Calculo_integral_clase1.pdf

1. Integral definida
Facultad de Ingeniería Civil - UNI
Departamento de Ciencias Básicas
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella
ftorrese@uni.edu.pe
28 de agosto de 2023

2. La integral
definida
Contenido
1 La integral definida
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 2/15

3. La integral
definida
La integral definida
Definición. 1
Una partición P del intervalo [a; b] es un conjunto finito de puntos, dado por
P = {x0, x1, . . . , xn}
tal que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 3/15

4. La integral
definida
La integral definida
Definición. 1
Una partición P del intervalo [a; b] es un conjunto finito de puntos, dado por
P = {x0, x1, . . . , xn}
tal que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.
Esta partición determina una división del intervalo [a; b] en n subintervalos
[xk; xk−1], k = 1, . . . , n.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 3/15

5. La integral
definida
La integral definida
Definición. 1
Una partición P del intervalo [a; b] es un conjunto finito de puntos, dado por
P = {x0, x1, . . . , xn}
tal que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.
Esta partición determina una división del intervalo [a; b] en n subintervalos
[xk; xk−1], k = 1, . . . , n.A la longitud de cada subintervalo se le denota por
∆xk = xk − xk−1, k = 1, . . . , n.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 3/15

6. La integral
definida
La integral definida
Definición. 1
Una partición P del intervalo [a; b] es un conjunto finito de puntos, dado por
P = {x0, x1, . . . , xn}
tal que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.
Esta partición determina una división del intervalo [a; b] en n subintervalos
[xk; xk−1], k = 1, . . . , n.A la longitud de cada subintervalo se le denota por
∆xk = xk − xk−1, k = 1, . . . , n.
Cuando estas longitudes tienen la misma medida
∆xk = xk − xk−1 =
b − a
n
, para todo k = 1, . . . , n
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 3/15

7. La integral
definida
La integral definida
Definición. 1
Una partición P del intervalo [a; b] es un conjunto finito de puntos, dado por
P = {x0, x1, . . . , xn}
tal que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.
Esta partición determina una división del intervalo [a; b] en n subintervalos
[xk; xk−1], k = 1, . . . , n.A la longitud de cada subintervalo se le denota por
∆xk = xk − xk−1, k = 1, . . . , n.
Cuando estas longitudes tienen la misma medida
∆xk = xk − xk−1 =
b − a
n
, para todo k = 1, . . . , n
se dice que la partición es regular, y en tal caso:
xk = a + k
b − a
n
, k = 1, . . . , n.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 3/15

8. La integral
definida
La integral definida
Definición. 2
La norma de la partición P denotada como kPk, se define como
kPk = máx{∆xk}, para k = 1, . . . , n
donde ∆xk = xk − xk−1.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 4/15

9. La integral
definida
La integral definida
Definición. 2
La norma de la partición P denotada como kPk, se define como
kPk = máx{∆xk}, para k = 1, . . . , n
donde ∆xk = xk − xk−1.
La norma de una partición es una medida de la finura de la partición.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 4/15

10. La integral
definida
La integral definida
Ejemplo 1
Sea I = [0; 5], entonces
P =
n
0,
1
4
, 1,
3
2
, 2, 3,
9
2
, 5
o
es una partición, entonces la norma de la partición es kPk =
3
2
.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 5/15

11. La integral
definida
La integral definida
Ejemplo 1
Sea I = [0; 5], entonces
P =
n
0,
1
4
, 1,
3
2
, 2, 3,
9
2
, 5
o
es una partición, entonces la norma de la partición es kPk =
3
2
.
Ejemplo 2
Sea I = [2; 8], entonces
P1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
P2 = {1, 2, 4, 5, 7, 8}
son dos particiones, entonces la norma de las particiones son
kP1k = 1
kP2k = 2.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 5/15

12. La integral
definida
La integral definida
Definición. 3
Supongamos que f está acotada en [a; b] y que P = {x0, x1, . . . , xn} es una partición de
[a; b].
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 6/15

