2
2
2
3
3
32
2

ESPOL 2009 49
2)
( )
2
-1 y'
x y'+ =y'';
x
( )
( )
( )
[ ]
;
xC
x
v
;
x
xC
x
C
1v
;
x
C
1z
;Cxdxxz
;1
dx
z.xd
;
x
1
xzxx'xz
;xe)x(u
;
x
1
zx'z
;
x
v
vvxv'vv
;
dx
dv
v
dx
dz
;
;
;
x
v
vx'v
v';
x
v
vx
;''y
dx
yd
dx
dv
'v
;'y
dx
dy
v
1
1
dxx
1
2
2122
2
2
1
2
1
2
2
1
−
=
−
=+−=
+−=
+−=−=
−=
−=+
=∫=
−=+
−=−−−
−=
=
==
=−
=+
=+
===
==
−
−
−
−−−−
−
−
−
∫
−
1-
n1-
2
1-
vz
2;nvz
:BernoullideldiferenciaE.unaEs
;'y'
x
y'
y'x
;KCxlnxy
;
Cx
Cdx
dx
Cx
Cx
y
;
Cx
xdx
y
;
Cx
x
xC
x
dx
dy
+−−−=
−
−
−
−
−=
−
−=
−
−=
−
=
∫∫
∫

ESPOL 2009 50
Ecuaciones diferenciales en las que falta la variable “ x”
Cuando hace falta la variable “x” se hace el siguiente cambio de variable:
;
dy
dv
v
dx
dy
dy
dv
dx
dv
v;
dx
dy
========
====
3) ( ) 1;y'2y'y'2y 22
=+ (HACE FALTA X)
(((( ))))
(((( ))))
[[[[ ]]]]
;
;2
;
;;
;
1
;
1
;
;
;1
;
2
;)(
;
12
;
2
.2.2
2
;2
;
;
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
1
2
)1(1
2
1
Cuy
dyzdz
Cyu
dxdy
Cy
y
y
Cy
dx
dy
y
Cy
v
y
Cy
v
y
C
y
v
y
C
y
z
Cyzy
Cydyzy
dy
zyd
y
y
y
z
y
dy
dz
y
yeyu
yy
z
dy
dz
y
vv
y
vv
v
dy
dv
v
dy
dv
dv
dz
dy
dz
vz
vz
y
v
y
v
dy
dv
v
dy
y
−−−−====
====
++++====
====
++++
++++
====
++++
====⇒⇒⇒⇒
++++
====
++++====⇒⇒⇒⇒++++====
++++====
++++========
====
====++++
====
∫∫∫∫
====
====++++
====++++
========
====
====
========++++
====++++
====++++
∫∫∫∫
−−−−
−−−−−−−−
−−−−
esvariablseparandoentonces
dy
dv
:ecuaciónladeladosambosa2vndoMultiplica
-1.nBernoulli,deldiferenciaEcuacion
dy
dv
1;v2y2y
:ecuaciónlaen'y',y'doReemplazan
1;y'2y'y'2y
22
22

ESPOL 2009 51
(((( ))))(((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( )))) 2
12
3
2
1
3
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
CyC
Cy
Kx
:esf(y)xformaladesoluciónlatantoloPor
CyuPero
Cu
u
Kx:Entonces
,duCuKxentonces,
u
uduCu
dx
dxdy
Cy
y
:enemplazandoRe
++++−−−−
++++
====++++
====
++++====
−−−−====++++
−−−−====++++
−−−−
====
====
++++
∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫∫∫∫
4) ( ) 0;y''yy'yy' 22
=−+
( )
( )
;Cyyv
;Cyv
y
1
;dyv
y
1
;1
dy
v
y
1
d
;
y
1
y
y
v
y
1
dy
dv
y
1
;
y
1
e)y(u
;y
y
v
dy
dv
;0
y
v
dy
dv
y
;0v
dy
dv
yvvy
;
dy
dv
v
dx
dy
dy
dv
dx
dv
;
dx
dy
v
2
y
dy
22
+−=
+−=
−=
−=






−=−
=
∫
=
−=−
=−+
=−+
=−+
==
=
∫
−
0;y''yy'yy'
22
dy
y Cy;
dx
dy dy dy
x ;
Cy y Cy C(C y)
= − +
= = +
− −∫ ∫ ∫
2
2
x ln y ln C y K;
C C
La solución es:
= − − +
1 1

Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes
1) Resuelva: 2y3y''y' ++
ESPOL 2009
);sen(e2y x
=
52

ESPOL 2009 53

2) Resuelva:
ESPOL 2009
si y(0)=3/16 , y’(0)=5/16;
54
si y(0)=3/16 , y’(0)=5/16;

( )(
;
4
1
CC
8
1
0
2
1
CC
16
5
16
5
)0('y
;CC
16
3
;
16
3
)0(y
xtan
2
1
eCeC'y
21
21
21
2x
2
x
1
=−






++−=
=
+=
=
+−= −
ESPOL 2009
( ) ))x(secxsec 3
+
e
32
1
e
32
7
y
;
32
1
C
;
32
7
C
:solviendoRe
xx
2
1
+−=
−
=
=
−
55
2
)xsec()xtan(
+

ESPOL 2009 56
3) Resuelva ;xe6y5y''y' x
=+−
[ ]
( )( )
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ][ ] [ ]
( )
;xe
2
1
e
4
3
eCeCy
;yyy
;xe
2
1
e
4
3
y
;xeaeay
;
2
1
a;
4
3
a
;1a2
;0a3a2
;xexea2ea3a2
;xexeaea6exeaea5e2xeaea
;xey6'y5''y
;e2xeaea''y
;exeaea'y
;xeaeay
;exaay
;0s
;exaaxy
;xey6'y5''y
;eCeCy
;ey
;ey
;2; r3r
;02r3r
;06r5r
;06r5re
;er''y;re'y;ey
;0y6'y5''y
xxx2
2
x3
1
ph
xx
p
x
1
x
0p
10
1
10
xx
1
x
10
xx
1
x
0
xx
1
x
0
xx
1
x
0
x
xx
1
x
0p
xx
1
x
0p
x
1
x
0p
x
10p
x
10
S
p
x
ogéneahomSolución
x2
2
x3
1h
x2
2
x3
1
21
ticaCaracterís
Ecuación
2
2rx
rx2rxrx
+++=
+=
+=
+=
==



=
=−
=+−
=++++−++
=+−
++=
++=
+=
+=
=α=
+=
=+−
+=
=
=
==
=−−
=+−
=+−
===
=+−
α
:homogéneanoldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan
1;
:particularsoluciónlasEncontremo
:'y',y'y,doReemplazan
44 344 21
43421

