Funciones

1. Sección 1.8
Funciones
Tomado de Matemáticas Discretas y sus Aplicaciones. Rosen
Esteban Andrés Díaz Mina

2.  El concepto de una función es importante en
matemáticas discretas. Las funciones se usan para
representar cuanto tiempo tarda un ordenador en
resolver un problema de un tamaño determinado.
Las funciones recursivas, que son funciones que se
definen en términos de ellas mismas, se utilizan
frecuentemente en ciencias de la computación.

3. Función
 Definición 1
Sean A y B conjuntos. Una función f de A a B es una
asignación de exactamente un elemento de B a cada
elemento de A. Escribimos f(a)=b, si b es el único
elemento de B asignado por la función f al elemento a
de A. Si f es una función de A a B, escribimos f: A→B.

4. Función
Definición 2
 Si f es una función de A a B, decimos que A es el
dominio de f y B es el codominio de f.
 Si f(a)=b, decimos que b es la imagen de a y a es
una pre-imagen de b. El rango de f es el conjunto
de todas las imágenes de elementos de A. también,
si f es una función de A a B, decimos que f mapea
A a B.

5. Composición de Funciones
 Definición 3
Sea g una función desde
el conjunto A al conjunto
B y sea f una función desde
el conjunto B al conjunto C.
 La composición de las funciones f y g, denotado
por f o g, está definida por (f o g)(a)= f (g(a)).
 Note que la composición f o g no puede ser definida
a menos que el rango de g sea un subconjunto de el
dominio de f.

6. Composición de Funciones
Ex1. Sea g la función desde {a, b, c} a si mismo, tal
que g(a)=b, g(b)=c y g(c)=a.
Sea f la función desde el conjunto {a, b, c} al conjunto
{1,2,3}, tal que f(a)=3, f(b)=2 y f(c)=1.
¿Cuál es la composición de f y g, y cual es la
composición de g y f?
Sol. La composición f o g es definida por
(f o g)(a)= f (g(a))= f (b)=2
(f o g)(b)= f (g(b))= f (c)=1
(f o g)(c)= f (g(c))= f (a)=3.
Sin embargo, g o f no puede ser definida porque el
rango de f no es un subconjunto del dominio de g.

7. Composición de Funciones
Ex2. Sean f y g funciones de Z→Z definidas por f(x)=2x+3
y g(x)=3x+2.
¿Cuál es la composición de f y g ?
¿Cuál es la composición de g y f ?
Sol.
La composición f o g es definida por
(f o g)(x)= f (g(x))= f (3x+2)=2(3x+2)+3=6x+7
La composición g o f es definida por
(g o f)(x)= g (f(x))= g(2x+3)=3(2x+3)+2=6x+11
Nota: del anterior ejercicio se puede verificar que aunque
f o g y g o f están definidas, estas no son iguales, de ahí
que las leyes conmutativas no se mantienen para la
composición de funciones.

8. Funciones Especiales
Definición 4
 La función piso asigna al numero real x el entero
más grande que es menor o igual a x. El valor de la
función piso en x es denotado por 𝑥 .
 La función techo asigna al numero real x el entero
más pequeño que es mayor o igual a x. El valor de
la función techo en x es denotado por 𝑥 .

9. Funciones Especiales
 Ex1. Los datos almacenados en un HD o
transmitidos sobre una red de datos son
usualmente representados como una cadena de
bytes. Cada byte esta formado por 8 bits. ¿Cuántos
bytes se requieren para codificar 100 bits de datos?
 Sol. La respuesta a esta pregunta se limita a
determinar el entero más pequeño que es mayor o
igual que el cociente de 100 es dividido por 8 (el
número de bits en un byte).
Por lo tanto, 100/8 = 13 bytes.

10. Funciones Especiales
 Ex2: En un protocolo de transferencia dado, los datos
son organizados en celdas de 53 bytes. ¿Cuántas celdas
pueden ser transmitidas en 1 minuto sobre un canal
que trasmite datos a una velocidad de 500 kbs?.
 Sol. Es claro en este canal se pueden transmitir
500.000*60=30.000.000 bits por minuto. Igualmente
las celdas en dicho protocolo albergan 53*8=424 bits. La
respuesta a esta pregunta consiste en hallar el entero
más grande que no excede el cociente cuando
30.000.000 es dividido entre 424. Por lo tanto,
30.000.000/424 =70.754 celdas que pueden ser
transmitidas sobre dicho canal en un minuto.