13. La integral
definida
La integral definida
Definición. 3
Supongamos que f está acotada en [a; b] y que P = {x0, x1, . . . , xn} es una partición de
[a; b].Sea
mi = ı́nf{f (x) : x ∈ [xi−1; xi]}
Mi = sup{f (x) : x ∈ [xi−1; xi]}.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 6/15

14. La integral
definida
La integral definida
Definición. 3
Supongamos que f está acotada en [a; b] y que P = {x0, x1, . . . , xn} es una partición de
[a; b].Sea
mi = ı́nf{f (x) : x ∈ [xi−1; xi]}
Mi = sup{f (x) : x ∈ [xi−1; xi]}.
La suma inferior de f respecto a P, representada mediante L(f , P),
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 6/15

15. La integral
definida
La integral definida
Definición. 3
Supongamos que f está acotada en [a; b] y que P = {x0, x1, . . . , xn} es una partición de
[a; b].Sea
mi = ı́nf{f (x) : x ∈ [xi−1; xi]}
Mi = sup{f (x) : x ∈ [xi−1; xi]}.
La suma inferior de f respecto a P, representada mediante L(f , P),se define como
L(f , P) =
n
X
i=1
mi(xi − xi−1).
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 6/15

16. La integral
definida
La integral definida
Definición. 3
Supongamos que f está acotada en [a; b] y que P = {x0, x1, . . . , xn} es una partición de
[a; b].Sea
mi = ı́nf{f (x) : x ∈ [xi−1; xi]}
Mi = sup{f (x) : x ∈ [xi−1; xi]}.
La suma inferior de f respecto a P, representada mediante L(f , P),se define como
L(f , P) =
n
X
i=1
mi(xi − xi−1).
La suma superior de f respecto a P, representada mediante U(f , P),
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 6/15

17. La integral
definida
La integral definida
Definición. 3
Supongamos que f está acotada en [a; b] y que P = {x0, x1, . . . , xn} es una partición de
[a; b].Sea
mi = ı́nf{f (x) : x ∈ [xi−1; xi]}
Mi = sup{f (x) : x ∈ [xi−1; xi]}.
La suma inferior de f respecto a P, representada mediante L(f , P),se define como
L(f , P) =
n
X
i=1
mi(xi − xi−1).
La suma superior de f respecto a P, representada mediante U(f , P),se define como
U(f , P) =
n
X
i=1
Mi(xi − xi−1).
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 6/15

18. La integral
definida
La integral definida
La suma superior
U(f , P) = M1(f )(x1 −x0)+M2(f )(x2 −x1)+· · ·+Mi(f )(xi −xi−1)+· · ·+Mn(f )(xn −xn−1)
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 7/15

19. La integral
definida
La integral definida
La suma superior
U(f , P) = M1(f )(x1 −x0)+M2(f )(x2 −x1)+· · ·+Mi(f )(xi −xi−1)+· · ·+Mn(f )(xn −xn−1)
es la suma de las áreas de los rectángulos exteriores como se muestra en la siguiente
figura.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 7/15

20. La integral
definida
La integral definida
La suma superior
U(f , P) = M1(f )(x1 −x0)+M2(f )(x2 −x1)+· · ·+Mi(f )(xi −xi−1)+· · ·+Mn(f )(xn −xn−1)
es la suma de las áreas de los rectángulos exteriores como se muestra en la siguiente
figura.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 7/15

21. La integral
definida
La integral definida
La suma inferior
L(f , P) = m1(f )(x1 −x0)+m2(f )(x2 −x1)+· · ·+mi(f )(xi −xi−1)+· · ·+mn(f )(xn −xn−1)
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 8/15

22. La integral
definida
La integral definida
La suma inferior
L(f , P) = m1(f )(x1 −x0)+m2(f )(x2 −x1)+· · ·+mi(f )(xi −xi−1)+· · ·+mn(f )(xn −xn−1)
es la suma de las áreas de los rectángulos interiores como se muestra en la siguiente
figura.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 8/15

