expresiones algebraica

1. Estudiante: Liliher González
Materia: Matemática
Prof. Eduardo

2. Barquisimeto Agosto 2023
SUMA DE EXPRESIÓN ALGEBRAICAS
En álgebra la suma es una de las operaciones fundamentales y la más básica, sirve
para sumar monomios y polinomios. La suma algebraica sirve para sumar el valor de dos
o más expresiones algebraicas. Como se trata de expresiones que están compuestas
por números, con literales y con exponentes, debemos estar atentos a las siguientes reglas:
Reglas para la sumas de monomios
La suma de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio.
Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la suma 2x + 4x, el resultado será un
monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, sin exponente).
En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo mismo
que multiplicar por x:
2x + 4x = (2+4)x = 6x
Cuando las expresiones tienen signos diferentes, se respeta el signo. Si es necesario,
escribimos la expresión entre paréntesis: (–2x) + 4x; 4x + (–2x). Aplicando la ley de los
signos, al sumar una expresión conserva su signo, positivo o negativo:
4x + (–2x) = 4x – 2x = 2x

3. En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la misma
literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la suma algebraica es
un polinomio, formado por los dos sumandos. Para distinguir la suma de su resultado,
podemos escribir los sumandos entre paréntesis:
(4x) + (3y) = 4x + 3y
(a) + (2a2
) + (3b) = a + 2a2
+ 3b
(3m) + (–6n) = 3m – 6n
Cuando en la suma hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas
literales y del mismo grado, se suman entre sí, y se escribe la suma con los demás términos:
(2a) + (–6b2
) + (–3a2
) + (–4b2
) + (7a) + (9a2
)= [(2a) + (7a)] + [(–3a2
) + (9a2
)] + [(–
6b2
) + (–4b2
)] = [9a]+[ 6a2
]+[ –10b2
] = 9a + 6a2
– 10b2
Suma de polinomios
En álgebra la suma es una de las operaciones fundamentales y la más básica, sirve
para sumar monomios y polinomios. La suma algebraica sirve para sumar el valor de dos
o más expresiones algebraicas. Como se trata de expresiones que están compuestas
por números, con literales y con exponentes, debemos estar atentos a las siguientes reglas

4. Suma de monomios:
La suma de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio.
Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la suma 2x + 4x, el resultado será un
monomio, ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, sin exponente).
En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo mismo
que multiplicar por x:
2x + 4x = (2+4)x = 6x
Cuando las expresiones tienen signos diferentes, se respeta el signo. Si es necesario,
escribimos la expresión entre paréntesis: (–2x) + 4x; 4x + (–2x). Aplicando la ley de los
signos, al sumar una expresión conserva su signo, positivo o negativo:
4x + (–2x) = 4x – 2x = 2x
En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la
misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la suma
algebraica es un polinomio, formado por los dos sumandos. Para distinguir la suma de su
resultado, podemos escribir los sumandos entre paréntesis:
(4x) + (3y) = 4x + 3y
(a) + (2a2
) + (3b) = a + 2a2
+ 3b
(3m) + (–6n) = 3m – 6n
Cuando en la suma hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas
literales y del mismo grado, se suman entre sí, y se escribe la suma con los demás términos:
(2a) + (–6b2
) + (–3a2
) + (–4b2
) + (7a) + (9a2
)= [(2a) + (7a)] + [(–3a2
) + (9a2
)] + [(–
6b2
) + (–4b2
)] = [9a]+[ 6a2
]+[ –10b2
] = 9a + 6a2
– 10b2
1. 2x + 4x
= (2 + 4)x
= 6x
Suma de polinomios

5. Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de los
diferentes términos que conforman el polinomio. Para sumar dos polinomios, podemos seguir
los siguientes pasos:
Sumaremos 3a2 + 4a + 6b – 5c – 8b2 con c + 6b2 – 3a + 5b
1. Ordenamos los polinomios en relación a sus números, sus letras y sus grados,
respetando el signo de cada término:
3a2 + 4a + 6b – 8b2 – 5c
-3a + 6b2 + 5b + c
2. Agrupamos las sumas de los términos comunes:
[3a2] + [4a – 3a] + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + [-5c + c]
2. Efectuamos las sumas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o
corchetes. Recordemos que al ser suma, cata término del polinomio conserva su signo
en el resultado:
[3a2] + [4a – 3a] + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + [-5c + c] = 3a2 + a + 11b – 2b2 + (-
4c)
Otra forma de ilustrar esto, es haciendo la suma en forma vertical, alineando los
términos comunes y realizando las operaciones:
Suma de monomios y polinomios: Como podemos deducir de lo ya explicado, para sumar un
monomio con un polinomio, seguiremos las reglas revisadas. Si existen términos comunes, el
monomio se sumará al término; si no hay términos comunes, el monomio se agrega al
polinomio como un término más:

