Trigonometría, ley de los cosenos, ejercicios

1. Tema:
1.2 Teorema de Pitágoras
1.3 Leyes de senos y cosenos
Conocimientos Básicos en Matemáticas y Física en la Arquitectura
M. I. Sixto Pérez Salazar
Semestre: agosto-diciembre, 2023

2. 1.2 Teorema de Pitágoras
Si: b = 4 => b2 = 16
Si: c = 3 => c2 = 9
Y : a = 5 => a2 = 25
Entonces:
b2 + c2 = a2
16 + 9 = 25

3. 1.3 Leyes de senos y cosenos

4. Ejercicio 1.
En el siguiente triángulo ¿Cuál de los lados es la hipotenusa y cuál es el
ángulo recto?
Calcular cuánto mide la hipotenusa.

5. Ejercicio 2.
Se quiere colocar un cable desde la cima de una torre de 25 metros
altura hasta un punto situado a 50 metros de la base la torre ¿Cuánto
debe medir el cable?

6. Ejercicio 3.
Una parcela de terreno cuadrado dispone de un camino de
longitud 2√2 kilómetros, segmento discontinuo de la figura.
Calcular el área total de la parcela.

7. Ejercicio 4.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 metros y sus catetos
miden “x”, y “x+2”
¿Cuánto miden los catetos?

8. Ejercicio 5.
Se desea pintar una cuadrado inscrito en una circunferencia de
radio R=3cm como se muestra en la figura:
• Calcular el área del cuadrado.

9. Ejercicio 6.
Calcular cuánto mide el cateto ”b” de un triángulo rectángulo si su otro
cateto ”a” y su hipotenusa ”h”, miden:
3 √ 2
a = --------------- m
2
√194
h = ----------------- m
6

10. Ejercicio 7.
Hallar las medidas de los lados de una vela con forma de triángulo
rectángulo, si se quiere que ésta tenga un área de 30 metros cuadrados
y que uno de sus catetos mida 5 metros, para que se pueda colocar en
el mástil.

11. Ejercicio 8.
Si el cateto de un triángulo rectángulo mide ”x” y el otro mide el doble,
obtener una fórmula para calcular la longitud de la hipotenusa en
función del cateto menor, “x”.
Utilizar la fórmula obtenida para calcular la hipotenusa cuando x=√5,
y x = 2⋅√5

12. • Ejercicio 9.
• Se tiene un rectángulo cuya base mide el doble que su altura y su
área es 12 cm2. Calcular el perímetro del rectángulo y su diagonal.

13. Ejercicio 10.
Calcular el área del triángulo rectángulo cuyos vértices son A=(1,3),
B=(3,−1) y C=(4,2).

14. 1.3 Ley de cosenos
• La ley de los cosenos tiene diferentes variaciones dependiendo en los
lados y los ángulos que consideremos. Las siguientes son las fórmulas
de la ley de cosenos de un triángulo ABC:

15. • En donde, a, b, c representan a las longitudes de los lados del
triángulo y α, β, γ representan a los ángulos del triángulo ABC que se
muestra en el siguiente diagrama.

16. La ley de los cosenos puede ser aplicada cuando
tenemos las siguientes situaciones:
• Se conocen las longitudes de dos lados del triángulo y el
ángulo entre esos lados, y se quiere encontrar la longitud del
tercer lado.
• Se conocen las longitudes de los tres lados del triángulo y se
quiere encontrar la medida de cualquier ángulo.
• También, se puede aplicar la ley de los cosenos, si es que se
tienen las longitudes de los tres lados, y se quiere encontrar la
medida de cualquier ángulo.

17. Ejercicio 1.
En un triángulo tenemos las longitudes a=8 y b=9 y el ángulo γ=50°.
Determinar la longitud del lado c usando la ley de cosenos.

18. Ejercicio 2.
En un triángulo se tienen las siguientes longitudes de sus lados: b=12 y
c=10 y el ángulo , α=35°. ¿Cuál es la longitud del lado a?

19. Ejercicio 3.
De acuerdo a la figura convencional dada en clases, para un triángulo:
¿Cuál es la medida del ángulo correspondiente al vértice A, si se tienen
como longitudes de sus lados a=7, b=8 y c=6?

20. Ejercicio 4.
• Se tienen los lados a=9, b=11 y c=10 en un triángulo, ¿cuál es la
medida del ángulo correspondiente al vértice C?

21. Ejercicios para resolver.
Aplica las diferentes fórmulas de la ley de los cosenos para resolver los
siguientes ejemplos.
1. Se conocen dos lados de un triángulo, cuyas longitudes son b=12,
c=10 y el ángulo entre ellos es de 75°. ¿Cuál es el la longitud del
tercer lado?
2. Si es que tenemos a=6, b=7, c=10 en un triángulo, ¿cuál es el valor
del ángulo α?