23. La integral
definida
La integral definida
La suma inferior
L(f , P) = m1(f )(x1 −x0)+m2(f )(x2 −x1)+· · ·+mi(f )(xi −xi−1)+· · ·+mn(f )(xn −xn−1)
es la suma de las áreas de los rectángulos interiores como se muestra en la siguiente
figura.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 8/15

24. La integral
definida
La integral definida
Como f está acotada en [a; b], es decir, existen m y M tales que m ≤ f (x) ≤ M para
todo x ∈ [a; b].
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 9/15

25. La integral
definida
La integral definida
Como f está acotada en [a; b], es decir, existen m y M tales que m ≤ f (x) ≤ M para
todo x ∈ [a; b].Además sabemos que Mi(f ) y mi(f ) existen para todo i = 1, . . . , n y
m ≤ mi(f ) ≤ Mi(f ) ≤ M.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 9/15

26. La integral
definida
La integral definida
Como f está acotada en [a; b], es decir, existen m y M tales que m ≤ f (x) ≤ M para
todo x ∈ [a; b].Además sabemos que Mi(f ) y mi(f ) existen para todo i = 1, . . . , n y
m ≤ mi(f ) ≤ Mi(f ) ≤ M.
De esto,
m(b−a) =
n
X
i=1
m(xi−xi−1) ≤
n
X
i=1
mi(xi−xi−1) ≤
n
X
i=1
Mi(xi−xi−1) ≤
n
X
i=1
M(xi−xi−1) =
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 9/15

27. La integral
definida
La integral definida
Como f está acotada en [a; b], es decir, existen m y M tales que m ≤ f (x) ≤ M para
todo x ∈ [a; b].Además sabemos que Mi(f ) y mi(f ) existen para todo i = 1, . . . , n y
m ≤ mi(f ) ≤ Mi(f ) ≤ M.
De esto,
m(b−a) =
n
X
i=1
m(xi−xi−1) ≤
n
X
i=1
mi(xi−xi−1) ≤
n
X
i=1
Mi(xi−xi−1) ≤
n
X
i=1
M(xi−xi−1) =
o
m(b − a) ≤ L(f , P) ≤ U(f , P) ≤ M(b − a). (1)
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 9/15

28. La integral
definida
La integral definida
Como f está acotada en [a; b], es decir, existen m y M tales que m ≤ f (x) ≤ M para
todo x ∈ [a; b].Además sabemos que Mi(f ) y mi(f ) existen para todo i = 1, . . . , n y
m ≤ mi(f ) ≤ Mi(f ) ≤ M.
De esto,
m(b−a) =
n
X
i=1
m(xi−xi−1) ≤
n
X
i=1
mi(xi−xi−1) ≤
n
X
i=1
Mi(xi−xi−1) ≤
n
X
i=1
M(xi−xi−1) =
o
m(b − a) ≤ L(f , P) ≤ U(f , P) ≤ M(b − a). (1)
Teorema. 1
Si P ⊂ P0, entonces L(f , P) ≤ L(f , P0) y U(f , P0) ≤ U(f , P).
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 9/15

29. La integral
definida
La integral definida
Como f está acotada en [a; b], es decir, existen m y M tales que m ≤ f (x) ≤ M para
todo x ∈ [a; b].Además sabemos que Mi(f ) y mi(f ) existen para todo i = 1, . . . , n y
m ≤ mi(f ) ≤ Mi(f ) ≤ M.
De esto,
m(b−a) =
n
X
i=1
m(xi−xi−1) ≤
n
X
i=1
mi(xi−xi−1) ≤
n
X
i=1
Mi(xi−xi−1) ≤
n
X
i=1
M(xi−xi−1) =
o
m(b − a) ≤ L(f , P) ≤ U(f , P) ≤ M(b − a). (1)
Teorema. 1
Si P ⊂ P0, entonces L(f , P) ≤ L(f , P0) y U(f , P0) ≤ U(f , P).
Teorema. 2
Sean P1 y P2 dos particiones de [a; b], y sea f una función acotada en [a; b]. Entonces
L(f , P1) ≤ U(f , P2).
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 9/15