ESPOL 2009 57
4) Resuelva: cosx;e2y2y'y' -x
=++
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
;
2
1
b
;0a
;1b2
;0a2
);xcos(excose2bsenxe2a
);xcos(ey2'y2''y
''y,'y,y
;xcose2senxe2xcosxe2bxcose2senxe2senxxe2a''y
;senxesenxxexcosxebxcosexcosxesenxxea'y
;senxesenxexcosexbxcosexcosesenxexa'y
;senxxebxcosxeay
;senxebxcoseaxy
1s
;senxebxcoseay
;esenxbxcosay
1;0s
;esenxbxcosaxy
);xcos(ey2'y2''y
;senxeCxcoseCy
;senxey
;xcosey
;1
;i1
2
)2(442
r
;02r2r
;02r2re
;er''y;re'y;ey
;0y2'y2'y
0
0
0
0
xx
0
x
0
x
ppp
xxx
0
xxx
0p
xxx
0
xxx
0p
xxx
0
xxx
0p
x
0
x
0p
x
0
x
0p
x
0
x
0p
x
00p
x
00
S
p
x
ogéneahomSolución
x
2
x
1h
x
2
x
1
2,1
ticaCaracterís
Ecuación
2
2rx
rx2rxrx
=
=
=
=−
=+−
=++
+−−+−−=
+−++−−=
+−++−−=
+=
+=
=
+=
+=
=α=
+=
=++
+=
=
=
=β−=λ
±−=
−±−
=
=++
=++
===
=++
−−−
−
−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−
−−
−−
−
α
−
−−
−
−
:homogéneanoldiferenciaecuaciónlaenandosimplificydoReemplazan
homogénea.soluciónmiarespectoconedependientelinealment
términoscontienequeyaparticularsoluciónestaasumirpuedeseNo
;-
1;
:'y',y'y,doReemplazan
4444 34444 21
43421

ESPOL 2009 58
);x(senxe
2
1
senxeCxcoseCy
;yyy
);x(senxe
2
1
xx
2
x
1
ph
x
−−−
−
++=
+=
=py
1;x3ecosxy2y''y' 2x
−++=+−
[ ]
( )
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
;senx
2
1
;
2
1
b;0
xcos2bsenx2
;senxbxcosabsenxxcosa''y
;xcosbsenxaxcosbasenx'y
;bsenxxcosay
;0s
;bsenxxcosaxy
;xeCeCy
;xey
;ey
;1r
;01r
;01r2
01r2r
;er''y
;re'y
;ey
0
1p
1p
1p
s
1p
x
2
x
1h
x
2
x
1
2,1
2
2rx
rx2
rx
rx
−=
−==



=
=
=−+
−+−=−−=
+−=+−=
+=
=
+=
=+−
−++=+−
+=
=
=
=
=−
=+−
=+−
=
=
=
=+−
p1
p1p1p1
2x
2
y
aoResolviend
1;2b-
0;2a
cosx;a
1;ecuacionlaeny,y','y'doReemplazan
1.nEcuaciócosx;y2y''y'
:particularsoluciónprimeralaoEncontrand
1;x3ecosxy2y''y'
:particularsoluciónlaoEncontrand
r
;e
:homogéneaecuaciónlaen'y',y'y,doReemplazan
;y2y''y'
:homogéneasoluciónlaoEncontrand

ESPOL 2009 59
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
;ex
2
3
;
2
3
a
;e3ae2
;e2xe4exa''y
;xe2exa'y
;eaxy
;eaxy
;eaxy
;eay
;0s
;eaxy
x2
xx
xxx2
2p
xx2
2p
x2
2p
x2
2p
x
2p
x
2p
xs
2p
=
=
=
=+−
++=
+=
=
=
=
=
=
=
=
=
=+−
p2
x
p2p2p2
x
y
:esparticularsoluciónsegundaLa
3ey2y''y'
2.ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan
homogéneasoluciónlaa
respectonte,independieelinealmentessoluciónestacaso,esteEn
2;s
anterior.razónmismalapor
solución,estaasumirpuedeseTampoco
1;s
homogénea.soluciónlaarespectoconedependientelienalment
esqueya,particularsoluciónestaasumirpuedeseNo
2.nEcuació;3ey2y''y'
:particularsoluciónsegundalaoEncontrand
[ ]
c;2''y
cx;2b'y
;cxbxay
;0s
;cxbxaxy
3p
3p
2
3p
2s
3p
2
=
+=
++=
=
++=
=+− 3.nEcuació1;-xy2y''y'
:particularsoluciónterceralaoEncontrand
[ ] [ ] ;1xcxbxacx2b2c2
1
22
2
−=++++−
−=+− xy2y''y'
2.ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan p3p3p3

ESPOL 2009 60
[ ] [ ] [ ]
p
p p p p
x
p
h p
c b a c b x c x x ;
c b a
c b
c
c ;
b ;
a ;
y x x ;
y y y y ;
y sen(x) x e x x ;
y y y ;
y C
Resolviendo el sistema:
La tercera solución particular:
La solución general:
− + + + + = −
− + = −

− + =
 =
=
=
=
= + +
= + +
= − + + + +
= +
=
2 2
2
3
1 2 3
2 2
2 2 2 1
2 2 1
4 0
1
1
4
5
5 4
1 3
5 4
2 2
x x x
e C xe sen(x) x e x x ;+ − + + + +2 2
1 2
1 3
5 4
2 2

ESPOL 2009 61
Ecuacion diferencial de Euler – Cauchy
1) Demuestre que la ecuación diferencial Rβdonde0,βyxy''y'x2
∈α=+α+ , , se
la puede transformar en una ecuación de coeficientes constantes haciendo el
cambio de variable z
ex = , y luego resuelva:
;e4sen(lnx)4y2xy''y'x 2ln(X)2
+=++
(((( )))) ;βy
dz
dy
α
dz
yd
;βy
dz
dy
α
dz
dy
dz
yd
;βy
dz
dy
x
αx
dz
dy
xdz
yd
x
x
;
dz
dy
xdz
yd
xdx
yd
y''
;
xdz
dy
x
xdz
yd
xdx
yd
;
dx
dz
dz
dy
dz
dx
xdz
yd
xdx
yd
;
dx
dz
dx
dy
dz
d
dx
yd
;
dx
dy
dx
d
dx
yd
;
dz
dy
xdx
dy
y'
;
xdz
dy
dx
dz
dz
dy
dx
dy
xdx
dz
xz
Si z
01
0
0
111
11
111
11
1
1
;
1
);ln(
;
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
22
2
22
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
====++++−−−−++++
====++++++++−−−−
====++++





++++





−−−−
====++++++++






−−−−========






−−−−====






−−−−====






====






====
========
========
====
====
====
0;βyxy''y'x
ldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan
:'y'luegonecesitaSe
:Ahora
ex
2
αααα
(((( )))) ;y
dz
dy
dz
yd
0412
0
2
2
====++++−−−−++++
====++++++++
++++====++++++++
;4y2xy''y'x
:homogéneasoluciónlaprimerooEncontrand
;e4sen(lnx)4y2xy''y'xecuaciónlaoResolviend
2
2ln(X)2