6. Si tenemos (2x + 3x2
– 4y) + (–4x2
) Alineamos los términos comunes y realizamos la
suma:
Si tenemos (m – 2n2
+ 3p) + (4n), realizamos la suma, alineando los términos:
m – 2n2
+ 3p
4n
m +4n –2n2
+3p
Es recomendable ordenar los términos de un polinomio, para facilitar su identificación y los
cálculos de cada operación.
Resta algebraicas
La resta algebraica es una de las operaciones fundamentales en el estudio del
álgebra. Sirve para restar monomios y polinomios. Con la resta algebraica sustraemos el
valor de una expresión algebraica de otra. Por ser expresiones que están compuestas por
términos numéricos, literales, y exponentes, debemos estar atentos a las siguientes reglas:
Resta de monomios
La resta de dos monomios puede dar como resultado un monomio o un polinomio.
Cuando los factores son iguales, por ejemplo, la resta 2x – 4x, el resultado será un monomio,

7. ya que la literal es la misma y tiene el mismo grado (en este caso, 1, o sea, sin exponente).
Restaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos casos, es lo mismo que
multiplicar por x:
2x – 4x = (2 – 4)x = –2x
Cuando las expresiones tienen signos diferentes, el signo del factor que restamos
cambiará, aplicando la ley de los signos: al restar una expresión, si tiene signo negativo,
cambiará a positivo, y si tiene signo positivo, cambiará a negativo. Para no tener
confusión, escribimos los números con signo negativo, o incluso todas las expresiones, entre
paréntesis: (4x) – (–2x).:
(4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x.
Debemos recordar además, que en la resta, el orden de los factores se debe de tener en
cuenta:
(4x) – (–2x) = 4x + 2x = 6x.
(–2x) – (4x) = –2x – 4x = –6x
En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la misma
literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la resta algebraica es un
polinomio, formado por el minuendo, menos el sustraendo. Para distinguir la resta de su
resultado, escribimos minuendo y sustraendo entre paréntesis:
(4x) – (3y) = 4x – 3y
(a) – (2a2
) – (3b) = a – 2a2
– 3b
(3m) – (–6n) = 3m + 6n
Cuando en la resta hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas literales
y del mismo grado, se restan entre sí, y se escribe la resta con los demás términos:
(2a) – (–6b2
) – (–3a2
) – (–4b2
) – (7a) – (9a2
)= [(2a) – (7a)] – [(–3a2
) – (9a2
)] – [(–6b2
)
– (–4b2
)] = [–5a]–[ –10b2
]–[ –6a2
] = –5a + 12a2
+2b2
Resta de polinomios:
Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de los
términos con diferentes literales y exponentes que conforman el polinomio. Para restar dos
polinomios, podemos seguir los siguientes pasos:
Restaremos c + 6b2
–3a + 5b de 3a2
+ 4a + 6b –5c – 8b2
1. Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el signo
de cada término:

8. 4a +3a2
+ 6b – 8b2
–3a + 5b + 6b2
+ c
2. Agrupamos las restas de los términos comunes, en el orden minuendo–sustraendo:
[(4a) –(–3a)] + 3a2
+ [(6b) – (5b)] + [(– 8b2
) – (6b2
)] – c
3. Efectuamos las restas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o
corchetes. Recordemos que al ser resta, los términos del sustraendo cambian de signo:
[4a + 3a] + 3a2
+ [6b – 5b] + [– 8b2
– 6b2
] – c = 7a + 3a2
+ b – 14b2
– c
Para comprender mejor el cambio de signos en la resta, podemos hacerla en forma
vertical, colocando el minuendo en la parte de arriba, y el sustraendo en la parte de abajo:
Como estamos realizando una resta, los signos del sustraendo cambiarán, por lo que si
lo expresamos como una suma en la que todos los signos del sustraendo se invierten,
entonces quedará así y resolvemos:

