Introduction to differential calculus Introducción al cálculo diferencial

1. Introducción al Cálculo Diferencial
Actividad 1.1
Introducción al Cálculo Diferencial
G. Edgar Mata Ortiz

2. Introducción al Cálculo Diferencial
El cálculo diferencial e integral fueron desarrollados para resolver
problemas. En algún momento se encontraron situaciones para las
que la aritmética, geometría, trigonometría y geometría analítica,
no eran suficientes. De modo que, Newton, por un lado, y Leibnitz
por otro, inventaron esta nueva herramienta, que se emplea cuando
se deben resolver situaciones en las que las cantidades
desconocidas, varían, generalmente con respecto al tiempo.
En el presente material se presenta una breve introducción a las aplicaciones del cálculo y la importancia de sus
fundamentos: la teoría de límites y la continuidad de las funciones.
Contenido
Introducción. ..................................................................................................................................................... 1
Aplicaciones del cálculo. ................................................................................................................................ 1
Resolviendo el problema de la caja de cartón mediante aritmética y geometría......................................... 2
Resolviendo el problema de la caja de cartón mediante funciones matemáticas. ....................................... 5
Revisión del proceso de solución................................................................................................................ 6
Fundamentos del cálculo. .............................................................................................................................. 7
La teoría de límites..................................................................................................................................... 7
Concepto de límite..................................................................................................................................... 7
Ejemplo de límite. ...................................................................................................................................... 7
Continuidad de una función. ...................................................................................................................... 8
Concepto de continuidad. .......................................................................................................................... 8
Ejemplo de continuidad. ............................................................................................................................ 8
Gráfica acerca de continuidad.................................................................................................................... 8
Bibliografía. ....................................................................................................................................................... 9
First, it is necessary to study the facts, to multiply the number of observations, and
then later to search for formulas that connect them so as thus to discern the
particular laws governing a certain class of phenomena. In general, it is not until
after these particular laws have been established that one can expect to discover
and articulate the more general laws that complete theories by bringing a
multitude of apparently very diverse phenomena together under a single
governing principle.
Augustine – Louise Cauchy

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Introducción.
Una buena forma de iniciar el estudio de cualquier disciplina científica
consiste en conocer su historia, en el caso específico del cálculo, siempre
ha existido una discusión acerca de quién debe ser reconocido como el
inventor de dicha disciplina.
Realiza una investigación y elabora un ensayo de 1200 palabras en el que
establezcas quién debe ser considerado el inventor del cálculo. En las
siguientes líneas solamente explica, brevemente, tu posición respecto a
este tema.
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Aplicaciones del cálculo.
La razón principal para el estudio del cálculo es la resolución de
problemas que se presentan bajo diferentes circunstancias. Veamos un
ejemplo.
Antes de resolver el problema, vamos a fabricar, con una hoja de
cuaderno, una caja conforme a las instrucciones que se presentan;
recortar cuatro cuadrados. Pero aquí se presenta un detalle, no sabemos
de qué dimensiones serán dichos cuadrados que se van a recortar. ¿Qué
propones?
El origen del
cálculo.
Como en la mayor parte de
las invenciones humanas, es
difícil señalar quién inventó
el cálculo diferencial e
integral. Desde la época de
oro de la civilización
grecolatina se hicieron
fructíferos esfuerzos por
resolver problemas que
requerían de los métodos de
esta rama de la matemática.
Podemos citar a Platón y
Aristóteles como los
primeros antecesores del
cálculo por sus ideas
filosóficas, en seguida
debemos mencionar a
Arquímedes y Eudoxio, para
pasar luego a una gran
cantidad de matemáticos
que trataban de resolver
problemas acerca de áreas,
longitudes de curvas,
tangentes, puntos máximos
y mínimos y que, en sus
búsquedas, realizaron
importantes aportaciones al
cálculo. Sin embargo,
fueron Newton, con un
enfoque físico, y Leibnitz, a
partir de una perspectiva
geométrica, quienes le
dieron forma a esta nueva
herramienta para la solución
de problemas: El cálculo
diferencial e integral.