30. La integral
definida
La integral definida
Sea P el conjunto de todas las particiones del intervalo [a; b].
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 10/15

31. La integral
definida
La integral definida
Sea P el conjunto de todas las particiones del intervalo [a; b].La desigualdad (1) se
verifica para toda partición P ∈ P y nos dice que el conjunto de números
{L(f , P) : P ∈ P} tiene una cota superior; M(b − a).
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 10/15

32. La integral
definida
La integral definida
Sea P el conjunto de todas las particiones del intervalo [a; b].La desigualdad (1) se
verifica para toda partición P ∈ P y nos dice que el conjunto de números
{L(f , P) : P ∈ P} tiene una cota superior; M(b − a).El conjunto {L(f , P) : P ∈ P}
tiene, por tanto, un supremo.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 10/15

33. La integral
definida
La integral definida
Sea P el conjunto de todas las particiones del intervalo [a; b].La desigualdad (1) se
verifica para toda partición P ∈ P y nos dice que el conjunto de números
{L(f , P) : P ∈ P} tiene una cota superior; M(b − a).El conjunto {L(f , P) : P ∈ P}
tiene, por tanto, un supremo.Análogamente, el conjunto {U(f , P) : P ∈ P} tiene una
cota inferior; m(b − a),
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 10/15

34. La integral
definida
La integral definida
Sea P el conjunto de todas las particiones del intervalo [a; b].La desigualdad (1) se
verifica para toda partición P ∈ P y nos dice que el conjunto de números
{L(f , P) : P ∈ P} tiene una cota superior; M(b − a).El conjunto {L(f , P) : P ∈ P}
tiene, por tanto, un supremo.Análogamente, el conjunto {U(f , P) : P ∈ P} tiene una
cota inferior; m(b − a),luego {U(f , P) : P ∈ P} tiene un ínfimo.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 10/15

35. La integral
definida
La integral definida
Sea P el conjunto de todas las particiones del intervalo [a; b].La desigualdad (1) se
verifica para toda partición P ∈ P y nos dice que el conjunto de números
{L(f , P) : P ∈ P} tiene una cota superior; M(b − a).El conjunto {L(f , P) : P ∈ P}
tiene, por tanto, un supremo.Análogamente, el conjunto {U(f , P) : P ∈ P} tiene una
cota inferior; m(b − a),luego {U(f , P) : P ∈ P} tiene un ínfimo.
Definición. 4
Definimos
Z b
a
f = sup{L(f , P) : P ∈ P}
y
Z b
a
f = ı́nf{U(f , P) : P ∈ P}.
Z b
a
f se llama integral inferior de f desde a a b, y
Z b
a
f se llama integral superior
de f desde a a b
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 10/15

36. La integral
definida
La integral definida
Lema. 1
Si f está acotada sobre [a; b] y m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a; b], entonces
m(b − a) ≤
Z b
a
f ≤
Z b
a
f ≤ M(b − a).
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 11/15

37. La integral
definida
La integral definida
Lema. 1
Si f está acotada sobre [a; b] y m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a; b], entonces
m(b − a) ≤
Z b
a
f ≤
Z b
a
f ≤ M(b − a).
Ejemplo 3
Asumiendo que f (x) =
1
x
es integrable sobre [1; 4], aproxime el valor de
Z 4
1
1
x
dx.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 11/15

38. La integral
definida
La integral definida
Como
L(f , P)f ≤
Z b
a
f ≤ U(f , P),
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 12/15

39. La integral
definida
La integral definida
Como
L(f , P)f ≤
Z b
a
f ≤ U(f , P),
entonces
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 12/15