9. Resta de monomios y polinomios
Como podemos deducir de lo ya explicado, para restar un monomio de un polinomio,
seguiremos las reglas revisadas. Si existen términos comunes, el monomio se restará al
término; si no hay términos comunes, el monomio se agrega al polinomio como la resta de un
término más:
Si tenemos (2x + 3x2
– 4y) – (–4x2
) Alineamos los términos comunes y realizamos la
resta:
(Recordemos que restar un número negativo equivale a sumarlo, es decir, se invierte
su signo)
Si tenemos (m – 2n2
+ 3p) – (4n), realizamos la resta, alineando los términos:

10. Es recomendable ordenar los términos de un polinomio, para facilitar su identificación y los
cálculos de cada operación.
Valor numérico de expresión algebraica
El lenguaje algebraico es necesario para pasar de ejemplos particulares a casos
general, sin embargo, en muchas ocasiones haremos el camino contrario, pasaremos de una
expresión general a un valor concreto.
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las variables
de la de dicha expresión por valores concretos y completar las operaciones. Una misma expresión
algebraica puede tener muchos valores numéricos diferentes, en función del número que se asigne a cada
una de las variables de la misma.
La única precaución necesaria es respetar el orden y las propiedades de las operaciones.
para , porque no se puede dividir entre cero. En la siguiente animación puedes
ver cómo se haría la sustitución para calcular el valor numérico de para
, y . Faltaría completar las operaciones (el resultado final es ), pero lo más
importante es que te fijes en los elementos que se añaden al hacer la sustitución: El punto del

11. producto entre el 3 y el 2 (valor de ) y los paréntesis de -1 (valor de ), que son necesarios
para indicar la multiplicación con el 2.
Multiplicaciones de expresión algebraicas
Multiplicación de dos monomios. Para esta operación se debe de aplicar la regla de
los signos, los coeficientes se multiplican y las literales cuando son iguales se escribe la
literal y se suman los exponentes, si las literales son diferentes se pone cada literal con su
correspondiente exponente.
Ejemplo:
Multiplicar 3x3
y2
por 7x4
(3x3
y2
)(7x4
)
Se realiza de la siguiente forma: los coeficientes se multiplican, el exponente de x es
la suma de los exponentes que tiene en cada factor y como y solo esta en uno de los factores
se escribe y con su propio exponente.
(3)(7)x3+4
y2

12. 21x7
y2
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Para esta operación se debe multiplicar el monomio por cada uno de los monomios
que forman al polinomio, ejemplo:
3 * (2x3
-3x2
+4x-2)
(3 * 2x3
) + (3 * -3x2
) + (3 * 4x) + (3 * -2)
6x3
-9x2
+12x-6
Multiplicación de un polinomio por otro polinomio
En esta operación debe de multiplicar cada uno de los monomios de un polinomio por
todos los monomios del otro polinomio, por ejemplo:
(2x2
-3) * (2x3
-3x2
+4x)
(2x2
*2x3
) + (2x2
*-3x2
) + (2x2
*4x) + (-3*2x3
) + (-3*-3x2
) + (-3*4x)
4x5
-6x4
+8x3
-6x3
+9x2
-12x
División de expresión algebraica
La división algebraica es la operación inversa de la multiplicación y tiene por objeto
encontrar una expresión llamada cociente, a partir de dos expresiones llamadas dividendo y
divisor.
División de dos monomios. En esta operación se vuelve aplicar la regla de los signos,
en cuanto a los demás elementos se aplican las siguientes reglas: se dividen los coeficientes,
si esto es posible, en cuanto a las literales si hay alguna que este tanto en el numerador como
en el denominador, si el exponente del numerador es el mayor se pone la literal en el

13. numerador y al exponente se le resta el exponente de la literal del denominador, en caso
contrario se pone la literal en el denominador y a su exponente se le resta el del numerador.
Ejemplo:
Dividir 9x3
y2
entre 3x2
w
9x3
y2
/ 3x2
w
9x3
y2
/ 3x2
w = 3xy2
/ w
División de un polinomio entre un monomio
En esta operación se distribuye el polinomio sobre el monomio, como si fueran una
fracción. Por ejemplo:
32x2
+20x-12x3
entre 4x
Se coloca el monomio como denominador de el polinomio
32x2
+20x-12x3
/ 4x

