Real numbers introduction Introducción a los números reales

1. Actividad 1.1. Números reales.
G. Edgar Mata Ortiz

2. Números Reales y Notación Científica
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El desarrollo de la matemática, siempre impulsado por las necesidades prácticas,
comenzó con algo tan sencillo como el número 1, posteriormente se inventaron los
restantes dígitos y el cero, lo que permitió el conteo de objetos o personas y,
después de muchos cambios, se ha convertido en un impresionante edificio
intelectual en el que grandes pensadores han dejado su huella.
Contenido
Introducción. ............................................................................................................................................................3
Importancia de los números en nuestra civilización............................................................................................3
El desarrollo de la numeración y la aritmética.........................................................................................................4
Los números reales...............................................................................................................................................4
Operaciones con números reales.........................................................................................................................4
Jerarquía de operaciones. ................................................................................................................................4
Sustitución en fórmulas....................................................................................................................................6
Localización de los números reales en la recta numérica....................................................................................6
Porcentajes, partes por millar y partes por millón...............................................................................................7
Notación científica................................................................................................................................................8
Cantidades muy grandes en notación científica...................................................................................................9
Cantidades muy pequeñas en notación científica............................................................................................. 10
La nanotecnología y sus aplicaciones.................................................................................................................... 11

3. Números Reales y Notación Científica
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Introducción.
En esta sección vamos a hacer referencia a un video titulado:
History of One
En el siguiente enlace se encuentra el video que servirá como referencia
para contestar las siguientes preguntas empleando 20 palabras en cada
una:
1. Explica la importancia de la numeración indo-arábiga:
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
2. ¿Qué es un sistema de numeración posicional?
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
3. ¿Qué sucede con las civilizaciones que no emplean ninguna
numeración?
_________________________________________________________
_________________________________________________________
_________________________________________________________
Importancia de los números en nuestra civilización
El desarrollo de la numeración indo-arábiga pasó por diferentes etapas
hasta su consolidación, ¿cuándo y por qué se establece esta numeración
como la que se empleará en la civilización occidental?
___________________________________________________________
___________________________________________________________
El cero
“If you look at zero you see
nothing; but look through it
and you will see the world.”
“Si observas el cero ves
nada; pero observa a través
de él y verás el mundo.”
The nothing that is.
Robert Kaplan.
Numeración Maya.
Se han escrito numerosos
libros acerca del número
cero, debido a su
importancia en el desarrollo
de la matemática y de la
civilización.
No es exagerado decir que
la historia de la humanidad
y su desarrollo ha estado
siempre ligada a la
invención de los números y,
muy especialmente, del
cero.
Este interesante concepto,
expresado como número,
fue inventado en forma
independiente por
diferentes civilizaciones en
el mundo, dando lugar a los
sistemas de numeración
posicional; base 60, base 20,
base 10, base 2, entre otros.

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El desarrollo de la numeración y la aritmética
Como pudimos observar en el video de la historia de
uno, el uso de los números y la aritmética surge de
necesidades prácticas, y cuanto más compleja es una
civilización, requiere de herramientas matemáticas
más sofisticadas para su gestión y crecimiento.
Al mismo tiempo que las necesidades prácticas
producen nuevas operaciones y procedimientos, se
desarrolla la teoría matemática que produce nuevos
conocimientos; es necesario conocer un poco de
dicha teoría para facilitar el uso y la comprensión de
esta ciencia.
Los números reales.
Los números que se emplean para contar reciben el
nombre de números naturales, algunos autores
incluyen al cero entre los naturales y otros no, ¿qué
opinas?, ¿el cero es parte de los números naturales?,
explica tu respuesta en 30 palabras.
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Independientemente de que el cero se considere o no parte de los
números naturales, es evidente que éstos no son suficientes para muchas
de las operaciones que realizamos, por ello, se emplean las fracciones
comunes, los números decimales, positivos y negativos, el número , entre
muchos otros. Este conjunto recibe el nombre de números reales.
Operaciones con números reales.
Las operaciones con números reales han sido estudiadas a lo largo de la educación básica, sin embargo, existen
dos temas que es necesario revisar; la jerarquía de operaciones y la sustitución en fórmulas provenientes de
otras ciencias.
Jerarquía de operaciones.
Cuando en una expresión se encuentran varias operaciones
aritméticas por realizar, pueden presentarse dudas acerca
del orden en que deben efectuarse dichas operaciones, ya
que, dependiendo del orden que se siga, el resultado será
diferente. La imagen de la derecha sintetiza la jerarquía de
las operaciones aritméticas.