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Resolviendo el problema de la caja de cartón mediante aritmética y geometría.
De acuerdo con la redacción del problema, debemos suponer que, dependiendo del tamaño de la pieza
recortada, el volumen de la caja será distinto. Sin embargo, esto no resulta del todo claro, ¿qué opinas?, ¿el
volumen será el mismo sin importar el tamaño del cuadrado que se recorte o el volumen cambiará
dependiendo de la medida del cuadrado? Explica tu respuesta:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Esta explicación es solamente una conjetura, es decir, es una
afirmación acerca de la que no tenemos suficiente evidencia para
comprobar si tenemos razón o no.
Antes de intentar resolver el problema debemos tratar de
determinar si nuestra conjetura es correcta. Para ello, vamos a
realizar algunos cálculos preliminares conforme a la figura
construida.
En la resolución de la mayoría de los problemas de matemáticas,
es necesario emplear conocimientos previamente adquiridos. En
este ejemplo en particular se trata de una fórmula de geometría.
Volumen de un paralelepípedo rectángulo:
V = _________________________________________________
Según el procedimiento señalado en el problema, la medida
de los cuadrados que se recortarán debe ser determinada de
tal forma que el volumen de la caja sea el máximo posible.
El primer acercamiento que haremos al problema será
geométrico aritmético; tomaremos valores arbitrarios para
la medida de los cuadrados que se recortarán y veremos
cómo se comporta el volumen.
El primer valor sugerido para que sea la medida de los
cuadrados que se recortarán es 2 cm.
Anota las dimensiones que tendrá la caja cuando se recortan, en las esquinas, cuadrados que miden 2 cm por
lado, y calcula su volumen.
Dimensiones de la caja:
Longitud = ____________________
Ancho = ____________________
Altura = ____________________
Volumen = ____________________

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Para determinar si el volumen depende de las
dimensiones de los cuadrados que se recorten,
vamos a determinar si el volumen es diferente
cuando los cuadrados que se recortan miden 3
cm por lado.
Qué observas, ¿el volumen es mayor? ¿o menor?
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________________________________________
Hemos podido determinar que, efectivamente, al cambiar el tamaño de las piezas recortadas el volumen varía,
es decir, el volumen depende de la medida de los cuadrados que se recortan en las esquinas.
Como podemos observar, al recortar un cuadrado mayor, el volumen aumentó. Si seguimos aumentando el
tamaño del cuadrado, ¿el volumen seguirá aumentando?
Para responder a esta pregunta, vamos a ir aumentando, unidad por unidad, las dimensiones del cuadrado que
se recorta; para facilitar el proceso, vamos a elaborar una tabla en la que podamos observar el
comportamiento del volumen de la caja al ir cambiando el tamaño de los cuadrados recortados en las esquinas
de la pieza de cartón.

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De acuerdo con la tabla, ¿de qué medida deben ser los cuadrados que se recortarán para obtener el máximo
volumen posible? _______________________________
Al parecer hemos resuelto el problema, pero, ¿cómo podemos estar seguros de que este es, realmente, el
máximo volumen posible?
Hemos trabajado solamente con números enteros, pero ¿No podría ser un número fraccionario el que nos da
el volumen máximo? Vamos a investigar qué sucede con el volumen de la caja cuando las dimensiones de los
cuadrados que se recortan, son números no enteros. ¿Qué valores debemos elegir?, ¿entre que valores crees
que puede estar la medida que nos dará el volumen máximo?
Anota las dimensiones de la caja cuando se recortan cuadrados que miden 6.5 cm por lado.
Ahora prueba con 5.5 cm.

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Resolviendo el problema de la caja de cartón mediante funciones matemáticas.
Esta es una limitación de la aritmética; para trabajar con valores variables es necesario llevar a cabo
demasiadas operaciones. ¿Qué valor se te ocurre que pueda dar como resultado un volumen todavía mayor?,
prueba con al menos otros tres valores:
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________
Podríamos seguir intentando obtener un volumen mayor, cambiando el tamaño del cuadrado que se recorta,
pero, en cualquier caso, no podríamos estar seguros de que no exista una medida que nos permita obtener un
volumen mayor.
Otra posible solución consiste en representar gráficamente los puntos en un plano de coordenadas ubicando el
tamaño del cuadrado que se recorta en el eje equis y el volumen en el eje ye. Calcula los valores faltantes y en
el siguiente plano de coordenadas, representa los puntos indicados:
Medida del
cuadrado
Volumen Gráfica
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