ESPOL 2009 62
( )
( )
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
[ ] [ ]
2.nEcuació
:particularsoluciónlasegundalaoEncontrand
:obtieneseel sistemaoResolviend
1.Ecuación
:1ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan
:formasiguientelatienesoluciónprimeraLa
1.Ecuación
:esparticularssolucione2tieneseDonde
:obtienese,e4sen(lnx)4y2xy''y'xecuaciónlaen
reemplazaralln(x),zyexqueasumeseComo
:particularsoluciónlasencontremoAhora
ppp
2ln(X)2
z
ticacaracterísEcuación
;e5y4y'y''
));x(ln(sen
5
6
))xcos(ln(
5
2
y
);z(sen
5
6
)zcos(
5
2
y
;
5
6
b;
5
2
a
4b3a
0ba3
);z(sen4)zcos()z(sen3b)z(sen)zcos(3a
;zsen4y4y'y''
;)z(senb)zcos(a)z(bsen)zcos(a''y
;)zcos(b)z(sena)zcos(b)z(asen'y
);z(bsen)zcos(ay
;zsen4y4y'y''
;e5zsen4y4y'y''
5
;
2
)xln(15
senxC
2
)xln(15
cosxCy
;
2
z15
seneC
2
z15
coseCy
;
2
z15
seney
;
2
z15
cosey
;i
2
15
2
1
2
1611
r
;04rr
;04rre
;0y4'y''y
z2
1p
1p
p
p
p
z2
21h
2/z
2
2/z
1h
2/z
2
2/z
1
2,1
2
2rz
=++
+−=
+−=
=−=



=+−
=+
=++−
=++
−+−=−−=
+−=+−=
+=
=++
+=++
+=++
==








+







=








+







=






=








=
±−=
−±−
=
=++
=





++
=++
−−
−
−
43421

ESPOL 2009 63
;
2
x
))x(ln(sen
5
6
))xcos(ln(
5
2
2
)xln(15
senxC
2
)xln(15
cosxCy
;yyy
;
2
x
))x(ln(sen
5
6
))xcos(ln(
5
2
y
;yyy
;
2
x
e
2
1
y
;e
2
1
y
;
2
1
a
;e5ae10
;e5ae4ae2ae4
;e5y4y'y''
;ae4
;ae2
;ae
2
21
ph
2
p
2p1pp
2
)xln(2
2p
z2
2p
z2z2
z2z2z2z2
z2
z2
z2
z2
++−







+







=
+=
++−=
+=
==
=
=
=
=++
=++
=
=
=
2.nEcuació
:2ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan
'y'
y'
y
:soluciónsiguientelaasumeSe
p2p2p2
p2
p2
p2
2) Resuelva: ( ) ( ) ( ) ( ) 6;2x5ln2xlnyy'2x3'y'2x 22
+−−−=+−+−
( )
;
dx
dz
dz
dy
dz
dx
2x
1
dz
yd
2x
1
dx
yd
;
dx
dz
dx
dy
dz
d
dx
yd
;
dx
dy
dx
d
dx
yd
;
dz
dy
2x
1
dx
dy
y'
;
2x
1
dz
dy
dx
dz
dz
dy
dx
dy
;
2x
1
dx
dz
);1xln(z;Si
22
2
2
2
2
2
2
2
z






−
−
−
=






=






=
−
==
−
==
−
=
−==
:'y'luegonecesitaSe
:Ahora
entoncese2-x

ESPOL 2009 64
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
;6z5zyy'2y''
;
2x
2xlnC
2x
C
y
;e2xlnCeCy
;zeCeCy
;2xlnz
;zeCeCy
;zey
;ey
;1r
;01r
;01r2r
;01r2r
;er''y
;re'y
;ey
;0y
dz
dy
2
dz
yd
0
;0y
dz
dy
13
dz
yd
;0y
dz
dy
3
dz
dy
dz
yd
;0y
dz
dy
2x
1
2x3
dz
dy
2x
1
dz
yd
2x
1
2x
3
;
dz
dy
2x
1
dz
yd
2x
1
dx
yd
y''
;
2x
1
dz
dy
2x
2x
1
dz
yd
2x
1
dx
yd
2
21
h
2xln
2
2xln
1h
z
2
z
1h
z
2
z
1h
z
2
z
1
2,1
2
2
2
rz2
rz
rz
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
22
2
22
2
2
2
+−=++
+−−−=++
==
−
−
+
−
=
−+=
+=
−=
+=
=
=
−=
=+
=++
=





++
=
=
=
=++
=++
=+−+
=++−
=+





−
−+





−
−
−
−
=++






−
−
−
==
−





−
−
−
−
=
−−−−
−−
−−
−
−
:obtienese,6;2x5ln2xlnyy'2-x3'y'2-xecuaciónlaen
reemplazaral2),-ln(xzye2-xqueasumeseComo
:particularsoluciónlasencontremoAhora
e
:homogéneaecuaciónlaen'y',y'y,doReemplazan
;y2y''y'ecuaciónlaoResolviend
0;yy'2-x'y'2-x
:homog{enealdiferenciaecuaciónlaendoReemplazan
22
z
ticaCaracterísEcuación
rz
2
43421

ESPOL 2009 65
[ ]
[ ]
( ) ( )
( )
);2x(ln)2xln(922
2x
2xlnC
2x
C
y
;yyy
);2x(ln)2xln(922y
;zz922y
;22a
;9-b
;1c
1c
5-bc4
6ab2c2
;6z5zczbzacz2b2c2
;c2''y
;cz2b
;czbza
;0s
;czbzax
221
ph
2
p
2
p
22
p
2
2S
−+−−+
−
−
+
−
=
+=
−+−−=
+−=
=
=
=





=
=+
=++
+−=+++++
+−=++
=
+=
++=
=
++=
6;5zzy2y''y'ecuaciónlaeny,y','y'doReemplazan
y'
y
y
:formasiguientelatieneparticularsoluciónlaDonde
2
ppp
p
p
p

ESPOL 2009 66
3)
( )
ln(x);zentoncesexSi
;3ln(x)3tan9yxy''y'x
z
2
==
=++
,
( )
( )
[ ]
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
;
)z3cos(
)z3(sen)z3(senz3senz3tan3
3
;z3sen3z3cos3
z3cos3z3sen3
z3senz3cos
'y'y
yy
;
z3cos3)z(g
z3sen0
;yuyuy
;z3tan3g(z)
;z3tan3y9y''
,
;)xln(3senC)xln(3cosCy
;z3senCz3cosCy
;senzy
;zcosy
;i3r
;09r
;09re
;er''y
;ey
;0y9''y
;0y9
dz
yd
;0y9
dz
dy
11
dz
yd
;0βy
dz
dy
1α
dz
yd
22
21
21
2211p
21h
21h
2
1
2
2rz
rz2
rz
2
2
2
2
2
2
−
=−=
=
+=
−
==
=
+=
=
=+
==
=++
+=
+=
=
=
±=
=+
=+
=
=
=+
=+
=+−+
=+−+
=++
3
u'
y,yW
y,yW
y,yW
u'
:obtieneseexyxlnzdoReemplazan
;3ln(x)3tan9yxy''y'x
:obtieneSe
:Usando
0;9yxy''y'x
:homogéneasoluciónlaoEncontrand
1
21
21
21
1
z
2
2