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Ejercicio 1. Consulta la jerarquía de las operaciones aritméticas elementales y anótala en las líneas siguientes:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Ejercicio 2. Aplicando las reglas de la jerarquía consultadas, efectúas las siguientes operaciones:
a. 3[5 − 2(4 + 1)] − 70 =
b. (1 − 4)[−(6 + 9) + 5(3 − 7)] =
c. (1.5 − 3.8)[−0.5(4.2 + 6.3) + 0.7(0.6 − 1.7)] =
d. (1 − 2.5)2[−(0.5 + 0.33) + 0.72(1 − 0.6)4] =
e. 1.5√2.6 − 1.5 [0.12(0.2 − 1) − √3(0.5 − 2)
3
] =

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Sustitución en fórmulas.
Al realizar estudios universitarios es muy frecuente que sea necesario utilizar fórmulas para la resolución de
problemas de diferentes disciplinas, además de efectuar algún despeje, y sustitución, deben efectuarse las
operaciones resultantes de acuerdo con la jerarquía estudiada hasta ahora.
Ejercicio 3. Sustituye en las fórmulas indicadas y efectúa las operaciones siguiendo las reglas de la jerarquía de
operaciones.
1. Aceleración de un objeto: 𝑎 =
𝑣 𝑓−𝑣0
𝑡
𝑣𝑓 = 85 𝐾𝑚/ℎ
𝑣0 = 10 𝐾𝑚/ℎ
𝑡 = 1.5 ℎ
2. Pendiente de una recta: 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
𝐴1(1.5, −2.2)
𝐴2(−3.2, −0.5)
3. Fórmula general para la ecuación de segundo grado: 𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
8𝑥2
− 14𝑥 − 15 = 0
Localización de los números reales en la recta numérica.
Una conocida herramienta matemática es la recta numérica, que es una línea en la que se pueden localizar
todos los números reales, en la siguiente recta numérica se han identificado algunos números, localiza loa que
faltan señalándolos sobre la recta.
Ejercicio 1. Localiza los siguientes números en la recta numérica: −2.5, −1.2, 0, 𝑒, 𝜋, 4.2
0 

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Ejercicio 2. Localiza los siguientes números en la recta numérica: −7.2, −𝜋, 0.1, √2, 𝜑, 5.1, 2𝜋
Porcentajes, partes por millar y partes por millón.
Los números reales son empleados en nuestra vida cotidiana, casi sin darnos cuenta, en toda clase de
operaciones aritméticas, una de ellas es el porcentaje. La expresión “porciento” significa “por cada 100” y se
representa con el símbolo: %.
Si decimos que la tasa de defectos en una línea de producción es del 1% significa que una de cada 100 piezas
fabricadas puede resultar defectuosa, si fuera 2% serían ______ piezas defectuosas por cada 100. En ocasiones
los porcentajes son muy pequeños y se prefiere usar cantidades por millar o por millón, por ejemplo, si la tasa
de defectos es baja se dice 3 piezas por millar, lo que significa que tres piezas de cada mil pueden resultar
defectuosas, y en algunos casos la tasa de defectos puede ser, por ejemplo, de solamente 750 piezas por
millón, lo cuál significa: ______________________________________________________________________.
Ejercicios 1. Resuelve los siguientes problemas.
1. En una tienda departamental se anuncia que algunos artículos tendrán un 50% + 20% de descuento, lo
cuál significa que primero se aplica el 50% y al precio resultante se el aplica el 20%, ¿cuál es el
porcentaje de descuento final? Si un artículo tiene un precio de $1600.00, ¿cuánto deberá pagar el
cliente después de aplicar el 50% + 20% de descuento?
2. Un investigador afirma que la población de una ciudad ha aumentado este año un 9.5% con respecto al
año pasado, mientras el año pasado sólo había aumentado un 5.6% respecto al antepasado. Si la
población actual es de 860,000 habitantes, ¿cuál era la población inicial en este estudio?, ¿y cuántos
habitantes tenía después de que aumentó el 5.6%?

