Calculo Diferencial

1. Cálculo diferencial Luis López Acosta
Unidad 1. Números reales y funciones Ingeniería Desarrollo de Software
Evidencia de aprendizaje. Modelado de funciones
Instrucciones: Resuelve los siguientes planteamientos que se presentan a continuación,
tomando en cuenta los axiomas de los números reales, desigualdades y funciones.
1. Dado x la función x se define como el número entero menor o igual a x .
Resolver:
a. Graficar la función ( )f x x en el intervalo  5,5 .
Se analiza el entero de 2 enteros consecutivos por medio de las definiciones
mencionadas tales que:
K ≤ x<k+1
Paraqueimpliquelosintervalosdeestaformalafunciónesconstantedelintervalo  5,5
comprobando de donde los valores más cercanos del intervalo dado entonces
si
K ≤ x<k+1
Para k= -5
-5 ≤ x < -4 ⟦ 𝑥⟧ = -5
Para k= -4
-4 ≤ x < -3 ⟦ 𝑥⟧ = -4
Para k = -3
-3 ≤ x < -2 ⟦ 𝑥⟧ = -3
Para k=-2
-2 ≤ x < -1 ⟦ 𝑥⟧ = -2
Para k=-1
-1 ≤ x < 0 ⟦ 𝑥⟧ = -1
Para k=0
0 ≤ x < 1 ⟦ 𝑥⟧ = 0
Para k=1
1 ≤ x < 2 ⟦ 𝑥⟧ = 1
Para k=2
2 ≤ x < 3 ⟦ 𝑥⟧ = 2
Para k=3
3 ≤ x < 4 ⟦ 𝑥⟧ = 3
Para k=4
4 ≤ x < 5 ⟦ 𝑥⟧ = 4
Para k=5
5 ≤ x < 6 ⟦ 𝑥⟧ = 5

2. Cálculo diferencial Luis López Acosta
Unidad 1. Números reales y funciones Ingeniería Desarrollo de Software
b. Graficar la función ( ) 2f x x en el intervalo  5,5 .
Se analiza el entero de 2 enteros consecutivos por medio de las definiciones
mencionadas tales que:
k ≤ 2x<k+1 k ≤ k < k+1
2 2
Para que implique los intervalos de esta forma la función es constante del
intervalo  5,5 comprobando de donde los valores más cercanos del intervalo
dado entonces si
k ≤ k < k+1 k ≤ 2x < k + 1
2 2
Para k= -5
−5
2
≤ x < -2 -5 ≤ 2x < - 4 ⟦2𝑥⟧= -5
Para k= -4
-2 ≤ x <
−3
2
-4 ≤ 2x < - 3 ⟦2𝑥⟧= -4
Para k= -3
-
−3
2
≤ x < -1 - 3 ≤ 2x < - 2 ⟦2𝑥⟧= -3
Para k= -2
-1 ≤ x <
−1
2
- -2 ≤ 2x < - 1 ⟦2𝑥⟧= -2

3. Cálculo diferencial Luis López Acosta
Unidad 1. Números reales y funciones Ingeniería Desarrollo de Software
Para k= -1
−1
2
≤ x < 0 -1 ≤ 2x < 0 ⟦2𝑥⟧= -1
Para k= 0
0 ≤ x <
1
2
0 ≤ 2x < 1 ⟦2𝑥⟧= 0
Para k= 1
1
2
≤ x < 1 1 ≤ 2x < 2 ⟦2𝑥⟧= 1
Para k= 2
1 ≤ x <
3
2
2 ≤ 2x < 3 ⟦2𝑥⟧= 2
Para k= 3
3
2
≤ x < 2 3 ≤ 2x < 4 ⟦2𝑥⟧= 3
Para k= 4
2 ≤ x <
5
2
4 ≤ 2x < 5 ⟦2𝑥⟧= 4
Para k= 5
5
2
≤ x < 3 5 ≤ 2x < 6 ⟦2𝑥⟧= 5
Gráfica