ESPOL 2009 67
( )
( )
( )
( ) ( ) ;)z3(sen)z3cos(
3
1
)z3cos(
3
)z3(tg)z3sec(ln
3
)z3(sen
z3senCz3cosCy
;yyy
;)z3(sen)z3cos(
3
1
)z3cos(
3
)z3(tg)z3sec(ln
3
)z3(sen
y
;yuyuy
)z3cos(
3
1
dz)z3(senu
);z3(sen'u
;
)z3cos(
)z3(sen)z3cos(
'u
3
)z3tan(z3cos3)z3tan(3z3sen3
0z3cos
;
3
)z3(tg)z3sec(ln
3
)z3(sen
u
dz)z3sec()z3cos(u
);z3sec()z3cos('u
;
)z3cos(
1
)z3cos(
;
)z3cos(
)z3(cos1
)z3cos(
)z3(sen
21
ph
p
2211p
2
2
2
1
1
1
22
−







 +
−++=
+=
−







 +
−=
+=
−==
=
=
=
−
=
+
−=
−=
−=
−=
−
−=−=
∫
∫
21
2
1
1
y,yW
u'
u'
u'
( ) ( ) );xln3(sen)xln3cos(
3
1
)xln3cos(
3
)xln3(tg)xln3sec(ln
3
)xln3(sen
xln3senCxln3cosCy 21 −




 +
−++=

ESPOL 2009 68
4) Si senxxycosx,xy 1/2
2
1/2
1
−−
== forman un conjunto linealmente independiente y
son soluciones de 0;y
4
1
xxy''y'x 22
=





−++
Hallar la solución particular para ;xy
4
1
xxy''y'x 3/222
=





−++ si
( ) 0;y'0;
2
y ==





;
)y,y(W
'y)x(g
y0
'u
;xg(x)
;yuyuy
;xy
x4
1
1
x
y'
y''
;
x
x
y
x4
1
x
x
y'
x
x
y''
x
x
;
;senxxCxcosxCy
21
2
2
1
2/1
2211p
2/1
2
2
2/3
22
2
22
2
2/3
2/1
2
2/1
1h
=
=
+=
=





−++
=





−++
=





−++
+=
=





−++
==
−
−
−−
−−
:parámetrosdevariaciónaplicaSe
xy
4
1
xxy''y'xdesoluciónlaencontrarPara
:obtieneseentonces0,y
4
1
xxy''y'x
dessolucionesenx sonxyycosx,xyComo
22
22
1/2
2
1/2
1

ESPOL 2009 69
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ;
2
1
0
2
1
1
1
C1
2
1
0
1
C0
;
2
x
senxx
2
1
xcosxCxcosx
2
1
senxxC'y
;1C
;0
2
)1(
2
C
;
2
)1(
2
C0
2
C0
;xsenxxCxcosxCy
;0
2
;xsenxxCxcosxCy
;yyy
;xy
;x1xxsenxcosxy
senxxsenxxcosxxcosy
;senxu
;xcos
x
xcosx
'u
;
x
xxcosx
2
1
senxx
0xcosx
)y,y(W
)x(g'y
0y
'u
;xcosdx)x(senu
);x(sen
x
senxx
x
senxx
2
1
xcosxx
senxx0
'u
;x)y,y(W
;x1xxsenxcosx)y,y(W
;xcossenxx
2
1
xsenxxcossenxx
2
1
xcosx)y,y(W
;xcosx
2
1
senxxsenxxsenxx
2
1
xcosxxcosx)y,y(W
senxx
2
1
xcosxxcosx
2
1
senxx
senxxxcosx
'y'y
yy
)y,y(W
21
2/3
2/32/1
2
2/32/1
1
2
2
21
2/12/1
2
2/1
1
2/12/1
2
2/1
1
ph
2/1
p
2/12/1222/1
p
2/12/1
p
2
1
1
2
1
2/12/32/1
2/1
21
1
1
2
1
1
1
1
2/32/12/1
2/1
1
1
21
11221
21
221221
21
2/32/12/12/32/12/1
21
2/32/12/32/1
2/12/1
21
21
21
ππ
−





ππ
−−
π
+





−
ππ
−
π
−=
−



−+



−−=
−=
=
π
+
π
π
+
π
+
π
=
++=
=π=




 π
++=
+=
=
==+=
+=
=
==
−−
==
=−=
−=−=
−
=
=
==+=
++−=




−−−



−=
−−−
==
−
−−−−
−−−
−−−
−
−−−
−−
−
−
−
−−−
−
−
−
−
−−−
−
−
−−−
−−−−
−−−−−−
−−−−
−−
∫
0;)(y'yySi

ESPOL 2009 70
( ) ;xsenxxxcosx21y
;21C
;2C1
;
1
2
C
2
1
;
C
2
C
2
1
;
2
11
C
2
1
C0
2/12/12/1
1
1
1
21
21
−−−
+−π−=
π−=
π+=
π
+
ππ
=
ππ
π
−
ππ
=
ππ
ππ
−





π
−





ππ
=

ESPOL 2009 71
Identidad de Abel
1. Resuelva la siguiente ecuación diferencial usando la identidad de Abel:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
;
1x
dxxx212
y
1x
1
;
1x
dxxx21
y
1x
1
;
1x
xx21
y
1x
1
dx
d
;
1x
xx21
1x
y
'y
1x
1
;
1x
1
e)x(u
;
1x
xx21
1x
y
'y
;xx21y'y1x
;ey'y1x
;dxx22du
;xx21)x(u
;ey'y1x
;ey'y1x
;y'y1x
'y
y
;
'y'y
yy
;0y
xx21
2
y'-
xx21
x12
y''
xx21
xx21
)x(p
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1x
dx
2
2
2
2
22
xx21ln
22
2
xx21
dxx22
22
xx21
dxx12
22
22
2
2
21
21
222
2
2
2
2
∫
∫
+
−−−
=
+
+
−−
=
+
+
−−
=



+
+
−−
=
+
−
+
+
=∫=
+
−−
=
+
−
−−=−+
=−+
−−=
−−=
∫
=−+
∫
=−+
−+=
+
=
=
=
−−−−
+
+
−−
−−
=++
∫=
+=
===−++−−
+
−
−−
−−
−−
−−
+
−
−
:Entonces
1
1x
y,yW
y,yW
0;q(x)yy''y'
:formasiguientelatenerdebeldiferenciaecuaciónlaDonde
ey,yW
:abeldeidentidadlausaráSe
1;xyessoluciónunaSi
1.(0)y'y(0)Si0;2yy'x12'y'x2x1
21
21
p(x)dx
21
1
2