8. Números Reales y Notación Científica
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3. En una empresa de manufactura la tasa de defectos ha cambiado de 0.25% a 2 piezas por millar, y
luego a 2200 piezas por millón, ¿Cómo se ha comportado la calidad del producto?
4. En un proceso de manufactura se tomó una muestra de 650 piezas encontrándose que 5 de ellas
estaban defectuosas. ¿Cuál es la tasa de defectos? Expresa el resultado en forma de proporción,
porcentaje, partes por millar y partes por millón.
Notación científica.
Cuando se efectúan operaciones con números demasiado grandes, llega un punto en el que no resulta práctico
considerar todos los dígitos o, en muchos casos, estos dígitos son igual a cero por lo que es posible simplificar
mucho su escritura y su comprensión. Por ejemplo: uno de los prefijos empleados en el sistema internacional
de unidades es Tera, que significa billones, 5.8 Terámetros son 5.8 billones de metros. Este es el nombre
correcto que se da a esta unidad de medida, sin embargo, actualmente se prefiere expresar como 5.8x1012
metros.
También las calculadoras, cuando se obtiene un resultado muy grande, lo expresan en notación científica. Es
muy útil, solamente debemos aprender a interpretar esta notación mediante una sencilla regla: Si el exponente
del 10 es positivo, significa que debemos recorrer el punto decimal hacia la derecha tantos lugares como
indique la potencia del diez, y si es negativo, entonces el punto se recorre hacia la izquierda.
Ejemplos:
1.5x1015
significa recorrer el punto decimal 15 lugares hacia la derecha, rellenando con
ceros los lugares que se van generando: 1,500’000,000’000,000
15 lugares hacia la derecha desde
donde estaba originalmente.

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3.1x10-12
significa recorrer el punto decimal 12 lugares hacia la izquierda, rellenando
con ceros los lugares que se van generando: 0.000 000 000 0031
Cantidades muy grandes en notación científica.
Vamos a practicar la notación científica realizando algunas operaciones relacionadas con la velocidad de la luz.
¿Sabes lo que es un año luz? Se le llama así a la distancia que recorre la luz en un año. Si la velocidad de la luz
en el vacío es de: 299,792.458 Km/s determina las siguientes distancias:
Distancia que recorre la luz en un segundo: _______________________________________________ Km.
Distancia que recorre la luz en un minuto: _______________________________________________ Km.
Distancia que recorre la luz en una hora: _______________________________________________ Km.
Distancia que recorre la luz en un día: _______________________________________________ Km.
Distancia que recorre la luz en un año: _______________________________________________ Km.
Expresa estos resultados en notación científica tomando solamente tres decimales en dicha representación.
Distancia que recorre la luz en un segundo: _______________________________________________ Km.
Distancia que recorre la luz en un minuto: _______________________________________________ Km.
Distancia que recorre la luz en una hora: _______________________________________________ Km.
Distancia que recorre la luz en un día: _______________________________________________ Km.
Distancia que recorre la luz en un año: _______________________________________________ Km.
¿A cuántas unidades astronómicas equivale un
año luz?
______________________________________
¿Qué prefijo del sistema internacional de
unidades conviene emplear para expresar la
equivalencia de un año luz, en metros?
______________________________________
12 lugares hacia la izquierda desde
donde estaba originalmente.

