linea de tiempo-los problemas de la fundamentación matemática, a lo largo de la historia

3. Línea de Tiempo
Grecia 1200 a.C. hasta el 146 a.C.
Inicia la Edad Oscura y
termina con la Invasión
Dórica y la subsecuente
Batalla de Corinto en la
que el imperio romano
vence a Grecia
Los trabajos de Tales,
Pitágoras, Euclides, Apolonio
y sobre todo Arquímedes.
El universo podía ser
explicado con los
números naturales y
racionales.

4. Línea de Tiempo
Crisis de la escuela Pitagórica mediados del siglo VI a. C.
Pensadores griegos
reflexionaron en el problema
del infinito, que es
precisamente a donde habían
llegado los pitagóricos.
Dos metodologías o
aproximaciones en
la construcción
matemática
soportan su
fundamento
1. La deducción
lógica y la
reducción a
primeros principios
2. Métodos
inductivos y
heurísticos

5. Línea de Tiempo
Matemáticas en la India 3.000 – 2.600 a. C.
Un sistema de notación
numérico alfabético
Reglas de
operaciones
en aritmética
trigonometría
Trata procedimientos
para resolver ecuaciones
simples y cuadráticas
Matemáticas védicas
• Jainista y
Bakhshali.
• El periodo clásico
• La escuela de
Kerala
cálculo
infinitesimal
Aproximaciones racionales
a funciones trigonométricas
No parece haber una
reflexión sobre la
naturaleza del área
o su fundamento
epistemológico, sino,
solo, procedimental

6. Línea de Tiempo
Matemáticas Árabes Siglo Octavo
Al- Khwarizmi - Ibn Qurra -
Omar Khayyam
Su desarrollo
intelectual se ve
posibilitado por la
convergencia de
múltiples legados
culturales
Los árabes introdujeron y
mejoraron los símbolos
del sistema numérico
hindú y la notación
posicional.
Las razones de
magnitudes,
conmensurables o
inconmensurables,
podían ser llamadas
números.
Aunque conocían los números
negativos, se negaron a usarlos.
Una muestra de la fuerte influencia
cultural sobre el desarrollo de la
matemática

7. Línea de Tiempo
La Edad Media
Las debilidades de una
geometría basada
estrictamente en criterios
deductivos reduccionistas
Ausencia de una
vinculación con el álgebra
y la aritmética
• Leonardo de Pisa (Fibonacci)
(sistemas numéricos, álgebra,
trigonometría, geometría…)
• Robert Grosseteste (geometría,
ópticas y astronomía, el método
experimental)
• Anicius Boethus (Boecio) (sus
trabajos y traducciones dieron
sustento a la lógica del siglo XII
Visiones ideológicas y filosóficas
Una notación bastante difícil que
limito el desarrollo de la aritmética
La necesidad de nuevos métodos

8. Línea de Tiempo
El Renacimiento
La navegación impulsa
la astronomía
Se da un primer impulso
a la geometría analítica
Las tablas logarítmicas
muestra incursión en el
terreno del continuo y
pretenden la
trigonometría esférica
Una época de transición
en el desarrollo de la
matemática
El álgebra empieza a
independizarse de la
geometría

9. Línea de Tiempo
El problema de los fundamentos
Siglo XVII y XVIII
Ideas del cálculo
infinitesimal
la geometría analítica
la velocidad
con que se
dieron estos
avances
descuido en
el rigor de las
ideas
Newton,
cinemática y
velocidades Leibniz,
infinitésimos
Lagrange,
series
infinitas
Incompatibles con el
modelo lógico de la
geometría griega

10. Línea de Tiempo
Matemática Siglo XIX
Weierstrass
Sus trabajos en los
fundamentos lógicos del
cálculo diferencial e integral
brindan criterios en la
construcción matemática, con
énfasis en los conceptos de
función, variable, límite, con
un carácter esencialmente
aritmético y lógico
El análisis
Precisa la idea
de función
(derivables,
integrales,
continuas)
Los números
reales
Llegando a
la idea de
límites
El álgebra
Cimientos de
la teoría de
grupos, al
potenciarse su
abstracción
La lógica
La lógica usada
dejaba espacios
a la intuición.
Aparecen Las
álgebras de
Boole
La geometría
Cuestionamiento
s al 5º postulado.
La incapacidad
de fundamentar
el análisis sobre
esta.
La aritmética, el
álgebra, la lógica
abstracta se
postulan para
soportar la
matemática

11. Línea de Tiempo
La fundamentación del cálculo Siglo XIX
La búsqueda por eliminar la
referencia geométrica e intuitiva
La fundamentación del cálculo
llega con la construcción o la
validación de los números reales.
• La aritmética y el álgebra,
por encima de la
geometría.
• Potenciar la deducción
lógica en los fundamentos
• Se planteó un
reduccionismo de
conceptos
Intuicionismo
Formalismo
Logicismo

12. Línea de Tiempo
La fundamentación de la Matemática Siglo XIX
El logicismo
El intuicionismo
El Formalismo
La evidencia lógica
como fundamento
Las paradojas
Sistemas formales en
búsqueda de la
certeza
Garantizar la
consistencia

13. Línea de Tiempo
Teorema de Gödel
Las matemáticas no
pueden ser
formalizadas de
manera absoluta, y
además, en las
partes formalizables
no es posible
garantizar la
consistencia
Gentzen probó la
consistencia para
los enteros
Alonso
Church y los
“procesos
efectivos”
Paul Cohen
probó que la
hipótesis del
continuo
El teorema de
Skolem-
Löwenheim:
pueden existir
cualesquiera
modelos
Existen varias
matemáticas. La
idea de una sola
matemática a
partir de la
axiomática y las
estructuras no
puede ser
totalmente
aceptable
Crisis de Fundamentos