ESPOL 2009 72
( )
( ) ( )
;
1x
dx2
1x
dx1x
y
1x
1
22
2
2 ∫ ∫ +
+
+
+
−=
+
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
;1xy
;1C
;C21C
;0C
1C2C
1CC
;1CC1
;2C1C1
;2xxC1xCy
;2xxy
;21xxy
;
1x
2
xy
1x
1
;
1x
2
xy
1x
1
;
1x
dx2
dxy
1x
1
1
21
2
21
21
21
21
2
21
2
2
2
2
2
22
+=
=
+=
=






→








=−
=−
−+=
−−+=
=
−+=
=
−−−++=
−−−=
−+−=
+
−−=
+
+
−−=
+
+
+−=
+ ∫ ∫
:essoluciónLa
12-1
010
12-1
11-1
;12xCCy'
1;(0)y'Si
1;y(0)Si
21

ESPOL 2009 73
Método de Reducción de Orden
2) Resuelva:
( )
;eySi
0;yy'1x'xy'
x
1
−
=
=+++
[ ] [ ]
( )
[ ] ( )[ ]
[ ] ( )[ ] ( )[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
;
x
e
)x('u
;
x
e
)x(v
;xlnx)x(vln
;dx
x
1
1
v(x)
dv
;
x
1
1v(x)
dx
dv
;exev(x)xe
dx
dv
;0exev(x)xev'(x)
;0exeu'(x)xeu''(x)
;0exe)x('uxe)x(''u
;00)x(uexe)x('uxe)x(''u
;0eexexe)x(uexe)x('uxe)x(''u
;0ee1xxe)x(ue1xxe2)x('uxe)x(''u
;0u(x)eu'(x)eu(x)e1xu''(x)eu'(x)e2u(x)ex
;e)x(''ue)x('u2e)x(u''y
;e)x(''ue)x('ue)x('ue)x(u''y
;e)x('ue)x(u'y
;e)x(uy
;y)x(u
x
x
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxx
2
xxxx
2
xx
2
x
2
1
=
=
−=




−=




−=
−=
=+−+
=+−+
=
=
=+−+
=++−+
=+−−++−+
=++−+++−+
=++−+++−
=+++
+−=
+−++−−=
+−=
=
=
∫∫
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−
−−−−−−−
−−−−−−
−−−−−−
−−−
−−−−
−−
−
:ldiferenciaecuaciónlaen(x)v'yv(x)doReemplazan
(x);'u'(x)v'
(x);u'v(x)
:yFalta
:obtienese0,yy'1x'xy'
ldiferenciaecuaciónlaendoReemplazan
yqueasumeSe
:ordendereduccióndemétodoelUsando
2

ESPOL 2009 74
( )
( )
( )
;
!
ln
:essoluciónLa
;
!
ln
;)(
;
!
ln)(
;
!
)(
;
!
)(
;)(






++=






+=
=
+=






+=
=
=
∑
∑
∑
∫ ∑
∫∑
∫
∞+
=
−
−
∞+
=
∞+
=
∞+
=
−
∞+
=
−
1
21
1
2
12
1
1
1
0
1
1
n
n
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
x
nn
x
xCeCy
e
nn
x
xy
yxuy
nn
x
xxu
dx
n
x
x
xu
dx
n
x
xu
x
dxe
xu

ESPOL 2009 75
Ecuación homogénea de orden superior
1. Las raíces de la ecuación auxiliar, que corresponden a una
cierta ecuación diferencial homogénea de orden 10, con
coeficientes constantes, son:
4, 4, 4, 4, 2+3i, 2-3i, 2+3i, 2-3i, 2+3i, 2-3i,
Escriba la solución general.
( ) ( ) ( )( ) ( )( )2
1098
22
765
23
4
2
321
4
33cos
:34
xCxCCxsenexCxCCxexCxCxCCexy
entoncesvecesconjugadocomplejoparunyigualesrealesraícestienenSe
xxx
+++++++++=
2. 08y12y''6y'''y' =−+−
3. 032y
dx
yd
5
5
=+
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xxx
i
i
i
kii
k
eCexsenCxCexsenCxCxy
seniem
iseniem
iseniem
kemmm
2
5
618.0
43
618.1
21
3
5
3
5,1
5
4,0
5
2
5
902.1902.1cos175.1175.1cos
2cos22
902.1618.0
5
3
5
3
cos22
175.1618.1
55
cos22
4,3,2,1,0;2032
−−
+
++++=
−=+==
±−=











+





==
±=











+





==
==→=+=
ππ
ππ
ππ
φ
π
π
π
ππ
4. ( ) 0y52DD
22
=+−
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )xCCxsenexCCxexy
im
im
mmmmm
mmm
xx
4321
4,3
2,1
22
22
22cos
21
21
2
162
2
5.1.442
05252
052
+++=
±=
±=
−±
=
−±
=
=+−+−=
=+−=
φ
φ
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )2
321
2
321
3
2
23
202
0442
0441
882
281261
08126
xCxCCexy
mmmmm
mmmm
mmmm
x
++=
===→=−=
=+−−=
−
−
−−
=−+−=
φ
φ
φ

ESPOL 2009 76
Ecuaciones de Orden Superior
Ecuación no homogénea de orden superior
1. 84xx2y''3y'''y' 2
++=++
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) Axy
BAxxy
CBxAxxy
CxBxAxxy
xyconilessiCxBxAxCBxAxxxys
xyconnteindependieelinealmentesnoperoCBxAxxys
CBxAxxxyxxxg
particularsoluciónlaEncuentro
eCeCCxymmm
mmmm
mmmm
mmmmyyy
ariacomplementsoluciónlaEncuentro
xyxyxy
p
p
p
p
cp
cp
s
p
xx
c
pc
6'''
26''
23'
..1
0
84
:
2,1,0
021
023
0230'2''3'''
:
2
23
232
2
22
2
321321
2
23
=
+=
++=
++=
++=++=→=
++=→=
++=→++=
++=→−=−==
=++=
=++=
=++=→=++
+=
−−
φ
φ
φ
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) xxxeCeCCxy
generalSolución
xxxxy
decimosqueloPor
C
BA
CCBA
B
A
BBA
AA
xxCBAxBAxA
xxCBxAxBAxA
xxyyy
xx
p
ppp
4
11
4
1
6
1
:
4
11
4
1
6
1
:
4
11
2
668
8266
4
1
4
184
4418
6
1
16
842664186
842322636
84'2''3'''
232
321
23
22
22
2
+++++=
++=