10. Números Reales y Notación Científica
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¿A qué distancia se encuentra la estrella más cercana a la tierra (después del sol)? Anota esta distancia en
kilómetros empleando la notación normal y la notación científica. Después, convierte a unidades astronómicas
y finalmente utiliza el prefijo más adecuado para expresar la distancia en metros:
Distancia en kilómetros, notación común: ____________________________________________________
Distancia en kilómetros, notación científica: ____________________________________________________
Distancia en unidades astronómicas: ____________________________________________________
Distancia en metros con el prefijo adecuado: ____________________________________________________
El factorial de un número es el resultado de multiplicar todos los enteros hasta el número indicado, por
ejemplo, el factorial de 5 es: 1×2×3×4×5 = 120. Utiliza tu calculadora para obtener los siguientes factoriales:
20! = _________________________________________________________
30! = _________________________________________________________
40! = _________________________________________________________
50! = _________________________________________________________
¿Cuál es el máximo factorial que puedes obtener con una calculadora científica? Anótalo en seguida:
__________________________________________________________________________________________
Este factorial máximo que, generalmente puede obtenerse en una calculadora científica, es muy cercano al
valor de un número llamado Gúgol o Googol. Consulta el significado y el valor de estos números, anótalos y
escribe un comentario sobre el tema en las líneas siguientes:
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
Cantidades muy pequeñas en notación científica.
El átomo más ligero, el de hidrógeno, tiene un diámetro de
aproximadamente 10-10
metros y una masa de alrededor de 1.7x10-27
gramos. Escribe estos números en la notación decimal común e indica el
prefijo del sistema internacional (SI) de unidades que es conveniente
emplear con cada uno de ellos.

11. Números Reales y Notación Científica
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Diámetro del átomo de hidrógeno en notación común:
__________________________________________________________________________________________
Prefijo del SI que es conveniente emplear para expresar esta cantidad en metros: _______________________
Masa del átomo de hidrógeno en notación común:
__________________________________________________________________________________________
Prefijo del SI que es conveniente emplear para expresar esta cantidad en gramos: _______________________
El electrón tiene una masa, en reposo, de 9.11x10-31
Kg y su carga es de 1.6x10-19
Coulomb. Escribe estos
números en la notación decimal común e indica el prefijo del sistema internacional (SI) de unidades que es
conveniente emplear con cada uno de ellos.
Masa del electrón en notación común:
__________________________________________________________________________________________
Prefijo del SI que es conveniente emplear para expresar esta cantidad en gramos: _______________________
Carga del electrón en notación común:
__________________________________________________________________________________________
Prefijo del SI que es conveniente emplear para expresar esta cantidad en Coulomb: ______________________
Realiza un ejercicio similar para la carga y masa del protón.
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
La nanotecnología y sus aplicaciones.
Esta disciplina científica ha producido, en los últimos años, sorprendentes e interesantes resultados y
aplicaciones en diferentes ámbitos de la investigación científica y tecnológica.
Un ejemplo de estos productos son los cristales self-cleaning, es
decir, que se limpian por sí mismos.
A primera vista no parece tan importante, sin embargo, las personas
que exponen su vida para mantener limpios los cristales de los
grandes edificios ya no tendrán que realizar esta tarea tan riesgosa.
Realiza una investigación y explica las magnitudes empleadas en esta disciplina científica. Selecciona tres
resultados de investigación que te llamen la atención y sus aplicaciones y anótalos en las siguientes líneas:

12. Números Reales y Notación Científica
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Magnitudes empleadas en la nanotecnología:
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
Resultado de investigación y aplicaciones (1):
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
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Resultado de investigación y aplicaciones (2):
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Resultado de investigación y aplicaciones (3):
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Lecturas complementarias recomendadas.