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La gráfica puede darnos la impresión de que se trata de una parábola, y que podríamos obtener el volumen
máximo, en el vértice de dicha parábola, pero trazándola con cuidado puede observarse que no es simétrica,
de modo que el análisis resulta un poco más complejo.
La aritmética no parece ser el mejor método para resolver este problema, probemos ahora con otra
herramienta. En álgebra, cuando una cantidad se desconoce podemos identificarla con cualquier letra,
comúnmente la equis. Si representamos la longitud del lado del cuadrado que se va recortar con equis, ¿cómo
quedan las demás magnitudes?
Planteamiento algebraico del problema.
Recorte = x
Largo = _______________
Ancho = _______________
Alto = _______________
Volumen = _______________
Cuando una variable depende de otra, se le llama variable dependiente, de modo que tenemos una función en
la que se expresa que el volumen depende de las dimensiones de los cuadrados que se recortan:
V(x) = ________________________________
En este punto podemos confirmar que, como lo habíamos supuesto,
no se trata de una parábola, ya que no se obtuvo una función
cuadrática, sino de tercer grado.
Hemos intentado resolver el problema por diversos medios y
solamente hemos conseguido obtener resultados aproximados, esto se
debe a que las herramientas utilizadas no son las adecuadas.
Revisión del proceso de solución.
Para resolver esta clase de problemas se requiere del cálculo diferencial, por ello, no ha sido posible obtener la
solución exacta.
En esta etapa del proceso de solución, es notable como hemos ido modelando
matemáticamente un problema concreto con la finalidad de obtener la
solución. Para trazar la gráfica tomamos un valor negativo de x a pesar de que,
en el problema real, no es posible recortar cantidades negativas (menos 1 cm).
Este es, generalmente, el proceso mediante el cual se desarrolla la matemática. A partir de un
problema real se plantea una estrategia de solución la cuál, poco a poco, nos va alejando de la
situación práctica, conduciéndonos a cuestiones puramente teóricas que posteriormente se
constituyen en ciencia.
En este ejemplo, hemos tratado de mostrar lo que sucede cuando las herramientas matemáticas
son insuficientes y se presenta la necesidad de desarrollar otros recursos intelectuales.
Efectuando operaciones algebraicas obtenemos una
expresión algebraica que relaciona la longitud que se recorta,
con el volumen, simplifícala y anótala en la siguiente línea:
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Fundamentos del cálculo.
El estudio del cálculo es relativamente sencillo, aunque la necesidad de utilizar
conocimientos de álgebra y otras ramas de la matemática ocasiona que, quienes
no han desarrollado las competencias matemáticas básicas, enfrenten dificultades
para abordar esta materia.
Además, para comprender adecuadamente el cálculo, es necesario revisar algunos
temas que son los que le sirven de base, como la teoría de límites, números reales
y continuidad de funciones.
La teoría de límites.
Los antiguos griegos pudieron resolver muchos problemas, sobre todo
de áreas limitadas por curvas, mediante aproximaciones que,
mediante un razonamiento parecido al de límite, les permitían
obtener la solución exacta o muy cercana la que se buscaba. Sin
embargo, nunca llegaron a enunciar una teoría bien fundamentada
sobre el tema.
No es sino hasta después del desarrollo del cálculo, logrado por
Newton y Leibnitz, que se logró elaborar una fundamentación
mediante los trabajos de Cauchy y Weierstrass.
Como en muchos otros casos, estos trabajos fueron desarrollados en
colaboración con otros matemáticos como Riemann y Bolzano.
En posteriores actividades y ejercicios abordaremos el tema de los
límites, sus aplicaciones y la importancia que tienen en el desarrollo
del cálculo diferencial e integral.
Concepto de límite.
Consulta el concepto de límite y escríbelo en las siguientes líneas, no olvides anotar la bibliografía.
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Ejemplo de límite.
Anota en las siguientes líneas un ejemplo sencillo de límite.
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Continuidad de una función.
La continuidad de una función es una
propiedad que nos permite obtener su
derivada; si una función no es continua,
entonces su derivada no existe, de ahí su
importancia. La continuidad depende de la
existencia de los límites, así como del valor
de la función en un punto dado.
Generalmente se trabaja con funciones
continuas, sin embargo, puede presentarse
algún caso en el que la función que se desea
derivar sea discontinua.
Concepto de continuidad.
Consulta el concepto de continuidad y escríbelo en las siguientes líneas, no olvides anotar la bibliografía.
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Ejemplo de continuidad.
Anota en las siguientes líneas un ejemplo de función continua y otro de función discontinua.
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Gráfica acerca de continuidad.
La gráfica es un elemento importante en el concepto de
continuidad; representa gráficamente el ejemplo de
continuidad que consultaste.
Explica el significado de la gráfica.
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11. Introducción al Cálculo Diferencial
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Bibliografía.