=→
+−
=→=++
=→
−
=→=+
=→=
++=+++++
++=+++++
++=++
−−

ESPOL 2009 77
2.
2x2x2x22
e5xee2x14x2x4y4y''y'''y' +++−−=+−−
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( )( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )CBAxCBAxBAAxexy
CBxCBAxBAAxexy
CxCBxBAAxexy
CxBxAxexy
xyconilessiCxBxAxeCBxAxxexys
xyconnteindependieelinealmentesnoperoCBxAxexys
CBxAxexxyexeexxg
xxy
decimosqueloPor
C
BA
CCBA
B
A
BBA
AA
xxCBAxBAxA
xxCBxAxBAxA
xxyyyy
xy
Axy
BAxxy
CBxAxxy
xyconilessiCBxAxxys
CBxAxxxyxxxg
xgxgxg
eCeCeCxymmm
mmmmmm
mmmm
mmmmyyyy
xyxyxy
x
p
x
p
x
p
x
p
c
xx
p
c
x
p
xs
p
xxx
p
pppp
p
p
p
p
cp
s
p
xxx
c
pc
12126824368368'''
424864124''
22232'
..1
0
52
2
1
:
0
4
421
1442
0
4
84
448
2
1
24
142442484
14242420
1424'4'''''
0'''
2''
2'
..0
142
:
2,2,1
22141
0141
04404'4'''''
:
232
232
232
232
23222
22
222222
2
2
1
22
22
2
2
2
22
1
21
2
3
2
21321
2
2
23
++++++++=
+++++++=
+++++=
++=
++=++=→=
++=→=
++=→++=
=









=→
++−
=→−=+−−
=→
+−
=→−=+−
=→=
−−=+−−++−+
−−=++++−−
−−=+−−
=
=
+=
++=
++=→=
++=→−−=
+=
++=→−===
+−−=−−=
=−−−=
=+−−=→=+−−
+=
−
φ
φ
φ
( ) ( ) ( )( ) xxxx
xxx
pppp
exeexCBAxBAxAe
exeexyyyy
222222
2222
52410683012
524'4'''''
++=+++++
++=+−−

ESPOL 2009 78
( )
( ) xxxx
x
p
exxeCeCeCxy
exxy
C
BA
CCBA
B
A
BBA
AA
2322
3
2
21
23
6
1
2
1
6
1
0
4
1061
14106
0
8
305
5830
6
1
212
2
++++=
=









=→
−−
=→=++
=→
−
=→=+
=→=
−
3. ( )xcscy'''y' =+
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xsenxxx
x
xsenCxCCxy
xsenxxx
x
xy
xsenxxx
x
y
xdxuxsenx
xx
xsen
x
u
xdxxxuxx
xsenx
x
xsen
u
x
dxxux
xsenxx
xxsen
xsenx
u
xsenx
xsenx
xxsen
xsenx
xsenxW
yuyuyuxy
xsenCxCCxyimimm
mmm
mmmyy
xyxyxy
p
p
p
c
pc
−+











+++=
−+











=
−++











=
−=−=→−=
−
−
=
=−=→−=
−
=












==→=
−−
−
=
=+=
−−
−=
++=
++=→−===
=+=
=+=→=+
+=
∫
∫
∫
csclncos
2
tanlncos
csclncos
2
tanln
coscscln1
2
tanln
1csc
1
csccos0
00
0cos1
'
csclncoscsccoscsc
1
csc0
cos00
01
'
2
tanlncsc1csc
1
coscsc
cos0
cos0
'
1cos1
cos0
cos0
cos1
,cos,1
:
cos,,0
01
00''''
:
321
33
22
11
22
332211
321321
2
3
φ
φ

ESPOL 2009 79
4. ( )xxln''y' =
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )xx
x
xCxCCxy
generalSolución
xx
x
yilesnoxx
x
y
x
x
xxxx
x
y
x
dx
x
x
u
x
xx
x
xx
x
u
xxdxxu
x
xxx
x
xx
x
x
u
x
x
dxxxu
x
xxx
x
xx
x
xx
u
xxxx
xx
xsenxW
yuyuyuxy
xCxCCxymmm
mm
mmy
xyxyxy
pp
p
p
c
pc
ln6ln2
4
:
ln6ln2
4
..7ln6ln2
4
2
ln
1ln21
2
1
ln
2
2
lnlnlnln00
010
01
'
1ln2ln2
2.ln2ln0
200
01
'
2
1
ln
2
ln
ln20ln
210
0
'
21
200
210
1
,cos,1
:
0,0,0
0
00'''
:
2
2
2
321
2
2
2
2
2
22
2
3223
222
2
2
2
12
2
2
2
1
222
2
332211
2
321321
3
3
−+++=
−=∴+−=






+−−+





−=
==→==
−−=−=→−==






−==→==
=−==
++=
++=→===
==
==→=
+=
∫
∫
∫
φ
φ

ESPOL 2009 80
Ecuación de Euler de orden n
1. 018y
dx
dy
6x
dx
yd
x
dx
yd
x 2
2
2
3
3
3
=+−−
( )( ) ( )
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) 2
3
3
21
2
3
3
2
3
1
321
2
2
23
2
3
3
21
321
2
2
12233
ln
233023
018'3''4'''
023
01834
0186121
:ln
:
ln
23
023
063
03631
0186121
0186121
0186121
:
−
−
−
−−−
++=
++=
−===→=+−=
=+−−
=+−
=+−−
=+−−−−−
=→=
°
++=
−===
=+−
=−−−
=−−−−
=+−−−−−
=+−−−−−
=+−−−−−
=
°
xCxxCCxy
eCteCeCty
mmmmmm
tenecuaciónyyyy
DD
DDD
DDDDDD
obtienesextexcambioelaplicando
Método2
xCxxCCxy
rrr
rr
rrr
rrrr
rrrrrr
xrrrrrr
xxrxxrrxxrrrx
:areduceseescuciónlaentoncessolucióncomoxyasumo
Método1
:métodosdosporosresolveremLa
ttt
t
r
rrrr
r
φ
2. 08y
dx
dy
10x
dx
yd
2x
dx
yd
x 2
2
2
3
3
3
=−−+
( )( ) ( )
( )( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )( )( )
( ) 2
3
1
2
4
1
321
23
2
12233
214
0214
0810
04521
08101221
08101221
−−
−−−
++=
−=−==
=++−
=−−−
=+−−
=−−−+−−
=−−−+−−
=
xCxCxCxy
rrr
rrr
rrr
rrr
xrrrrrr
xxrxxrrxxrrrx
r
rrrr
r

ESPOL 2009 81
3. 4lnx8y
dx
dy
8x
dx
yd
4x
dx
yd
x 2
2
2
3
3
3
=−+−
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
8
7
ln
2
1
8
7
ln
2
1
8
7
2
1
8
7
0814
2
1
48
48148
4814070
:Re
0'''''
'
0
48'14''7'''
:
4210421
08'14''7'''0421
0861
08421
0181421
0881421
:
:ln
4
3
2
21
4
3
2
21
4
3
2
21
321
2
+−++=
+−=→+−=