4. Cálculo diferencial Luis López Acosta
Unidad 1. Números reales y funciones Ingeniería Desarrollo de Software
c. Graficar la función ( )
2
x
f x  en el intervalo  5,5 .
Se analiza el entero de 2 enteros consecutivos por medio de las definiciones
mencionadas tales que:
K ≤
𝑥
2
< k +1 2k ≤ x < 2k +2
Para que implique los intervalos de esta forma la función es constante del
intervalo  5,5 comprobando de donde los valores más cercanos del intervalo
dado entonces si
2 k ≤ x < 2k +2 k ≤
𝑥
2
< k +1
Para k= -5
-10 ≤ x < -8 -5 ≤
𝑥
2
< - 4 ⟦
𝑥
2
⟧ = - 5
Para k = - 4
-10 ≤ x < -6 - 4 ≤
𝑥
2
< - 3 ⟦
𝑥
2
⟧ = - 4
Para k = - 3
-6 ≤ x < - 4 -3 ≤
𝑥
2
< - 2 ⟦
𝑥
2
⟧ = - 3
Para k = - 2
-4 ≤ x < - 2 -2 ≤
𝑥
2
< - 1 ⟦
𝑥
2
⟧ = - 2
Para k = - 1
-2 ≤ x < - 0 -2 ≤
𝑥
2
< - 0 ⟦
𝑥
2
⟧ = - 1
Para k = 0
0 ≤ x < 2 - 0 ≤
𝑥
2
< 1 ⟦
𝑥
2
⟧ = 0
Para k = 1
2 ≤ x < 4 1 ≤
𝑥
2
< 2 ⟦
𝑥
2
⟧ = 1
Para k = 2
4 ≤ x < 6 2 ≤
𝑥
2
< 3 ⟦
𝑥
2
⟧ = 2

5. Cálculo diferencial Luis López Acosta
Unidad 1. Números reales y funciones Ingeniería Desarrollo de Software
Para k = 3
6 ≤ x < 8 3 ≤
𝑥
2
< 4 ⟦
𝑥
2
⟧ = 3
Para k = 4
8 ≤ x < 10 4 ≤
𝑥
2
< 5 ⟦
𝑥
2
⟧ = 4
Para k = 5
10 ≤ x < 12 5 ≤
𝑥
2
< 6 ⟦
𝑥
2
⟧ = 5
Gráfica
2. Se construyen rectángulos con la condición de que un lado es 3 cm más grande que
el otro, resolver:
a. Expresar el área del rectángulo ( )A l como función de uno de los lados l donde
l es el lado más pequeño el cual está dado en centímetros.
El área de un rectángulo es la base por la altura A = xh
Consideremos llamar x = l el lado más pequeño, entonces el grande medirá respecto a los
datos que es h = l + 3 y el área será
A (L) = l (L + 3) = L2
+ 3L
b. Calcular (5)A .
Sustituimos L = 5
A (5) = 52
+ 5 (5) = 25 + 15 = 40 cm2

6. Cálculo diferencial Luis López Acosta
Unidad 1. Números reales y funciones Ingeniería Desarrollo de Software
c. Hallar el valor de l que satisface 2
28 cm .
El área es A(L) = L2
+ 3L y si A(L) = 28 cm2
esto implica que:
L2
+ 3L = 28 L2
+ 3L – 28 = 0
Resolviendo por formula general queda
L=
−3±√32−4(1)(28)
2(1)
=
−3±√9−4(28)
2
= L=
−3±√121)
2
=
−3±11
2
La solución de la ecuación cuadrática es
L1 =
−3+11
2
=
8
2
= 2
L2 =
−3− 11
2
=
−14
2
= -7
El resultado negativo no cumple la condición por ser longitud negativa y el resultado
positivo si lo cumple
Entonces
L = 4
3. Al dejarse caer una piedra su altura con respecto al suelo está dada por la función
2
( ) 50 4 4.9h t t t   , donde t está en segundos, resolver:
a. ¿a qué altura esta la piedra al comenzar el movimiento?
Basados en la ley de movimiento parabólica de la ley de mecánica clásica El
movimiento comienza en el instante t= 0
Su altura será
h(0) = 50 - 4 (0) – 4.9 (0)2
= 50 m
b. ¿en cuánto tiempo llega la piedra al suelo?
Llegará al suelo cuando su altura sea cero es decir h(t) = 0 implica que:
0 = 50 – 4t – 4.9 t2
4.9 t2
+ 4t – 50 = 0
Resolviendo por formula general queda
t =
−4±√16−4(4.9)(50)
2(4.9)
=
−4±√16 + 980
9.8
=
−4±√16 + 980
9.8
=
−4±√996
9.8

7. Cálculo diferencial Luis López Acosta
Unidad 1. Números reales y funciones Ingeniería Desarrollo de Software
Las soluciones de la ecuación de segundo grado son:
t1 =
−4+√996
9.8
= 2.81219
t2 =
−4− √996
9.8
= -3.6285
El resultado negativo no tiene sentido y el resultado positivo es el importante
Entonces t= 2.8 seg.
c. ¿Cuánto recorre la piedra después de 2 seg?
Calcularemos la altura en 2 seg y la diferencia con la altura inicial será el espacio
recorrido
Primero
h(2) = 50 – 4(2) – 4.9 (2)2
= 50 – 8 – 19.6 = 22.4
Luego y finalmente calcularemos la distancia recorrida
Distancia recorrida = 50 – h(2) = 50 – 22.4 = 27.6 m