14. Se separa el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno
dividido por el monomio
(32x2
/ 4x) + (20x / 4x) - (12x3
/ 4x)
Se realizan las divisiones correspondientes entre monomios
8x+5-3x2
División entre polinomios
Es muy parecida a la división algebraica, y se deben de seguir los siguientes pasos:
 Se deben de ordenar los polinomios ya sea descendente o ascendente por medio de
una misma letra, en caso de que el polinomio no este completo se dejan los espacios
correspondientes.
 El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo
entre el primer miembro del divisor.
 Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.
 El segundo termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del
dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del
divisor.
 Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se
coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.
 Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo
primer termino no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.
Por ejemplo:

15. Dividir x4
+3+x-9x2
entre x+3
Productos notables de expresión algebraica
Los productos notables o también conocidos como identidades notables, son
un producto o expresiones algebraicas, que cumplen con ciertas reglas, que se conocen
como reglas fijas, y donde el resultado obtenido lo podemos escribir con solo hacer una
inspección, sin necesidad de verificar la multiplicación o recurrir a varios pasos.
Los productos notables, se puede decir que son el resultado de hacer
una factorización, formada de polinomios que poseen varios términos.
En los polinomios, son de gran ayuda, ya que con el uso de sus reglas y
fórmulas, permiten que el proceso sea mucho más corto y que podamos expresar un
polinomio directamente sin necesidad de ir probando cada término.
Para qué se usan los productos notables?
Los productos notables los podemos usar para realizar operaciones algebraicas
de una manera más rápida, sin necesidad de hacer una comprobación de la
multiplicación realizada.
En otros casos son utilizados porque ayudan al encontrar: medidas, o en el
cálculo de área, superficies, e intensidades en el área de la ingeniería.

16. Tipos de productos notables
Existe varios tipos de productos notables o identidades notables, cada uno con su
característica particular, sus diferentes formas de resolver y con distintas reglas que
cumplir, entre estos podemos mencionar los siguientes:
1. Binomio al cuadrado.
2. Binomio al cubo.
3. Binomios conjugados.
4. Binomios con un termino común.
5. Trinomio al cuadrado
6. Trinomio al cubo
Fórmulas de productos notables
Existen diversas fórmulas todo dependerá del tipo de factorización que se desee
realizar, entre las mas importantes podemos mencionar:
Fórmulas de binomio al cuadrado
En este producto notable podemos encontrarnos con dos fórmulas:
Fórmula de suma de un binomio al cuadrado
Fórmula de resta de un binomio al cuadrado
Fórmulas de binomio al cubo
En este producto notable podemos encontrarnos con dos fórmulas:
Fórmula de suma de un binomio al cubo
Fórmula de resta de un binomio al cubo
Las Fórmulas de binomios conjugados
Fórmulas de binomios con un término común

17. La Formula de un trinomio al cuadrado
Con las dadas se pueden formar otras cambiándole los signos a los términos;
pero el procedimiento es el mismo.
Formula de trinomio al cubo
Al igual que la anterior, podemos formar varias formulas, con solo cambiar los
signos de los términos, pero el procedimiento es el mismo; los negativos colocarlos
entre paréntesis y no olvidar multiplicar los signos al momento de resolver.
Ejercicios de productos notables, 12 ejemplos
resueltos
1.- por suma de un binomio al cuadrado.
2.- por resta de un binomio al cuadrado.
3.-
por suma de un
binomio al cubo.

18. 4.-
por resta de un
binomio al cubo.
5.- por binomios conjugados.
6.- por binomios
conjugados.
7.- por binomios conjugados.
8.- por binomio con un término común.
9.- por binomio con un término común.
10.- por binomio con un término común.
11.-
por trinomio al cuadrado.
12.-
por trinomio al
cubo
Factorización:
La factorización es el proceso algebraico por medio del cual se transforma una suma
o resta de términos algebraicos en un producto algebraico.

19. REGLAS PARA OBTENER EL FACTOR COMÚN DE UN
POLINOMIO
1.- Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes
2.-Se identifica las literales con menor exponente que se repitan en cada uno de los
términos algebraicos del polinomio a factorizar.

20. FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN
En la factorización por agrupación, no todos los elementos del polinomio comparten
un factor común, por lo que se deben identificar primero los grupos de elementos que si
comparten términos comunes y después factorizar cada grupo de elementos.

