El teorema de Pitágoras explicado con ejemplos y ejercicios.

1. El Teorema de Pitágoras
G. Edgar Mata Ortiz
Solución

2. Contenido
•Un poco de historia
•Enunciado del Teorema
•Significado
•Expresión algebraica
•Ejemplo 1
•Ejemplo 2
•Ejercicios
•Ternas pitagóricas

3. Un poco de historia
•A pesar de que lleva su nombre, no se dispone de evidencia concluyente para afirmar que Pitágoras descubrió el teorema, debido principalmente a que no escribió nada.
Pitágoras de Samos (aprox. 570-495 a. C.)

4. Un poco de historia
•Se dice que otros pueblos, como los babilonios, conocían el teorema, sin embargo, la evidencia encontrada sólo hace referencia a las ternas pitagóricas, pero no al enunciado del teorema.
Tablilla babilónica (Plimpton 322) que contiene ternas pitagóricas.
Llama la atención que algunas de las más conocidas ternas no están, como: 3, 4 5; ni 5, 12, 13. entonces no está claro cómo fueron calculadas o seleccionadas las ternas que aparecen en esta tablilla.

5. Enunciado del teorema.
•En cualquier triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
푎2+푏2=푐2
El orden de las letras no es relevante, se acostumbra que la hipotenusa se represente con la letra c, pero pueden cambiarse sin ningún problema, sólo hay que tener cuidado que se cumpla con el enunciado del teorema.

6. Significado.
•En cualquier triángulo rectángulo:esta parte del enunciado es importante subrayarla, el teorema se aplica a cualquier triángulo rectángulo
•La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
Existen numerosas demostraciones matemáticas de que el teorema es verdadero.
Para comprenderlo puede ser más útil una prueba que una demostración, pero para estar seguros se requiere una demostración.
풂ퟐ
풃ퟐ
풄ퟐ

7. Expresión algebraica.
•El teorema se refiere a las áreas de los cuadrados, no obstante, se emplea principalmente su expresión algebraica.
푎2+푏2=푐2
Si se conocen las medidas de dos de los lados del triángulo rectángulo, se puede determinar la medida del tercer lado sustituyendo en la expresión algebraica del teorema.

8. Ejemplo 1.
•Dos corredores se están preparando para una competencia por lo que deciden reducir la distancia que recorren unos días antes de la carrera.
•El parque en el que entrenan mide 1.4 km de largo por 0.8 km de ancho.
•Si corren, ida y vuelta, a lo largo de la diagonal, ¿qué distancia se desplazarán?

9. Ejemplo 1.
•Dos corredores se están preparando para una competencia por lo que deciden reducir la distancia que recorren unos días antes de la carrera.
•El parque en el que entrenan mide 1.4 km de largo por 0.8 km de ancho.
•Si corren, ida y vuelta, a lo largo de la diagonal, ¿qué distancia se desplazarán?

10. Ejemplo 1.
•Se forma un triángulo rectángulo con las dimensiones señaladas y la medida de la hipotenusa desconocida.
풂=ퟏ.ퟒ
풃=ퟎ.ퟖ

11. Ejemplo 1.
•Podemos omitir el resto de la figura y despejar cen la fórmula.
풂=ퟏ.ퟒ
풃=ퟎ.ퟖ

12. Ejemplo 1.
•Podemos omitir el resto de la figura y despejar cen la expresión algebraica.
푎2+푏2=푐2 푐2=푎2+푏2 푐=푎2+푏2

13. Ejemplo 1.
•Sustituyendo valores en la expresión algebraica.
푐=(1.4)2+(0.8)2 푐=1.96+0.64 푐=2.6 푐=1.6124

14. Ejemplo 1.
•Respuesta: Los atletas recorrerán:
2(1.6124) = 3.2248 kmen ida y vuelta.
풂=ퟏ.ퟒ
풃=ퟎ.ퟖ

15. Ejemplo 2.
•Vas a cambiar una lámpara que está a 5.5 metros de altura.
•En la parte inferior de la pared donde está la lámpara se encuentran acumulados diversos materiales, de modo que la escalera deberá colocarse a una distancia de 3 metros de la pared.
•¿Cuál debe ser la longitud de la escalera para alcanzar a cambiar la lámpara?

16. Ejemplo 2.
•Se necesita cambiar una lámpara que está a 5.5 metros de altura.
•En la parte inferior de la pared donde está la lámpara se encuentran acumulados diversos materiales, de modo que la escalera deberá colocarse a una distancia de 3 metros de la pared.
•¿Cuál debe ser la longitud de la escalera para alcanzar a cambiar la lámpara?

17. Ejemplo 2.
5.5 m
3 m
? m
¿Cuál debe ser la longitud de la escalera?

18. Ejemplo 2.
풂=ퟑ
풃=ퟓ.ퟓ
풄=?

19. Ejemplo 2.
풂=ퟑ
풃=ퟓ.ퟓ
풄=?
•Podemos omitir el resto de la figura y despejar cen la expresión algebraica.
푎2+푏2=푐2 푐2=푎2+푏2 푐=푎2+푏2

20. Ejemplo 2.
풂=ퟑ
풃=ퟓ.ퟓ
풄=?
•Sustituyendo valores en la expresión algebraica.
푐=(3)2+(5.5)2 푐=9+30.25 푐=39.25 푐=6.2649

21. Ejemplo 2.
5.5 m
3 m
Respuesta: La escalera debe medir:
6.2649 mde longitud

22. Ejercicios.
•Para resolver algunos problemas es necesario despejar otras incógnitas:
푎2+푏2=푐2 푐2=푎2+푏2 푐=푎2+푏2
푎2+푏2=푐2 푎2=푐2−푏2 푎=푐2−푏2
푎2+푏2=푐2 푏2=푐2−푎2 푏=푐2−푎2

23. Ejercicios.
1.Un poste de electricidad es sostenido por un tirante anclado al piso a una distancia de 6 m de la base del poste. Si el cable sujeta al poste a una altura de 5metros, ¿cuál es la longitud del cable?
2.Si el cable es anclado a una distancia de 5 metros de la base del poste y tiene una longitud de 6.5 metros, ¿a qué altura del poste se sujetará?

24. Ejercicios.
1.Determina el área y el perímetro del círculo que se muestra en la figura.
12 cm
7 cm

25. Ternas pitagóricas.
•Reciben el nombre de ternas pitagóricas las que cumplen con la expresión algebraica del teorema de Pitágoras.
•Ejemplos:
3, 4 y 52, 5 y 13
9, 40 y 4199, 132 y 165529, 139920 y 139921
Existen infinidad de ternas pitagóricas.

26. Bibliografía

27. Gracias por su atención. http://licmata-math.blogspot.mx/
http://www.scoop.it/t/mathematics-learning/
https://sites.google.com/site/licmataalgebra/
http://www.slideshare.net/licmata/
http://www.spundge.com/@licmata
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