→
==−
−==−
=−+−
=+−+−
==
=
+=
+=→=
+=
=−+−
++=→++=
===→=−−−=
=−+−→=−−−
=+−−
=+−−−
=−+−−−−
=−+−−−−
=→=
xxCxCxCxy
xxytty
BBA
AA
tBAtA
tBAtA
emplazando
yy
Ay
BAty
yconnteindependieelinealmentessiBAtys
BAtty
tyyyy
xCxCxCxyeCeCeCty
mmmmmmm
tenecuaciónyyyyDDD
DDD
DDDD
DDDDDD
DDDDDD
obtienesextexcambioelaplicando
pp
pp
p
p
cp
s
p
c
ttt
c
t
φ

ESPOL 2009 82
4. 3
2
2
2
3
3
3
x2y
dx
dy
2x
dx
yd
x
dx
yd
x =−+−
( )( ) ( )
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
4
ln
:
4
ln
22
3
ln
2
1
ln1ln10
01ln1
0ln
'
2
2210
201
0
'
2
3
ln
2
1ln
1lnln221
21ln0
ln0
'
2
ln
1
2
21ln
20
21ln1
ln
,ln,
:
ln
21
021
0221
0221
012121
022121
022121
3
2
321
3
2
22
3
1
3
2
2
2
2
2
2
1
21
2
1
1
2
1
1
2
2
332211
2
321
321
2
12233
x
xCxxCCxy
generalSolución
x
y
xxxx
x
xx
x
y
xdxu
x
xxxx
x
x
x
xxx
u
x
xdxu
x
xxx
x
x
xx
u
x
x
dxxxu
x
xxxxx
x
x
xx
xxx
u
x
x
xxx
x
xx
x
x
xx
xxxx
xxxxW
yuyuyuxy
particularsoluciónlaencuentro
xCxxCCy
rrr
rr
rrrr
rrrr
rrrrrr
xrrrrrr
xxrxxrrxxrrrx
p
p
p
c
r
rrrr
r
+++=
=
+−





−=
==→
−+
=
+
=
−=−=→
−
−==






−=−=→
+−
=
+
=
=−
+
=+=
++=
++=
===
=−−
=−−−−
=+−−−
=−+−−−−
=−+−−−−
=−+−−−−
=
∫
∫
∫
−
−
−−
−
−−−

ESPOL 2009 83
Ecuaciones de segundo orden de coeficientes variables
Solución en serie alrededor de un punto ordinario
1. ( ) ( ) ( ) 60y'4;0y0,xy
dx
dy
3x
dx
yd
1x 2
2
2
===++−
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ...
4
11
33
11
64
60'...
8
15
32
3
1...
8
5
2
'
40...
8
3
122
...
86
1
....
88
3
20
15
1323
233
3
1212
8
1222
222
2
2;
12
2
0122
62
036
002
0122362
03121
0311
0311
54
3
1
432
1
42
0
0
543
1
53
0
3
3
2
210
0
012323
5
11212
4
1
212
01
3013
22
2
120132
1
1
10
2
2
0
1
12
2
2
01
1
2
22
+++++=
==→





+++++





+++=
==→





+++++





+++=
++++==
+=
+
=
++
++
=→=
=
+
=
++
++
=→=
≥
++
++
=→=+++−+
+=→=++−
=→=−
=+++−++++−−
=++++−−
=++−−−
=++−−
∑
∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
∞+
=
−
+−+
∞+
=
−+
∞+
=
−
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
−
∞+
=
+∞
=
+∞
=
−
+∞
=
−
xx
xxxy
Cy
xxx
C
xx
xCxy
Cy
xxx
xC
xx
Cxy
xCxCxCCxCxy
CCCCCC
Cn
CCCCC
Cn
n
nn
CnnC
CCnnCnnC
CC
CCCC
CC
xCnnCnnCxCxCxCC
xCnxCxnnCxnnC
xCnxCxnnCxnnC
xCxnxCxxnnCx
n
n
n
nn
nnnn
n
n
nnn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

ESPOL 2009 84
2. 0xdealrededorexy''y' 0
x
==− −
( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )
( ) 





+−+−+





++++=
+





−++





−+++=
++++==
−=→−=
++
−
+
++
=→=
=→+=
++
−
+
++
=→=
−=→
++
−
+
++
=→=
≥
++
−
+
++
=→
−
=−++
=→=
−+=−+++
−=−++
−=−−
−=−−
∑
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∞+
=
++
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
∞+
=
+
∞+
=
∞+
=
∞+
=
−
+∞
=
+∞
=
−
+∞
=
−
....
30862
....
406
......
30
1
408
1
6
1
62
1
.....
30
1
40120
1
20
3
1323!3
1
1323
3
3
8
1
24
1
61222!2
1
1222
2
2
6
1
61121!1
1
1121
1
1
1
12!
1
12!
1
12
2
1
12
!
11122
!
112
!
11
!
11
543253
10
514312
10
3
3
2
210
0
1
4
3
3
35
4
2
2
24
1
3
1
13
22
22
11
22
010
2
012
2
01
1
2
2
xxxxxx
xCCxy
x
C
xx
C
xxCCxy
xCxCxCCxCxy
C
C
C
CCn
C
C
CCn
C
CCCn
n
nnnnn
n
CC
n
nCnnC
CC
n
x
xnCnnCC
n
x
nxCxnnC
n
x
nxCxnnC
n
x
nxCxxnnC
n
n
n
n
nn
n
nn
n
n
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

ESPOL 2009 85
3) Resolver la siguiente ecuación diferencial alrededor del punto ˲" Ŵ.
Determine las soluciones homogéneas de esta ecuación diferencial en términos
de series indicando a que función converge cada una de ellas. (Sugerencia: para
encontrar la solución particular use el método de variación de parámetros).
{˲$
. ŵ{˳
- Ÿ˲˳
- Ŷ˳
ŵ
˲
Desarrollo.
{˲$
. ŵ{˳
- Ÿ˲˳
- Ŷ˳
ŵ
˲
˜{˲{ {˲$
. ŵ{ ˲ Ŵ ˥JˮJJI˥J ˜{Ŵ{ .ŵ Ŵ
˜JJ ˬJ ˮIJˮJ ˲ Ŵ ˥J ˯J J˯JˮJ JJˤ˩JIJ˩J
Se asume:
˳ I {˲ . ˲{
(
J˥JJ ˲ Ŵ
˳ I {˲{
(
˳Ȋ I {J{{˲{ #
(#
˳ȊȊ
I {J{{J . ŵ{{˲{ $
($
Primero se obtendrá las soluciones homogéneas. Se reemplaza y, y’, y’’ en la ecuación:
{˲$
. ŵ{˳
- Ÿ˲˳
- Ŷ˳ Ŵ
{˲$
. ŵ{ I {J{{J . ŵ{{˲{ $
($
- Ÿ˲ I {J{{˲{ #
(#
- Ŷ I {˲{
(
Ŵ
Luego se introduce los coeficientes dentro de las sumatorias
I {J{{J . ŵ{{˲{
($
. I {J{{J . ŵ{{˲{ $
($
- ŸI {J{{˲{
(#
- ŶI {˲{
(
Ŵ
Se igualan las patencias de x de todas la sumatorias, en este caso a la que más se repite
que en este caso es n:
I {J{{J . ŵ{{˲{
($
. I {J{{J . ŵ{{˲{ $
($
- ŸI {J{{˲{
(#
- ŶI {˲{
(
Ŵ
Para la
m = n – 2
Si n = 2, entonces m =
0
Pero n = m + 2
Luego m = n