40. La integral
definida
La integral definida
Como
L(f , P)f ≤
Z b
a
f ≤ U(f , P),
entonces
1
2
(L(f , P) − U(f , P)) ≤
Z b
a
f (x)dx −
1
2
(L(f , P) + U(f , P)) ≤
1
2
(U(f , P) − L(f , P)),
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 12/15

41. La integral
definida
La integral definida
Como
L(f , P)f ≤
Z b
a
f ≤ U(f , P),
entonces
1
2
(L(f , P) − U(f , P)) ≤
Z b
a
f (x)dx −
1
2
(L(f , P) + U(f , P)) ≤
1
2
(U(f , P) − L(f , P)),
se ve que
Z b
a
f (x)dx −
1
2
(L(f , P) + U(f , P)) ≤
1
2
(U(f , P) − L(f , P)).
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 12/15

42. La integral
definida
La integral definida
Como
L(f , P)f ≤
Z b
a
f ≤ U(f , P),
entonces
1
2
(L(f , P) − U(f , P)) ≤
Z b
a
f (x)dx −
1
2
(L(f , P) + U(f , P)) ≤
1
2
(U(f , P) − L(f , P)),
se ve que
Z b
a
f (x)dx −
1
2
(L(f , P) + U(f , P)) ≤
1
2
(U(f , P) − L(f , P)).
El número
1
2
(U(f , P) − L(f , P)) es una cota superior para el error cometido al
aproximar el valor de la integral por
1
2
(L(f , P) + U(f , P)).
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 12/15

43. La integral
definida
La integral definida
Como
L(f , P)f ≤
Z b
a
f ≤ U(f , P),
entonces
1
2
(L(f , P) − U(f , P)) ≤
Z b
a
f (x)dx −
1
2
(L(f , P) + U(f , P)) ≤
1
2
(U(f , P) − L(f , P)),
se ve que
Z b
a
f (x)dx −
1
2
(L(f , P) + U(f , P)) ≤
1
2
(U(f , P) − L(f , P)).
El número
1
2
(U(f , P) − L(f , P)) es una cota superior para el error cometido al
aproximar el valor de la integral por
1
2
(L(f , P) + U(f , P)).
Ejemplo 4
Si f es integrable sobre [0; 9], demuestre que
0 ≤
Z 9
0
2
√
x
1 + x
dx ≤ 9.
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 12/15

44. La integral
definida
La integral definida
Teorema. 3
Una función acotada f es integrable sobre [a; b] si y solo si para cada 0 hay una
partición P con la propiedad de que U(f , P) − L(f , P) .
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 13/15

45. La integral
definida
La integral definida
Teorema. 3
Una función acotada f es integrable sobre [a; b] si y solo si para cada 0 hay una
partición P con la propiedad de que U(f , P) − L(f , P) .
Ejemplo 5
Demuestre que la función f definida por
f (x) =
n
3, si x ∈ I
2, si x ∈ Q
no es integrable en ningún intervalo [a; b].
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 13/15

46. La integral
definida
La integral definida
Teorema. 4
Si f es no decreciente (o no creciente) sobre [a; b], entonces f es integrable sobre [a; b].
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 14/15

47. La integral
definida
La integral definida
Teorema. 4
Si f es no decreciente (o no creciente) sobre [a; b], entonces f es integrable sobre [a; b].
Teorema. 5
Si f es diferenciable sobre [a; b] y si |f 0(x)| ≤ K para todo x ∈ [a; b], entonces
1 Para toda partición P de [a; b],
U(f , P) − L(f , P) ≤ K|P|(b − a).
2 f es integrable sobre [a; b].
3
Z b
a
f (x)dx −
1
2
(L(f , P) + U(f , P)) ≤
1
2
K|P|(b − a).
Prof. M. Sc. Felipe Torres Estrella Integral definida 28 de agosto de 2023 14/15