21. DIFERENCIA DE CUADRADOS
La diferencia de cuadrados tiene la forma de x2
– y2
y su factorización es el producto
de binomios conjugados:
TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO
RESULTADO:
Es un binomio al cuadrado Los productos notables son aquellos productos de
expresiones algebraicas que se pueden resolver con la ayuda de reglas generales y evitar que
se hagan todas las operaciones de desarrollo.
Los productos notables más comunes son:
1.-Binomio al cuadrado (x+ y)2
2.-Binomios conjugados (x + y) (x – y)
3.-Binomios con termino común (x + a) (x + b)

22. 4.-Binomia al cubo (x + b)3
BINOMIO AL CUADRADO: (x+ y)2
RESULTADO:
Trinomio al cuadrado perfecto
REGLAS PARA DESARROLLAR EL BINOMIO AL CUADRADO:
1.-Se eleva al cuadrado el primer término del binomio
2.-Se suma o se resta el doble producto del primer término por el segundo
3.-Se suma el cuadrado del segundo término del binomio
Ejemplos de binomio al cuadrado:

23. BINOMIOS CONJUGADOS (x + y) (x – y):
RESULTADO:
Diferencia de cuadrados (x2
– y2
)
REGLAS PARA DESARROLLAR LOS BINOMIOS CONJUGADOS:
1.-Se eleva al cuadrado el término que no cambia de signo
2.-Se resta el cuadrado del término que cambia de signo

24. Ejemplos de binomios conjugados:
BINOMIOS CON TERMINO COMÚN (x + a) (x + b)
RESULTADO:
Trinomio de la forma: x2
+ (a + b)x + ab

25. REGLAS PARA DESARROLLAR BINOMIOS CON TÉRMINO
COMÚN:
1.-Se eleva al cuadrado el termino común
2.-Se suman algebraicamente los términos no comunes y se multiplican por el término
común
3.-Se suma el producto algebraico de los dos términos no comunes
Ejemplos de binomios con término común:
BINOMIO AL CUBO (x + b)3

26. RESULTADO:
Polinomio de la forma: x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
REGLAS PARA DESARROLLAR UN TRINOMIO AL CUBO:
1.-El cubo el primer término
2.-Mas el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo
3.-Mas el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo termino
4.-Mas el cubo del segundo término
Ejemplos de binomio al cubo:

27. FACTORIZACIÓN
La factorización es el proceso algebraico por medio del cual se transforma una suma
o resta de términos algebraicos en un producto algebraico.
También se puede entender como el proceso inverso del desarrollo de productos
notables.
FACTOR COMÚN
REGLAS PARA OBTENER EL FACTOR COMÚN DE UN
POLINOMIO
1.- Se obtiene el máximo común divisor de los coeficientes
2.-Se identifica las literales con menor exponente que se repitan en cada uno de los
términos algebraicos del polinomio a factorizar.
Ejemplos de factor común en un polinomio:

28. FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN
En la factorización por agrupación, no todos los elementos del polinomio comparten
un factor común, por lo que se deben identificar primero los grupos de elementos que si
comparten términos comunes y después factorizar cada grupo de elementos.
Ejemplos de factorización por agrupación:

29. DIFERENCIA DE CUADRADOS
La diferencia de cuadrados tiene la forma de x2
– y2
y su factorización es el producto
de binomios conjugados:
Ejemplos de diferencia de cuadrados:
TRINOMIO AL CUADRADO PERFECTO
RESULTADO:
Es un binomio al cuadrado

30. REGLAS PARA FACTORIZAR UN TRINOMIO AL CUADRADO
PERFECTO
1.-Se ordenan los términos del trinomio en orden descendente a una de las literales, de
forma que los extremos sean expresiones que tengan raíz cuadrada exacta
2.-Se obtiene la raíz del primer y tercer termino
3.-Para comprobar que haya sido un trinomio al cuadrado “perfecto”, se realiza el
doble producto de los términos obtenidos en el paso dos y debe ser igual al 2do término del
trinomio.
4.-El signo del binomio que dio resultado es el mismo que el signo del 2do término
del trinomio original
SUMA Y DIFERENCIA DE CUBO

31. REGLAS PARA FACTORIZAR UNA SUMA O DIFERENCIA DE
CUBOS:
1.-Se obtienen las raíces de cada uno de los términos
2.-El primer término es un binomio igual a la suma o resta de estas raíces obtenidas
3.-El segundo término es un trinomio igual:
1er termino: Igual al cuadrado de la raíz del primer término del binomio
2do término: Igual al producto de las raíces del binomio con signo opuesto.
3er término: Igual al cuadrado de la raíz del segundo término del binomio