ESPOL 2009 86
I {J{{J . ŵ{{˲{
($
. I ${J - Ŷ{{J - ŵ{{˲{
(
- ŸI {J{{˲{
(#
- ŶI {˲{
(
Ŵ
Se igualan los subíndices de todas las sumatorias al mayor, en este caso n=2.
I {J{{J . ŵ{{˲{
($
. ŶI$ . źI%˲ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{{˲{
($
- ŸI#˲
- ŸI {J{{˲{
($
- ŶI - ŶI#˲ - ŶI {˲{
($
Ŵ
.ŶI$ . źI%˲ - ŸI#˲ - ŶI - ŶI#˲
- {I {J{{J . ŵ{ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{ - ŸI {J{ - ŶI {{˲{
($
Ŵ
Se igualan los coeficientes:
.ŶI$ - ŶI Ŵ ˥JˮJJI˥J J˥ ˮ˩˥J˥ J˯˥ I$ I
.źI%˲ - źI#˲ Ŵ ˥JˮJJI˥J J˥ ˮ˩˥J˥ J˯˥ I% I#
I {J{{J . ŵ{ . I ${J - Ŷ{{J - ŵ{ - ŸI {J{ - ŶI Ŵ
La fórmula de recurrencia es:
I $
I {J{{J . ŵ{ - ŸI {J{ - ŶI
{J - Ŷ{{J - ŵ{
J 4 Ŷ
I $
{J$
. J - ŸJ - Ŷ{
{J - Ŷ{{J - ŵ{
I
{J$
- ŷJ - Ŷ{
{J - Ŷ{{J - ŵ{
I
{J$
- ŷJ - Ŷ{
{J - Ŷ{{J - ŵ{
I
{J - Ŷ{{J - ŵ{
{J - Ŷ{{J - ŵ{
I I
Por lo tanto:
I $ I J 4 Ŷ
Encontrando los coeficientes:
˟˩ J Ŷ ˥JˮJJI˥J I I$ I
˟˩ J ŷ ˥JˮJJI˥J I' I% I#
˟˩ J Ÿ ˥JˮJJI˥J I I I
˟˩ J Ź ˥JˮJJI˥J I I' I#
˟˩ J ź ˥JˮJJI˥J I I I
˟˩ J Ż ˥JˮJJI˥J I I I
Volviendo a la solución:
˳{˲{ I ˲
(
I - I#˲ - I$˲$
- I%˲%
- I˲
- I'˲'
- I ˲ -
˳{˲{ I - I#˲ - I˲$
- I#˲%
- I˲
- I#˲'
- I˲ -
La solución homogénea:
˳{˲{ I ŵ - ˲$
-˲
- ˲ - - ˲$
-
{ {
G
- I# ˲ - ˲%
- ˲'
- - ˲$ #
-
{ {
G

ESPOL 2009 87
I
ŵ
ŵ . ˲$
F - I#˲{ŵ - ˲$
- ˲
- - ˲$
- {
˳ {I{ I
ŵ
ŵ . ˲$
F - I# Ә
˲
ŵ . ˲$
ә ˳I J˯˥
ŵ
ŵ . ˲
ŵ - ˲ - ˲$
- ˲%
-
Ahora se encuentra la solución particular ˳
Normalizando la ecuación diferencial {˲$
. ŵ{˳
- Ÿ˲˳
- Ŷ˳
#
, se obtiene:
˳
-
Ÿ˲˳
{˲$ . ŵ{
-
Ŷ˳
{˲$ . ŵ{
ŵ
˲{˲$ . ŵ{
Usando el método de variación de parámetros:
˳ ˯#˳# - ˯$˳$
Encontrando el wronskiano: ˣ{˳# ˳${ }
˳# ˳$
˳#Ȋ ˳$Ȋ}
ˣ{˳# ˳${ ӶӶ
ŵ
ŵ . ˲$
˲
ŵ . ˲$
Ŷ˲
{ŵ . ˲${$
ŵ - ˲$
{ŵ . ˲${$
ӶӶ
ŵ
{ŵ . ˲${$
˖JJˤ˥ ˯#

Ŵ ˳$
ŵ
˲{˲$ . ŵ{
˳$Ȋ
ˣ{˳# ˳${
Ӷ
Ŵ
˲
ŵ . ˲$
ŵ
˲{˲$ . ŵ{
ŵ - ˲$
{ŵ . ˲${$
Ӷ
ŵ
{ŵ . ˲${$
˯#

ŵ
{ŵ . ˲${$
ŵ
{ŵ . ˲${$
ŵ ˥JˮJJI˥J ˯# ˲
˖JJˤ˥ ˯$

˳# Ŵ
˳#Ȋ
ŵ
˲{˲$ . ŵ{
ˣ{˳# ˳${
Ӷ
ŵ
ŵ . ˲$ Ŵ
Ŷ˲
{ŵ . ˲${$
ŵ
˲{˲$ . ŵ{
Ӷ
ŵ
{ŵ . ˲${$
.
ŵ
˲{ŵ . ˲${$
ŵ
{ŵ . ˲${$
˯$

.
ŵ
˲
˥JˮJJI˥J ˯$ .Ž {˲{
Por lo tanto a solución particular es:
˳ ˯#˳# - ˯$˳$
˳ ˲
ŵ
ŵ . ˲$
F . Ž {˲{
˲
ŵ . ˲$
La solución general es:
˳{˲{ I
ŵ
ŵ . ˲$
F - I# Ә
˲
ŵ . ˲$
ә - ˲
ŵ
ŵ . ˲$
F . Ž {˲{
˲
ŵ . ˲$
Este es un solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales correspondiente a la Primera
Evaluación, donde constan ejercicios tipo examen. Esta obra ha sido elaborada por Roberto
Cabrera y Christian de La Rosa, ex – estudiante de la ESPOL, con el auspicio de la directiva
A.E.F.I.E.C. de los años 2006, 2007, 2008. Modificado y corregido dos veces por Roberto
Cabrera.

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